Spinntur 2018 ROTASJONSBEVEGLSE

Transkript

1 Spnntur 2018 ROTASJONSBEVEGLSE August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets endrng bevegelsesmengde p = mv over td. Dette kan skrves F = dp. Dersom v lar r være possjonen tl legemets massesenter kan v, helt umotvert, dermed også skrve Sden produktregelen for dervasjon gr og dr = v er parallell med p følger det at Med andre ord kan v skrve r F = r dp. d dr (r p) = p + r dp d dp (r p) = r. r F = d (r p). I stuasjoner der r F = 0 vl vektorstørrelsen r p altså kke endre seg over td den er bevart! Sden slke størrelser har en tendens tl å være veldg nyttge bør v kalle denne størrelsen for noe. Det er her vanlg å bruke begrepet angulærmoment og symbolet L = r p. Den vektoren som er null når angulærmomentet er bevart refereres tl som kraftmoment eller dreemoment og gs ofte symbolet τ = r F. Legg merke tl at sden begge størrelsene avhenger av possjonen r vl de typsk endre seg, og L kanskje kke lenger være bevart, dersom man ønsker å bytte referansesystem (g Orgo en ny plasserng). Legg også merke tl at dersom du har et system av N punktmasser {m } N med possjoner {r } N kan alle lknngene legges sammen slk at r F = d (r p ) = d L. der F er summen av kreftene som vrker på punktmassen m. Dette betyr at det gr menng å summére både angulærmoment og kraftmoment. Det betyr også at det totale angulærmomentet L = L er bevart dersom det totale kraftmomentet τ = τ er null. 1

2 II. Tolknng Hver gang du snubler over en bevart størrelse et fyssk system bør du stoppe og tenke over hva du har funnet. Bevarte størrelser tlbyr som regel både dyp nnskt det fysske systemet og nye, mer effektve måter å foruts systemets adferd på. La oss derfor forsøke å tolke vektorstørrelsen L = r p. Angulærmomentets retnng står vnkelrett på legemets bevegelsesretnng p og retnngen fra Orgo tl legemets massesenter r. Det betyr at dersom legemet beveger seg rett bort fra, eller rett mot, Orgo må angulærmomentet være null uavhengg av avstanden r = r tl Orgo og farten v = p /m. Vdere kan v se at for en gtt fart v og avstand r fra Orgo vl L = L være størst dersom hastgheten står vnkelrett på possjonen r. Hvs dette skjer ved alle tdspunkter t betyr det at legemet går srkelbane run Orgo. Det vrker altså rmelg å tolke angulærmomentet som en tallfestng av legemets rotasjon run Orgo. Legg mdlertd merke tl at legemer som beveger seg en rett lnje som kke går gjennom Orgo vl ha et angulærmoment ulk null. At v kan tolke L som legemets rotasjon run Orgo ntroduserer et mulg problem: Hva skal v gjøre med legemer som roterer om seg selv? Hvs v velger Orgo legemets massesenter vl r = 0 og dermed også L = 0. Det kan altså vrke som om formalsmen forsøker å lure oss tl å tro at objekter kke kan rotere om seg selv. For å løse dette problemet, som egentlg kke er et problem det hele tatt, må v ta nn over oss hva den Newtonske teknologen egentlg dreer seg om. Det mrakuløse med Newtons lover er at de lar oss behandle utstrakte legemer som punktpartkler. For å studere hastgheten en satelltt med masse m må ha for å bevege seg srkelbane med radus r run jordens massesenter trenger v kke ta stllng tl satellttens form. V trenger heller kke ta stllng tl at forskjellge punkter på satelltten kan komme tl å ha ulk hastghet. Ifølge Newton kan v lke go tenke på satelltten som en punktpartkkel med possjon r og masse m, der r er satellttens massesenter. Deretter kan v benytte Newtons lov for tyngekraft på denne punktpartkkelen for å bestemme bevegelseslknngen tl satelltten. All nformasjon om legemets utstreknng er altså absorbert parameterene m = ρ(r)dv og r = 1 rρ(r)dv, m der ρ er massetettheten tl satelltten r. Sden en punktpartkkel kke kan rotere om seg selv er det dermed kke rart at L = 0 når r = 0 1. Problemet oppstår når v ønsker å studere et utstrakt legemes rotasjon om seg selv. Da er v nø tl å ta legemets form og massefordelng med betraktnngen. Hvs v har flaks kan v mdlertd fnne nok en parameter som absorberer all nformasjonen v trenger slk at v etter å ha funnet denne kan gå tlbake tl å tenke på legemet som en punktpartkkel. 1 Den strenge leser vl fnne at dette utsagnet er kke helt rktg. I kvantemekankken, for eksempel, åpner man for at partkler har angulermoment-lknende egenskaper selv om v tenker på dem som punktpartkler. 2

