Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Transkript

1 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet). Oppgavesettet er på sder kl.formelsamlg. Kotroller at du har fått alle arkee. Les oppgavetekstee øye. Bruk ege ark på hver oppgave. Begru alle svar. OPPGAVE Vektg av oppgavee: Oppgave : % Oppgave : % Oppgave 3: 5 % Oppgave 4: % Oppgave 5: 5 % Oppgave 6: % E teresseorgasasjo for persoer med e spesell egeskap reger med at % av befolkge over 5 år har dee egeskape. Orgasasjoe reger dessute med at 8% av dem som har dee egeskape, har høyere utdag, mes av dem som kke har dee egeskape, har 3% høyere utdag. V teker oss at v trekker ut e tlfeldg perso over 5 år. E er utfallet at persoe har dee egeskape og U er utfallet at persoe har høyere utdag. a) Formuler opplusgee tekste over som sasylgheter (ubetgede og betgede) for E og U. Reg ut P(U). b) Reg ut P(E U) og forklar hva dee sasylghete uttrykker. c) Hva er sasylghete for at e perso som kke har høyere utdag, har dee egeskape? d) Hva er sasylghete for at det et utvalg på persoer over 5 år er mst persoer som verke har høyere utdag eller dee speselle egeskape? OPPGAVE I flg. Statstska Cetralbyrå (SCB) Sverge var de forvetede lvslegde 8 år 99 med et stadardavvk på år. a) Hvor stor er sasylghete for at e yfødt jete skal få oppleve s -års dag? b) Hva er sasylghete for at e kve som er 7 år skal bl 8 år eller eldre?

2 OPPGAVE 3 V atar at vaholdet Y (proset) e vss type kyllgfleter kjøpt på Rm er ormalfordelt med forvetg µ og varas σ. Vaholdet forskjellge kyllgfleter er uavhegge varabler. V atat at µ = 5, og varas σ = 6,. a) Hva er sasylghete for at e kyllgflet eholder mer e 7,5% va? F også sasylghete for at vaholdet lgger mellom,5% og 7,5%. b) Hva er sasylghete for at e pakke med kyllgfleter har et gjeomsttlg vahold på mer e 7%? OPPGAVE 4 E kyllgproduset har over 7 kyllger e stor produksjoshall. Ha vl estmere gjeomsttsvekta for kyllgee og veer av dem. Vektee hg ble målt tl: 8,5 7,6 8, 7,9, 9, 8,4 8,7 9,5 9, 7,9 8,6 9,3 8,8 8,6 8,4 9,3 7,9 8, 9,4 De målte vektee atas å være uavhegge og detsk fordelte stokastske varable med ukjet forvetg og varas. a) Estmer på bakgru av målgee gjeomsttsvekta og stadardavvket. b) F et 9% kofdestervall for gjeomsttsvekta. Etter plae skulle kyllgee på tdspuktet for vege skulle kyllgees vekt ha et gjeomstt på 9, hg, mes produsete hadde e mstake om at gjeomsttsvekta var oe lavere. c) Sett opp e hypotesetest på bakgru av dsse opplysgee, og avgjør med et sgfkasvå på 5% om produsete har rett s påstad. OPPGAVE 5 Du spller Yatzy med 5 terger. a) Hva er sasylghete for at alle tergee vser forskjellg atall øye? b) Hva er sasylghete for å få 4 lke?

3 OPPGAVE 6 Uerfare sopp-plukkere ka forveksle sjampjog med adre sopper, for eksempel med hvt fluesopp, som er meget gftg. V teker oss at år e tlfeldg sopp-plukker tror at e sopp er e sjampjog,så er det 95% skkert at de vrkelg er det. E sopp-plukker plukker 5 sopper som vedkommede meer er sjampjoger. La X være det atallet av dsse soppee som vrkelg er sjampjoger. G e kort begruelse for svaree tl spørsmålee edefor. a) Hvlke fordelg har X og hva er forvetge og stadardavvket for X? b) Hva er sasylghete for at alle soppee er sjampjoger? c) Hva er sasylghete for at det er eller gftge sopper blat de 5 soppee? d) Hva er sasylghete for at det er akkurat gftge sopper blat de 5? atall sjampjoger(x) kumulatv sasylghet,p(x x),,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,69 9,3,765,349,76 3, ,76 5, E sopp-plukker er svært uskker tar de 5 soppee med seg tl e soppekspert, som straks og med skkerhet slår fast at det er 5 gftge sopper blat dem. 3

4 Sopp-plukkere vet kke hvlke sopper som er gftge, me får mulghete tl å velge sopper. e) Hva er sasylghete for at vedkommede velger sjampjoger? f) Hva er sasylghete for at det er gftge sopper blat de? NB! Soppeksperte hjelper plukkere med å velge rktg tl slutt. 4

