Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014
|
|
- Trine Jacobsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen t a ρ θ eer t a ρ θ s. Løsning. Først, egg merke ti at isometrier på den første formen er orienteringsbevarende (verken rotasjoner eer transasjoner endrer orientering. Så m må kunne skrives som m = t a ρ θ s. Vi viste også at Dermed er m = (t a ρ θ s(t a ρ θ s = t a ρ θ st a ρ θ s = t a sρ θ t a ρ θ s = t a sρ θ ρ θ t ρ θ ( as = t a st ρ θ ( as = t a t sρ θ ( as = t a+sρ θ ( a Litt forkaring. Første ikhet er bare å fjerne parenteser. I (* bruker vi, som vi ærte i forrige oppgave, at ρ θ s = sρ θ. I (** bruker vi at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a. I (*** bruker vi at ρ θ ρ θ = id, og i (**** bruker vi at t b s = st s( b. Ti sutt bruker vi at s = id. Vi står igjen med noe som bare er en transasjon. Oppgave. Gi en begrunnese for hver ikhet i utregningen ti sutt i beviset for Setning.4.
2 Løsning. Det vi har yst å vise er at t a s = t w s. La oss huske hva ae disse bokstavene betyr. Tidigere i beviset be det vist at en orienteringsreverserende isometri kan skrives på formen m = t a s, hvor s er en speiing om en inje. Her hjeper det vedig å tegne en tegning. La være injen utspent av vektoren v. Siden R er -dimensjona, er { v, v } en basis for R. Så vi kan skrive a = ( a v v + ( a v v def. La w = def ( a v v og w = ( a v v. La være inja { w + λ v λ R}. w a w v Se på iustrasjonen over. Den første påstanden i beviset er at s = t w s t w. I ord sier dette at å speie gjennom inja er det samme som først å fytte hee panet ned med vektoren w (sik at bir sendt på, refektere, og så transatere opp igjen. La { w, w } være standardbasis for R. Da er det ikke så gærnt å se fra tegningen at s er gitt som ( ( ( x x 0 +. x x
3 Men dette kan vi skrive om ti ( ( ( ( x x x x ( x 0 = s ( + s ( ( x ( x = s ( x ( 0 = t w s t w ( x. + ( 0 ( 0 + Så vi konkuderer med at s = t w s t w. Neste ikhet i beviset er s t w = t s. Husk at w er ortogona på, så å speie i vi sende w på w. Dermed har vi at s t w ( x = s ( x w = s ( x + w = t w s ( x. Her brukte vi at siden s sender origo på origo, så er s ineær. Siste ikheten i beviset er at t w t w t w = t a. Dette er åpenbart siden atid t a t b = t a+ b og a = w + w. Oppgave 3. Anta m er en isometri av panet som tar en inje på seg sev, m( =, og at m er en transasjon med en vektor a. Gi et geometrisk argument for at m enten er en speiing, en gidespeiing eer transasjonen t a. Løsning 3. For det første: a m være mt a. Da bir m = id, siden det ikke er noen transasjon angs injen enger. Så probemet bir nå: gitt at vi ska hode en he inje fast, hvordan kan vi da fytte rundt på panet? Vi vet at ae isometrier av panet enten er transasjoner, rotasjoner, speiinger eer gidespeiinger. m kan ikke være en transasjon, siden transasjoner ikke har fikspunkter, og m fikserer origo. m kan heer ikke være en rotasjon, siden den ska fiksere inja (det kunne muigens ha vært en rotasjon på 80, men da vie ikke m = id. m kan heer ikke være en gidespeiing, siden gidespeiinger ikke har fikspunkter. Vi konkuderer med at eneste muighet er at m er enten en speiing om inja eer identiteten. Med andre ord: siden m = mt a, er m = m t a. m = s eer id, så m er ik st a eer t a. Siden a enten er 0 eer en vektor parae med, er m ik enten identiteten, en speiing, eer en gidespeiing. Oppgave 4. Bruk Setning.4 ti å vise at sammensetningen av to rotasjoner om to forskjeige punkter er enten en rotasjon om et tredje punkt eer en transasjon. Når er det en transasjon? 3
