Øvinger uke 42 løsninger

Transkript

1 Øvingr u løsningr Oppgav Når n potnsr r gomtris finnr u summn og onvrgnsområt irt fra forml. Når ra i r gomtris lønnr t sg å ta utgangspunt i n nærliggn gomtris r og tn lvis rivasjon llr intgrasjon av nn. Når u rivrr n får u ny n i tllrn for hvr gang u rivrr. Når u intgrrr får u tilsvarn n i nvnrn. Dtt r clut for å vlg ritig løsningsstratgi. Dt åpn onvrgnsintrvallt nrs i v lvis rivasjon llr intgrasjon mn v intgrasjon av altrnrn r an t av npuntn i intrvallt oft inlurs. a) Start m n og rivr lvis n gang. Antall - r justrr u til slutt. n - onvrgnt for - < <. Lvis rivasjon gir a: n n- - H-L (Hus jrnrgln!) Svart på oppgavn følgr av multipliasjon m på bgg sir av lihtstgnt. n n H-L onvrgnt for - < < b) Start m n og rivr lvis n gang. n Ú n n0 - onvrgnt for - < <. Lvis rivasjon gir a: Hn L n jrnrgln!) - -H-L H-L (Hus Ra onvrgrr for - < < Rsultatt an også utls v å bnytt rsultatt fra a): Hn L n n n n H-L - H-L - H-L H-L c) Hr sal u rivr n gomtris ra to gangr for å få proutt nhn - L. n - n n- - nhn - L n- J H-L H-L N H-L ultipliasjon m på bgg sir gir svart: nhn - L n H-L onvrgnt for - < < ) n i nvnr sal u tn intgrasjon. Hr må u hus å sj intgrasjonsonstantn mn n blir som rgl null. n n

2 nhn - L n- Rgnøvingr fasit u.nb J H-L N H-L ultipliasjon m på bgg sir gir svart: nhn - L n H-L onvrgnt for - < < ) n i nvnr sal u tn intgrasjon. Hr må u hus å sj intgrasjonsonstantn mn n blir som rgl null. H-Ln n H-Ln n n H-Ln n n Ù â lnh L C 0 : 0 ln C C 0 H-Ln n n lnh L ln HL onvrgnt for - < < Sjr : H-Ln n onvrgrr ttr Libniz' s tst Sjr - : H-L n n Konlusjon : H-Ln n n n ln HL ivrgrr ttr intgraltst onvrgnt for - < Oppgav Når vi ør polynomgran til Taylorpolynomt til f HL vil approsimasjonn til f HL bli br og br forutsatt at Taylorra til f HL onvrgrr ( mot f HL). Taylorra frmommr v grnsbtratningn limn pn HL - Ú Vi har rfor at f HL - Ú innnfor onvrgnsintrvallt. Bnyttr samm stratgi som i oppgav. : - Ú -Ú - -Ù - â ln H - L C 0 : -Ú 0 ln C C 0 -Ú ln H - L Dtt gir oss f HL ln H - L Oppgav a) f () - f () f () f ()

3 Rgnøvingr fasit u.nb a) f () - f () f () f () p HL f H0L f ' H0L p HL f H0L f ' H0L p HL f H0L f ' H0L f '' H0L! f '' H0L! - f ''' H0L! - p H0.0L * p H0.0L * 0.0 * fir ritig sifr: f(0.0) 0.09 b) f() tan f () cos f () - f () f ( ) f( ) H-sin L cos sin cos cos sin cos f ( f ( ) p HL f f ' - - f '' p HL f f ' - p HL f f ' - f ''! Kontrollrt i athmatica:! - f '''! >FF Oppgav f HL f () sin cos f () f(0) - sin ( v l Hopital s rgl ) f (0) 0 ( v l Hopital s rgl ) Hsin - cos L sin p HL f H0L f ' H0L Ù0 0.5 â - f (0) - ( v l Hopital s rgl ) f '' H0L! Numris sj i athmatica: NormalBSrisBTan@D : 8 8 -

4 Rgnøvingr fasit u.nb NntgratB <F Sin@D - PlotB: > 8 - < PlotStyl 88Thic R< 8Dash Thic Blu<<F Sin@D - PlotB: > 8 - < PlotStyl 88Thic R< 8Dash Thic Blu<<F Oppgav 5 Rn HL f HL - Pn HL f HnL HcL HnL! n 0 < c < Når u rivrr f() cos flr gangr vil svart vær ntn ± sin llr ± cos. Uanstt vil Rn HL n n a f HnL HcL La. Dn størst filn u gjør vå approsimr funsjonn m polynomt pn HL vil a vær H Rn HL Lma n n. n og 0. vil rfor R H0.L H0.L7 7 < *0-

5 Rgnøvingr fasit u.nb 5 Oppgav a) Bnyttr jnt rsultatr for 0: sin Ú 0 Erstattr m : sin Ú Ra onvrgrr for all b) Kan vi bnytt Ú 0! H - L? Erstattr m - : - Ú 0! H- - L Ú0 H-L! Dtt r fil! H L Når utvilingspuntt i r 0 må vi pass på. Ut fra finisjonn får vi: f() - f( ) f () - - f () f () - f () Dtt gir - - osv. - H-L - Ra onvrgrr for all H-L... Ú 0 H-L! H - L c) Dt r tirvn å rivr f() arctan flr gangr og vi finnr i t gnrll lt på nn måtn. n vi vt at arctan Ù0 t ât Ú 0 H-L ( sum av gomtris r onvrgnt for - < < ) Erstattr m : Ú 0 H-L ntgfrrr lvis: Ù0 t H-L â t Ú C onvrgnt for - < < 0 Uttryt gjlr for 0. nnstting av 0 gir oss C 0. arctan Ù0 t H-L â t Ú 0 Ra onvrgrr for ttr Libniz s tst arctan H-L Ú 0

6 H-L â t Ú 0 t Rgnøvingr fasit u.nb Ù0 C onvrgnt for - < < Uttryt gjlr for 0. nnstting av 0 gir oss C 0. arctan Ù0 t H-L â t Ú 0 Ra onvrgrr for ttr Libniz s tst arctan H-L Ú 0 H-L Ú 0 Dtt r n av mang hunr potnsrr som lr fram til mn nn onvrgrr forfrlig langsomt. Rsultatt går unr navn av Grgory s forml.