Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser

Transkript

1 STAT Sttstkk Metoder Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg for å forkste ed høy grd v skkerhet, for derved å kue påstå t det er tlstrekkelg bevs for t de ltertve hypotese er s. ses utggspuktet å være s og beholdes, hvs det kke er sterke gruer tl å forkste de. ltertvhypotese): Påstde so er otstrdede tl *De to ulge koklusjoee fr e hypotese-testg lyse blr deretter forkste reject) eller slykkes å forkste fl to reject) ) Sttstkk hypotesetestg ved bruk v p-verd Eks. V hr jordbær sk og stro sk på s, og v vl få vte o stro og jordbær er lke populære eller jordbær er er populær. Udersøkelse vse t v 5 besøkede et kjøpeseter, hr 7 jordbær so fvorttsk på s. At t Pello stro og jordbær, e perso foretrekker jordbær) = p. er tll persoer so hr jordbær so fvorttsk: B5, p) I re v sttstkk hypotesetestg, setter v to ulge hypoteser ullhypotese): stro og jordbær er lke populære p.5 ltertvhypotese): jordbær er er populær p.5 Observert dt: Av 5 besøkede hr 7 jordbær so fvorttsk på s. Bsert på dette, skl v: forkste?. p-verd: Ssylghete for å få lkt resulttet eller ed er ekstret resultt so det v hr ervert, gtt t er s. I Eks. p-verd = P 7 b5,.5)).333 forkstes hvs p-verde er veldg lte: ervert resulttet er veldg ussylg hvs er rktg. *Mer ekstret betyr ekstreet større, ekstreet dre, eller begge. Det er vhegg v og skl på se retg so. I Eks, er ekstret betyr

2 STAT Sttstkk Metoder ekstret større, ford er jordbær er er populær, so betyr skl være stor hvs forkstes b. Sgfksvå : grese so v besteer oss ofte på forhåd hvor lte p- verde skl være for t forkstes, so betyr t forkstes hvs p-verde er dre e sgfksvået. Når utfllet blr t forkstes, ser t teste g et sgfkt resultt. ) I vlge tester settes typsk tl 5%, stregere tester tl %. f.eks. I Eks., hvs =%, vlle v kke forkstet ) bør velges før udersøkelse gjeoføres: for å ugå t testoppsettet brukes tl å oppå det resulttet evetuelt øsker ) Sttstkk hypotesetestg ved bruk v forkstgsoråde. Tl et vlgt sgfksvå hører et forkstgsoråde vs erverte dtee P ) lgger, slk t ), betyr det t ervert resulttet er veldg ussylg hvs er rktg og v forkster på sgfksvå. I Eks. er p.5, og det betyr t jo større er, jo ussylg t p.5 ) er rktg, og jo ssylg t p.5 ) er rktg: jo større er, jo skre t v skl forkste. F = f e grese verd, slk t P Eks. F slk t P ) t: Uder :, ).5.5.5) p.5 B5,.5) N.5, ) 5 5 På vå = 5%, Z =.645, får v derfor:.5.5) Z *.5)* : og v forkster , og kseptere : p.5 *I ge tlfeller, bruke v test sttstkk test sttstc, eks Z sttstc, t sttstc) hypotesetestg, og v bygger forkstgsoråde tl test sttstkk stedet.

3 STAT Sttstkk Metoder 3) Sttstsk hypotesetestg ved bruk v kofdestervll L [ ˆ, ˆ ] være et kofdestervll for e preter. V bygger også L U sttstsk hypotesetestg so : ot. V k også utføre hypotesetestg ed sgfksvået gjeo t v selger og [ ˆ, ˆ ]. Regel: Forkst derso ˆ ˆ [ L, U] L U 4) Type I fel og Type II fel, Teststyrke ) = Pforkste s) = Type I fel ) = Pforkste kke flsk) = Type II fel *E årsk tl høy type II-fel k være t tll ervsjoee er for lte. 3) - = Pforkste flsk) = teststyrke 5) Styrkefuksjo I sehege v sttstsk test ed :. Teststyrke - = Pforkste flsk). V å deferer styrkefuksjoe so p ) ) P forkste = P ssylghete for å forkste ullhypotese for ulke. ). Fr styrkefuksjoe k v lese v Eks 3. V hr jordbær sk og stro sk på s, og v vl få vte o stro og jordbær er lke populære eller jordbær er er populær. Udersøkelse vse t v 5 besøkede et kjøpeseter, hr 7 jordbær so fvorttsk på s. At t Pello stro og jordbær, e perso foretrekker jordbær)=p. er perso so hr jordbær so fvorttsk: B5, p) I re v sttstkk hypotesetestg, setter v to ulge hypoteser ullhypotese): stro og jordbær er lke populære p.5 ltertvhypotese): jordbær er er populær p.5 F styrkefuksjo for p på vå = 5% ed , * Ved bruk v p ) k v selge ulke tester: v velger e test so hr høyest p ) år høyest teststyrke), år utvlgsstørrelse er de se.