4 Løsning 4. Å rotere om et punkt P er det samme som å først transatere P ti origo, rotere om origo, og så transatere tibake ti P. Dermed har vi at en rotasjon med θ grader om P, og så en rotasjon med θ grader om Q kan skrives som t P ρ θ t P t Q ρ θ t Q. Ved å gjentatte ganger bruke at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a, kan dette forenkes ti føgende uttrykk: t P ρθ (P +ρ θ (Q ρ θ+θ (Qρ θ+θ. Dette er en rotasjon hvis og bare hvis θ + θ 0 (mod π. Oppgave 5. Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om ikke paraee injer? Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Løsning 5. Første tifeet er enkest. For det første: setter vi sammen to orienteringsreverserende isometrier er resutatet orienteringsbevarende. I tiegg har sammensetningen et fikspunkt: de to injene møtes i ett punkt, og dette bir da et fikspunkt for speiingen. Vi vet fra tidigere at en orienteringsbevarende isometri med et fikspunkt er en rotasjon. Men vi kan si mer! Nå vet vi at sammensetningen er en rotasjon om et punkt, som vi ikegodt kan anta er origo, atså kan vi skrive den som ρ θ for en eer annen θ. Tegner vi en tegning som under ser vi da at dette bir en rotasjon med vinke dobbete av vinkeen meom injene. For å finne hviken s (X θ X vinke vi roterer med, er det nok å se hvor mye ett enket punkt bir rotert. Veg da dette punktet ti å igge på. Da ser vi at origo (der vinkeen θ igger er toppen i en ikebeint trekant med punktet X og s (X som hjørner. Siden deer trekanten i to, må vinkeen være θ. Ti sutt: hva er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Ka injene og. De igger da over hverandre i en avstand a. Vi kan anta 4
5 at den nederste injen er x-aksen. Da bir også s ( a = a. Legg merke ti at om er "øverst", så er s = t a s t a. Dermed er ss = st a st a = s t s( a t a = t s( a a = t a. Vi konkuderer med at en sammensetning av to speiinger er det samme som å transatere med en avstand det dobbete av avstanden meom injene. Oppgave 6. La være injen gjennom origo med retningsvektor (a, b (b > 0. Skriv standardmatrisen ti speiingen s. Løsning 6. Vi tar først for oss tifeet når er x-aksen. I det tifeet er bare speiingen gitt ved S = 0. 0 Så strategien bir å først rotere injen sik at den sammenfaer med x-aksen, og så bruke S, og så rotere tibake ti. Det er ett å se at matrisen M θ = a b. a + b b a tar x-aksen på injen, er ortogona og har determinant. Dermed er M θ en rotasjonsmatrise. Det er også greit å se at M θ = M θ = a b. a + b b a Vi regner dermed ut at speiingen gjennom injen er gitt ved M θ SM θ = a b ab a + b. ab b a PS: Om en sår opp på Wikipedia ser en at en forme for en sik speiing er gitt ved v x x v x, v v der v = (a, b. Men ved å se hva som skjer med enhetsvektorer er det ett å se at dette faktisk er samme forme. 5
6 Oppgave 7. Beskriv symmetrigruppene ti: a En ikebeint trekant. b En ikesidet trekant. c En parabe. d Et paraeogram. e En rombe. f Et rektange. g En eipse. Løsning 7. a En ikebeint trekant: Vi antar trekanten er ikebeint, men ikke side ikesidet. En sik trekant har bare to symmetrier: som atid identiteten, og speiing gjennom en høyde. b En ikesidet trekant: En ikesidet trekant er den trekanten med fest symmetrier. Vi kan rotere 0, og vi kan refektere om hvert hjørne. Ti sammen får vi seks symmetrier, den fue trekantgruppen D 3. c En parabe: En parabe har heer ikke mange symmetrier. I det enkeste tifeet er den gitt som y = x, og da ser vi at x x er en symmetri, som svarer ti speiing om y-aksen. Dette er da også den eneste symmetrien, og dette gjeder generet (ae paraber kan ved hjep av et koordinatskifte skrives om ti noe på formen y = x. d Et paraeogram: Vi antar paraeogrammet ikke er en rombe (det vi si, siden er av forskjeig engde. Vi kan også anta at vi ikke har et rektange. Men da er det ett å se at et paraeogram ikke har noen symmetrier. e En rombe: En rombe er et paraeogram hvor siden er ike ange. I dette tifeet er speiing ov: veg et hjørne, og spei gjennom injen som går gjennom to hjørner. Dette gir ti sammen fire symmetrier: identiteten, speiing i to nabohjørner hjørner, og sammensetningen av disse. f Et rektange: Hvis rektangeet ikke er et kvadrat, er det bare speiinger vi kan gjøre. Så svaret bir akkurat det samme som med romben. 6
