Løsningsforslag Eksamen 8. august 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Transkript

1 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg Oppgv Løsningsforslg Eksmn 8 ugust 7 TFY45 Atom- og molkylfysikk I grnsn V r potnsilt V x t nklt bokspotnsil md vidd, V V for < x < og undlig llrs Dn normrt grunntilstndn r d dn vnlig hlvbølgn, ψ sin πx Dnn r normrt, sidn middlvrdin v kvdrtt v sinusn ovr n hlv bølglngd r lik Vidr r bølgtllt og nrgin k π og E h m π 4, slik t E E h /m π 4 467, som stmmr br md dn vrdin vi kn ls ut fr digrmmt I grnsn V hr vi n tilsvrnd boks md vidd Bølgtllt blir d dobblt så stort og nrgin fir gngr så stor som ovnfor: V : k π E h m π, slik t E π 987 Dnn symptotisk vrdin v E r mrkrt md n stiplt linj i digrmmt vist ndnfor, i pkt c b Prturbsjonn V r V i hlv boksn Først-ordns korrksjon E til dn uprturbrt nrgin E r forvntningsvrdin v prturbsjonn brgnt vd hjlp v dn uprturbrt bølgfunksjonn ψ : E ψ V ψ dx V ψ ψ dx V, idt intgrlt r hlvprtn v normringsintgrlt Drmd hr vi til ordn i V for små V: E E + V, slik t EV π 4 + V Vinklkoffisintn sr ut til å stmm br md dn vi kn obsrvr i digrmmt for små V

2 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg c I digrmmt sr vi t E r størr nn V dvs E > V for små V, og motstt for stor V Krysningspunktt hr vi dr dn rtt linjn V / h /m V skjærr kurvn EV, som r for E V V 4, som svrr til k E 5 Prinsippskissn v ψ hr gntlig t nøyktig digrm blir slik: Sidn E V, må ψ vær linær i områdt < x <, lik null for x, og gå gltt ovr i sinus-bølgn i x Fr dnn figurn frmgår dt gnsk riktig t k må vær no størr nn π jf dn omtrntlig størrlsn ovnfor d Dn nøyktig vrdin v k i digrmmt ovnfor for spsiltilfllt E V bstmms v kontinuittn i x For x hr vi ψ ψ ka cos k A sin k k cot k Md ψ B x for x > hr vi for x + : ψ + ψ + B B k bstmms ltså v kontinuittsbtinglsn k cot k, llr tn k k

3 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg 3 Md klkultorn finnr jg t k 5, 3 og 87 gir tn k/k lik hnholdsvis, 996 og 7 Dn sist r br nok, så vi kn fstslå t tilfllt E V opptrr for Dtt stmmr godt md digrmmt Oppgv k 87 og E V 46 Dn trnsmittrt bølgn ψ t C ikx hr n strømtttht j t R ] C ikx h ik Cikx im hk m C Strømttthtn i dn innkommnd bølgn ikx r tilsvrnd j i hk/m Snnsynlightn for trnsmisjon r forholdt mllom dn trnsmittrt strømttthtn og dn innkommnd: T j t C, qd j i Md k me/ h, κ mv E/ h og cosh κl + sinh κl finnr vi T C 4k κ 4k κ cosh κl + κ k sinh κl 4k κ 4k κ + κ k + 4k κ ] sinh κl 4EV E 4EV E + V E E + 4EV E] sinh κl + V sinh ] κl, qd 4EV E b Lik til vnstr for x L r ψ n x B n κ n L x og ψ n B n κ n, slik t ψ n hr t sprng fr B n κ n til null og ψ n n knkk i punktt x L Dtt r OK for t <, for d r V for x > L Mn for t > r V x ndlig i dtt områdt, og d kn ikk n nrgignfunksjon h n knkk hr Følglig r ψ n ikk n nrgignfunksjon for t > Sprngt i ψ n innbærr t δ-funksjonsbidrg B n κ n δx L til ψ n i punktt x L Dtt btyr t Ĥψ n E n ψ n + h m B nκ n δx L < x < D ψ n for x L, gir dnn δ-funksjonn likvl ikk no bidrg til forvntningsvrdin v nrgin: E ψ n Ĥψ ndx L L E n ψ n dx h m B nκ n ψ n δx Ldx E n Fr formln for tidsutviklingn v forvntningsvrdir følgr dt llrs t E r tidsuvhngig]

