FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

Transkript

1 FYS2140 Kvantfysikk, Oblig 10 Sindr Rannm Bildn,Grupp april 2015

2 Obligr i FYS2140 mrks md navn og gruppnummr! Dtt r nok n oblig som drir sg om hydrognatomt og r n dl av n tidligr ksamnsoppgav. Oppgav 1 I dnn oppgavn sr vi bort fra lktronts gnspinn. H-atomt kan da bskrivs vd tilstandsfunksjonn ψ nlml ( r) som har følgnd gnskapr: Ĥ 0 ψ nlml ( r) = E n ψ nlml ( r), (1) ˆL 2 ψ nlml ( r) = h 2 l(l + 1)ψ nlml ( r), (2) ˆL z ψ nlml ( r) = h ψ nlml ( r), (3) ψ nl ( r)ψ n l m l ( r) d3 r = δ n,n δ l,l δ ml,m l, (4) hvor { 1 for k = k δ k,k = 0 llrs. a) Hva kallr vi diss (to) typn ligningr? Likningn (1),(2) og (3) r gnvrdilikningr. Likning (4) r t ortonormalittsintgral. Opratorn Ĥ0 r tidsuavhngig. Kvanttallt n kan anta vrdin 1, 2,.... For n gitt vrdi av n kan l anta vrdin 0, 1,..., n 1, og kan for n gitt vrdi av l anta vrdin l, l + 1,..., l 1, l. I dnn oppgavn trngs ingn andr opplysningr nn d som r gitt ovnfor. Dt r ikk nødvndig å kjnn d ksplisitt uttrykkn for opratorn Ĥ0, ˆL 2 og ˆL z. Dt skal ikk tas hnsyn til lktronts gnspinn. b) Hvilk fysisk størrlsr r rprsntrt vd opratorn Ĥ0, ˆL 2 og ˆL z? Ĥ 0 rprsntrr nrgin. ˆL 2 rprsntrr dn kvadrrt størrlsn av angulærmomntt. ˆL z rprsntrr z-komponntn til angulærmomntt. c) Hvilk fysisk størrlsr har skarp vrdir i tilstandn ψ nlml ( r)? Da d tr opratorn ovr har kommutrr har diss skarp vrdir E,L 2 og L z. I dtt systmt har vi også L x og L y som ikk r skarpt bstmt, da opratorn for diss ikk kommutrr md ˆL z.

3 Vd tidn t = 0 r H-atomts tilstand bskrvt vd tilstandsfunksjonn ψ nlml ( r). Tidsutviklingn av tilstandsfunksjonn r bstmt av dn tidsavhngig Schrödingrligningn Ĥ 0 Ψ( r, t) = i h Ψ( r, t). (5) t d) Bstm tilstandsfunksjonn som bskrivr H-atomts tilstand vd tidn t. Har at Ψ( r, t) kan skrivs som n sum Ψ( r, t) = k c kψ k ( r) i h Ekt hvor c k = ψk ( r)ψ( r)d r. Sr hr at for n c n l m får vi t ortonormalittsintgral dnrt i (4). Dtt gir at Ψ( r, t) r på l formn: Ψ( r, t) = ψ nlml i h Ent La H-atomts tilstand vd tidn t = 0 nå vær gitt vd tilstandsfunksjonn Φ( r) = ) Vis at Φ( r) r normrt. 1 ψ nlml ( r). (6) Φ ( r)φ( r)d 3 r = 1 2π π ψ nl ( r) l m l = l ψ n l m l ( r)drdθdφ Fra (4) får vi at mang av diss blir 0 og sittr igjn md: = 1 2π π ψnlm l ( r)ψ nlml ( r) Igjn fra (4) fås at summn blir lik. = 1 () = 1 f) Vis at tilstandsfunksjonn vd tidn t r ( Ψ( r, t) = Φ( r) xp ī ) h E nt. (7) Som i d) har vi Ψ( r, t) = k c kψ k ( r) i h E kt hvor c n l m l 2 = ψ n l m l Φ dtt gir c nlml = 1 for hvr 2l+1. Samlt blir dtt Ψ( r, t) = l 1 2l+1 ψ nlml ( r) i h E kt Sr at summringslddt gir Φ( r) og vi får uttrykkt i (7).