7 g En eipse: En eipse har fire symmetrier, akkurat som rektangeet og romben. Grunnen ti dette er at ae tre har to symmetriakser. 7
Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger
Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 007 Løsninger 1a En konjugasjonskasse i SO(3 består av ae rotasjoner med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. En konjugasjonskasse i
Detaljer3.9 Symmetri GEOMETRI
rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014
Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerRelativitet og matematikk
Reatiitet og matematikk Eementær agebra og igninger Beregning dersom rommet er absoutt og dersom det er reatit Horfor måingen i 887 ga det resutat man fant. At yset bruker ike ang tid ti å gå i ae retninger
DetaljerMEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse)
EK 50 tabiitet og knekning a konstruksjoner Høst 005 Prosjektoppgae: Forsag ti øsning (skisse). Hayman 0..005 - - Innedning Dette er kun en skisse ikke en fustendig rapport. Inndeingen i asnitt er bare
DetaljerKortfattet løsningsforslag / fasit
Kortfattet øsningsforsag / fasit Konteeksamen i FYS-MEK 1110 - Mekanikk / FYS-MEF 1110 - Mekanikk for MEF / FY-ME 100 Eksamensdag torsdag 18. august 005 (Versjon 19. august k 0840. En fei i øsningen av
DetaljerPermanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske.
1 5.1 GEERELL MAGETSME - MAGETFELT Det skies meom to typer magnetisme: Permanentmagneter - av stå med konstant magnetisme. Eektromagneter- består av en spoe som må tikopes en spenning for å bi magnetiske.
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 29. september 2014 Oppgave 1. La K være et tredimensjonalt konvekst polyeder. La K være mengden av hjørner, K mengden av kanter, og F K mengden av sideflater. To 3-dimensjonale
Detaljer12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene,
112 B12 SKIVESYSTEM Oppsummering av punkt 12.3 Enke, reguære bygg kan håndregnes etter former som er utedet. Føgende betingeser må være oppfyt. - Ae vertikae avstivende deer må ha hovedaksene i - og y-retning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 7 juni 016 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedegg: Formeark Tiatte
DetaljerOppgave 1: Blanda drops
Fysikkprøve-0402-f.nb Oppgave : Banda drops a) En avgrenset mengde oksygen-gass HO 2 L ar temperaturen T = 300 K, trykket p = 0 kpa og voum V =0,00 m 3. Beregn massen ti den avgrensede gassen. Vi bruker
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
DetaljerKjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon
Kjegesnitt Hrd Hnche-Osen hnche@mth.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Definisjon og grunneggende egenskper Et kjegesnitt er en pn kurve gitt v en styreinje, et brennpunkt B og et positivt t ε som vi ker eksentrisiteten
DetaljerDTL og universell utforming ikke godta diskriminering
DISKRIMINERINGS- OG TILGJENGELIGHETSLOVEN UNIVERSELL UTFORMING ikke godta diskriminering DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapeige universitet Institutt for matematiske fag TMA420 Numerisk øsning av part diffign med differansemetoder Vår 2005 3 Crank Nicoson er en famiie metoder som fremkommer ved
DetaljerHall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma).
