Avdeling for ingeniørutdanning. Eksamen i Diskret matematikk

Transkript

1 vdelig fo igeiøutdig Esme i Diset mtemti Dto: 7. deseme Tid: 9 4 tll side ilusive foside: 8 tll ogve: Tilltte hjelemidle: Ku hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst. Med: Kdidte må selv otollee t ogvesettet e fullstedig. Ved evetuelle ulhete i ogveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige. Fglig veilede: Ulf Uttesud Uteidet v fglæe: Ulf Uttesud Kotollet v e v disse: e læe Seso Studielede/ Fgoodito Studieledes/ Fgooditos udesift: Emeode: FO9 FO9I

2 lle de ogvee telle lit. Det e ie sli t lette ogve omme føst og vselige til slutt. u defo ie fo mye tid å e ogve du ie få til. Pøv istede e y ogve. lle sv sl egues! Det fo esemel sje ved t du t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo. Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst. Ogve L og væe de to utsgee : Det ege og : Det låse. Siv flg. utsg ved hjel v, og logise oetoe: i Det låse, me det ege ie. ii Hvis det ege, så låse det ie. iii Det e oholdsvæ og vidstille. vgjø ved hjel v shetsveditell elle å e måte om de to smmestte utsgee og e evivlete. Ogve L og væe megdee {,, c, d } og { c, d, e, f }. Hv li, og? L, og væe vilålige megde. E megdee og lie? vgjø det ved å tege et Ve-digm fo hve v dem. Své de tuelle omådee. c Fi og uty ved hjel v,, og megdeoesjoe de megde som sve til det svete omådet i flg. Ve-digm: Ogve 3 L {,, 3, 4,...., 999, }, dvs. megde v heltllee f til. Hv li summe v tllee i. Hvo mge v tllee i e delelig med 7? c Hvo mge v tllee i e delelig med 4 elle 7? d Fi summe v de tllee i som e delelig med 4 elle 7.

3 3 Ogve 4 L væe e -mtise de,, c og d e hele tll. Detemite c d det til e defiet sli: det d c Hvis fo esemel, li det L væe megde v heltllige -mtise og l Z væe de hele tllee. Fusjoe f : Z e defiet ved t f det. L og. Fi f og f. E fusjoe f e-til-e? E fusjoe f å? Ogve 5 5 L utsget P væe t mod5, dvs. t 5 gå o i 5. Vis t P e s fo, og 3. De fie føste dee i Pscls tet se sli ut: 3 3 Sett o de to este dee i Pscls tet og u det til å fie oeffisiete,, c og d sli t fo lle e c d c Vis ved hjel v idusjo t P e s fo lle. E e åstd e t 5 utsget mod 3 e st fo lle. Høes det imelig ut?

4 4 Ogve 6 Gitt diffeesligige 6, >,, Fi og 3. Fi e fomel fo. c Fi. 5. Ogve 7 Dttye shot i Jv ue et fst itfomt å 6 ite, omlemet og fotegsit. I dee ogve sl vi ue det itfomtet. Fi tllet å hesdesiml fom og å desiml fom. Fi tllet å desiml fom. c Hv e iæode til det støste og det miste støste egtive heltllet i dette fomtet? Ogve 8 L væe megde v lle itsevese med legde 8. L R væe elsjoe å defiet ved t e itseves s e eltet til e itseves t hvis og e hvis s og t h lie mge -e. L fo esemel s og t. D e s eltet til t side tll -e e li 5 i egge sevesee. Relsjoe R e e evivleselsjo. Hvofo e de det? egu svet! Hvo mge elemete e det i evivleslsse til s, dvs. hvo mge elemete e det i megde [s]? c Hvo mge itsevese e det i de evivleslsse som h flest itsevese. Sett o to fosjellige itsevese som høe til de evivleslsse. Ogve 9 L {,, c, d } og R elsjoe å gitt ved hjel v følgede gf: Sett o elsjoe R som e megde v v elemete f. Sett o mtise M R til R.

5 5 c Fi lle, y v elemete f sli t det gå e vei i gfe til R f til y med legde 3. d Fi mtise R M R M R M [3] R M. Kle du å fie de ute å utføe de logise mtisemultilisjoe? Ogve Følgede te uettede gfe, og c e gitt. vgjø fo hve v dem om gfe h e luet Eule-vei elle om de h e åe ie luet Eule-vei elle evetuelt ige v delee. Svee sl egues. Defiisjoe og fomele Noe evivlese f utsgslogi: P P P P Noe megdeidetitete: Kdilitet tllet elemete i e uio:

6 6 Fusjoe: I fusjoe f : ety defiisjosmegde og vediomåde. E fusjo f : e e-til-e hvis, og, medføe t f f. E fusjo f : e å hvis sli t f. Heltllsdivisjo divisjoslgoitme, div og mod: L væe et heltll og d et ositivt heltll. D fies etydige heltll og med < d sli t d. Oesjoee div og mod defiees ved t div d og d mod. Moduloegig: L m væe et ositivt heltll. To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå o i og det eteges med mod m. Ree: Geometis ee:, itmetis ee: Summe v føste og siste ledd gget med tll ledd, delt med. iomiloeffisiete:!!!!,,,,, iomilteoemet: tll fosjellige utvlg å stye f e smlig å stye: Odet ute tileleggig: Uodet ute tileleggig:

7 7 Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «igeohole»-isiet: Hvis N ojete sl lssees i ose, må mist N é os ieholde mist ojete. Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e å fome c c de c og c e ostte. Ligiges teistise olyom e gitt ved: c. c Hvis det teistise olyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li α de α og β e vilålige ostte. Hvis β sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem. Hvis det teistise olyomet h u é løsig, li geeell løsig li α β de α og β e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem. Relsjoe: E elsjo R å e megde e e delmegde v odutmegde. L R væe e elsjo å e megde. R e eflesiv hvis, R fo lle. R e symmetis hvis, R, så e, R. R e tisymmetis hvis og, R, så e, R. R e tsitiv hvis, R og, c R, så e, c R.

8 8 E tisjo E smlig delmegde,, 3,..., v e megde utgjø e tisjo v hvis... 3 og i j Ø fo lle i j. Evivleselsjoe E elsjo R å e megde e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv. Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo å e megde og, så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] {, R}. Elle med od: [] e li megde v de som e eltet til. Evivleslssee til e elsjo utgjø e tisjo v. Delvis- elle tiell odig E elsjo R e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv. Gfteoi: Gde til et ut i e uettet gf e tllet te yttet til utet. Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to ute h e luet Eule-vei e Eule-syel hvis og e hvis lle utee i gfe h tllsgd. E smmehegede uettet gf h e åe ie-luet Eule-vei hvis og e hvis øytig to ute i gfe h oddetllsgd.