Mer om Hypotesetesting (kap 5) Student t-fordelingen. Eksamen. Fordelingene blir like ved stor n:

Transkript

1 Mer om Hypotesetestg kap 5 Overskt: Små utvalg og Studet s t-fordelg Hypotesetestg for populasjosgjeomsttet, μ Med tlfeldg og stort utvalg er fordelge tl testobservatore motvert av SGT Hva skjer dersom v kke har et stort utvalg? Hypotesetest for populasjosvarase p-verder Mer om t- og χ - fordelg Teste populasjosadeler sasylgheter Ved store utvalg ka v ved hjelp av setralgreseteoremet basere e hypotesetest på at Z ~ N, / dvs Z følger altså e stadardormalfordelg uder H ved store utvalg. Ka da fe krtsk verd Z fra Table. sde 586 eller ederste lje sde 587 V atar her at σ er kjet. Dersom σ er ukjet, som de valgvs er, erstatter v σ lgge over med s utvalgs-stadardavvket. Det går bra ved store utvalg og teste vl fremdeles være gyldg. Da bruker v bare lgge slk de står ovefor og v fer krtsk verd fra Table. sde 586 Hvs v vet med skkerhet er ormalfordelt, vl teste også fugere ved små utvalg, dersom v atar at σ er kjet, me da må v være skre på at er ormalfordelt ved lte utvalg og σ er kjet. Dette tlfellet ser v valgvs vekk fra. Dersom σ er ukjet og v må erstatte dee med s uttrykket over, så er testobservatore kke leger stadard-ormalfordelt uder H ved små utvalg V erstatter populasjosvarase σ med utvalgsvarase s. Ved små utvalg vl da TSt ~ t s / hvor testobservatore uder H å følger e Studet s t-fordelg med - frhetsgrader df V fer da krtsk verd fra Table. sde 587, hvor v tar hesy tl atall observasjoer - Studet t-fordelge Det er små yaser mellom stadardormalfordelge N, og t- fordelge, me det er alltd fel å bruke stadard-ormal-fordelge N, gtt tabell. sde 586 ved små utvalg E skal hvert fall aldr bruke z-teste ved < 3. E bør heller aldr bruke z-teste ved < 5, me hvor grese går er ge eksakt vteskap Me, det er aldr fel å bruke t-fordelge ved ltt større utvalg ford krtsk verd ved t-teste vl bl gaske lk krtsk verd ved z-teste for > 5 Krtsk verd for t-teste går mot krtsk verd ved z-teste, for økede atall observasjoer I t-tabelle Table. sde 587 blr det oppgtt krtsk verd for =4, =6 og tl og med =. Helt ederst dee tabelle der hvor det står fer du krsk verd for z-teste Eksame På eksame vl jeg alltd oppg om du skal beytte deg av t- fordelge t-test eller ormalfordelge z-test Testee er veldg lke me bruker ltt forskjellg krtsk verd Fordelgee blr lke ved stor : Skal mer tl for å forkaste H ved Studet s t fordelg

2 Tohaletest, 5% vået Ehaletest, 5% vået Tohaletest, % vået Se Table. på sde 587 Thomas. Noe gager er v teressert å aalysere varas fas, tektsulkhet, etc. Eksempel: Itektsvået og fordelg et område = 9, 3, 8, 97, 68 96, 54, 99, 8, 8 H: μ = 8 H: μ > 8 ehaletest, 5% vået Krtsk verd: TS = t = - μ/s/ TS = t = 88-8/68,6/ =,5 Forkaster kke H: μ = 8 95 % kofdestervall: ± t,5 s/ = 88 ± Hypotesetestg for populasjosvarase σ Kj-kvadrat-fordelt: Har e lag hale lltd postv s ~ Desty I gjetatte trekger har kke dee N,-fordelg eller t-fordelg H: σ = H: σ >..5 s ruker s som estmat Kj-kvadratfordelt fordelg med stt=8 ad st.avvk = 4 3