3 III. Rotasjon om seg selv La oss begynne med å studere en samlng av N punktpartkler med masser {m } og possjoner {r }, der Orgo er satt tl punktpartklenes massesenter 0 = R = N N m m r. Som sett tdlgere gr det menng å addere angulærmoment for å fnne det totale angulærmomentet L = r p. La oss nå anta at samlngen av punktpartkler roterer som et fast legeme med vnkelhastghet ω om z-aksen. Det betyr at farten v tl punktpartkkel må tlfredsstlle v = s ω der s = r 2 r 2 z er avstanden tl z-aksen. V begynner med å skrve r p = r p sn(α ) der α er vnkelen utspent av r og p. Det betyr at L = r p sn(α )n. der n er enhetsvektoren som peker retnngen tl r p. Sden hver punktpartkkel går srkelbane run z-aksen vl r og p stå vnkelrett på hverandre. Det betyr at sn(α ) = 1 for alle. V kan altså skrve L = r p n = r m v n = r m s ωn. L ser ut tl bl et stygt uttrykk dette lover kke go! V vl mdlertd forvente at L z, L sn z-komponent, vl ta en mer overkommelg form. Sden v bare er nteressert å kvantfsere rotasjonen om z-aksen er det uansett rmelg bare å se på denne. Da må v fnne z-komponenten tl enhetsvektorene n, som tlfredsstller n,z = n e z = cos φ der φ er vnkelen utspent av n,z og e z. Ved nærmere ettertanke vl du kunne overbevse deg selv om at r cos φ = s. Det betyr at angulærmomentets z-komponent er gtt ved L z = ω m s 2. Dette er tegn på at tng går rktg ve. V kan nå absorbere nformasjonen om legemets utstreknng nn størrelsen I z = m s 2 3

