FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVESITETET I AGDE Gimsta E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: MA-9 Matmatikk LÆE: P Hnik Hogsta Klass: Dato:..7 Eksamnsti a-til: 9.. Eksamnsoppgavn bstå av ølgn Antall si: 6 inkl. osi vlgg Antall oppgav: 5 Antall vlgg: Tillatt hjlpmil : Kalklato Hogsta: Foml MA-9 Hagans omlsamling as/nbg: Matmatisk omlsamling o ingniøstnt Don t Panic ottmann: Matmatisk omlsamling Glnal Ikk tillatt å skiv i omlsamlingn KANDIDATEN MÅ SELV KONTOLLEE AT OPPGAVESETTET E FULLSTENDIG

2 MA-9 Oinæ Eksamn Høst 7 Oppg n Pong a b a b a b c g h i Sm 5 Pongn vis vktolingn o nklt lspøsmåln. V kaaktstting vktlggs slvølglig i tillgg n totalving bl.a. n ving av i hvilkn ga kaniatn ha knnskap innno lik omån gitt i oppgavsttt. Bsvalsn skal innhol mllomgning. Kalklato skal ikk bntts i bgningn kn til vntll kontoll av gn sva. Bgningn skal så langt mlig innhol ksakt vi. Ta gn otstning hvis inn klaht i oppgavsttt. LYKKE TIL!

3 . Vi ha gitt ølgn obblt-intgal: a Vis v hjlp av n ig intgasjonsomå som h intgs ov. b Bgn obblt-intgalt v å btt om intgasjons-kkølgn.. Vi ha gitt ølgn intgal: 6 Kvn gitt v: Kvn skal gjnnomløps i tning mot klokka. a Bstm intgalt v ikt bgning tn bk av Gns tom. b Bstm intgalt v hjlp av Gns tom.. Finn massn av n tnn plat avgnst v minst omå av llipsn og paabln llipsn og paabln avgns to omå minst av iss to omån. Massttthtn mass p aal av platn gitt v 5.

4 . Vi ha gitt ølgn to lat: S : S : Vi ha vi gitt ølgn vktolt: F [ ] a Tgn m n kot okaing lgmt T som avgnst av to latn S og S. Hint: Tgn gjn øst to latn hv o sg i to ig. b Vis at pojksjonn n i -plant av skjæingskvn mllom to latn S og S n sikl m sntm i oigo og ais. c Bstm n paamtising av kvn skjæingskvn mllom to latn S og S. Kvn skal o økn paamtvi gjnnomløps i tning mot klokka stt ovna nov langs -aksn. Bgn v hjlp av tipplintgal volmt av lgmt T. Bstm ivgns og cl til gitt vktoltt. Bstm kvintgalt: F v ikt bgning vs tn bk av Stoks tom. g Bstm kvintgalt i oppgav v hjlp av Stoks tom. h Bstm ntto lks av gitt vktoltt t av lkk lgmt T. i Bstm ntto lks av gitt vktoltt t av hv av to gitt latn S og S som avgns lgmt T.

5 5. La væ n glatt nkl lkkt kv som omsltt t omå i plant s ig 5.. Aalt av omå lik A. Vi tnk oss at t omå bstå av n tnn plat i -plant m konstant masstttht. Vis at massntts -kooinat cm o nn platn gitt v: cm A Fig 5.

6 Vlgg: S n S v v v v v v v v v til n nivålat som n lat nhtsnomalvkto til til n nivålat som n lat nomalvkto til ' cosh ' h h ' cosh cos ' tan cos ' ' cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ln

7 Løsning:. Intgal: a Intgasjonsomå: Intgasjonsomå omå som avgnss av gan svan til n og øv gnsn i to intgaln vs omå som avgnss av gan til ln5 og ln5 ll Av gnsn løpn a n til øv s vi vi at tkantn til hø. b Bgning av intgalt v ombtting av intgasjonskkølg: 5 -

8 . a Dikt bgning tn bk av Gns tom: t [ cos t t ] t [ t cos t] 6 [6 t cos t t t cos t cos t] [ [8 cos [8 cos [8 t 6 t t cos t t t cos t 6 cos t 8 cos t t 8 t] t cos t [8 ] [8 6] 8 8 t] D øvig ln osvinn v intgasjon [8 6 cos t] t t t] 8 6 t 8 cos t] b Bk av Gns tom næliggn å bntt tangntial-tomt kan også bntt nomaltomt: F [6 ] i j F 6 k F F F k 6

9 . Massn av n tnn platn: Skjæingspnktn mllom llipsn og paabln bstmms v å løs to ligningn og mht og. Dn sist ligningn innsatt i n øst ligningn gi m sin. Dtt gi og Vi å to omå avgnst av llipsn og paabln minst i.- og.- kvaant btgnt m i ign og støst i all i kvaantn innno llipsn og tno. V intgasjon ov omå mst hnsiktsmssig øst å intg mht som a vil gå mllom gnsn paabln og o å nngå å l intgasjonn opp i to l. llipsn M m

10 . a Flatn S n lliptisk paaboloilat m toppnkt i pnktt og m -aksn som sntaks. Pojksjonn av latn S inn i -plant n paabl m bnnpnkt i oigo og -aksn som sntaks. Flatn S n tstkning i -tning av nn nvnt paabl-kvn. En skiss av lgmt T som avgnss av to latn S og S :

11 c Pojksjonn av skjæingskvn n i -plant vi limin mllom ligningn o to latn o å inn n sammnhng mllom og o skjæingskvn: s Hav ølg at pojksjonn av skjæingskvn n i -plant n sikl m sntm i oigo og ais. Mk at pojksjonn av skjæingskvn som n sikl ikk skjæingskvn slv. Dnn sistnvnt bkt sg i lik hø ns nå og ns.

12 c Paamtising av kvn : D to øst komponntn og bstmt t a at pojksjonn av kvn n i -plant n sikl m sntm i oigo og ais cost t. Dn tj komponntn kan vi bstm t a ttkkt til n av to gitt latn. Vi vlg latn S sin n ha nklst ttkk. Vi å: t t ] [cos t t t t t Volm av lgmt T: 8 V V T

13 Divgns og cl til vktoltt: F [ ] iv F F [ ] i j k cl F F [ ] [] Kv-intgal v ikt bgning tn bk av Stoks tom:

14 t F t F [cos t t [ tcos t t cos t] [ t cos t [ tcos t6 t] t 8cos t] [ tcos t6 t] [ tcos t t cos t] t cos t t] F t t t t 8cos cos t cos t 8 t cos t cos t 6 cos t t cos t t cos t t 6t t 6 t 6 t g Kv-intgalt vha Stoks tom: t cos t t cos t Som lat i Stoks tom vlg vi latn S : Dn positiv sin av nn latn på ovsin av S. Lag ølgn skala nksjon: som ha kvn som an. Flatn S a gitt v vs latn S n nivålat til n skala nksjonn. Gaintn til stå a nomalt på latn S. ga [ ] [ ] [ - ] Kokt tning pos. -komp. Lngn av gaintn til gitt v: [ ] p [ ] p [ ] Enhtsnomaln til latn S a gitt v:

15 n [ - ] Kv-intgalt nå gitt v: F S F ns F p [ ] [] [ ] [] sltatt stmm ovns m sltatt a oppgav. h Ntto lks av vktoltt t av lkk lgmt T bntt Gass ivgnstom sin latn S n lkkt lat: Φ F ns FV V V V 8 S T T T i Ntto lks t av latn S : Vlg ølgn skalanksjon slik at latn S n nivålat til : Flatn S a gitt v vs latn S n nivålat til n skala nksjonn. Gaintn til stå a nomalt på latn S. ga [ ] [ ] [ -] Kokt tning Lngn av gaintn til gitt v: [ ] p [ ] p Enhtsnomaln til latn S a gitt v:

16 ] [ n kokt tning t av bnnlatn ngativ -komponnt 6 cos cos øst l gi smmti [ ] [ ] [ ns F Φ G S Ntto lks t av latn S : Vi bntt at n total lksn t av lgmt T lik smmn av lksn t av hv av to nklt-latn S og S. π π π Φ Φ Φ Φ Φ Φ 6 Mk at vi ikk kan bntt Gass ivgnstom til bgning av lksn gjnnom hv at to nklt-latn S og S sin ingn av iss latn lkkt i ommt. Sin vktoltt ov -plant allti ha n positiv -komponnt ikk så ovaskn at lksn t av topplatn S positiv og lksn t av bnnlatn S ngativ vktoltt gå inn i bnnlatn. Sin vktoltt ov -plant allti ha n økn vi o økn ikk så ovaskn at lksn t av topplatn S i absolttvi stø n lksn t av bnnlatn S. Ell: Vi kan også bgn nttolks t gjnnom latn S ikt: Vlg nå n skalanksjon svan til latn S.

17 Ntto lks t av latn S : Flatn S a gitt v vs latn S n nivålat til n skala nksjonn. Gaintn til stå a nomalt på latn S. ] [ ] [ ] [ ga kokt tning pos. -komp. Lngn av gaintn til gitt v: ] [ Enhtsnomaln til latn S a gitt v: ] [ n

18 5 5 5 cos 5 cos 8 [ ] [ ] [ ns F Φ G G S

19 5. Masssntt gitt v: cm cm M M A A A m m m m Bvis o t ttkkt viss nno I ovgangn til n nst sist linjn ha vi bnttt Gns nomaltom: F F F ns F F F V å stt F [ ] å vi: F ns

20 Ell vi knn gjnnomøt bgningn på ølgn måt: cm M m cm m m M m A A A A A A Ha h bnttt Gns nomal-tom