3 Eksempel s TS ~ Varase tl e ormalfordelt varabel blr påstått å være større e. Et tlfeldg utvalg beståede av 5 regstrerte verder på gr et stadardavvk på 5. Test om påstade er korrekt. TS krtsk verd ForkastH Se Table.3 på sde 588 Thomas. Forvetg og varas tl populasjosadel sasylghet {, } fasko, suksess E p Pr Pr Pr π se sde 8 Var E E p p π π Testobservatore tl sasylghet p TS ~ N, p Forkast H dersom TS > krtsk verd 5%, tohaletest: krtsk verd=,96 μ E π populasjo sadel σ V π π p utvalgsad el π π σ σp sesde 69 7 p-verd Nvå på sgfkasverde α som må tl for at v akkurat kke skal forkaste H «Sasylghete for å fe de observerte størrelse, gtt at H er sa» Dersom estmatet vårt er lagt fra p-verd er lte, så er det mye som tyder på at H kke er sa ereget p-verd=, for TS forkast H på 5% vået α=,5 ereget p-verd=, for TS forkast H på 5% vået α=,5 ereget p-verd=, for TS kke forkast H på 5% vået α=,5 Hva blr rapportert emprske aalyser? Estmat Med ete Stadardfel tl estmat: s = s / Testobservator evt med krtsk verd p-verd Kofdestervall Stjerer for å dkere sgfkasvå: * = sgfkat på % vå, ** = sgfkat på 5% vå. *** = sgfkat på % «V estmer effekte av y meds på helse tl å være 3 prosetpoeg p-verd=,3» 3

4 Oppgaver Kort oppsummerg av kap 5 Små utvalg og Studet s t-fordelg t-test lltd bruke t-test ved <3 Helst bruke t-test ved <5 Ka bruke t-test ved <6 Hypotesetestg om populasjosvarase kj-kvadrat-fordelge Hypotesetestg om adeler/sasylghet p-verd Oppgr ofte effekt pluss p-verd: = p=, Mer om sasylgheter kap Effekte av tltak på jobbsasylghet, =8 Overskt T = hvs deltatt på Nav-tltak mes arbedsledg 4 persoer T = hvs kke deltatt på Nav-tltak 4 persoer N=8 Smulta jot og margal sasylghet Forvetgsverd expected value, jfr. populasjosgjeomstt Varas, kovaras, korrelasjo Jobber med to tlfeldge varabler samtdg Hva er sammehege mellom utdag og tekt Y = hvs persoe kom jobb etter 6 md. 36 persoer Y = hvs kke jobb 44 persoer Regoal vekst v de 4 som kke var på tltak T= kom 6 jobb Y= v de 4 som var på tltak T= kom jobb Y= Forholdet mellom MI og helseutfall La oss presetere tallee e hyppghetstabell: Korrelasjo, kovaras, regresjoskoeffset, kausaleffekt, Itektsutvklge to byer/dstrkt Hyppghetstabell ad smultae sasylgheter Smultae, margale og betga sasylgheter PrY y,t t smulta sasylg het PrY y margal sasylg het py PrT t margal sasylg het pt tall totalt sett var 8 tall som kom jobb Y= var 36 tall på tltak T= var 4 tall som kke var på tltak T= og som kom jobb Y= var 6 PrY y T t betga sasylg het Pr 𝑌 = 𝑦 𝑇 = 𝑡 = Pr𝑌 = 𝑦, 𝑇 = 𝑡 Pr𝑇 = 𝑡 4

5 Tlfelle med 4 utfall, PrY, Y Y=frst roll, Y={,,3,4} Y=secod roll, Y={,,3,4} 6 smultae sasylgheter 8 margale sasylgheter Med lk sasylghet: PrY=y, Y=y = /6 = produktet av tallee som dukker opp, Sx={,,3,4,6,8,9,,6} Y = absoluttverde av dfferase av tallee, SY={,,,3} Utfallsrommet, Table 6. sde 8: Roll,,,3,4,,,3,4 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4, Y 3 3 Smulta sasylghetsfordelg: Ka kke ha Y= og = samtdg. = ka bare skje dersom det ee utfallet er og det adre og da ka kke dfferaser være. =6 og Y= ka skje ved to tlfeller, x3 eller 3x. Derfor er Pr=6,Y==/6. Summe av sasylgheter er alltd lk! Margale sasylgheter Notasjo: Pr 6,Y py 6, p6, 6,,Y Utfallee tl og Y samme med sasylghetee gr smulta pdf; p,y Table 6. sde 8: 6 Opplstg av alle mulge kombasjoer av verder to varabler ka ta Smultae sasylgheter for hver mulg kombasjo PrY= = g = 4/6 PrY= = PrY=, = + PrY=, = + PrY=, =3 + + PrY=, =6 = 6/6 PrY= = Pr Y =, = x = 4/6 PrY=3 = Pr Y = 3, = x PrY=y = gy 5