5 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag Formelark for Matematkk, modul Statstkk og sasylghetsregg BINOMIALKOEFFISIENTEN:! = k ( k)! k! ADDISJONSSETNINGEN: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) DEFINISJON AV BETINGET SANNSYNLIGHET: P( A B) = P( A B) P( B) MULTIPLIKASJONSREGELEN: P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) BAYES FORMEL: P( B A) = P( A B) P( B) P( A) STANDARDAVVIK La x, x, x3,..., x være observasjoee et datasett, og x gjeomsttet av dem. Nedefor er det gtt tre formler:. Teoretsk stadardavvk.. Teoretsk stadardavvk formulert ved hjelp av stokastske varabler.. ( x x) ( X ) X = =. FORVENTNING, VARIANS OG STANDARDAVVIK FOR EN STOKASTISK VARIABEL X E( X ) = x P( X = x ) alle x Var( X ) = E ( X E( X )) = E( X ) ( E( X )) σ = Var( X ) = E ( X E( X )) BINOMISK FORDELING 5

6 P(X =x) = p x ( p) -x, E(X) = p, x Var(X) = p(-p) HYPERGEOMETRISK FORDELING M N M k k P ( X = k ) = N M N E( X ) = Var( X ) = p( p) N N POISSONFORDELING Med t mees td, legde, areal, volum. λ er atall forekomster per tdsehet av e bestemt hedelse A. λ λ x ( t) t P( X = x) = e E( X ) x! = λt Var( X ) = λt NORMALFORDELING X µ Hvs X N ( µ, σ ), så er Z = N(,). Dersom x er e verd verdmegde σ x µ tl e ormalfordelt stokastsk varabel X, og v skrver z =, så bereges σ F( x) = P( X x) = G z (se tabell over sasylgheter sasylgheter for X ved ( ) stadardormalfordelg) SENTRALGRENSETEOREMET Hvs X er e stokastsk varabel, med E( X ) = µ stadardavvk S, og X, X,..., X er koper av X, så er X = ( X + X + L + X ) tlærmet ormalfordelt for, med forvetg E ( X ) = µ og stadardavvk ( ) σ X = S. KONFIDENSINTERVALLER Et tlærmet ( α) % kofdestervall for p e bomsk stuasjo, basert på ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) estmatore pˆ = X / er gtt ved ˆ p p ˆ /, p p z p z p α + α / V fer et tlærmet( α) % kofdestervall for forholdet M / N e x x hypergeometrsk stuasjo ved tervallet: z ˆ ˆ α / Var( p), + zα / Var( p) hvor x / er de observerte verde av estmatore pˆ = X / og N x x Var( pˆ ) = N.. 6

7 Et ( α) % Z-tervall for gjeomsttet µ e ormalfordelt stuasjo er gtt σ σ ved: X zα /, X + zα / Slke tervaller brukes år stadardavvket σ er kjet. Et ( α) % T-tervall for gjeomsttet µ e ormalfordelt stuasjo er gtt ved X tα /, X + tα / Her er S = ( X X ) = ukjet. S S. Slke tervaller brukes år stadardavvket σ er KRITISKE VERDIER. Hvs H forkastes år X blr påfallede lte, er k er de største verd slk at P( X k) α (esdg test). V forkaster H dersom X k.. Hvs H forkastes år X blr påfallede stor, er k er de mste verd slk at P( X k) α (esdg test). V forkaster H dersom X k. 3. Hvs H forkastes år X blr påfallede lte eller X blr påfallede stor, er P( X k) α / og P( X k) α / (tosdg test). V forkaster H dersom X k eller X k. TEST AV BINOMISK p Heskte med teste er å avsløre om de samlede data atyder e p, kalt ˆp, som avvker sgfkat fra e bestemt verd, kalt p. V beytter testobservatore pˆ p X p Z = =. V har følgede alteratver: p( p) p( p). H : p p og H : p > p hvs Z > z α H : p p og H : p < p hvs Z < z α H : p = p og H : p p hvs Z > z α /. 3. Z-TEST (NÅR STANDARDAVVIKET ER KJENT) 7

8 Her testes det om samlede data atyder at gjeomsttet µ lgger ær ok e X µ kjet verd µ. V beytter testobservatore Z =. V har følgede ( σ / ) alteratver:. : H µ µ og H > µ hvs Z > z α H µ og H < µ hvs Z < z α H = µ og H µ hvs Z > z α /. 3. T-TEST (NÅR STANDARDAVVIKET IKKE ER KJENT) X µ V beytter testobservatore T =, hvor S alteratver: S = ( x x). V har følgede =. : H µ µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/. 3. UPARET T-TEST V beytter testobservatore T = S p X Y +, hvor S p = ( ) S ( ) S x y + Det som er kalt S x her er stadardavvket for x-verdee, og S y er stadardavvket for y-verdee. og står for atall observasjoer hver gruppe.. : H µ µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/. 3. PARET T-TEST 8

9 D V beytter testobservatore D =, hvor D er gjeomsttet av dfferesee, S D / S D er stadardavvket for dfferesee, og er atallet observasjospar.. : H µ µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/. 3. KORRELASJONSKOEFFISIENTEN R = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = TABELLER 9

10