4 STAT Sttstkk Metoder Test for forvetg orl fordelt vrbel. Eks 4. Z test),, 3,, N, ). og v kjeer er uvhegge stokstske vrbler fr. V vl bygge sttstsk hypotesetestg for de ukjete pretere tre ulke stusjoer er e gtt kostt): ) : ot : ) : ot : 3) : ot : Løsg: : lle tre stusjoer. Uder, N. L test, ) sttstkk Z Z N,) år er s. L x / x er de ervsjo v hr fått og z / forkstgsoråde v på sgfksvå. x x x. V k fe tl Z, slk t hvs z lgger z ), forkster L z er krtsk verd so: P Z z ) ed Z N,). ) :. Jo større x er, jo ssylg t er rktg: jo større z er, jo skre t v skl forkste. F slk t P Z zl ) :, ). z l = f e edre-grese lower lt) z l, Når er s, Z N,) : P Z z ) z, ) / ) :. Jo dre er, jo ssylg t er rktg: jo dre z er, jo skre t v skl forkste. F z u, slk t u P Z z ) :, ). = f e øvre-grese upper lt) Når er s, Z N,) : P Z z ), z ) / 3) :. Jo ekstret ekstret stor eller ekstret lte) er, jo ssylg t er rktg: jo ekstret z ekstret stor eller ekstret lte) er, z u

5 STAT Sttstkk Metoder jo skre t v skl forkste. Fe = fe to greser z l lower) og z u upper), slk t P Z zu ) P Z zl ) u l. Når er s, Z N,) : / :, z z, P Z z ) P Z z ), z ) z, ). / / / / Eks 5. t test),, 3,, N, ). er uvhegge stokstske vrbler fr og v kjeer kke. V vl bygge sttstsk hypotesetestg for de ukjete pretere tre ulke stusjoer er e gtt kostt): ) : ot : ) : ot : 3) : ot : Løsg: : lle tre stusjoer. Når er s, hr v t sttstc T t ) ed S ). L x x x x x er de ervsjo v hr fått og t ed s/ s x x ). V k fe forkstgsoråde ), forkster v på sgfksvå. L, tl T slk t hvs t lgger t t er krtsk verd so: P T t, ) ed T t ). V k gjeoføre de 3 tester på kkurt se åte so v bruker Eks 4: ) Når er s, T t ) : P T t, ) t,, ) ) Når er s, T t ) : P T t, ), t, ) 3) Når er s, T t ) : P T t ) P T t ), t ) t, ) /, /, /, /,

6 STAT Sttstkk Metoder 3. Z test for forvetgsdfferse orl fordelt vrbler. Eks 6.,, 3,, fr N, ).,, 3,, fr N.,, ), 3,, og og,, 3,, er uvhegge også. At t v kjeer. V vl bygge sttstsk hypotesetestg for å selge tre ulke stusjoer: ) : ot : ) : ot : 3) : ot : og Løsg: V hr N, ). Når er s, N, ). L Z Z N,). D k v bruke se prosedyre fr Eks 4., ed x y z Z N,) Eks 7. F stykkefuksjoer for de 3 testee Eks 6. Eks 8. At t =, f e så t år type I fel er kotrollert so, teste ) Eks 6 k g e spesfsert Type II fel år '. Når og er større e 4 toelfgerregel), selv o og er kke orl fordelt, hr v fortstt N, ) CLT) og v k bruke de se Z teste Eks 6. b. Når og er større e 4 toelfgerregel), selv o v kke kjeer eller, hr v fortstt ) S S N, ) ed S, v k bruke de se Z teste Eks 6. S og )

7 STAT Sttstkk Metoder 4. t-test for forvetgsdfferse orl fordelt vrbler. ) t test år og er så, Eks 9.,, 3,,, 3,, og begge er ukjete fr N, ).,, 3,, fr N.,, ) og,, 3,, er uvhegge. Både og er så dre e 4). At t v kjeer vrke eller. V vl bygge sttstsk hypotesetestg for å selge og tre ulke stusjoer: ) : ot : ) : ot : 3) : ot : F forkstg orådet heholdsvs., slk t P ) tl ), ), 3) t: Sett S ) Z N,), V ) T S S ed S og ), f fordelg tl T. Fr Uk 6, hr v t hvs Z ) v og Z, V er uvhegge: T t) v ) V / v ) Iterpolert t-test pooled t-test) år og er så, og er ukjet. *Iterpolert t-test vl lett føre tl felktge koklusjo hvs. V bruker bre terpolert t-test år v hr ok bevs tl å vse t, so for eksepel å gjeoføre e ledede test er vvst. og bruke terpolert t-test hvs : kke Det er kke så lett få fe stykkefuksjoer dsse t testee, ford det kke er så lett for å t tegrsjo v pdf for t fordelg.