6 Margale sasylgheter og berega størrelser Forvetgsverder m E j p j j E Y Y py V har sett på størrelser som forvetg populasjosgjeomstt, varas, etc. Dsse er basert på margale sasylgheter Hvs v får oppgtt bare de smultae sasylghetee, må dsse gjøres om tl margale sasylgheter E Y forvetge tl produktet E Y forvetge tl Y betga på ulke verder av betget forvetg m E Y Y j p Y j j Utfallsrom og smultae sasylgheter: Hyppghetstabell ad smultae sasylgheter m E Y Y j p Y j j EYT =,3 +,5 +, +,5 =,5 Forvetgsverde tl produktet av de to varablee Hvorda beveger størrelser/varabler seg samme? Noe forhold å ta betraktg EY E EY Har at EY = Y p,y E[h,Y] = h,y p,y Hvs så h,y = a + by leær addtv fuksjo E[h,Y] = ae + bey hvor E og EY bereges basert på margale sasylgheter Kovaras og korrelasjo er mål på samvarasjo mellom to varabler og Y I dette tlfellet ser det ut tl å være et møster, me sammehegee er kke perfekte 6

7 Postv kovaras: Store verder av y er assosert med kommer ofte samme med store verder av x Cov,Y E [ E ][Y E Y ] [ E ][Y E Y ] p,y Negatv kovaras: Små verder av y er assosert med kommer ofte samme med store verder av x E Y E E Y Ige kovaras samvarasjo 6,75 6,5,5,65 Varas av fuksjo ta h,y = a + by F EY, ET, VarY, VarT, EYT, CovY,T med dette ekle datasettet: leær addtv fuksjo avar Vara + by = + bvary + abcov,y Vara - by = avar + bvary abcov,y Var + Y = Var + VarY + Cov,Y Var - Y = Var + VarY - Cov,Y Vktg å huske på seere! Eksempel på beregg av kovaras fra tabell med smultae sasylgheter: EY =,55 +,45 =,45 ET =,5 +,5 =,5 EYT=,3 +,5 +, +,5 =,5 VarY =,55-,45 +,45-,45 =,475 VarT =,5-,5 +,5-,5 =,5 CovY,T = -,45-,5,3 + -,45-,5,5 + -,45-,5, + -,45-,5,5 =,675 -,565 -,55 +,6875 =,5 Cov Y,T E [Y E Y ][T E T ] [Y EY ][T E T ] py,t 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑌, 𝑋 = 𝐶𝑜𝑣𝑋, 𝑌 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑉𝑎𝑟𝑌 =,,589,5 =, =,,548 7

8 Oppsummerg Korrelasjo: Kap 6.3 og 6.4 Smultae og margale sasylgheter Forvetg ved to varabler; EY Kovaras, Cov,Y Varas av fuksjo Korrelasjo og uavhegghet Hypotesetestg av to populasjoer Er populasjoee og størrelsee v bereger fra de to populasjoee lke? Neste: Korrelasjo Korrelasjoskoeffsete: - < Corr < Korrelasjo Ser oe om «styrke» sammehege mellom to varabler Corr, Y Cov, Y Cov, Y Corr, Y Var Var Y SD SD Y Cov, Y SD SD Y Korrelasjoskoeffsete ρ lgger mellom - og Ka derfor sammelges for ulke sammeheger/problemstllger Margale sasylgheter og berega størrelser Uavhegghet Cov, Y E Y E E Y Corr, Y Var Var Y SD SD Y Uavhegghet : E Y E E Y Cov, Y E Y E E Y 6,75 6,5,5,65,65,6 7,9,94 Uavhegghet : p, Y f g Y Vka teste for om varablee er uavhegge 8

9 Uavhegghet Legg merke tl dee tabelle at p,y=f g gjelder for alle kombasjoer av og Y For uavhegghet, se også lgg P.a på sde 7 Eksempel: p4,5 =,4, samt f4 g5 =,, =,4 Korrelasjo et datasett ρ = populasjoskorrelasjoskoeffset R = utvalgskorrelasjoskoeffset R Y Y Treger kke å teke på atall frhetsgrader sde det samme uttrykket går gje over som uder brøkstreke Y Y Uavhegge varabler => ρ=, me kke omvedt Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y lteratve måter å skrve uttrykkee formele for varase på: Y Y Y Y Y Y Y For å berege kovarase bruker v oe gager Y Y stedefor Y Y = produktet av tallee som dukker opp Y = absoluttverde av dfferase av tallee Korrelasjoskoeffsete mellom varabler: R Y Y Y Y Treger kke å teke på atall frhetsgrader her ford samme over som uder brøkstreke 58 /, Y 3/ Y Y Y Y Y Y 7 5,8,3 3, ,8,6 Y 5,3 8, R Y Y Y Y 9

