Løsningsforslag til eksamen

Transkript

1 8. januar 6 Løsningsforslag til ksamn Emnkod: ITD Dato: 7. dsmbr Hjlpmidlr: Emn: Matmatikk først dlksamn Eksamnstid: 9.. Faglærr: To -ark md valgfritt innhold på bgg sidr. Formlhft. Kalkulator r ikk tillatt. Christian F Hid Eksamnsoppgavn: Oppgavsttt bstår av sidr inklusiv dnn forsidn og t vdlgg på én sid. Kontrollr at oppgavsttt r kompltt. Oppgavsttt bstår av 9 oppgavr md i alt dloppgavr. Vd snsur vil all dloppgavr tll lik m. Dr dt r mulig skal du: vis utrgningr og hvordan du kommr fram til svarn bgrunn din svar, slv om dtt ikk r ksplisitt sagt i hvrt spørsmål Snsurdato: Mandag 8. januar Karaktrn r tilgjnglig for studntr på studntwb snst virkdagr ttr oppgitt snsurfrist. Følg instruksjonr gitt på: Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av

2 Oppgav Gitt følgnd vktorr i R : v = i + j k w = i + j + k a) Undrsøk om vktorn r ortogonal altså om d står vinklrtt på hvrandr). t vktorn r ortogonal r kvivalnt md at skalarproduktt prikkproduktt) mllom dm r. Vi sjkkr drfor dtt: v w = ) + + ) = + = Vi sr at skalarproduktt r. Dtt innbærr at vktorn r ortogonal. b) Finn v w. v w = i j k i j k )) i ) )) j + )) k = + ) i ) j + + ) k = i + j + k Oppgav Gitt dt komplks tallt z. i Finn raldln og imaginærdln til dtt tallt. Vi må gjør om dtt tallt slik at dt kommr på formn a + bi for å vit hva raldln og imaginærdln r. Vi gjør dtt vd å multiplisr tllr og nvnr md dn komplkskonjugrt av nvnrn: Følglig: i i) i z i i i i i R[z] = og Im[z] = Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av

3 Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av Oppgav Følgnd ligning bskrivr n kurv i plant: ln Vis at punktt, ) liggr på kurvn, og finn ligningn til kurvns tangnt i dtt punktt. t punktt liggr på kurvn, kan vi vis vd å stt inn = og = i ligningn og s at vnstr sid blir lik hør sid. Vnstr sid blir ln Vi sr at vnstr sid r lik hør sid, og punktt liggr drfor på kurvn. Vi finnr stigningstallt til tangntn vd å finn dn drivrt i dtt punktt. Vi drivrr implisitt, og får Vi flttr så all ldd som ikk innholdr ovr på hør sid og sttr utnfor parnts på vnstr sid: Så dividrr vi på bgg sidr md uttrkkt som står i parnts, og får drvd følgnd uttrkk for : Vi kan nå finn stigningstallt til tangntn i punktt, ) vd å stt inn = og = i dtt uttrkkt: ), Stigningstallt til tangntn r altså. Vi kan så bntt ttpunktsformln for å finn ligningn til tangntn, md, ) som kjnt punkt og a = som stigningstall: )

4 Ordnr vi dtt uttrkkt, får vi følgnd uttrkk for ligningn til tangntn: Oppgav Gitt funksjonn f ) Finn grnsvrdin lim f ). Hvis vi sttr inn = i funksjonn, sr vi at vi får Vi får altså t ubstmt uttrkk, og vi må bntt l Hôpitals rgl og drivr tllr og nvnr for å finn grnsvrdin. Husk at vi må bruk produktrgln når vi drivrr tllrn: lim lim Oppgav Gitt funksjonn h ). Finn dn annndrivrt til dnn funksjonn. u u v uv Hr kan vi bruk rgln for drivasjon av n brøk, altså at, som gir v v ) ) h ) ) ) h ) ) ) ) ) 8 ) ) ) 8 ) ltrnativt kan vi bruk at ) og bntt kjrnrgln. Dtt gir: Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av

