Oppgaver fra boka: Oppgave 12.1 (utg. 9) Y n 1 x 1n x 2n. og y =

Transkript

1 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. ) Oppgavr fra boka: Oppgav 2. (utg. 9) Modll: Y = µ Y x,x 2 + ε = β 0 + β x + β 2 x 2 + ε, dvs md n obsrvasjonr får vi n ligningr Y = β 0 + β x + β 2 x 2 + ε. llr Y n = β 0 + β x n + β 2 x 2n + ε n Y x x 2. =... Y n x n x 2n Y = Xβ + ε β 0 β β 2 + ε. ε n Md d oppgitt datan har vi at X = og y = Vi har fra pnsum at stimatorn for β r dn b som minimrr SSE = n i= (y i ŷ i ) 2 = (y i b 0 b x b 2 x 2 ) 2 = (y Xb) T (y Xb) og dnn r gitt vd b = (X T X) X T y. Md datan i dnn oppgavn blir dtt b = b 0 b b 2 = (XT X) X T y = som vi lsr ut av datautskriftn. Dvs stimrt rgrsjonslinj blir ŷ = ˆµ Y x,x 2 = x x 2

2 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 2) Oppgav 2.2 (utg. 9) Rgrssion Statistics Multipl R 0,996 R Squar 0,99 Adjustd R Squar 0,987 Standard Error 633,30 Obsrvations 7 df SS MS F Significanc F Rgrssion , ,9 246,8 6,5876E- Rsidual , ,6 Total ,9 Cofficints Standard Error t Stat P-valu Lowr 95% Uppr 95% Intrcpt 70, ,38,66 0,34-68, ,249 x -9,625 96,20-0,00 0,922-22, ,32 x2 0,056 0,02 2,685 0,02 0,00 0,02 x3,377 3,047 0,452 0,660-5,329 8,083 x4-3,988 7,06-0,565 0,584-9,530,554 x5-358, ,06 -,729 0,2-83,84 97,836 a) Ja. Vi sr at F -tstn for H 0 : β = β 2 = β 3 = β 4 = β 5 = 0 mot H : minst én av β j 'n r ulik null, har n p-vrdi < 0.05, og dtt indikrr forkast H 0 ; minst én av x-variabln har btydning for forvntt vrdi av Y i. b) Forklaringsvariabl nr j har btydning (for forvntt vrdi av Y i ) drsom β j 0. Vi kan gjnnomfør tst av H 0 : β j = 0 mot H 0 : β j 0 f.ks. vha. p-vrdin i ndrst dl av tablln i utskriftn. Vi sr da at for j = 2 har vi p-vrdi = 0.02 < 0.05 som indikrr at dnn variabln har btydning. Variabl 5 har også rlativt lav p-vrdi (= 0.2), mn dn r ikk lavr nn c) Vi bør undrsøk rsultatn vi får md modllr som bstår av kun t utvalg av d aktull forklaringsvariabln. (Stgvis prosdyrr, forlngs og baklngs.) Drsom vi prøvr md n modll md kun variabl 2 og 5, blir rsultatn: Rgrssion Statistics Multipl R 0,962 R Squar 0,925 Adjustd R Squar 0,95 Standard Error 630,024 Obsrvations 7 df SS MS F Significanc F Rgrssion , ,2 86,92 0,0000 Rsidual , ,2 Total ,9 Cofficints Standard Error t Stat P-valu Lowr 95% Uppr 95% Intrcpt -3364,46 65,66-2,083 0, ,649 99,726 x2 0,224 0,02 0,465 0,000 0,78 0,270 x5 79,8 288,693 2,49 0,026 99, ,367 Vi sr at nå har bgg diss variabln signikant forklaringsvrdi.

3 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 3) d) Rsidualr: i = y i ŷ i ; vi bør sjkk plott av: i v.s. ŷ i (rsidual v.s. prdikrt vrdi) i v.s. i (rsidual v.s. datainnsamlingsrkkfølg) i v.s. x ji for d j'n vi har md i modlln (rsidual v.s. vrdi på x-variabl nr. j). For modlln md x-variabl 2 og 5, får vi plottn: Rsidual v.s. prdikrt Histogram ovr rsidualn Frquncy y.hat Rsidual v.s. x.2 Rsidual v.s. x x.2 x.5 Histogrammt skal ikk avvik vsntlig fra formn til n normalfordling (rsidualn forutstts å komm fra n normalfordling) som kjnntgns md éntoppt og symmtrisk form. Datahistogrammt sr nonlund grit ut. Plott av rsidual v.s.... skal vis n jvn sprdning omkring null som indikrr at rsidualn har forvntning null og varians som ikk ndrr sg som funksjon av x'n llr forvnttvrdi av Y i. D trgurn for å sjkk dtt, kunn vi sagt r nonlund ok. Mn (som vi ikk har vært inn på i pnsum) gurn illustrrr n utfordring som forkommr nå og da: non få punktr liggr t godt stykk fra d andr (mrkt md rødt). Slik punktr vil kunn få stor btydning for rsultatn av rgrsjonsanalysn (kraft gangr arm!). Man bør i slik tilfllr sjkk hva som skjr drsom man gjør analysn utn diss punktn.

4 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 4) Md kun aldr: Oppgav Rgrsjon 73, , ,47 0,0000 Rsidualr ,7039 0,7427 Md kun kjønn: Rgrsjon 0,36 0,36 0,264 0,7225 Rsidualr ,2087,045 Md kun høyd: Rgrsjon 9,0668 9,0668 9,020 0,0029 Rsidualr ,2735,0052 Md kun vkt: Rgrsjon 0,306 0,306 0,2984 0,5854 Rsidualr ,0297,0408 Vi sr at aldr r dn variabln som gir størst SSR og altså r dn som vlgs til først å bli inkludrt i modlln. F obs = 99.47, p-vrdi = ; variabln tas md i modlln. Vi sr at høyd også r signikant (p-vrdi = ), mn aldr har størst SSR, og dt r drfor dnn variabln som tas vidr i framlngs variablutvlgls.

5 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 5) Md aldr og kjønn: Rgrssion 2 73, , ,6622 0,0000 Rsidual ,3960 0, 7445 Total ,3403 Økning i SSR: = 0.3, F obs = 0.3 MSE = = 0.403, ikk signikant (f 0.05,, ); variabln tas ikk md i modlln i tillgg til aldr. Md aldr og høyd: df SS MS F Signicanc F Rgrssion 2 74, ,357 50,386 0,0000 Rsidual 245 8,6370 0, 744 Total ,3403 Økning i SSR: =.06, F obs =.06 MSE = =.43, ikk signikant (f 0.05,, ); variabln tas ikk md i modlln i tillgg til aldr. Md aldr og vkt: df SS MS F Signicanc F Rgrssion 2 74, , ,8525 0,0000 Rsidual ,946 0, 7437 Total ,3403 Økning i SSR: = 0.52, F obs = 0.52 MSE = = 0.70, ikk signikant (f 0.05,, ); variabln tas ikk md i modlln i tillgg til aldr. Sidn ingn av d tr aktull variabln utnom aldr, gir no signikant økning av SSR sammn md aldr, stoppr prosdyrn for variablutvlgls ttr dtt. Rsultat: kun variabln aldr i modlln.

6 MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 6) Oppgav 2 Modll: Y i = β 0 + β x i + ε i dr ε,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ) a) b = i=(x i x)y i i=(x i x) = 2 i= x i y i x b 0 = ȳ b x = i= y i i=(x i x) 2 = = Dvs stimrt rgrsjonslinj blir ŷ = b 0 + b x = x b) (48.8/27) = E(B ) = E ( (x i x)y i (x i x) 2 ) = (x i x)e(y i ) (x i x)(x i x) = (x i x)(β 0 + β x i ) (x i x)x i x n i= (x i x) = β 0 (x i x) + β ni= (x i x)x i (x i x)x i x n i= (x i x) (Sidn: = β n n n n n n (x i x) = x i x = x i n x = x i x i = 0) i= i= i= i= i= i= Dvs B r forvntingsrtt. ( ) ( ) 2 (x i x)y i n Var(B ) = Var = (x i x) 2 Var( (x (x i x) 2 i x)y i ) i= ( ) 2 uavh. n ( ) 2 = (x (x i x) 2 i x) 2 n Var(Y i ) = (x i= (x i x) 2 i x) 2 σ 2 i= σ 2 = (x i x) 2 c) Z = B E(B ) Var(B ) = B β σ 2 n i= (x i x) 2 N(0,) Når dn ukjnt σ 2 rstatts md stimatorn S 2 har vi fra pnsum at: T = B β S 2 n i= (x i x) 2 t n 2 dr S 2 = (Y n 2 i Ŷi) 2 = (Y n 2 i B 0 B x i ) 2 P ( t α/2,n 2 B β t α/2,n 2 ) = α S 2 n i= (x i x) 2 P (B t α/2,n 2 S (x i x) β 2 B + t α/2,n 2 S (x i x) ) 2. α

7 y MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. 7) Innsatt b = og i=(x i x) 2 = 3.866, s = = 0.66 og md t 0.025,25 = får vi 95% kondnsnintrvall for β : [ , ] = [0.598, 0.946] H 0 : β = 0 mot H : β 0 β = 0 r ikk innhold i kondnsintrvallt, dvs vi forkastr H 0 på 5% nivå og kan påstå at luft/damp-forholdt har btydning for koksforbrukt. d) x Figur : Eksmpl på ok rsidualplott. Et rsidualplott bør s ut omtrnt som på gurn ovr drsom modllantaglsn r oppfylt, dvs dt bør ha - Ingn klar mønstr - Gjnnomsnitt 0 - Konstant variasjon U-mønstrt vi sr i rsidualn i gur 2 i oppgavtkstn tydr på at dn tilpassd modlln ikk r tilfrdstillnd. Dnn typn avvik indikrr ntn ikk-linær sammnhng mllom x og y llr avhngightr i datan. (Plottt av datan i gur i oppgavtkstn tydr på at vi har n ikk-linær sammnhng mllom x og y.)