FYS3140 KORT INTRODUKSJON TIL KONTINUERLIGE GRUPPER

Transkript

1 FYS340 KORT INTRODUKSJON TIL KONTINUERLIGE GRUPPER I en konnuerlg gruppe avhenger hver eleen av e se av paraere a, a 2, a r, slk a e vlkårlg eleen ar foren G(a, a 2, a r ) Anall paraere r er gruppens densjon Paraerene er alle reelle all (feks realdel og agnærdel av koplekse all) De varerer konnuerlg over e veldefner oråde De enklese eksepel på en en konnuerlg gruppe er gruppen R 2, hvor e generel eleen er en roasjon en vnkel φ o en fas akse V har da bare en paraeer φ, og eleenene har foren G(φ) De er enkel å se a gruppe-aksoene er oppfyl Lukke: G(φ )G(φ 2 )=G(φ +φ 2 )=G(φ 3 ), enheseleen (dene): G(0), Invers:G(φ) - =G(- φ) R 2 er syergruppen for f eks e hydrogenao e yre hoogen agnefel, hvor agnefele beseer renngen på roasjonsaksen I de generelle lfelle er ulplkasjon av eleener er koplser: G( a, a,, a) Gbb (,,, b ) = G( c, c,, c ), 2 r 2 r 2 r og de nye paraerene er g ved funksjoner cq = fq( a, a2,, ar; b, b2,, br), so å oppfylle speselle krav slk a gruppe-aksoene blr oppfyl En vkg ype konnuerlge grupper er Le-gruppene For a en gruppe skal være en Le-gruppe slles de noen flere krav angående åen gruppeeleenene avhenger av paraerene, dvs noen krav l enydghe og konnue so v kke skal gå nn på her Dsse kravene er oppfyl for R 2, so er den enklese Le-gruppen La oss derfor se l nærere på dee ekseple Enheseleene er g ved G(0), og v beegner dee ed sybole Så lar v δφ represenere en nfnesal roasjonsvnkel, benyer en Tayloruvklng, og har G G( δφ) = G(0) + δφx = + δφ X, X = φ 0, φ = der operaoren X er en vkg sørrelse so kalles generaoren for gruppen V skal nå se a gruppeeleene G(φ) for en endelg vnkel er enydg g ved φ og generaoren X Ana φ=nδφ, der n er e (sor) hel all Da har v n n φ n φ X G( φ) = G( δφ) = ( + δφ X) = ( + X) e når n n Dered har v funne den vkge relasjonen G( φ ) = e φx, so også gjelder for alle grupper ed en paraeer a, nelg ax Ga = e, der X er generaoren for gruppen For R 2 kan generaoren X besees so følger: La ψ(φ) være en vlkårlg funksjon av φ Da har v

2 ψ G( δφ) ψφ = ψφ ( δφ) = ψ( φ) δφ (Tayloruvklng) φ = ψφ δφlzψφ = ( δφlz) ψφ Av relasjonene ovenfor fnner v nå G( δφ) = δφlz, og generaoren er X = Lz for roasjon o z-aksen For roasjon o en vlkårlg akse k fnner v lsvarende Lk Xk = Lk, og Gk( φ) = e φ Under ulednngen av relasjonene ovenfor har v benye a Lz =, og a G(δφ) φ dreer funksjonen ψ(φ) forover (forklar!) Translasjon (oppgave): La δa beegne en nfnesal ranslasjon forover en densjon Vs a v har ap G( δa) = δap, og Ga = e, der p er pulsoperaoren, og a er en endelg ranslasjonslengde Represenasjoner for R 2 Represenasjoner for R 2 fnner v ved hjelp av egenlsandene for L z so har foren Lzψ( φ) = ψ( φ) = ψ( φ) φ Den enkle dfferensallgnngen ovenfor har løsnngen ψ ( φ) = e φ, og forlanger v ψφ = ψφ ( + 2 π) fnner v =0,±, ±2 Vdere fnner v φ0lz φ0 ( φ0) ψ( φ) = ψ( φ) = ψ( φ) = ( φ0) ψ( φ) G e e D V ser dered a egenlsandene for L z er bass for endensjonale og dered kkereduserbare represenasjoner for R 2, og de kan også vses a de kke fnnes andre kkereduserbare represenasjoner enn dsse endensjonale Dered ve v også a e fyssk syse ed R 2 -syer (for eksepel hydrogenao yre hoogen agnefel) kke har degenerere energnvåer V går nå l de generelle lfelle ed r paraere og gruppeeleener G(a,a 2, a r ), og anar a enheseleene er g ved G(0,0, 0)= For e se av nfnesal paraere δa= { δa, δa2,, δar} kan v gjøre en Tayloruvklng so ar foren r G( δa) δax, = + q= q q 2

