KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK MANDAG 6. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG - GRAFIKK

Transkript

1 Sid av 7 NTNU Norgs tknisk-naturvitnskapig univrsitt Fakutt for informasjonstknoogi, matmatikk og ktrotknikk Institutt for datatknikk og informasjonsvitnskap KONTINUASJONSEKSAEN I ENE TDT495 BILDETEKNIKK ANDAG 6. AUGUST 27 KL LØSNINGSFORSLAG - GRAFIKK OPPGAVE Grafikk Paraprojksjonr ( 5 pong ) ( p, p, ) α Projksjonspan φ (,, vp ) (,, ) Figur

2 Sid 2 av 7 a) d gitt objkt r dt to fundamnta bsutningr som må tas for at n paraprojksjon ska vær ntdig: Passring av projksjonspan Fastgg projksjonsrtning b) Enhtsvktorn par i projksjonsrtningn har samm rtning som injn fra punktt (,, ) ti punktt (,, ). -komponntn av nhtsvktorn må da bi: ( par ) = sinα p p vp Komponntn av nhtsvktorn i projksjonspant bir. ( par ) = cosα vp Komponntn i hnhodsvis - og -rtningn bir drmd: ( par ) = cosα cosφ ( par ) = cosα sinφ Dn søkt nhtsvktorn i projksjonsrtningn bir: cos cos cos sin sin T par = α φ α φ α [ ] (Sidn dnn vktorn at r n nhtsvktor, trngr dn ikk normaisring.) c) Lngdn L av injstkkt fra punktt (,, vp ) ti punktt ( p, p, vp) r: L = = D søkt projisrt koordinatn bir: p = + Lcosφ = + cosφ p = + Lsinφ = + sinφ

3 Sid 3 av 7 d) d: p = vp i tigg, gir dtt føgnd matris for avbidning i projksjonspant: para cosφ cosφ sinφ sinφ = OPPGAVE 2 Grafikk Gomtrisk transformasjonr ( 5 pong ) ω 2 r ω P() t R Figur 2 a) I dtt tift iggr rotasjonsaksn fast. Føgnd pan r n av fr muig ti å bsvar doppgavns spørsmå:. Transr sik at aksn går gjnnom origo 2. Rotr sik at aksn bir iggnd angs -aksn 3. Rotr md vinkn ω t om -aksn 4. Utfør dn invrs transformasjonn av punkt 2 5. Utfør dt invrs transformasjonn av punkt

4 Sid 4 av 7. Transr sik at aksn går gjnnom origo Sidn kuas sntrum forbir i utgangsposisjonn, som r på -aksn, r føgnd transasjon gnt: R = 2. Rotr sik at aksn bir iggnd angs -aksn Vi vgr å utntt gnskapn ti ortogona matrisr. Vi tnkr oss t koordinatsstm ' ' ' md ' -askn angs dn transrt -aksn og ' -aksn iggnd i pant = (vikårig mn hnsiktsmssig vag). Vi trngr aksnhtsvktorn. Enhtsvktorn angs ' -aksn r: T ' = ' ' ' = T Sidn ' -aksn iggr i pant = får vi: ' ' ' T = ' r nhtsvktor og r ortogona ti ' ' ' = ' + ' = = + = ' ' ' ' ' ' hvikt gir: Dtt r t ikningssstm md to ukjnt som vi kan skriv om sik: ' = 2 2 ' ' [ + ( ) ] =

5 Sid 5 av 7 Vi har forutsatt av. Hr r dt ikgdig om vi vgr dn positiv r ngativ øsningn av ovnstånd andrgradsikning. Vi vgr dn positiv og får: ' ' ' = = + ( ) = = Komponntn av dn trdj nhtsvktorn = = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' = = = = ' ' = ' ' ' ' = = Dn søkt rotasjonsmatrisn bir: fås av vktorproduktt: 2 ' ' ' ' ' ' + + = = ' ' ' + + +

6 Sid 6 av 7 3. Rotr md vinkn ω t om -aksn atrisn bir: cos( ωt) sin( ωt) 3 = sin( ωt) cos( ωt) 4. Utfør dn invrs transformasjonn av punkt T 4 = 2 = 2 = Utfør dn invrs transformasjonn av punkt R = = 5 atrisn konkatnrs i dnn rkkføgn: ω 2 = = b) Kuas sntrum rotrr om -aksn i avstandn R fra origo. Posisjonn ti kuas sntrum vd tidn t brgns vd bruk av dnn rotasjonsmatrisn: cos( ω2t) sin( ω2t) sin( ω t) cos( ω t) 6 =

7 Sid 7 av 7 Posisjonn av kusntrt vd tidn t bir da: cos( ω t) sin( ω t) R Rcos( ω t) 2 sin( ω2t) cos( ω2t) Rsin( ω2t) Psntr () t = 6 Psntr () = = Sidn rotasjonsaksn har fast orintring i rommt uavhngig av kuas banbvgs, kan posisjonn ti punktt P vd tidn t finns vd å anvnd transformasjonn ti 4 fra doppgav a). Transasjonn 5 rstatts md transasjonn 7 som bringr kusntrt ti dn posisjonn dt har vd tidspunktt t: 7 R cos( ω2t) Rsin( ω t) 2 = sik at konkatnringsføgn for dtt tift bir: ω2 = rk at drsom ω 2 = bntts som t først stg og kusntrt drttr brings ti sin ndig posisjon md n rotasjon om -aksn, bir rsutatt fi. d n sik frmgangsmåt vi orintringn av rotasjonsaksn ndr sg. c) Posisjonn Pt ( ) brgns hnhodsvis som: Pt () = P() ω = 2 og Pt () = P() ω 2 d) Probmt som oppstår når punktt P iggr på rotasjonsaksn r at vinkposisjonn om aksn vi vær udfinrt. Dtt vi kunn før ti probmr vd vidr animasjon.