4 g) Bstm forvntningsvrdin for opratorn Ĥ0, ˆL 2 og ˆL z i tilstandn som r bskrvt vd tilstandsfunksjonn Ψ( r, t) i ligning (7). Sidn Φ( r) r n sammnstning av ψ nlml hvor = l, l + 1,.., l vil Ĥ 0 og ˆL 2 ikk påvirks av skiftt fra ψ til Φ. Mn ˆL z vil påvirks: Ĥ0 = Ψ Ĥ0Ψ = E n ˆL 2 = Ψ ˆL 2 Ψ = h 2 l(l + 1) ˆL z = Ψ ˆL z Ψ = h ˆL z = 0 Sidn = 0, ±1, ±2.. vil = 0 En størrls A r rprsntrt vd opratorn Â. Sprdningn σ A i tilstandn Ψ r dnrt slik: σ A = Â2 Â 2. (8) h) Finn sprdningn av størrlsn rprsntrt vd opratorn Ĥ0, ˆL 2 og ˆL z i tilstandn som r bskrvt vd tilstandsfunksjonn Ψ( r, t) i ligning (7). σĥ0 = Ĥ2 0 Ĥ0 2 = En 2 En 2 = 0 σ ˆL2 = ˆL 2 2 ˆL 2 2 = h 4 l 2 (l + 1) 2 ( h 2 l(l + 1) ) 2 = 0 σ ˆLz = ˆL 2 z ˆL z 2 = h2 m 2 l 0 = h l m 2 l Summn r n ndlig rkk og nns i Rottmann n x=1 x2 = n(n+1)(2n+1) 6 Summn kan dls opp i to summr, én for positiv vrir av l og én for d ngativ. Da d ngativ vil kvadrrs r diss summn lik. h σ ˆLz = 2 = h 2 =1 l(l + 1)() 6() m 2 l + 0 = h l(l + 1)() = h 3 l(l + 1) = h l(l + 1) 3

5 La H-atomts tilstand vd tidn t = 0 vær gitt vd tilstandsfunksjonn Φ( r) i ligning (6) og la oss tnk oss at vi fortar n idéll måling av L z. i) Hvor stor r sannsynlightn for å obsrvr dn bstmt vrdin h for L z vd tidn t = 0? I Φ( r) r all c ml = 1 2l+1 sannsynlightn r c ml 2 = 1 2l+1 j) Vil dnn sannsynlightn vær avhngig av vd hvilkn tid t > 0 målingn utførs? Ni, da Ψ( r, t) = l c ψ nlml ( r) ī h Ent gjldr for all t. Vi lar nå H-atomt bnn sg i t homognt magntflt B og vlgr z-aksn langs magntfltt. Hamilton opratorn for systmt r da Ĥ = Ĥ0 + 2m B ˆL z, (9) dr r lktronts ladning og m r lktronts mass. k) Bstm H-atomts nrgi i tilstandn ψ nlml ( r). Ĥψ nlml ( r) = E tot ψ nlml ( r) [ E tot ψ nlml ( r) = Ĥ 0 + B 2m ˆL z = E n ψ nlml ( r) + E tot = E n + 2m B h ] ψ nlml ( r) 2m B hψ nlml ( r) l) Er tilstandn Φ( r) i ligning (6) n nrgi-gntilstand for Ĥ? Bgrunn svart. Ja, sidn Φ( r) r n linær kombinasjon av ψ nlml ( r) som r gntilstandr for Ĥ. m) Bstm forvntningsvrdin til Ĥ i tilstandn Φ( r). Ĥ = Φ ĤΦ = Φ (Ĥ0 + 2m B ˆL z )Φ = Φ Ĥ0Φ + Φ 2m B ˆL z Φ = ()E n = E n + B h 2m + B h 2m