3 der v har en generaor X for hver paraeer De fnnes nå e vkg eore (uen bevs her!) so ser a e generel gruppeeleen G(a,a 2,,a r ) er enydg g ved hjelp av paraerene og generaorene (slk so lfelle var for R 2 ) De vser seg vdere a generaorene oppfyller en vkg kouerngsregel: r X, X = X X X X = C X, q p q p p q qp = der C qp er de såkale srukurkonsanene Kouerngsregelen ovenfor defnerer en Le-algebra for gruppen For R 2 fnner v av urykke for generaorene for ulke roasjonsakser a X, X = X (su over ) q p ε, dvs a srukurkonsanene er Levqp Cva sybolene ε (se læreboken 28) qp Noen vkge Le-grupper Generelle roasjoner re densjoner gr en vkg Le-gruppe so beegnes R 3,og gjerne kalles den fulle roasjonsgruppen V skal nedenfor se a den har re paraere, de såkale Eulerske vnkler Roasjoner kan også beskrves ved 3 3 orogonale arser ed deernan, dvs ved hjelp av eleenene gruppen SO(3) Generel beegner SO(N) gruppen av orogonale N N arser ed deernan lk SO(4) er faksk syergruppen for hydrogenaoe, og forklarer den speselle degenerasjonen so der fnnes ang l -kvanealle Vdere har v Lorenz- gruppen, so besår av Lorenzransforasjoner og roasjoner Lorenz-gruppen har 6 paraere, re koponener av hasgheen for neralsysee bevegelse, og re vnkler so angr orenerngen av dee sysee forhold l e fas syse Av spesell neresse er de såkale speselle unære gruppene so beegnes SU N eller SU(N) De besår av N N unære arser ed deernan lk Dsse har N 2 - paraere Eleenene den fulle roasjonsgruppen R 3 vser seg å beså av re påfølgende roasjoner o ulke akser Førs roeres en vnkel α o -aksen, dernes roeres en vnkel β o den roere Y -aksen, og l ss en roasjon en vnkel γ o den roere -aksen γ β α Y Y X 3

4 Hele roasjonen kan da skrves R( α, β, γ) = R ( γ) R ( β) R ( α), '' Y' når v lar R beegne de enkele roasjonsoperaorene De re vnklene α,β,γ er de såkale Eulerske vnklene, so beskrver en generell roasjon eller orenerng av e aksekors forhold l e anne ed sae orgo Nå er de l upraksk å operere ed roere akser, og de vser seg faksk a en generell roasjon også kan uføres o fase akser, en osa rekkefølge, dvs v har også R( α, β, γ) = R( α) RY( β) R( γ), og ved hjelp av urykkene for roasjoner o ulke akser fra R 2 har v da l slu: αl βl γl Y R( αβγ,, ) = e e e V ser her også a e vlkårlg eleen R 3 er enydg g ved paraerene α,β,γ og de lhørende generaorene De kke-reduserbare represenasjonene for R 3 vser seg å kunne baseres på egenlsandene for L L, dvs ψ l 2 og Lψ = ll ( + ) ψ og Lψ = ψ 2 ( l ) 2 ( l ) ( l ) ( l ) De kan vdere vses a følgende relasjon gjelder: ( l) l l l ' αβγψ ' ' = l R( αβγψ,, ) = D (,, ), ' = l,, l, = l,, l De kke-reduserbare represenasjonene for R 3 er dered de såkale roasjonsarsene ( l D ) ( αβγ,, ) so har densjon 2l + E nærere sudu gr de forbausende resula a for å få ed alle ulge kke-reduserbare represenasjoner for R 3 å l ana både helallge og halvallge verder, dvs l =0, ½,, 3/2, 2, Dered ndkerer dee ren aeask/eoreske resulae a angulære oener også kan ha halvallge egenverder, dvs spnn Av urykke for raasjonsoperaoren R(α,β,γ) fnner v a represenasjonsarsene har en relav enkel avhengghe av vnklene α og γ, en en noe er koplser avhengghe av β Resulae blr følgende: D ( αβγ,, ) = e e d ( β), ( l) ' α γ ( l) ' ' der d l er en arse so avhenger av β på en ganske koplser åe E anne forbausende resula so følger av urykke ovenfor er a for halvallge verder for l (spnn) er kke en roasjon en vnkel 2π en enhesoperasjon, l de behøves en roasjon 4π Sden og også har halvallge verder for halvallg l og d l er en enhesarse for β=0, fnner v f eks 4

5 R( α = 2 π,0,0) ψ = ψ R ( l) ( l) ( l) ( l) ( α = 4 π,0,0) ψ = ψ Tl slu kan v erke oss a den roere egenlsanden R( αβγψ,, ) l er en egenlsand for L ed egenverd, dvs kvanser langs en sysefas akse, en uryk ved hjelp av lsander kvanser langs den rofase -aksen Dee er e nyg resula når v suderer syseer ed en ndre srukur so aokjerner eller olekyler De aeaske ulednngen so resulaene for R 3 ovenfor bygger på, er dessverre for ofaende l a de kan as ed her De speselle unære gruppene SU N Dsse gruppene besår av unære N N arser ed deernan lk De enklese lfelle er N=, da beegnes gruppen også U(), og v har (,) () r U e Λ =, der v erker oss a e eleen kan avhenge av ro og d gjenno fele Λ(,) r L overfladsk kan v s a U() er syergruppen for elekroagneske vekselvrknnger, og fele Λ(,) r sår forbndelse ed de såkale gauge-ransforasjonene elekroagnesen For N=2 har v unære 2 2 arser so ar foren a b u=, u aa bb, = + = b a der a og b er koplekse all Med bengelsen u = har v da re paraere og re generaorer, so for R 3 De vser seg også å være en nær forbndelse (hooorfse) ello SU 2 og R 3, slk a e eleen SU 2 også kan represenere en roasjon Gruppen SU 2 er vkg kjernefyskken der den represenerer en vkg syer for kjernekrefene, og leder l den absrake egenskapen sospnn Vdere kan også eleenene SU 2 gjøres lokale, dvs avhengge av ro og d, og den lokale SU 2 - gruppen kan v l forenkle s er syergruppen for de svake vekselvrknngene Tl slu vl v bare kor beerke a SU 3 spller en ege vkg rolle nnen eoren for serke vekselvrknnger (kjernekrefene) Tl saen er de re gruppene U(), SU 2 og SU 3 grunnleggende for sandardodellen parkkelfyskken so forener elekroagneske, svake og serke vekselvrknnger 5