4 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg 4 c Vi rgnr først ut κl for d to tilflln Md L/ 5, V 5 h /m, E 33 h /m og E b 494 h /m finnr vi κ L m L V E / h L og κb L For nrgin E 33 h /m r κ L så stor t sinh κ L 4 κl κl 4 κl blir my størr nn D hr vi V ] T + 4E V E sinh κ L 6E V E κl V For nrgin E b 4944 h /m r κ b L my mindr, og gir n my størr trnsmisjonskoffisint: ] 5 T b sinh ] 96 d Ut fr n hlvklssisk tnkgng sprttr lktront frm og tilbk mllom dn hrd vggn til vnstr og brrirn Md n nrgi E E h /m blir hstightn v og tidn t mllom hvr kollisjon v typisk tomær størrlssordn: v E m E h E m m h m E αc; t L v αc E 4 6 s E Ettr tidn t hr lktront kollidrt c t/ t gngr md brrirn For hvr kollisjon r snnsynlightn for trnsmisjon lik T Snnsynlightn for t lktront ikk hr stukkt v r d T t/ t Vd å stt dnn lik / finnr vi hv vi kn kll lvtidn τ for dn hlvstbil llr kvsibundn tilstndn i dnn problmstillingn: T τ/ t τ t ln T ln ; t τ ln T ln T 4 6 s E For dn lvst nrgin, E 33, r trnsmisjons-snnsynlightn T 43 så litn t dt r bst å bruk formln ln T T Dtt gir τ t T 4 6 s s For dn høyst nrgin r trnsmisjons-snnsynlightn T b 96 my størr, og lvtidn blir my kortr: τ ln s 55 5 s 4944 Sidn diss brgningn r bsrt på t hlvklssisk rsonnmnt, kn vi ikk vnt t tllvrdin hr r særlig nøyktig]

5 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg 5 Oppgv 3 D Puli-spinorn χ ± r gnspinorr til S z hσ z md gnvrdin ± h, hr vi Ĥ χ ± ωs z χ ± hωσ z χ ± ± hω χ ± χ ± r ltså hr nrgigntilstndn, md gnvrdin E ± ± hω For t B-flt på Tsl blir d to nrgin E ± ± hω ± h gb ± m gb µ B ± V ±579 5 V Vd ovrgngr mllom d to tilstndn utvksls dt d fotonr md n nrgi hω hν E + E 6 4 V, som svrr til n bølglngd i mikrobølgområdt, λ c ν hc hν Vs m/s 6 4 V 7 cm b Ifølg målpostultt vil målingn v S x ttrlt spinnt i n gntilstnd til S x, for dn gnvrdin som r målt Vi rgnr drfor ut S x χ h / / Målrsulttt vr ltså S x h Vd å stt t i utviklingsformln hr vi χ c + χ + + c χ h / / c+ c / / h χ Koffisintn r ltså c +, c For t > kn vi d skriv tilstndn på formn χt iωt/ iωt/ iωt/ iωt/ Hr r nå b iωt og b, slik t spinnrtningn blir t bt σ t χ tσχt ê x R b + ê y Im b + ê z b ê x cos ωt ê y sin ωt Dnn strtr gnsk riktig ut i ngtiv x-rtning for t, og stt ovnfr rotrr dn mot urvisrn md vinklfrkvnsn ω]

6 Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg 6 c Formln σ t ê x cos ωt ê y sin ωt visr t spinnrtningn r tilbk til utgngspunktt først gng vd tidn t π ω Så spinnrtningn rotrr omkring z-ksn md vinklhstightn ω og priodn t π/ω Formln χt iωt/ iωt/ visr t spinorn først gng r tilbk til utgngspunktt χt χ når ωt/ π, dvs vd tidn t 4π t ω Så χt r priodisk md priod t t Mns χt χ, sr vi t spinorn vd tidn t r χt iπ iπ χ Dt nst som skillr χt fr χt og χ r ltså fsfktorn Dnn r som ll ndr rn fsfktorr utn fysisk btydning; dt r drfor ingn målbr forskjll mllom tilstndn vd t t og t t llr t d Målpostultt sir t n måling v ˆn S vil gi n v gnvrdin hr + h, og vil ttrlt systmt i dn tilsvrnd gntilstndn Vi trngr ltså å finn n gnspinor til ˆn S h ˆn σ md gnvrdi + h, llr til ˆn σ md gnvrdi +: ˆn σ χ 3 3 Øvr komponnt i dnn spinor-rlsjonn gir Innstting i normringsbtinglsn gir d b b + 3 b, dvs b / 3 + b + /3 4 3, dvs 3 Følglig r 3 iβ, dr fsn β r ubstmt Vi finnr d t b / 3 iβ Umiddlbrt ttr målingn bskrivs ltså spinnts tilstnd v spinorn χ iβ 3, dr fsfktorn iβ r ubstmt, mn også utn fysisk btydning