EKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

Transkript

1 Noges teknisk ntuitenskpelige uniesitet Institutt fo elektonikk og telekommuniksjon ide 1 8 Bokmål/Nynosk Fglig/fgleg kontkt unde eksmen: Johnnes k ( ) Hjelpemidle: C - pesifisete tykte og håndskene hjelpemidle tilltt: Rottmnn: Mtemtisk fomelsmling. Bestemt, enkel klkulto tilltt. Hjelpemiddel: C - pesifisete tykte og hndskene hjelpemiddel tillte: Rottmnn: Mtemtisk fomelsmling. Bestemt, enkel klkulto tillten. EKAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETIME Tisdg 5. juni 2012 Tid: 09:00 13:00 ensu: 26. juni 2012 Oppge 1 ) En ing med dius e plsset i xy-plnet, med sentum i oigo, se fig. 1(). Den totle ldningen til ingen e Q; denne ldningen e jent fodelt oe ingen slik t ldning pe lengdeenhet e konstnt. Ant kuum oelt undt ingen. Finn potensilet lngs -ksen. L efensepunktet æe i uendeligheten. b) En disk med dius e plsset i xy-plnet, med sentum i oigo, se fig. 1(b). Disken h konstnt flteldningstetthet ρ s. Vis t potensilet lngs -ksen og fo > 0 e V () = ρ ( ) s 2 + 2ɛ 2. (1) 0 c) Finn det elektiske feltet på -ksen (og fo > 0) fo disken i foige deloppge. d) Fo disken i foige spøsmål, h bli det elektiske feltet lngs -ksen fo? Finn også det elektiske feltet lngs -ksen nå. Tolk esulttene.

2 ide 2 8 ρ s () (b) Figu 1: () En ldet ing med dius. (b) En ldet disk med dius og flteldningstetthet ρ s. e) Vi beholde disken f b)-d). I tillegg sette i en disk med flteldningstetthet ρ s pllelt med den føste, men sentet i x = y = 0 og = d, se fig. 2(). De to diskene h smme dius. Finn det elektiske feltet på -ksen fo > 0. f) T ekk de to diskene, og plssé i stedet en sylinde med -ksen som kse, og de to endefltene i = 0 og = d, se fig. 2(b). ylindeen h dius og en unifom poliseingstetthet P = P ẑ. Fokl hodn du kn buke esulttet i e) til å finne det elektiske feltet på -ksen fo > 0. ρ s = 0 = d P ρ s () (b) Figu 2: () To diske med hh. flteldningstetthet ρ s og ρ s. (b) En sylinde med unifom poliseingstetthet P.

3 ide 3 8 Oppge 2 Det fotelles t en bonde stjl elektisitet ed å plssee en sto spole unde kftlinj som gikk oe eiendommen. Hn fikk på denne måten gtis støm til husene på gåden. Ette en stund ble tyeiet oppdget, og bonden ble dømt på toss t hn ikke hdde instllet noe utsty i fysisk kontkt med kftlinjene. I løpet denne oppgen udees det hoidt denne histoien kn æe snn. ) Foklt kot pinsippene som ngielig må h blitt utnyttet bonden. H hete de elente elektomgnetiske loene som beskie dette? ˆφ I h h Figu 3: En enkel høyspentkbel og en kdtisk spole med sideknt. b) Vi se kun på én kftlinje, se fig. 3, ds. i neglisjee bidget f etustømmen (som gå i to nde ledee). Kftlinje-ledeen kn nts sylindisk, ett og uendelig lng. Ledeen føe stømmen I, som også kn nts sylindesymmetisk fodelt. Finn den mgnetiske flukstettheten B oelt utenfo ledeen. Ant luft med pemittiitet ɛ 0 og pemebilitet µ 0 oelt undt ledeen. c) Ant t bondens spole h N iklinge, lle med tilnæmet smme kdtiske fom og sideknt. Desom spolen skl stå på bkken, fokl hofo bonden bø plssee og oientee spolen som ist i fig. 3 fo å få støst mulig induset spenning. I esten oppgen nt i t spolen e plsset slik. d) Kftlinjen befinne seg en høyde h oe bkken og føe en ekselstøm med mplitude I 0 og fekens f. polen e koblet til et oltmete med uendelig esistns. Finn den gjensidige induktnsen mellom kftlinjen og bondens spole. Finn også mplituden til den indusete emf en i spolen. Vis t spolen må h c iklinge fo å få induset en emf med mplitude 2 230V = 325V. He nt i tllediene = 5m, h = 10m, I 0 = 1000A og f = 50H.

