FINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL

Transkript

1 FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Vi utdyper det som står helt i slutte av Appediks I i læreboke etter Example 7. Ata at vi vil fie alle -te røttee til et gitt komplekst tall z, for et positivt heltall. Dette betyr, med adre ord, at vi vil fie alle komplekse tall w som oppfyller ligige 1 w = z Vi skriver både w og z på polarform: w = w cos φ + i si φ = w e iφ og z = z cos + i si = z e i Her mier vi om at siste likhet i begge lijee, emlig likhetee cos φ + i si φ = e iφ og cos + i si = e i ka tas som e defiisjo og e mer kortfattet måte å skrive uttrykkee på. Disse er såvidt evt rett etter Teorem 1 i App. I. Ma treger ikke å bruke dee otasjoe. Ved å sette i og i ligige 1 og bruke at: w cos φ + i si φ = w cosφ + i siφ se regele for multiplikasjo av komplekse tall The modulus ad argumet of a product i App. I, får vi w = z w cosφ + i siφ = z cos + i si Så bruker vi at to komplekse tall er like hvis og bare hvis modulusee er like og argumetee er like opptil å addere multipler av π. Da får vi at: med adre ord: w = z og φ = + k π, k Z, w = z og φ = + k π, k Z, som gir oss løsigee år vi setter i i : w = [ z cos + k π + i si + k π ] = z e i +k π, k Z. 1

2 SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Vi ser at alle disse løsigee har modulus z, dvs. de ligger alle på sirkele med setrum i origo og radius z i det komplekse pla. Side to argumeter med differase et multippel av π gir oss samme komplekse tall, ser vi at vi får f.eks. samme løsig for k = 0 og k =, og samme for k = 1 og k = 1, osv. Dette betyr at vi ku har forskjellige løsiger for k = 0,..., 1. Vi markerer dem gjere med e lite ideks k og skriver alle de løsigee på 1 som: 4 w k = [ z cos + k π + i si + k π ], k = 0, 1,,..., 1 eller skrevet på de mer kortfattede forme: 5 w k = z e i +k π, k = 0, 1,,..., 1. Merk at idekserige på w k i læreboke er forskjøvet med 1 i forhold til vår idekserig. Dersom vi plotter i alle disse løsigee i det komplekse pla, ser vi at forskjelle i argumet mellom to ærliggede løsiger er π : w w ' = w &' w * π π π w $ = w &... w &+' De løsigee eller røttee w 0,..., w 1 ka å fås ved å sette i for k = 0,..., 1 og rege ut cosius og sius til alle argumetee. Alterativt, side cos + k π + i si + k π [ = cos + i si ] [ cos k π + i si k π ]

3 FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL igje pga. regele for multiplikasjo av komplekse tall The modulus ad argumet of a product i App. I, eller skrevet med de alterative otasjoe, e i +k π = e i e ik π, så ka vi også berege alle løsigee med utgagspukt i 6 w 0 = z e i = z cos + i si, emlig å bruker vi bare de kortfattede otasjoe: w 1 = w = osv... z e i + π = z e i e i π = w0 e i π z e i + π = z e i + π e i π = w1 e i π Med adre ord har vi geerelt at 7 w k = w k 1 e i π = w0 e ik π, k = 1,..., 1. Eksempel. Fi fjerderøttee til i. Løsig. Vi skal løse ligige w 4 = i for w. Vi setter z = 8+8 i og teger i z i det komplekse pla i adre kvadrat, pga. fortegee til de reelle og de imagiære dele:

4 4 SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN z 8 8 π 16 Vi bereger modulus til z: z = = = 16. Argumetet til z bereges lettest ved å bruke elemetær trigoometri: taπ = 8 8 = = π = π = = π. Dette betyr at vi ka skrive z på polarform som: [ z = 16 cos π + i si I hehold til 5 blir de fire losigee på ligige: ] π = 16e i π. w k = 4 π 16e i 4 +k π 4 = e i π 6 +k π, k = 0, 1,,. Disse ka vi alle rege ut ved å rege ut cosius og sius til de forskjellige argumetee hver gag gjere kombiert med forskjellige regler for cosius og sius av summer

5 FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL 5 og differaser av vikler: w 0 = e i π 6 π π ] [ ] = [cos + i si = i 1 = + i w 1 = e i π 6 + π π = [cos 6 + π π + i si 6 + π ] = 1 + i = 1 + i w = e i π 6 + π π π ] = [cos 6 + π + i si 6 + π = i 1 = i w = e i π 6 + π π = [cos 6 + π π + i si 6 + π ] = 1 i = 1 i. Eller vi ka bruke 7 etter å ha reget ut w 0 og fie w 1, w, w ved å multiplisere hver rot suksessivt med e i π 4 = e i π = cos π π + i si = i. Da får vi: w 1 = w 0 i = + i i = i 1 = 1 + i w = w 1 i = 1 + i i = i = i w = w i = i i = i + 1 = 1 i. Teger vi i w 0,..., w i det komplekse pla, ser vi at de alle ligger symmetrisk fordelt på sirkele av radius om origo og med vikeldifferase π mellom to ærliggede røtter:

6 6 SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN w * w # = + i w + w, Departmet of Mathematics, Uiversity of Berge, Postboks 7800, 500 Berge, Norway