FY1303 Eektrisitet og magnetisme nstitutt for fysikk, NTNU FY1303 Eektrisitet og magnetisme, høst 007 Laboratorieøvese 1 a effekt ensikt ensikten med øvesen er å gjøre seg kjent med a-effekten og måe denne
DetaljerMusikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010
Musikkens fysikk Johannes Skaar, NTNU 9. januar 2010 I aboppgavene i TFE40 Eektromagnetisme ager du en eektrisk gitar, der den vibrerende strengen setter i gang vibrasjoner på en magnet, som videre induserer
DetaljerEksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005
Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og
DetaljerInstitutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerPapirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT)
Papirprototyping Oppegg for dagen 09:30-10:00: Om papirprototyping 10:00-10:15: Diskuter probemstiing 10:30-11:30: Lag PapirPT og tistandsdiagram for bruk i testen 12:00-13:30: Test PapirPT på andre (vi
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
Detaljerforslag til lov om ikraftsetting av ny straffelov
POLITIET Poitidirektortet Postboks 8051 Dep 0031 O so Vår refer(11ue 201404859 Dato 16.09.2014 H øring - forsag ti ov om ikraftsetting av ny straffeov Vi viser ti departementets høringsbrev 17. juni d.å.,
DetaljerJEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier
FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT JEMISI(-TEKNISKE Anayser av fett og tørrstoff Sammenikning av anayseresutater ved 7 aboratorier ved Kåre Bakken og Gunnar Tertnes R.nr. 135/74 A. h. 44 BERGEN Anayser
Detaljer5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7
til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerViktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig
Innedning 1 Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftig Sik bir du bedre ti å skrive Det å skrive en oppgave er utfordrende og meningsfut. Når du skriver, egger du a din reevante kunnskap og forståese
Detaljer5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =
til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin
DetaljerINTERN TOKTRAPPORT. HAVFORSKNINGSINSTITUTTET Senter for marine ressurser. O - gruppeundersøkelser. FARTØY: "G. O. Sars"
HAVFORSKNINGSINSTITUTTET Senter for marine ressurser INTERN TOKTRAPPORT FARTØY: "G. O. Sars" AVGANG: Bodø, 27 jui 1990 k. 21.00 ANLØP: Bodø, 6 august (mannskapsskifte) ANKOMST: Tromsø, 20 august OMR~DE:
DetaljerUndersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk
Undersøkese bant ungdom 15-24 år, apri 2011 Soingsvaner og soariumsbruk Innedning Kreftforeningen har som ett av tre hovedmå å bidra ti at færre får kreft. De feste hudkrefttifeer (føfekkreft og annen
DetaljerSammen kan vi gjøre en forskjell. Her er inspirasjon som kan hjelpe deg med å komme igang!
Sammen kan vi gjøre en forskje. Her er inspirasjon som kan hjepe deg med å komme igang! HVA ER NICKELODEON S TOGETHER FOR GOOD? HVA ER PLAN INTERNATIONAL? Nickeodeon tror på at mennesker kan sammen gjøre
DetaljerHvordan vurdere samtykkekompetanse?
Geriatrisk avdeing Oso universitetssykehus Hvordan vurdere samtykkekompetanse? Torgeir Bruun Wyer Professor / overege Geriatrisk avdeing, Oso universitetssykehus Geriatrisk avdeing Oso universitetssykehus
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS140 Kvantefysikk Eksamensdag: 10. juni Tid for eksamen: 09.00 (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedegg: Ingen
Detaljera) Bruk de Broglies relasjoner for energi og bevegelsesmengde til å vise at et relativistisk graviton har dispersjonsrelasjonen ω(k) = c λ g
Oppgave Gravitasjonsbøger Gravitasjonsbøger be nyig oppdaget av LIGO-eksperimentet. Vi ska her anta at gravitasjon skydes en partikke, gjerne kat gravitonet, som har en masse m g. Under vi du få bruk for
DetaljerVi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner. " "Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle
TMA4150 Algebra Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Seksjon 16 2 Fasit: G 1 = {ρ 0, δ 2 } = G 3 = G P1 = G P3 G S1 = {ρ 0, µ 1 } = G S3 G m1 = {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ
Detaljer16x H~~~ s=~ - ~?( fts- 2Ø9. N v-: {ps--l 'l 16- f8i. - fk&e 9-~. (ptj X. ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f. ~r Ttrt~ ' (?~ x \ \ ..' 50 - (;; tf - \ {~.