4 ide 4 8 e) polen kobles nå til en lyspæe som buke effekten P = 100W nå den kobles til en ideell 230V ekselspenningskilde. Lyspæen utgjø ltså en lst med esistns R = V 2 /P = 529Ω. Fo t tpet i sele spolen ikke skl bli fo stot, bø defo esistnsen i spoletåden også æe mksimlt lik R. Regn ut h tesnittselet til spoletåden minst må æe fo å få til dette. poletåden lges kobbe, med konduktiitet σ = Du kn nt Ωm t stømmen e jent fodelt oe tesnittet til ledeen. Desom denne typen spoletåd koste 3 k/mete, og 1kWh (kilowtt-time) koste 1 k desom den kjøpes på lolig is, ho mnge å må bonden buke nodningen fø det begynne å lønne seg? Ant t effekten som leees til lyspæen e 50W. f) Vi h i denne oppgen neglisjet etustømmen i kftlinjen (de to nde ledene), og dessuten selinduktnsen til bondens spole. His i hdde ttt disse spektene med i nlysen, fokl kot hofo effekten oeføt til bonden be bli end minde. Oppge 3 Til het spøsmålene som e stilt nedenfo, e det foeslått 4 s. Oppgi hilket s du mene e best dekkende fo het spøsmål. ene, som ikke skl begunnes, gis i skjemet på siste side. Denne siden ies f og leees inn som del beselsen. Det gis 3 poeng fo het iktig s, 1 poeng fo het glt s og 0 poeng fo ubest. Helgdeing (me enn ett kyss) gi 0 poeng. ) H bety B = 0? i) At B ikke kn øke elle minke. ii) At B-feltlinjene bite seg sel i hlen. iii) At B-feltlinjene ikke sikulee. i) Alle ltentiene oenfo. b) Mgne Tond mene bestemt t den mgnetiske flukstettheten B f en kbel e gitt B = µ 0 2π ˆφ, (2) i et sylindisk koodintsystem. Hodn kn du æe sikke på t Mgne Tond t feil? i) Uttykket tilfedsstille ikke B = 0. ii) Uttykket tilfedsstille ikke gensebetingelsene i =. iii) Uttykket h gl dimensjon. i) Alle ltentiene oenfo.

5 ide 5 8 c) Loentpotensilet V i kuum kn skies V (, t) = 1 ρ(, t R/c 0 )d, (3) 4πɛ 0 R de c 0 = 1/ ɛ 0 µ 0. Denne ligningen implisee t i) desom en ldning begynne å flytte på seg ed tiden t = 0, il ikke potensilet ed obsesjonspunktet påikes fø ette en tid R/c 0, de R e stnden mellom ldningen og obsesjonspunktet ed t = 0. ii) 2 V ɛ 0 µ 0 2 V t 2 = ρ ɛ 0. iii) desom i h elektosttiske fohold, så e V = i) lle ltentiene oenfo e koekte. ρd 4πɛ 0 R. d) I en uendelig lng sylinde med dius e det et hull med dius /4, se fig. 4. ylindeen h en jent fodelt ldning med omldningstetthet ρ, botsettf i hullet de omldningstettheten e null. H e det elektiske feltet i punktet P, ds. på ksen til sylindeen? ρ P /2 /2 Figu 4: Ldet sylinde med hull. i) ρ 4ɛ 0 ettet mot enste. ii) ρ 4ɛ 0 ettet mot høye. iii) ρ 8ɛ 0 ettet mot høye. i) ingen ltentiene oenfo e koekte. e) Hilke to Mxwells ligninge kn i kombinee og demed få t J = ρ t? i) Guss lo og Ampee Mxwells lo. ii) Ampee Mxwells lo og Fdys lo. iii) Fdys lo og Guss lo. i) Gus lo og Roms og Bumunds lo.