5 h ) ) ) ) ) ) ) Drivrr vi n gang til, får vi h ) ) ) ) ) ) ) 8 ) 8 ) Oppgav 6 Ndnfor r grafn til to funksjonr, f ) og g ), tgnt. Dn n funksjonn r dn drivrt av dn andr. f ),8,6,, g ) , -, -,6 -,8 - Forklar og bgrunn hvilkn av diss funksjonn som r dn drivrt av dn andr. Dt r flr måtr å bgrunn dtt på, mn dn mst opplagt måtn r å obsrvr at f) r dr g) har sitt maksimum. Dr g) har sitt maksimum, r tangntn horisontal, og dn drivrt følglig. Dt motsatt r ikk tilfll. Dr f) har sitt maksimum, r ikk g) =, og g) kan drfor ikk vær dn drivrt av f). ltså må f) = g ) Vi sr også at i dt områdt dr g) økr, altså for ngativ vrdir av, så r f) positiv, mns dr g) minkr, altså for positiv -vrdir, r f) ngativ. Dtt kan også bruks som bgrunnls. Vi kan også bgrunn at g) ikk kan vær dn drivrt av f) vd å obsrvr at i områdt dr f) minkr altså i intrvallt som sr ut til å vær omtrntlig [.7,.7]) r g) positiv. Drsom g) skull vært dn drivrt av f) mått g) vært ngativ i dtt områdt, fordi n ngativ drivrt angir at funksjonn r avtagnd. Hvis non lurr på hvilk funksjonr dtt r, så kan jg røp at d r Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av

6 f ) og g ) Oppgav 7 En funksjon av to variabl gitt vd z f, ) r dfinrt for all rll og. a) Finn f og f. Hr må vi husk på å bruk rgln for drivasjon av t produkt. Vi får da f, ) ) ) f, ) ) b) ntt linær approksimasjon for f, ) i punktt, ) til å finn n tilnærmt funksjonsvrdi i punktt.9,.). Linær approksimasjon innbærr å tilnærm flatn som utgjør grafn til funksjonn md t tangntplan. Dn linær approksimasjonn omkring t punkt a, b) r gnrlt gitt vd f a h, b k) f a, b) f a, b) h f a, b) k For vår funksjon omkring punktt, ) får vi da: f, ) f, ) ) og f Følglig får vi, ) f.,.) f, ) f, ).) f, )..)... Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid 6 av

7 Rgnr vi ut dtt vd hjlp av kalkulator får vi.988 ) Oppgav 8 Finn følgnd intgralr a) ) d Dnn r «rtt fram» å intgrr. Vi kan intgrr hvrt ldd for sg. Dt kan vær lttr å intgrr drsom vi skrivr som : ) d C b) ) cos d Hr må vi bruk dlvis intgrasjon. Hvis vi vlgr u cos og v får vi u sin og v Rgln for dlvis intgrasjon r u v d uv rukr vi dtt får vi: uv d )cos d )sin ) sin d For å finn dt sist intgralt må vi bruk dlvis intgrasjon n gang til. Hvis vi vlgr u sin og v får vi u cos og v rukr vi dtt får vi: )sin d ) cos ) cos ) d )cos cos d )cos sin C Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid 7 av

8 Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid 8 av Sttr vi dtt inn i uttrkkt ovr, får vi: d d sin ) )sin )cos sin )cos )sin C sin )cos )sin C C cos ) )sin C cos ) )sin c) d Hr kan vi bruk dlbrøkoppspalting. Fordi gradn til polnomt i nvnrn r mindr nn gradn til polnomt i tllrn, må vi først utfør n polnomdivisjon: 6) ) 9 6 ) : ) Dtt btr at intgrandn kan skrivs slik: og kan nklt intgrrs, og vi trngr nå å gjør n dlbrøkoppspalting av dt sist lddt. Vi må først finn røttn i nvnrn slik at dnn kan faktorisrs: ) ) )

9 Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid 9 av 6 Dtt innbærr at vi kan skriv nvnrn slik: ) ) Vi kan da utfør dlbrøkoppspaltingn: ) ) ) ) Så sttr vi inn = i dtt uttrkkt, og får: ) ) som gir 8 og altså = Så sttr vi inn = : ) ) som gir ) og altså = Dlbrøkoppspaltingn blir følglig Vi r nå klar til å utfør intgrasjonn: d d d C ln ln

10 Oppgav 9 Gitt følgnd funksjon: f ) D f R vgjør om funksjonn f) r smmtrisk om -aksn, om origo llr ingn av dln. Vi undrsøkr dtt vd å stt inn i funksjonn. Drsom f ) f ), r funksjonn smmtrisk om -aksn. Drsom f ) f ), r funksjonn smmtrisk om origo. f ) ) f Vi sr at f ) f ). v dtt kan vi slutt at ) funksjonn r smmtrisk om origo. Matmatikk, først dlksamn, dsmbr, løsningsforslag Sid av