- \ {~. j, H~~~ Ko ~r Ttrt~ ' N v-: \ \ 16x..' 50 - (;; tf $O 70 x X i j i {ps-- ' 16- f8i s=~ - ~?( fts- 2Ø9 ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f (?~ x - fk&e 9-~. (ptj X DIREKTIV TIL DS Ved denne sendinga føger en
DetaljerØkonomistyring for folkevalgte. Dan Lorentzen seniorrådgiver
Økonomistyring for fokevagte Dan Lorentzen seniorrådgiver Hva er økonomistyring????? Forbedre Panegge Kontroere Gjennomføre Økonomistyring Bevigningsstyring God økonomistyring = Gode hodninger Roeavkaring
DetaljerBrukerundersøkelse for Aktivitetsskolen 2015/ 2016
Brukerundersøkese for Aktivitetsskoen 2015/ 2016 Fakta om undersøkesen - Undersøkesen be hodt høsten 2015 på bestiing fra (UDE) - Samtige kommunae barneskoer med AKS er med i undersøkesen (99 stk.) - 56%
Detaljer«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og følge med» Andreas, 6 år
«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og føge med» Andreas, 6 år Meninger og tanker fra «Zippy-barn» om hva som er viktig for å ha det bra Utgiver: Voksne for Barn Redaksjonskomite:
Detaljeren forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon
TEMA: DYREHELSE REINE DYR en forutsetning for god dyreveferd og trygg matproduksjon Triveige dyr er reine og vestete. Hud og hårager er viktig i forsvaret mot skader og infeksjoner. Reint hårag er også
Detaljerfjorder på Vestlandet. av Kaare R. Gundersen
1 fjorder på Vestandet 1961-1962 av Kaare R. Gundersen FISKERIDIREKTORATETS HAVI ORSKNINGSINSTITUTT De merkemetoder som be uteksperimentert for brising i 1958 og 1959 (Gundersen 1959, 1960) er kommet ti
Detaljer(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Her bruker vi sfæriske koordinater. x = rsinθcosφ, (2) y = rsinθsinφ, (3) z = rcosθ. (4)
Oppgave 1 Hydrogenatom for kjemikere I denne oppgaven ska vi se på hydrogenatomet. Vrien i år er at vi ska skrive øsningen av Schrødingerigningen på en måte som kjemikere iker bedre. Vi ser bort fra spinn
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS1120 Eektromagnetisme Eksamensdag: 4. desember 2017 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgaesettet er på 9 sider. Vedegg: Tiatte hjepemider:
DetaljerNår en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger.
Side 1 av 8 Mekanisk spenning i materiaer Tenk på et tungt egeme som ska bæres av en konstruksjon. Konstruksjonens må tåe kraften som går fra asten ti underaget. Denne kraften virker på konstruksjonen
DetaljerFYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013
Norsk Fysikkærerforening Norsk Fysisk Seskaps faggruppe for underisning FYSIKK-OLYMPIADEN 0 0 Andre runde: 7/ 0 Skri øers: Nan, fødsesdao, e-posadresse og skoens nan Varighe: kokkeimer Hjepemider: Tabe
Detaljertli Fra tre- til stenkirke, Bø i Telemark H \~u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)~f en av grunnene til at man ønsket å bygge i sten i ,,.
,,. Fra tre- ti stenkirke, Bø i Teemark H \u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)f A.j:Jørgm H. Jensenius Med de siste års kirkebranner i Norge ser vi hvor forgjengeige særig trekirkene er. Kirkene har atid
DetaljerMØTEPROTOKOLL 14/57 14/655 INNKJØPSSTRATEGI FOR INNKJØPSSAMARBEIDET INDRE ØSTFOLD 14/58 14/656 INDRE ØSTFOLD KOMMUNEREVISJON IKS -NY SELSKAPSAVTALE
MØTEPROTOKOLL Kommunestyret Møtedato: Forfa: Varamedemmer: Andre: 22.09.2014 Tid: 18:30-21:15 Arne Sohaug (H), Inge Herman Rydand (KrF), Siri Dingstad Johansen (H) Aeksander Abotnes, Anne Karine Grarnen
DetaljerElisabeth fra Lier gikk ned 6 kilo
DRAMMEN SENTER GRATIS AVIS Treningssenter for vektreduksjon! 32 69 90 09 www.drammen.easyife.no 2 2016 UTGAVE 46 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Eisabeth fra Lier gikk ned 6 kio Og karte å egge om
DetaljerR l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket
R N G E R K S B A N E N Jernbaneverket Hovedpan. fase 1 har vi utredet prosjektet. Nå ska det ages en hovedpan for Ringeriksbanen. utgangspunket har vi kun fastpunktene Sandvika -Kroksund -Hønefoss for
DetaljerGeometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015
Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
Detaljer1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser
1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljerbankens informasjon til unge voksne
På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 FNO og Forbrukerombudet har utarbeidet dette notatet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken, uavhengig
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
Detaljer24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0
24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0 1 A Ressursbruk og effektivisering i kommunesektoren NHO 24. okt 1996 I Samf.sjef Arid Bøhn
DetaljerMØTEINNKALLING. Tillegg SAKLISTE HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING. Utvalg: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.