6 ide 6 8 Fomle i elektomgnetisme: ef F = Qq 4πɛR ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4πɛR, E = V, D d = Q fi i, D = ρ, D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ e E, D = ɛe, ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ), C = Q/V, C = ɛ/d, W e = 1 2 CV 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = σe, P J = J Ed, db = µ 0 Idl ˆR 4π R 2, df = Idl B, F = Q(E + B), T = m B, m = I, H = B M, M = χ m H, B = µh, µ = µ 0 (1 + χ m ), µ 0 B = 0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, C L 12 = Φ 12 I 1 = L 21 = Φ 21 I 2, L = Φ I, W m = 1 2 n I k Φ k = 1 2 k=1 n j=1 k=1 n L jk I j I k, F = ( W m ) uten kilde elle tp, F = +( W m ) I=konst, J + ρ t = 0. Mxwells likninge: E = B t, C E dl = H dl = H = J + D t, C D = ρ, D d = Q fi i, B = 0, B d = 0. B t d, ( J + D t e = dφ dt, ) d, Potensile i elektodynmikken: B = A, E = V A t, 2 V ɛµ 2 V t 2 = ρ ɛ, 2 A ɛµ 2 A t 2 = µj, V (, t) = 1 ρ(, t R/c)d, A(, t) = µ J(, t R/c)d. 4πɛ R 4π R Gensebetingelse: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = ρ sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstnte: µ 0 = 4π 10 7 H/m ɛ 0 = 1/(µ 0 c 2 0) F/m Lyshstighet i kuum: c 0 = 1/ µ 0 ɛ 0 = m/s m/s Lyshstighet i et medium: c = 1/ µɛ Elementældningen: e = C Elektonets hilemsse: m e = kg tndd tyngdekselesjon: g = m/s 2 Gitsjonskonstnt: γ = N m 2 /kg 2.

7 ide 7 8 Diffeensielle ektoidentitete: ˆx V = V (x ilkålig kse) x (V + W ) = V + W (V W ) = V W + W V f(v ) = f (V ) V (A B) = (A )B + (B )A + A ( B) + B ( A) (A + B) = A + B (V A) = V A + A V (A B) = B A A B (A + B) = A + B (V A) = ( V ) A + V A ( A) = 0 ( V ) = 2 V ( V ) = 0 ( A) = ( A) 2 A ylindisk koodintsystem: V = V ˆ + 1 V φ ˆφ + V ẑ A = 1 A = ˆ + ˆφ (A ) ( 1 A ( A A 2 V = A φ φ + A φ A ) φ ) + ẑ ( (Aφ ) A ) φ ( V ) V 2 φ V 2 fæisk koodintsystem: V = V ˆ + 1 V θ ˆθ + 1 V sin θ φ ˆφ Integlidentitete: V d = V d Ad = A d (Diegensteoemet) Ad = d A A d = A dl (tokes teoem) Ktesisk koodintsystem: C V = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ A = A x x + A y y + A ( A A = ˆx + ŷ ( Ax y A ) y ) + ẑ A x ( Ay x A ) x y A = 1 ( 2 A ) (sin θa θ ) sin θ θ + 1 A φ sin θ φ A = ˆ ( (sin θaφ ) A ) θ sin θ θ φ + ˆθ ( 1 A sin θ φ (A ) φ) + ˆφ ( (Aθ ) A ) θ 2 V = ( 1 2 sin θ 2 V ) θ 1 2 V 2 sin 2 θ φ 2 ( sin θ V θ ) 2 V = 2 V x V y V 2 2 A = ( 2 A x )ˆx + ( 2 A y )ŷ + ( 2 A )ẑ

8 ide 8 8 EMNE TFE4120 ELEKTROMAGNETIME TUDENTNR.:... kupong Mek med kyss i de ktuelle utene. Kun ett kyss fo het spøsmål. pøsmål Alt. i) Alt. ii) Alt. iii) Alt. i) ) b) c) d) e)