4 som herved refereres tl som treghetsmoment. Legg mdlertd merke tl at tregehetsmomentet tl et utstrakt legeme avhenger av rotasjonsaksen. For å absorbere all nformasjonen v trenger vl v prnsppet måtte konstruere en matrse denne matrsens egenvektorer vl defnere de stable rotasjonsaksene mens egenverdene vl g treghetsmomentet assosert med rotasjon om denne aksen. Den nteresserte leser vl fnne en dskusjon av dette mot slutten denne teksten. I en fullstendg analyse må v undersøke de tre komponentene tl det totale kraftmomentet τ for å se om angulærmomentet er bevart. Dersom s er avstandsvektoren fra punktpartkkel tl rotasjonsaksen kan v, under antagelsen om at punktene som utgjør legmet har fast avstand fra hverandre, bruke uttrykket for sentrpetalkraft: Det totale kraftmomentet kan altså skrves τ = F = ω2 m s. ω 2 m r s. Ved å overbevse deg om at r = r z e z s vl du kunne oppdage at τ alltd er null z-retnng. Verden av de andre komponentene tl τ vl generelt sett avhenge av legemets form. Sden v bare fant angulærmomentet langs rotasjonsaksen bør v mldertd være fornøyd med at denne størrelsen er alltd er bevart. Realstske legemer med utstreknng bør behandles som kontnuerlge og kke som en samlng av punktpartkler. I stedet for å dele opp den totale massen punktmasser m kan v dele legemets masse N små bter m = m/n. I grensen der dsse btene blr uendelg mange, og uendelg små, kan v gjenkjenne Remannntegralet 1 I = lm N N m s 2 = s 2 dm. Treghetsmomentet assosert med den bevarte komponeneten av angulærmomentet tar altså formen I z = s 2 (r)ρdv der s er avstanden fra punktet r tl rotasjonsaksen og ρ er massetettheten r. IV. Treghetsmoment V kan, analog tl masse, tenke på treghetsmomentet tl et legeme som et mål på hvor vanskelg er det å få legemet tl å rotere om en bestemt akse. At dette gr menng kan v overbevse oss om ved å studere en tynn, lang stokk. Dersom stokken roteres om en akse som går gjennom massesenteret og står normalt på stokken vl det kreve mye kraft å gangsette rotasjonen. Punktene på stokken som er langt fra aksen må få en stor bevegelsesmengde for å henge med på rotasjonen, og for å oppnå stor bevegelsesmengde må man ha stor kraft. Dersom rotasjonsaksen lgger langs stokken vl det være mye lettere å få stokken tl å rotere. Dette ford v kke trenger å produsere lke mye bevegelsesmengde for å oppnå samme rotasjonshastghet. Det er nøyaktg denne effekten kunstløpere utnytter når de trekker armene løpet av en pruett de gjør treghetsmomentet stt mndre. Sden angulærmomentet L z = ωi z er bevart betyr det at rotasjonshastgheten ω må bl større. 4

5 Det er en sste tng v kke kan la forbl usagt denne teksten. Hva skjer dersom rotasjonsaksen flyttes? Dersom et legemes rotasjon run en spesfkk akse har treghetsmoment I 0, hva er treghetsmomentet I dersom aksen forskyves en avstand r 0? V kan da skrve I = (s r 0 ) 2 dm = s 2 dm 2r 0 sdm + r 2 0dm = I 0 2r 0 mr + mr 2 0 der R er massesenterets projeksjon på xy-planet. Det betyr at hvs den opprnnelge rotasjonsaksen gkk gjennom massesenteret tl legemet, så må R = 0 og dermed I = I CM + mr 2 0 der I CM er treghetsmomentet for rotasjon run legemets massesenter. Dette resultatet er så nyttg at det er gtt et eget navn: Parallell-akse-teoremet. Legg merke tl at sden mr 2 0 aldr kan bl negatvt kan treghetsmomentet aldr bl mndre enn når rotasjonsaksen går gjennom legemets massesenter. Det er ofte komplsert å beregne treghetsmomentet tl et legeme. For de utålmodge ekssterer det av den grunn lster over treghetsmomentet tl ulke legemers rotasjon om seg selv. Utrustet med parallell-akse-maskneret kan du da fnne treghetsmomentet for rotasjon om enhver akse. V. Energ Rotasjonsbevegelse Dersom v behandler et roterende legeme som utstrakt er det klart at det må ha en assosert knetsk energ. Punktpartklene som utgjør legemet har tross alt en bevegelsesmengde. Vårt mål er mdlertd å absorbere nformasjonen om legemets utstreknng et lte knppe tall, slk at v kan gå tlbake tl å behandle legemet som om det var en punktpartkkel. La oss derfor gjenta gymnastkken ved å beregne den knetske energen et fast legeme som roterer med vnkelhastghet ω om z-aksen. Sden den knetske energen tl partkkel er gtt ved K = 1 2 m v v må den totale knetske energen K tl legemet være gtt av K = 1 2 m v 2. Sden legemet roterer om z-aksen har v, som tdlgere, at v = s ω der s er avstanden tl z-aksen. Det betyr at den totale knetske energen er gtt av ( ) K = 1 m s 2 ω 2 = I zω 2. Treghetsmomentet I z og vnkelhastgheten ω spller altså rollen som massen og hastgheten tl legemet. La oss nå se for oss to kuler med lk radus R og masse M, men med ulkt treghetsmoment I 1 og I 2. Dersom dsse trlles oppover et skråplan med samme massesenterhastghet v kommer de altså kke lke langt opp på skråplanet. Mens begge har en knetsk energ 1 2 Mv2 assosert med forflytnngen av massesenteret, vl de tllegg ha en rotasjonell energ 1 2 I(v/R)2 som er ulk. Hvor høyt opp en trllende kule kommer fnner v fra energbevarng. Sden det koster en energ mg per høydeenhet kan kke kulen trlle høyere enn h maks = v2 2g ( ) I MR

6 Kanskje mer relevant er det å tenke over hva som skjer dersom de to kulene begynner ro toppen av bakken. Sden den kulen med størst treghetsmoment må bruke mer av energen den får fra å bevege seg nedover tyngdefeltet på å øke rotasjonshastgheten, vl den også bruke lengre td på å trlle nedover. Lknngen over er faktsk en god motvasjon for hvorfor raske sykler bør ha tynne dekk. Sden v er ferd med å spore av sparer v mdertd denne dskusjonen tl oppgavene. VI. Stable Akser og Annet Tullball (Ikke pensum) Da v fant uttrykket for treghetsmomentet gjorde v unødvendg mange antagelser. Det totale angulærmomentet tl en fast legeme bestående av punktpartkler med masser {m }, possjoner {r } og hastgheter {v } er gtt av L = m r v. For srkelbevegelse med konstant vnkelhastghet ω og radus s kan v skrve hastgheten v = ωs. La oss nå opphøye ω tl en vektorstørrelse ω med ω = ω slk at den peker langs rotasjonsaksen retnngen s v, der s er vektoren med lengde s og retnng fra rotasjonsaksen tl partkkelen. V kan da skrve v = ω s. Hvs rotasjonsaksen går gjennom Orgo kan man faktsk alltd skrve v = ω r der r nå er possjonen tl partkkelen som roterer følge ω. For rotasjon run sn egen akse kan v altså skrve L = m r (r ω) dersom v med r mener partkkelens possjon sett fra massesenteret. Her er det mange måter å gå frem på, men la oss holde oss tl noe som kanskje er kjent. Hvs v tenker på en vektor som en matrse med bare én kolonne kan v skrve skalarproduktet a b som a T b, der a T betyr at v omgjør vektoren tl en matrse med bare én rad. Ved å benytte uttrykket a (b c) = ba T c (a T b)c for trple kryssprodukt kan v uttrykke det totale angulærmomentet ved [ ] L = m (r r T r T r ) som betyr at v har funnet et generelt uttrykk for treghetsmomentet ω Î = m (r r T r T r ), nå som en matrse som vrker på vektoren ω. Se nå for deg et fast legeme som roterer med vnkelhastghet ω = ωe z og anta at det det totale kraftmomentet τ som vrker på legemet er null. V vet allerede at L z, z-komponenten tl angulærmomentet, må være bevart. Nå vet v også at dersom ω er en egenvektor tl Î med egenverd I så må L = Iω. I fravær av et totalt kraftmoment τ vl da hele angulærmomentvektoren L være bevart. Dette er selvfølgelg under antagelsen at du er stand tl å gangsette rotasjonen nøyaktg retnngen ω. La oss gjøre en sste tng før v gr oss nemlg demonstrere den såkalte tennsracket effekten. For å gjøre dette må v bytte tl et referansesystem som roterer med legemet. For kke å bruke for mye td tar v det for gtt at dl uttrykt referansesystemet som roterer med vnkelhastghet ω er gtt av ( ) dl + ω L = τ rot 6

7 der det første leddet er tdsendrngen tl angulærmomentet det roterende referansesystemet, det andre uttrykker byttet av referansesystem og τ er det totale kraftmomentet 2. Sden treghetsmomentmatrsen Î er antsymmetrsk, som betyr at ÎT = Î, kan v bruke et resultat fra lnjær algebra: Egenvektorene tl en ant-symmetrsk matrse er orthogonale 3. I vsshet om at dette er sant kan v velge x, y og z-aksen tl å peke langs egenvektorene tl Î. I fravær av kraftmoment får v da, ved å skrve lknngen over på komponentform, I x dω x I y dω y I z dω z = (I y I z )ω y ω z = (I z I x )ω z ω y = (I x I y )ω y ω x, der v har brukt at L = Îω og I x, I y og I z er egenverdene tl henholdsvs e x, e y og e z. Dsse lknngene er så vktge at de er gtt et navn Eulerlknngene for faste legemer. Hvs de tre treghetsmomentene er ulke, la oss s I x < I y < I z, oppstår det da en pussg effekt. Se for deg at du roterer legemet retnngen e y. Du klarer mdertd aldr å treffe helt presst, så la oss s at ω x får også en ørlten verd. Kort td senere v da ω z få en lten negatv verd. Det leder tl at ω x øker mer, som gjen leder tl at ω z avtar mer. Resultatet er en ustabl rotasjon run y-aksen. V har altså oppdaget noe som alltd gjelder for legemer med tre ulke treghetsmoment rotasjon om den aksen med mellomstort trehetsmoment er alltd ustabl! Denne effekten kalles tennsracket effekten. Du har mulgens forsøkt å kaste moblen dn luften mens den roterer. Du vl da ha erfart at rotasjonsaksen defnert av moblens bredde er ustabl. Det er nå frstende å snakke om hva som skjer når legemer roterer ekstremt fort eller når ekstremt små legemer roterer, men dette er overraskelser som får vente tl kurs relatvtetsteor og kvantefyskk. 2 Igjen kan den krtske leser overbevse seg om at dette stemmer ved å skrve L = L e. Sden e roterer må både L og e derveres. Fra produktregelen og d e = ω e når man da det ønskede uttrykket. 3 Den skeptske leser kan overbevse seg om at dette er sant ved å anta at A er en antsymmetrsk matrse (A T = A) og bruke spektralteoremet (A = PDP 1 ) tl å overbevse seg om at man må ha P 1 = P T og at dette betyr at egenvektorene må være orthogonale. 7

8 Formler L = r p (Punktpartkkel) For å llustrere analogen mellom translasjons- og rotasjonsbevegelse er ulke størrelser lstet opp parvs: x (Possjon) v = dx (Fart) a = d2 x 2 (Akselerasjon) m (masse) F (Kraft) F tot = ma = dp E K = 1 2 mv2 (Newton II) (Knetsk energ) p = mv (Bevegelsesmengde) θ (Vnkel) ω = dθ (Vnkelfart) α = d2 θ 2 (Vnkelakselerasjon) I = s 2 dm (Treghetsmoment) τ = rf τ tot = Iα = dτ E K = 1 2 Iω2 (Kraftmoment) (Newton II) (Knetsk energ) L = Iω (Angulærmoment) 8

9 Oppgaver (1) Sykkelhjul V studerer en sykkel med masse m s som har hjul med radus r. A) Anta at hjulene på sykkelen kke har masse. La nå en syklst med masse m trlle (uten å trå på pedalene) ned et skråplan med helnngsvnkel θ. Hva er farten tl syklsten, dersom den begynner ro, etter den har trllet en lengde L langs skråplanet? B) Hvor lang td bruker syklsten på å trlle en lengde L? Hvordan vlle uttrykket endret seg dersom v endret sykkelens masse m s? C) Kan du se et praktsk problem med hstoren over (utover det å lage masseløse hjul)? [HINT: Hvorfor pleer kke sykler å velte når du sykler på dem?] D) Anta nå at dekkene er den eneste delen av sykkelen som har vekt og at dekkene er uendelg tynne. Fnn et uttrykk for treghetsmomentet tl hjulene for aksen de roterer run. E) Gjenta oppgave A), B) og C), men nå ved å ta med hjulenes rotasjon beregnngen. Blr farten større eller mndre? F) Ekvvalensprnsppet konstaterer at tng med ulk masse faller lke fort under påvrknng av tyngdekraft. Stemmer beregnngene dne overens med ekvvalensprnsppet? (2) Hvordan endre døgnets varghet V skal denne oppgaven studere alternatve måter å endre døgnets varghet på. Du trenger da å vte at jordkloden har masse M e = kg og radus R = 6.371km. V skal anta at jorden er en perfekt kule med konstant massetetthet. A) Vs at treghetsmomentet tl en kule med konstant massetetthet som roterer om stt eget massesenter I = 2 5 MR2. B) Se nå for deg at v skjærer av kuleskall med radus δr fra jordkloden og fordeler massen to lke tårn som v plasserer på nord- og sydpolen. Fnn et uttrykk for treghetsmomentet jorden da vlle hatt. Hvorfor kan du anta at tårnene kke har nnvrknng på treghetsmomentet. [HINT: Fnn først massen et slkt kuleskall har og bruk formelen fra A)] C) Hvor tykt må kuleskallet v skjærer bort være fort at ett døgn skal vare halvparten så lenge som det gjør nå? D) Burj Khalfa Duba er med sn meters høyde verdens høyeste bygnng. Byggets masse er omlag 500 tusen tonn. Anta at Burj Khalfa er en uendelg tynn stokk. Hvor mye endret døgnets varghet seg da Burj Khalfa stod ferdg bygget? Anta at Duba lgger på ekvator. E) Når månen går bane run jorden drar den med seg vann på jorden og skaper fenomenet tdevann. Dette skaper frksjonskrefter mellom vannet og jordoverflaten som fører tl at jorden mster omlag joule per sekund. Anta at all denne energen tas fra energen jordens rotasjon om seg selv. Hvor mye endrer døgnets lengde seg per sekund på grunn av dette? 9

10 F) Med utgangspunkt oppgave E), anslå hvor lenge døgnet varte da dnosaurene døde ut for 65 mlloner år sden. G) Månen mster også ltt energ på dette, omlag joule per sekund. Bruk dette tl å anslå hvor mye tregere månens omløpstd run jorden blr per århundre. Månens masse er omlag kg. H) Det er mange flere løvfellende trær på den norlge halvkule enn det er på den sydlge. Bruk dette tl å avgjøre om døgnet varer lengst løpet av den australske sommeren eller den norske. (3) Solsystemet A) Vs at dersom den eneste kraften som vrker mellom to punktpartkler er tyngdekraften, er angulærmomentet for rotasjon om massesenteret bevart. B) Bruk det du vet om angulærmoment tl å dskutere om det er sannsynlg at en asterode som oppdages nærheten av jorden kommer tl å treffe jordkloden? (4) Go og blandet A) Du gangsetter en snurrebass med vnkelhastghet nedover. Den begynner gradvs å velte og massesenteret begynner å rotere run den vertkale aksen som går gjennom kontaktpunktet. Hvorfor skjer dette? Hvlken retnng kommer massesenteret tl å rotere? [HINT: kraftmoment er endrng angulærmoment] B) Et objekt har angulærmoment L oppover. Plutselg deler objektet seg to lke store deler som flyr hver sn retnng. Hvor ble det av angulærmomentet? C) En punktpartkkel med masse m beveger seg med konstant hastghet v fra et punkt r 0. Fnn et uttrykk for angulærmomentet tl punktpartkkelen og vs at det er bevart. Hva må tl for at angulærmomentet skal være null? (5) Geometrske Planetbaner A) Se for deg en punktpartkkel med possjon r 0 og konstant hastghet v. Fnn et uttrykk for arealet tl trekanten utspent av r og forflytnngen r = v t partkkelen opplever løpet av en td t. B) Anta at partkkelen har masse m og uttrykk dens angulærmoment run Orgo ved arealet fra oppgave A). C) Overbevs deg om at for tlstrekkelg små tdssteg t gjelder uttrykket fra B) også dersom partkkelen kke har konstant hastghet v. Keplers andre lov konstaterer at Lnjen som forener en planet og solen sveper ut lke arealer over lke tdsrom. Kan du se en forbndelse tl bevarng av angulærmoment? 10