Utvag: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.2014 Tid: k1830 MØTEINNKALLING HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING Forfa bes medt i god tid sik at vararepresentant kan bi innkat. Forfa ska medes ti servicekontoret,
Detaljerbankens informasjon til unge voksne
På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 Finans Norge og Forbrukerombudet har utarbeidet dette heftet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken,
DetaljerKlosters fileteringsmaskin. Rapport fra besøk
- FISKE I!REKTORATETS JEMIS -TE NIS E FORSKNINGSINSTITUTT Kosters fieteringsmaskin. Rapport fra besøk 27.7.1959 ved Einar Soa. A-ugust 1959; R~nr; 56/59. A. h. 44. BERGEN Konkusjon. Der er ikke tvi om
DetaljerAnvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC
2019 Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC Innhold Oppgaver... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 2 Oppgave 3... 2 Oppgave 4... 2 Oppgave 5... 3 Oppgave 6... 4 Oppgave 7... 5 Oppgave
DetaljerGeometri i planet. Kapittel Geometrisk tolkning av lineære avbildninger
Kaittel 4 Geometri i lanet I dette og det neste kaitlet skal vi studere vektorrom i og dimensjoner, dvs. R og R. Vi har valgt å kalle kaitlene geometri i lan eller rom fordi vi i utgangsanktet skal bruke
DetaljerKjære. mamma og pappa. Jeg vil bare fortelle dere at det er mye vanskeligere å oppleve en skilsmisse enn det dere tror
Kjære mamma og pappa Jeg vi bare fortee dere at det er mye vanskeigere å oppeve en skismisse enn det dere tror innhod Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 Utgiver: Voksne for
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
Detaljer=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
DetaljerVelkommen til barneidrett i IF Birkebeineren.
Vekommen ti barneidrett i IF Birkebeineren. Må for a barneidrett i IF Birkebeineren: IBK tibyr aktiviteter og idretter som gjør at fest muig barn finner ønsket tibud i kubben. Fest muig barn og unge er
DetaljerBlant de mange undersøkelser Håkon Christie har gjort i norske kirker er også
Trp stavkirke Må g frhd i paneggingen JØRGEN H. JENSENIUS Bant de mange undersøkeser Håkn Christie har gjrt i nrske kirker er gså en undersøkese av Trp stavkirke (Christie 1981:116-145). Ved siden av ppmåing
DetaljerHar fått hjelp av Morten både til å gå ned 16 og 26 kilo
Nye kurs starter nå! 2 2016 UTGAVE 12 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Ring for å sikre deg pass! Har fått hjep av Morten både ti å gå ned 16 og 26 kio Jeg må bare berømme innehaveren av Kristiansand
Detaljerwww.wonderlandbeds.com Wonderland 332 Regulerbar seng Regulerbar seng Reglerbar säng Säätösänky Verstelbaar bed Das justierbare Bett Adjustable bed
www.wonderandbeds.com Wonderand 332 DK SE FI NL DE GB Reguerbar seng Reguerbar seng Regerbar säng Säätösänky Verstebaar bed Das justierbare Bett Adjustabe bed Lykke ti med vaget av ditt nye Wonderandprodukt.
DetaljerEksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006
Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerGå ned 15 kilo før sommerferien
DRAMMEN SENTER GRATIS AVIS Treningssenter for vektreduksjon! 32 69 90 09 www.drammen.easyife.no 2 2019 UTGAVE 46 Gå ned 15 kio før sommerferien Bjørnar Svensson (56) fra Åskoen har vist at det er muig.
DetaljerKJM Radiokjemidelen
Patikke i boks - en dimensjon KJM 1060 - Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e:
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerSUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS
SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS 45 1972-2017 Totaeverandør innen avfashåndtering SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS Din partner innen avfa og transport Sunn-Trans startet med containerservice i Åesund i
DetaljerEKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk
EKSAMEN Emnekode: ITD11006 Emne: Fysikk og datateknikk Dato: 05. Mai 010 Eksamenstid: k 9:00 ti k 13:00 Hjepemider: 4 sider (A4) ( ark) med egne notater. Kakuator. Gruppebesvarese, som bir det ut på eksamensdagen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
NIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige akutet Eksamen i: FYS 13 - Svingninger og bøger Eksamensdag: 4. mars 6 Tid or eksamen: K. 9-1 Godkjente hjepemider: Øgrim og Lian (eer Ange og Lian):
DetaljerEt kvadrats symmetrier en motivasjon
Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og
DetaljerKJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR
KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR INNHOLD Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 UTGIVER: Voksne
DetaljerDommeren gikk ned 31 kilo på tre og en halv måned
Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 29 www.easyife.no NARVIK RING 90 25 31 19 Dommeren gikk ned 31 kio på tre og en hav måned Nå bir det tøffere å ure meg. Med en ettere og mer mobi kropp,
Detaljerskinne Tekster av ungdom som vet mye om livet
organisasjonen Voksne for barn Født ti å skinne Tekster av ungdom som vet mye om ivet innedning Men Hvorfor var det ingen som gjorde noe? Ingen som hjap deg, eer noen gang forkart at det kanskje ikke bare
DetaljerHar kjørt 672 mil for å få hjelp til å gå ned 16 kilo og holde vekten
3 2018 UTGAVE 12 Varig vektreduksjon og ivsstisendring! Har kjørt 672 mi for å få hjep ti å gå ned 16 kio og hode vekten Bi sett få hjep! Fok tror jeg er ga som kjører en time hver vei fra Vigeand ti Kristiansand
DetaljerUtsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006
Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent
DetaljerÅrsmelding 2014 fra Pasient- og brukerombudene i Aust-Agder og Vest-Agder
Pasient- og brukerombudet Vest-Agder Kommunene i Vest-Agder Deres ref-i Saksbehander: Ei Marie Gotteberg Direkte teefon: 37017491 js/bzl Vår ref; 15/2144-3 Dato: 10.02.2015 Årsmeding 2014 fra Pasient-
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerEmne 6. Lineære transformasjoner. Del 1
Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter
DetaljerForeldreskjema. Skjemaet skal leses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke blå eller sort kulepenn og skrive tydelig:
Foredreskjema Skjemaet ska eses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke bå eer sort kuepenn og skrive tydeig: I de små avkrysningsboksene setter du et kryss inni boksen for det svaret som du mener passer
DetaljerHege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!
Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25
Detaljer/ Vask av eiendommer i Landbruksregisteret mot matrikkelen
I Fykesmannen i Sør-Trøndeag Postboks 4710 Suppen, 7468 Trondheim Sentrabord: 73 19 90 00 Besøksadresse: E. C. Dahs g. 10 Saksbehander Trine Gevingås Landbruk og bygdeutviking Innvagsteefon Vår dato Vår
DetaljerHege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!
Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25
DetaljerLinjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006
3. Januar 2006 Konveksitet Hva er en konveks mengde med punkter? En punktmengde er konveks dersom alle linjestykkene med endepunkter i mengden er helt inneholdt i mengden. Eksempler: Et linjestykke (den
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
Detaljer( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematis-naturvitensapeige fautet Esamen i: GE22 Esamensdag: 23. mars 21 Tid for esamen: 15.-17. Oppgavesettet er på 2 sider Vedegg: Sondediagram Tiatte hjepemider: Kauator
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
Detaljer