10 Ltt om Stata Istallerg av Stata på ege PC/Mac: Stata har mage korte vdeoer: Tour of the Stata 5 terface Stata bascs Descrptve statstcs Oe-sample t test Classcal hypothess testg Stata Tre måter å jobbe med Stata på: Mey-systemet Kommado-lje Do-fl-edtor alyse Laste data Deskrptv statstkk gjeomstt, varas, kovaras, korrelasjo, etc Hypotesetestg t-test Regresjosaalyse Testg av to gjeomstt mot hveradre del 6.4 Er lk lk hvor er e by ad er e ae by? La μ og μ være populasjosverdee H : μ = μ H : μ < μ ta at v har mage observasjoer fra hver by N N, ~, ~ N Var SE V V Var E E E, ~ Setralgreseteoremet :, ~ N TS, , ~ 8 73,, 655, 486, TS N TS TS er forkastgsområdet: Populasjosstørrelsee er kke lke de to byee. Test for lk gjeomsttstekt de to byee:

11 z-test Stata sde 4: Er gjeomsttsløe tl me høyre E gjeomsttsløe tl kver? Summary statstcs: mea, sd, varace, semea, N by categores of: ma = hvs ma, = hvs kve ma stmer lo grad Total TS ~ N, z - test 45,36 464,953 TS, ,4 4756, dsplay /sqrt7467.4/ /43 gr z-verd: TS = Ved z-test Stata må e skrve verdee for stadardavvkee: ztest lo f grad==, byma sd sd Two-sample z test Group Obs Mea Std. Err. Std. Dev. [95% Cof. Iterval] dff dff = mea - mea z = Ho: dff = Ha: dff < Ha: dff!= Ha: dff > PrZ < z =.8 Pr Z > z =.65 PrZ > z =.998 Hva gjør v med små utvalg og hvor σ må estmeres? V må å estmere varase samlet: s s s hvor s og s TS ~ s lgg 6.3 sde 6 er estmert varas fra gruppee t lgg 6.34 sde 7 Stata: ttest,bygruppe Ved mage observasjoer blr s s s lk estmert varas basert på hele utvalget sde justerg for frhetsgrader betyr mdre år øker t-test Stata: Summary statstcs: mea, sd, varace, semea, N by categores of: ma = hvs ma, = hvs kve ma stmer lo grad Total ttest lo f grad==, byma Two-sample t test wth equal varaces Group Obs Mea Std. Err. Std. Dev. [95% Cof. Iterval] combed dff dff = mea - mea t = dff = freedom = 87 Ho: degrees of Ha: dff Ha: dff < Ha: dff!= > PrT < t =.97 Pr T > t =.95 PrT > t =.993 * ereger først s lgg 6.3 med kalkulator Stata: dsplay sqrt45*86.446* * * / * ereger så TS med lgg 6.34: dsplay / *sqrt/46 + /

12 Test for om σ= σ teller - over brøkstreke Varas er alltd et postvt tall Forkast H om lk populasjosvaras Numerator teller, over brøkstreke v TS s ~ F s F,5,53 F,975 F,5 lgg 6.36 sde 9 ved 6 og se sde Krtsk verd Test av to adeler TS p p F-teste ved sammelgg av varas fra to utvalg: Fordelge for F-teste har ge egatve tall. De begyer på helt tl vestre fordelge og så øker de verd. Det betyr at det kke gr oe meg dee teste å ta absoluttverde. For e tohaletest vl det derfor være to krtske verder du må fe fram tl. I Fgur 6.4 er dsse krtske verdee merket med F,5 og F,975. Du forkaster H dersom TS > F,5 eller TS < F,975, dvs. du forkaster H dersom bereget testobservator TS er lagt ut e av halee det som blr kalt «rejecto rego» Fgure forkastgsområde. Krtsk verd for F,5 fer du på sde 59 boke. Krtsk verd vestre ede av fordelge fer du ved følgede formel: F,975 = /F,5. Krtsk verd vl være avhegg av hva som er varase utvalg over brøkstreke teller/umerator og hva som er varase utvalg uder brøkstreke ever/deumerator. Oppsummerg av kap 6 ~ N, Korrelasjo og uavhegghet Test for om to populasjosstørrelser er lke forvetgsverd og varas må estmeres med p : p p p Eksempel : To kommuer; 346 med p,3 og 37 med p,5 Neste kapttel: ØKONOMETRI p p 346,3 37,5, p p,3,5 TS,6,94, p

13 Stata Laste ed datafl fra MttU Edre mappe hvor flee skal lgge Stata Åpe e Log-fl Stata, med edelse «.log» Gjøre aalyse Stata vslutte log-fle Importere log-fle Word For de dele som gjelder Stata, bruk fot = «New Curer» og fotstørrelse = 9 Skrve rapporte 3