Stivt legemers dynamikk

Transkript

1 Stvt legeers dynakk 9.4. FYS-EK 9.4.

2 Repetsjon Newtons andre lov for flerpartkkelsysteer: F ext hvor: r R d R (assesenter) dt separasjon: bevegelse tl assesenter bevegelse relatv tl assesenter K V N v c, rotasjonsbevegelse: vnkel (t) vnkelhastghet ( t) d dt vnkelakselerasjon ( t) d dt d dt FYS-EK 9.4.

3 Stvt legee egee hvor den relatve possjonen tl to punkter kke endrer seg. egee kan kke deforeres. Koordnatsyste so følger legeet: et punkt legeet befnner seg alltd på sae sted. Hele legeet kan translateres og roteres. y x Rotasjon av et stvt legee: Rotasjon er beskrevet av aksen og punkt O. ller punkter legeet roterer ed sae Hastgheten tl et punkt r er: v r FYS-EK 9.4.

4 Rotasjon av et stvt legee: Hastgheten tl et punkt r uˆ zkˆ r er: x y v r û ˆ kˆ hvor og er den radale enhetsvektoren ed u v r kˆ ( uˆ zkˆ ) kˆ uˆ zkˆ kˆ û hvor û er den tangensale enhetsvektoren dv d dr a r r v dt dt dt r ( r) tangensal + sentrpetalakselerasjon FYS-EK

5 FYS-EK Rotasjon av et stvt legee: r v knetsk energ tl et punkt: v K hastghet tl et punkt : ) (sn r r v v K K knetsk energ tl hele legeet: defnsjon: z treghetsoent for legeet o aksen z (so går gjenno punktet O) z K jo større treghetsoentet, jo er energ behøves for å få legeet å rotere

6 FYS-EK Eksepel v antar at assene er punktforg og forbndelsen asseløs N z a a z z ) ( ) ( a a a

7 Rotasjon av et stvt legee: kontnuerlg legee ed assetetthet (r) so roterer ed vnkelhastghet o aksen et volueleent dv har asse d ( r ) dv kˆ d og avstand fra rotasjonsaksen knetsk energ tl volueleentet: dk v d d ( r) dv knetsk energ tl hele legeet: K ( r) dv V V (r) dv z V d ( r) dv z K z FYS-EK

8 egeene er hoogene og har sae asse og ytre densjoner. Hvlket legee har nst treghetsoent o den vste aksen? R R. Sylnderen. Sylnderskallet den totale assen er den sae: d en avstanden av assepunktene fra rotasjonsaksen er gjennosnttlg større for sylnderskallet: z d FYS-EK

9 Fre T-er er laget at to dentske staver ed sae asse og lengde. Ranger treghetsoentene a tl d for rotasjon o den stplede lnjen.. c > b > d > a. c = d > a = b. a = b > c = d 4. a > d > b > c 5. a > b > d > c FYS-EK

10 hoogen sylnder sylnderkoordnater: x cos y sn z x y dv d d dz asse: R dv R dd dz R d R V Treghetsoent: R z dv R d d dz R d 4 R 4 R R VR R FYS-EK 9.4.

11 hoogen sylnderskall real: Volu: asse: R R V ( R R ) ( R R ) Treghetsoent: R z dv R R R d 4 4 ( R R 4 ) ( R R )( R R ) ( R R ) full sylnder: z R tynn sylnderskall: R R z R FYS-EK 9.4.

12 Parallellakseteoreet (Steners sats) assesenteret lgger punkt C treghetsoent o z akse gjenno C er C C ( ) d C hva er treghetsoent o en parallell akse gjenno? s C ( ) d ( s) ( s s ) d C C C ( ) d s C d d s C d C s Parallellakseteoreet s C d C sden punkt C er assesenteret FYS-EK 9.4.

13 Hvor stort er treghetsoentet o saenlknet ed treghetoentet o B? c B. > B. = B. < B bruk av parallellakseteoreet: c ( d, c) B c ( db, c) d, c db, c B FYS-EK 9.4.

14 Eksepel treghetsoentet tl en tynn lang stav so roterer o en akse gjenno assesenteret: c (regn ut so øvelse) hva er treghetsoent hvs staven roterer o en akse gjenno en endepunkt? Parallellakseteoreet: c s 4 FYS-EK

15 Superpossjonsprnsppet Hva er treghetsoent for et legee so består av to deler? N a k N k a, a, B B a, a c, B s a, B 4 b c 7 d a > d > b > c FYS-EK

16 En stav er festet et frksjonsfrtt hengsel og slppet fra en horsontal stllng. fnn vnkelhastgheten (v ser bort fra luftotstand) Knetsk energ Den knetske energen tl et stvt legee so roterer ed vnkelhastgheten o en akse z er: K z Potensell energ Den potenselle energen tl et stvt legee tyngdefeltet er: potensell energ knetsk energ kan v bruke energbevarng? la oss se på kreftene: gravtasjon potensell energ ngen frksjon ngen luftotstand noralkraft hengselet U hengselet beveger seg kke noralkraft gjør ngen arbed g y g energ er bevart: K U K U y gy FYS-EK

17 E O gy K U E K U O gy O g sn energbevarng: E E O O g sn g sn treghetsoent: O g sn O g sn g sn FYS-EK