Convex hull. Konveks innhylling. La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets skyld bare se på k = 2.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Convex hull. Konveks innhylling. La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets skyld bare se på k = 2."

Sivert Farstad
7 år siden
Visninger:

1 Conv ull La P vær n mn punktr t k-mnsjonalt rom, P R k. (V skal or nkltts skl bar s på k.) Dnsjon En mn Q R k r konvks rsom or all punktr q, Q lnjsmntt q lr Q. Dnsjon Dn konvks nnllnn tl n mn punktr P R k r n mnst konvks mn Q som nnolr punktn P.

2 Jarvs matc

3 Dlr to v -man, lt tl v år, llr punktr mnn. Dlr to v -man, lt tl v år, llr punktr mnn. Fnnr nkl (, llr punktr) nnllnr p p p q q 7 q q 7 q q 7 p 5 q q5 p p p q q 7 q q 7 q q 7

4 p p p q q 7 q q 7 q q 7 p p p q q 7 q q 7 q q 7 p q q 7

5 p (, ) p (, ) p (, ) (, ) (, ) (, ) p (, ) p (, ) p (, ) Vnstrsvn Rtt ram Hørsvn 0 > 0 0 < Dtrmnantns ortn vsr om v jør n vnst- llr ørsvn Brnn av trmnantr or -matrsr c b a A c b a A + ) t( c c b b a a + + r c b a r r A Dn omtrsk tolknnn tl trmnantn tl matrsn A (t(a) llr Dn omtrsk tolknnn tl trmnantn tl matrsn A (t(a), llr bar A ) r volumt tl parallllppt utspnt av rkkvktorn A. (Ellr kolonn-vktorn, t blr t samm).

6 SORTING CONVEX HULL V sortrr non ttr -koornat. Dtt tar t O(n lo n). Hvr an v splsr to nnllnr må v potnslt ltt npunktn på bron() O(n) anr, så vr spls tar t O(n) V jør opplat lo n opplnr, sn v l tn lr vår opprnnl mn av n nor to, så t r lo n splsr. Total kjørt O(n lo n). Gtt n ltall skal v vs at v kan sortr ss m n alortm or konvks nnlln. SomvuskrrΩ(n lo n) nr rns or vor raskt v kan sortr. (Notat.) Når v vsr SORTING CONVEX HULL, btr t at CONVEX HULL r mnst lk vanskl som SORTING, slk at om v kunn løst CONVEX HULL raskr nn O(n lo n), så kunn v løst SORTING raskr nn O(n lo n) umul. Dnn kjørtn (O(n ( lo n) ) r aktsk optmal, t ølr ø av ruksjonn SORTING CONVEX HULL. V må vs voran v jør om n SORTING-nstans (n mn tall som skal sortrs) tl n CONVEX HULL-nstans (punktr v skal nn nnllnn av), o voran v skal tolk nnllnn v a nnr som n sortrn av opprnnl talln. SORTING SORTING CONVEX HULL CONVEX HULL T<t, t,, t n > P{(t )(t, t ),(t, t ),, (t n, t n )} (usortrt ltall) (n punktmn) Å sortr n tall kan altså jørs m Føln rutn som bnttr n CONVEX HULL-alortm som subrutn: Gtt n mn punktr k-mnsjonalt rom, P R k, ønskr v å nn t par av punktr som ar kortst nnbrs avstan. (V skal jn, or nkltts skl, bar s på k.) Dtt kan v opplat jør t O(n ) v å s på all par mn v skal la n Dtt kan v opplat jør t O(n ) v å s på all par, mn v skal la n mr ktv alortm basrt på v-an-conqur. SORTING(T){ < La punktmnn P ut ra T, som bskrvt ovr > O(n) H CONVEX_HULL(P) /* Fnnr nnllnn H */ O(n lo n) < Fnn nrst punkt H (lavst -koornat) > O(n) < Ls av -koornatn tl punktn rtnn mot klokka > O(n) } O(n lo n) (Kunn v løst CONVEX HULL raskr nn O(n lo n), kunn v oså sortrt n tall raskr nn O(n lo n), som v vt r umul.)

7 Dlr to v -man, lt tl v år llr punktr mnn, o nnr kortst avstan. Ikk skkrt kortst t avstan ra n av mnn r kortst n spls mnn. mn{, } mn{, } mn{, } Må nn nærmst par tt bltt t o sammnlkn m o når v splsr. I n slk rkant ( stor), kan t kk l punktr m nnbrs avstan mnr nn ( r jo mnmum). I n slk rkant ( stor), kan t maksmalt l punktr når avstann m mllom r llr mr. mn{, } V sortrr non bå ttr - o -koornat. Dtt tar t O(n lo n). Spls-stt tar t O(n) (or vr no n n sn av skjøtn r t bar t konstant (6) antall nor som må sjkks på n anr sn. Ettrsom non r sortrt på bå - o -koornat r t rt å ol r på vlk nor t r snakk om. V jør opplat lo n opplnr, sn v l tn lr vår opprnnl mn av n nor to, så t r lo n splsr. Total kjørt O(n lo n). For vr no på vnstr s r t altså maksmalt 6 nor på ør s som må sjkks.

Like dokumenter

Computational Geometry

Computational Geometry Grafisk Databehandling 1. Convex hull konveks innhyling 2. Nærmeste par av punkter Convex hull La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets