Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014"

Transkript

1 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen t a ρ θ eer t a ρ θ s. Løsning. Først, egg merke ti at isometrier på den første formen er orienteringsbevarende (verken rotasjoner eer transasjoner endrer orientering. Så m må kunne skrives som m = t a ρ θ s. Vi viste også at Dermed er m = (t a ρ θ s(t a ρ θ s = t a ρ θ st a ρ θ s = t a sρ θ t a ρ θ s = t a sρ θ ρ θ t ρ θ ( as = t a st ρ θ ( as = t a t sρ θ ( as = t a+sρ θ ( a Litt forkaring. Første ikhet er bare å fjerne parenteser. I (* bruker vi, som vi ærte i forrige oppgave, at ρ θ s = sρ θ. I (** bruker vi at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a. I (*** bruker vi at ρ θ ρ θ = id, og i (**** bruker vi at t b s = st s( b. Ti sutt bruker vi at s = id. Vi står igjen med noe som bare er en transasjon. Oppgave. Gi en begrunnese for hver ikhet i utregningen ti sutt i beviset for Setning.4.

2 Løsning. Det vi har yst å vise er at t a s = t w s. La oss huske hva ae disse bokstavene betyr. Tidigere i beviset be det vist at en orienteringsreverserende isometri kan skrives på formen m = t a s, hvor s er en speiing om en inje. Her hjeper det vedig å tegne en tegning. La være injen utspent av vektoren v. Siden R er -dimensjona, er { v, v } en basis for R. Så vi kan skrive a = ( a v v + ( a v v def. La w = def ( a v v og w = ( a v v. La være inja { w + λ v λ R}. w a w v Se på iustrasjonen over. Den første påstanden i beviset er at s = t w s t w. I ord sier dette at å speie gjennom inja er det samme som først å fytte hee panet ned med vektoren w (sik at bir sendt på, refektere, og så transatere opp igjen. La { w, w } være standardbasis for R. Da er det ikke så gærnt å se fra tegningen at s er gitt som ( ( ( x x 0 +. x x

3 Men dette kan vi skrive om ti ( ( ( ( x x x x ( x 0 = s ( + s ( ( x ( x = s ( x ( 0 = t w s t w ( x. + ( 0 ( 0 + Så vi konkuderer med at s = t w s t w. Neste ikhet i beviset er s t w = t s. Husk at w er ortogona på, så å speie i vi sende w på w. Dermed har vi at s t w ( x = s ( x w = s ( x + w = t w s ( x. Her brukte vi at siden s sender origo på origo, så er s ineær. Siste ikheten i beviset er at t w t w t w = t a. Dette er åpenbart siden atid t a t b = t a+ b og a = w + w. Oppgave 3. Anta m er en isometri av panet som tar en inje på seg sev, m( =, og at m er en transasjon med en vektor a. Gi et geometrisk argument for at m enten er en speiing, en gidespeiing eer transasjonen t a. Løsning 3. For det første: a m være mt a. Da bir m = id, siden det ikke er noen transasjon angs injen enger. Så probemet bir nå: gitt at vi ska hode en he inje fast, hvordan kan vi da fytte rundt på panet? Vi vet at ae isometrier av panet enten er transasjoner, rotasjoner, speiinger eer gidespeiinger. m kan ikke være en transasjon, siden transasjoner ikke har fikspunkter, og m fikserer origo. m kan heer ikke være en rotasjon, siden den ska fiksere inja (det kunne muigens ha vært en rotasjon på 80, men da vie ikke m = id. m kan heer ikke være en gidespeiing, siden gidespeiinger ikke har fikspunkter. Vi konkuderer med at eneste muighet er at m er enten en speiing om inja eer identiteten. Med andre ord: siden m = mt a, er m = m t a. m = s eer id, så m er ik st a eer t a. Siden a enten er 0 eer en vektor parae med, er m ik enten identiteten, en speiing, eer en gidespeiing. Oppgave 4. Bruk Setning.4 ti å vise at sammensetningen av to rotasjoner om to forskjeige punkter er enten en rotasjon om et tredje punkt eer en transasjon. Når er det en transasjon? 3

4 Løsning 4. Å rotere om et punkt P er det samme som å først transatere P ti origo, rotere om origo, og så transatere tibake ti P. Dermed har vi at en rotasjon med θ grader om P, og så en rotasjon med θ grader om Q kan skrives som t P ρ θ t P t Q ρ θ t Q. Ved å gjentatte ganger bruke at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a, kan dette forenkes ti føgende uttrykk: t P ρθ (P +ρ θ (Q ρ θ+θ (Qρ θ+θ. Dette er en rotasjon hvis og bare hvis θ + θ 0 (mod π. Oppgave 5. Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om ikke paraee injer? Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Løsning 5. Første tifeet er enkest. For det første: setter vi sammen to orienteringsreverserende isometrier er resutatet orienteringsbevarende. I tiegg har sammensetningen et fikspunkt: de to injene møtes i ett punkt, og dette bir da et fikspunkt for speiingen. Vi vet fra tidigere at en orienteringsbevarende isometri med et fikspunkt er en rotasjon. Men vi kan si mer! Nå vet vi at sammensetningen er en rotasjon om et punkt, som vi ikegodt kan anta er origo, atså kan vi skrive den som ρ θ for en eer annen θ. Tegner vi en tegning som under ser vi da at dette bir en rotasjon med vinke dobbete av vinkeen meom injene. For å finne hviken s (X θ X vinke vi roterer med, er det nok å se hvor mye ett enket punkt bir rotert. Veg da dette punktet ti å igge på. Da ser vi at origo (der vinkeen θ igger er toppen i en ikebeint trekant med punktet X og s (X som hjørner. Siden deer trekanten i to, må vinkeen være θ. Ti sutt: hva er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Ka injene og. De igger da over hverandre i en avstand a. Vi kan anta 4

5 at den nederste injen er x-aksen. Da bir også s ( a = a. Legg merke ti at om er "øverst", så er s = t a s t a. Dermed er ss = st a st a = s t s( a t a = t s( a a = t a. Vi konkuderer med at en sammensetning av to speiinger er det samme som å transatere med en avstand det dobbete av avstanden meom injene. Oppgave 6. La være injen gjennom origo med retningsvektor (a, b (b > 0. Skriv standardmatrisen ti speiingen s. Løsning 6. Vi tar først for oss tifeet når er x-aksen. I det tifeet er bare speiingen gitt ved S = 0. 0 Så strategien bir å først rotere injen sik at den sammenfaer med x-aksen, og så bruke S, og så rotere tibake ti. Det er ett å se at matrisen M θ = a b. a + b b a tar x-aksen på injen, er ortogona og har determinant. Dermed er M θ en rotasjonsmatrise. Det er også greit å se at M θ = M θ = a b. a + b b a Vi regner dermed ut at speiingen gjennom injen er gitt ved M θ SM θ = a b ab a + b. ab b a PS: Om en sår opp på Wikipedia ser en at en forme for en sik speiing er gitt ved v x x v x, v v der v = (a, b. Men ved å se hva som skjer med enhetsvektorer er det ett å se at dette faktisk er samme forme. 5

6 Oppgave 7. Beskriv symmetrigruppene ti: a En ikebeint trekant. b En ikesidet trekant. c En parabe. d Et paraeogram. e En rombe. f Et rektange. g En eipse. Løsning 7. a En ikebeint trekant: Vi antar trekanten er ikebeint, men ikke side ikesidet. En sik trekant har bare to symmetrier: som atid identiteten, og speiing gjennom en høyde. b En ikesidet trekant: En ikesidet trekant er den trekanten med fest symmetrier. Vi kan rotere 0, og vi kan refektere om hvert hjørne. Ti sammen får vi seks symmetrier, den fue trekantgruppen D 3. c En parabe: En parabe har heer ikke mange symmetrier. I det enkeste tifeet er den gitt som y = x, og da ser vi at x x er en symmetri, som svarer ti speiing om y-aksen. Dette er da også den eneste symmetrien, og dette gjeder generet (ae paraber kan ved hjep av et koordinatskifte skrives om ti noe på formen y = x. d Et paraeogram: Vi antar paraeogrammet ikke er en rombe (det vi si, siden er av forskjeig engde. Vi kan også anta at vi ikke har et rektange. Men da er det ett å se at et paraeogram ikke har noen symmetrier. e En rombe: En rombe er et paraeogram hvor siden er ike ange. I dette tifeet er speiing ov: veg et hjørne, og spei gjennom injen som går gjennom to hjørner. Dette gir ti sammen fire symmetrier: identiteten, speiing i to nabohjørner hjørner, og sammensetningen av disse. f Et rektange: Hvis rektangeet ikke er et kvadrat, er det bare speiinger vi kan gjøre. Så svaret bir akkurat det samme som med romben. 6

7 g En eipse: En eipse har fire symmetrier, akkurat som rektangeet og romben. Grunnen ti dette er at ae tre har to symmetriakser. 7

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 007 Løsninger 1a En konjugasjonskasse i SO(3 består av ae rotasjoner med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. En konjugasjonskasse i

Detaljer

3.9 Symmetri GEOMETRI

3.9 Symmetri GEOMETRI rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Relativitet og matematikk

Relativitet og matematikk Reatiitet og matematikk Eementær agebra og igninger Beregning dersom rommet er absoutt og dersom det er reatit Horfor måingen i 887 ga det resutat man fant. At yset bruker ike ang tid ti å gå i ae retninger

Detaljer

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse)

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse) EK 50 tabiitet og knekning a konstruksjoner Høst 005 Prosjektoppgae: Forsag ti øsning (skisse). Hayman 0..005 - - Innedning Dette er kun en skisse ikke en fustendig rapport. Inndeingen i asnitt er bare

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag / fasit

Kortfattet løsningsforslag / fasit Kortfattet øsningsforsag / fasit Konteeksamen i FYS-MEK 1110 - Mekanikk / FYS-MEF 1110 - Mekanikk for MEF / FY-ME 100 Eksamensdag torsdag 18. august 005 (Versjon 19. august k 0840. En fei i øsningen av

Detaljer

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske.

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske. 1 5.1 GEERELL MAGETSME - MAGETFELT Det skies meom to typer magnetisme: Permanentmagneter - av stå med konstant magnetisme. Eektromagneter- består av en spoe som må tikopes en spenning for å bi magnetiske.

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014 Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 29. september 2014 Oppgave 1. La K være et tredimensjonalt konvekst polyeder. La K være mengden av hjørner, K mengden av kanter, og F K mengden av sideflater. To 3-dimensjonale

Detaljer

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene,

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene, 112 B12 SKIVESYSTEM Oppsummering av punkt 12.3 Enke, reguære bygg kan håndregnes etter former som er utedet. Føgende betingeser må være oppfyt. - Ae vertikae avstivende deer må ha hovedaksene i - og y-retning

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 7 juni 016 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedegg: Formeark Tiatte

Detaljer

Oppgave 1: Blanda drops

Oppgave 1: Blanda drops Fysikkprøve-0402-f.nb Oppgave : Banda drops a) En avgrenset mengde oksygen-gass HO 2 L ar temperaturen T = 300 K, trykket p = 0 kpa og voum V =0,00 m 3. Beregn massen ti den avgrensede gassen. Vi bruker

Detaljer

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.

Detaljer

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1 Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M

Detaljer

Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon

Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon Kjegesnitt Hrd Hnche-Osen hnche@mth.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Definisjon og grunneggende egenskper Et kjegesnitt er en pn kurve gitt v en styreinje, et brennpunkt B og et positivt t ε som vi ker eksentrisiteten

Detaljer

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering DISKRIMINERINGS- OG TILGJENGELIGHETSLOVEN UNIVERSELL UTFORMING ikke godta diskriminering DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL

Detaljer

TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005

TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005 Norges teknisk naturvitenskapeige universitet Institutt for matematiske fag TMA420 Numerisk øsning av part diffign med differansemetoder Vår 2005 3 Crank Nicoson er en famiie metoder som fremkommer ved

Detaljer

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma).

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma). FY1303 Eektrisitet og magnetisme nstitutt for fysikk, NTNU FY1303 Eektrisitet og magnetisme, høst 007 Laboratorieøvese 1 a effekt ensikt ensikten med øvesen er å gjøre seg kjent med a-effekten og måe denne

Detaljer

Musikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010

Musikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010 Musikkens fysikk Johannes Skaar, NTNU 9. januar 2010 I aboppgavene i TFE40 Eektromagnetisme ager du en eektrisk gitar, der den vibrerende strengen setter i gang vibrasjoner på en magnet, som videre induserer

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1 Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT)

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT) Papirprototyping Oppegg for dagen 09:30-10:00: Om papirprototyping 10:00-10:15: Diskuter probemstiing 10:30-11:30: Lag PapirPT og tistandsdiagram for bruk i testen 12:00-13:30: Test PapirPT på andre (vi

Detaljer

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner

Karakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte

Detaljer

forslag til lov om ikraftsetting av ny straffelov

forslag til lov om ikraftsetting av ny straffelov POLITIET Poitidirektortet Postboks 8051 Dep 0031 O so Vår refer(11ue 201404859 Dato 16.09.2014 H øring - forsag ti ov om ikraftsetting av ny straffeov Vi viser ti departementets høringsbrev 17. juni d.å.,

Detaljer

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT JEMISI(-TEKNISKE Anayser av fett og tørrstoff Sammenikning av anayseresutater ved 7 aboratorier ved Kåre Bakken og Gunnar Tertnes R.nr. 135/74 A. h. 44 BERGEN Anayser

Detaljer

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7 til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig Innedning 1 Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftig Sik bir du bedre ti å skrive Det å skrive en oppgave er utfordrende og meningsfut. Når du skriver, egger du a din reevante kunnskap og forståese

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

INTERN TOKTRAPPORT. HAVFORSKNINGSINSTITUTTET Senter for marine ressurser. O - gruppeundersøkelser. FARTØY: "G. O. Sars"

INTERN TOKTRAPPORT. HAVFORSKNINGSINSTITUTTET Senter for marine ressurser. O - gruppeundersøkelser. FARTØY: G. O. Sars HAVFORSKNINGSINSTITUTTET Senter for marine ressurser INTERN TOKTRAPPORT FARTØY: "G. O. Sars" AVGANG: Bodø, 27 jui 1990 k. 21.00 ANLØP: Bodø, 6 august (mannskapsskifte) ANKOMST: Tromsø, 20 august OMR~DE:

Detaljer

Undersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk

Undersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk Undersøkese bant ungdom 15-24 år, apri 2011 Soingsvaner og soariumsbruk Innedning Kreftforeningen har som ett av tre hovedmå å bidra ti at færre får kreft. De feste hudkrefttifeer (føfekkreft og annen

Detaljer

Sammen kan vi gjøre en forskjell. Her er inspirasjon som kan hjelpe deg med å komme igang!

Sammen kan vi gjøre en forskjell. Her er inspirasjon som kan hjelpe deg med å komme igang! Sammen kan vi gjøre en forskje. Her er inspirasjon som kan hjepe deg med å komme igang! HVA ER NICKELODEON S TOGETHER FOR GOOD? HVA ER PLAN INTERNATIONAL? Nickeodeon tror på at mennesker kan sammen gjøre

Detaljer

Hvordan vurdere samtykkekompetanse?

Hvordan vurdere samtykkekompetanse? Geriatrisk avdeing Oso universitetssykehus Hvordan vurdere samtykkekompetanse? Torgeir Bruun Wyer Professor / overege Geriatrisk avdeing, Oso universitetssykehus Geriatrisk avdeing Oso universitetssykehus

Detaljer

Geometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved

Geometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS140 Kvantefysikk Eksamensdag: 10. juni Tid for eksamen: 09.00 (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedegg: Ingen

Detaljer

a) Bruk de Broglies relasjoner for energi og bevegelsesmengde til å vise at et relativistisk graviton har dispersjonsrelasjonen ω(k) = c λ g

a) Bruk de Broglies relasjoner for energi og bevegelsesmengde til å vise at et relativistisk graviton har dispersjonsrelasjonen ω(k) = c λ g Oppgave Gravitasjonsbøger Gravitasjonsbøger be nyig oppdaget av LIGO-eksperimentet. Vi ska her anta at gravitasjon skydes en partikke, gjerne kat gravitonet, som har en masse m g. Under vi du få bruk for

Detaljer

Vi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner. " "Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle

Vi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner.  Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle TMA4150 Algebra Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Seksjon 16 2 Fasit: G 1 = {ρ 0, δ 2 } = G 3 = G P1 = G P3 G S1 = {ρ 0, µ 1 } = G S3 G m1 = {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ

Detaljer

16x H~~~ s=~ - ~?( fts- 2Ø9. N v-: {ps--l 'l 16- f8i. - fk&e 9-~. (ptj X. ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f. ~r Ttrt~ ' (?~ x \ \ ..' 50 - (;; tf - \ {~.

16x H~~~ s=~ - ~?( fts- 2Ø9. N v-: {ps--l 'l 16- f8i. - fk&e 9-~. (ptj X. ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f. ~r Ttrt~ ' (?~ x \ \ ..' 50 - (;; tf - \ {~. - \ {~. j, H~~~ Ko ~r Ttrt~ ' N v-: \ \ 16x..' 50 - (;; tf $O 70 x X i j i {ps-- ' 16- f8i s=~ - ~?( fts- 2Ø9 ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f (?~ x - fk&e 9-~. (ptj X DIREKTIV TIL DS Ved denne sendinga føger en

Detaljer

Økonomistyring for folkevalgte. Dan Lorentzen seniorrådgiver

Økonomistyring for folkevalgte. Dan Lorentzen seniorrådgiver Økonomistyring for fokevagte Dan Lorentzen seniorrådgiver Hva er økonomistyring????? Forbedre Panegge Kontroere Gjennomføre Økonomistyring Bevigningsstyring God økonomistyring = Gode hodninger Roeavkaring

Detaljer

Brukerundersøkelse for Aktivitetsskolen 2015/ 2016

Brukerundersøkelse for Aktivitetsskolen 2015/ 2016 Brukerundersøkese for Aktivitetsskoen 2015/ 2016 Fakta om undersøkesen - Undersøkesen be hodt høsten 2015 på bestiing fra (UDE) - Samtige kommunae barneskoer med AKS er med i undersøkesen (99 stk.) - 56%

Detaljer

«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og følge med» Andreas, 6 år

«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og følge med» Andreas, 6 år «Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og føge med» Andreas, 6 år Meninger og tanker fra «Zippy-barn» om hva som er viktig for å ha det bra Utgiver: Voksne for Barn Redaksjonskomite:

Detaljer

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon TEMA: DYREHELSE REINE DYR en forutsetning for god dyreveferd og trygg matproduksjon Triveige dyr er reine og vestete. Hud og hårager er viktig i forsvaret mot skader og infeksjoner. Reint hårag er også

Detaljer

fjorder på Vestlandet. av Kaare R. Gundersen

fjorder på Vestlandet. av Kaare R. Gundersen 1 fjorder på Vestandet 1961-1962 av Kaare R. Gundersen FISKERIDIREKTORATETS HAVI ORSKNINGSINSTITUTT De merkemetoder som be uteksperimentert for brising i 1958 og 1959 (Gundersen 1959, 1960) er kommet ti

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Her bruker vi sfæriske koordinater. x = rsinθcosφ, (2) y = rsinθsinφ, (3) z = rcosθ. (4)

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Her bruker vi sfæriske koordinater. x = rsinθcosφ, (2) y = rsinθsinφ, (3) z = rcosθ. (4) Oppgave 1 Hydrogenatom for kjemikere I denne oppgaven ska vi se på hydrogenatomet. Vrien i år er at vi ska skrive øsningen av Schrødingerigningen på en måte som kjemikere iker bedre. Vi ser bort fra spinn

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS1120 Eektromagnetisme Eksamensdag: 4. desember 2017 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgaesettet er på 9 sider. Vedegg: Tiatte hjepemider:

Detaljer

Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger.

Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger. Side 1 av 8 Mekanisk spenning i materiaer Tenk på et tungt egeme som ska bæres av en konstruksjon. Konstruksjonens må tåe kraften som går fra asten ti underaget. Denne kraften virker på konstruksjonen

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013 Norsk Fysikkærerforening Norsk Fysisk Seskaps faggruppe for underisning FYSIKK-OLYMPIADEN 0 0 Andre runde: 7/ 0 Skri øers: Nan, fødsesdao, e-posadresse og skoens nan Varighe: kokkeimer Hjepemider: Tabe

Detaljer

tli Fra tre- til stenkirke, Bø i Telemark H \~u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)~f en av grunnene til at man ønsket å bygge i sten i ,,.

tli Fra tre- til stenkirke, Bø i Telemark H \~u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)~f en av grunnene til at man ønsket å bygge i sten i ,,. ,,. Fra tre- ti stenkirke, Bø i Teemark H \u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)f A.j:Jørgm H. Jensenius Med de siste års kirkebranner i Norge ser vi hvor forgjengeige særig trekirkene er. Kirkene har atid

Detaljer

MØTEPROTOKOLL 14/57 14/655 INNKJØPSSTRATEGI FOR INNKJØPSSAMARBEIDET INDRE ØSTFOLD 14/58 14/656 INDRE ØSTFOLD KOMMUNEREVISJON IKS -NY SELSKAPSAVTALE

MØTEPROTOKOLL 14/57 14/655 INNKJØPSSTRATEGI FOR INNKJØPSSAMARBEIDET INDRE ØSTFOLD 14/58 14/656 INDRE ØSTFOLD KOMMUNEREVISJON IKS -NY SELSKAPSAVTALE MØTEPROTOKOLL Kommunestyret Møtedato: Forfa: Varamedemmer: Andre: 22.09.2014 Tid: 18:30-21:15 Arne Sohaug (H), Inge Herman Rydand (KrF), Siri Dingstad Johansen (H) Aeksander Abotnes, Anne Karine Grarnen

Detaljer

Elisabeth fra Lier gikk ned 6 kilo

Elisabeth fra Lier gikk ned 6 kilo DRAMMEN SENTER GRATIS AVIS Treningssenter for vektreduksjon! 32 69 90 09 www.drammen.easyife.no 2 2016 UTGAVE 46 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Eisabeth fra Lier gikk ned 6 kio Og karte å egge om

Detaljer

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket R N G E R K S B A N E N Jernbaneverket Hovedpan. fase 1 har vi utredet prosjektet. Nå ska det ages en hovedpan for Ringeriksbanen. utgangspunket har vi kun fastpunktene Sandvika -Kroksund -Hønefoss for

Detaljer

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring

Detaljer

Diagonalisering. Kapittel 10

Diagonalisering. Kapittel 10 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

bankens informasjon til unge voksne

bankens informasjon til unge voksne På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 FNO og Forbrukerombudet har utarbeidet dette notatet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken, uavhengig

Detaljer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b. .9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =

Detaljer

24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0

24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0 24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0 1 A Ressursbruk og effektivisering i kommunesektoren NHO 24. okt 1996 I Samf.sjef Arid Bøhn

Detaljer

MØTEINNKALLING. Tillegg SAKLISTE HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING. Utvalg: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.

MØTEINNKALLING. Tillegg SAKLISTE HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING. Utvalg: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01. Utvag: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.2014 Tid: k1830 MØTEINNKALLING HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING Forfa bes medt i god tid sik at vararepresentant kan bi innkat. Forfa ska medes ti servicekontoret,

Detaljer

bankens informasjon til unge voksne

bankens informasjon til unge voksne På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 Finans Norge og Forbrukerombudet har utarbeidet dette heftet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken,

Detaljer

Klosters fileteringsmaskin. Rapport fra besøk

Klosters fileteringsmaskin. Rapport fra besøk - FISKE I!REKTORATETS JEMIS -TE NIS E FORSKNINGSINSTITUTT Kosters fieteringsmaskin. Rapport fra besøk 27.7.1959 ved Einar Soa. A-ugust 1959; R~nr; 56/59. A. h. 44. BERGEN Konkusjon. Der er ikke tvi om

Detaljer

Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC

Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC 2019 Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC Innhold Oppgaver... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 2 Oppgave 3... 2 Oppgave 4... 2 Oppgave 5... 3 Oppgave 6... 4 Oppgave 7... 5 Oppgave

Detaljer

Geometri i planet. Kapittel Geometrisk tolkning av lineære avbildninger

Geometri i planet. Kapittel Geometrisk tolkning av lineære avbildninger Kaittel 4 Geometri i lanet I dette og det neste kaitlet skal vi studere vektorrom i og dimensjoner, dvs. R og R. Vi har valgt å kalle kaitlene geometri i lan eller rom fordi vi i utgangsanktet skal bruke

Detaljer

Kjære. mamma og pappa. Jeg vil bare fortelle dere at det er mye vanskeligere å oppleve en skilsmisse enn det dere tror

Kjære. mamma og pappa. Jeg vil bare fortelle dere at det er mye vanskeligere å oppleve en skilsmisse enn det dere tror Kjære mamma og pappa Jeg vi bare fortee dere at det er mye vanskeigere å oppeve en skismisse enn det dere tror innhod Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 Utgiver: Voksne for

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11

=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11 3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)

Detaljer

Velkommen til barneidrett i IF Birkebeineren.

Velkommen til barneidrett i IF Birkebeineren. Vekommen ti barneidrett i IF Birkebeineren. Må for a barneidrett i IF Birkebeineren: IBK tibyr aktiviteter og idretter som gjør at fest muig barn finner ønsket tibud i kubben. Fest muig barn og unge er

Detaljer

Blant de mange undersøkelser Håkon Christie har gjort i norske kirker er også

Blant de mange undersøkelser Håkon Christie har gjort i norske kirker er også Trp stavkirke Må g frhd i paneggingen JØRGEN H. JENSENIUS Bant de mange undersøkeser Håkn Christie har gjrt i nrske kirker er gså en undersøkese av Trp stavkirke (Christie 1981:116-145). Ved siden av ppmåing

Detaljer

Har fått hjelp av Morten både til å gå ned 16 og 26 kilo

Har fått hjelp av Morten både til å gå ned 16 og 26 kilo Nye kurs starter nå! 2 2016 UTGAVE 12 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Ring for å sikre deg pass! Har fått hjep av Morten både ti å gå ned 16 og 26 kio Jeg må bare berømme innehaveren av Kristiansand

Detaljer

www.wonderlandbeds.com Wonderland 332 Regulerbar seng Regulerbar seng Reglerbar säng Säätösänky Verstelbaar bed Das justierbare Bett Adjustable bed

www.wonderlandbeds.com Wonderland 332 Regulerbar seng Regulerbar seng Reglerbar säng Säätösänky Verstelbaar bed Das justierbare Bett Adjustable bed www.wonderandbeds.com Wonderand 332 DK SE FI NL DE GB Reguerbar seng Reguerbar seng Regerbar säng Säätösänky Verstebaar bed Das justierbare Bett Adjustabe bed Lykke ti med vaget av ditt nye Wonderandprodukt.

Detaljer

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006 Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står

Detaljer

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005 TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til

Detaljer

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018 7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A

Detaljer

Gå ned 15 kilo før sommerferien

Gå ned 15 kilo før sommerferien DRAMMEN SENTER GRATIS AVIS Treningssenter for vektreduksjon! 32 69 90 09 www.drammen.easyife.no 2 2019 UTGAVE 46 Gå ned 15 kio før sommerferien Bjørnar Svensson (56) fra Åskoen har vist at det er muig.

Detaljer

KJM Radiokjemidelen

KJM Radiokjemidelen Patikke i boks - en dimensjon KJM 1060 - Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e:

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS

SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS 45 1972-2017 Totaeverandør innen avfashåndtering SUNN-TRANS SUNNMØRE TRANSPORT AS Din partner innen avfa og transport Sunn-Trans startet med containerservice i Åesund i

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk EKSAMEN Emnekode: ITD11006 Emne: Fysikk og datateknikk Dato: 05. Mai 010 Eksamenstid: k 9:00 ti k 13:00 Hjepemider: 4 sider (A4) ( ark) med egne notater. Kakuator. Gruppebesvarese, som bir det ut på eksamensdagen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet NIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige akutet Eksamen i: FYS 13 - Svingninger og bøger Eksamensdag: 4. mars 6 Tid or eksamen: K. 9-1 Godkjente hjepemider: Øgrim og Lian (eer Ange og Lian):

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR

KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR INNHOLD Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 UTGIVER: Voksne

Detaljer

Dommeren gikk ned 31 kilo på tre og en halv måned

Dommeren gikk ned 31 kilo på tre og en halv måned Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 29 www.easyife.no NARVIK RING 90 25 31 19 Dommeren gikk ned 31 kio på tre og en hav måned Nå bir det tøffere å ure meg. Med en ettere og mer mobi kropp,

Detaljer

skinne Tekster av ungdom som vet mye om livet

skinne Tekster av ungdom som vet mye om livet organisasjonen Voksne for barn Født ti å skinne Tekster av ungdom som vet mye om ivet innedning Men Hvorfor var det ingen som gjorde noe? Ingen som hjap deg, eer noen gang forkart at det kanskje ikke bare

Detaljer

Har kjørt 672 mil for å få hjelp til å gå ned 16 kilo og holde vekten

Har kjørt 672 mil for å få hjelp til å gå ned 16 kilo og holde vekten 3 2018 UTGAVE 12 Varig vektreduksjon og ivsstisendring! Har kjørt 672 mi for å få hjep ti å gå ned 16 kio og hode vekten Bi sett få hjep! Fok tror jeg er ga som kjører en time hver vei fra Vigeand ti Kristiansand

Detaljer

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006 Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent

Detaljer

Årsmelding 2014 fra Pasient- og brukerombudene i Aust-Agder og Vest-Agder

Årsmelding 2014 fra Pasient- og brukerombudene i Aust-Agder og Vest-Agder Pasient- og brukerombudet Vest-Agder Kommunene i Vest-Agder Deres ref-i Saksbehander: Ei Marie Gotteberg Direkte teefon: 37017491 js/bzl Vår ref; 15/2144-3 Dato: 10.02.2015 Årsmeding 2014 fra Pasient-

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

Foreldreskjema. Skjemaet skal leses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke blå eller sort kulepenn og skrive tydelig:

Foreldreskjema. Skjemaet skal leses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke blå eller sort kulepenn og skrive tydelig: Foredreskjema Skjemaet ska eses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke bå eer sort kuepenn og skrive tydeig: I de små avkrysningsboksene setter du et kryss inni boksen for det svaret som du mener passer

Detaljer

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere! Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25

Detaljer

/ Vask av eiendommer i Landbruksregisteret mot matrikkelen

/ Vask av eiendommer i Landbruksregisteret mot matrikkelen I Fykesmannen i Sør-Trøndeag Postboks 4710 Suppen, 7468 Trondheim Sentrabord: 73 19 90 00 Besøksadresse: E. C. Dahs g. 10 Saksbehander Trine Gevingås Landbruk og bygdeutviking Innvagsteefon Vår dato Vår

Detaljer

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere! Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25

Detaljer

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006 3. Januar 2006 Konveksitet Hva er en konveks mengde med punkter? En punktmengde er konveks dersom alle linjestykkene med endepunkter i mengden er helt inneholdt i mengden. Eksempler: Et linjestykke (den

Detaljer

12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018

12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018 Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,

Detaljer

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt

( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt . til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematis-naturvitensapeige fautet Esamen i: GE22 Esamensdag: 23. mars 21 Tid for esamen: 15.-17. Oppgavesettet er på 2 sider Vedegg: Sondediagram Tiatte hjepemider: Kauator

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer