16 Integrasjon og differensiallikninger

Transkript

1 Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus Forkurs 6 Intgrasjon og diffrnsiallikningr OPPGAVE a) Vi sttr u cos. Da r du sin d du sin d sin d du sin d cos = u u Vi sttr inn igjn u cos og får sin d cos = du u du u C u C C C cos b) Vi sttr u. Da r du d du d d du Vi kan skift intgrasjonsgrnsn på dnn måtn. 0 u0 4 u4 9 4 d = u du u du u 9 7 c) Først finnr vi dt ubstmt intgralt. Vi sttr v( ) ln v( ) u( ) u( ) Dt gir = ln C 9 ln d = ln d ln d

2 Så rgnr vi ut dt bstmt intgralt. ln d = = ln 9 = ln ln 9 9 OPPGAVE a) Ettrsom gradn til polnomt i tllrn r størr nn gradn til polnomt i nvnrn, vil n polnomdivisjon fornkl intgralt. ( 7) : ( ) 5 Da får vi d 5 d 0 0 = 5 8ln ln5 8 ln 8 8 ln5 8 ln = 8 8 ln5 ln 5 = 8ln b) Vi brukr hr mtodn md dlbrøksoppspalting. Først faktorisrr vi nvnrn. Vd hjlp av andrgradsformln finnr vi at nvnrn har nullpunktn og 4. Drmd r Dt gir ( )( 4) 7 7 ( )( 4) Vi skal nå finn konstantn A og B slik at 7 A B ( )( 4) 4

3 Multiplikasjon md fllsnvnrn 4 7 A( 4) B( ) Vi sttr i likningn og får 7A A Vi sttr 4 i likningn og får 8 7B B 4 Da får vi 7 4 ( )( 4) 4 Dt gir 7 4 d d ( )( 4) 4 = ln 4ln 4 = ln 5 4ln ln 4ln 6 = ln5 4 ln ln 4 ln6 = ln5 4 ln 4 ln = ln5 4 ln 4 ln ln = ln5 4 ln 4 ln 4 ln = ln5 4 ln gir OPPGAVE a) f( ) = 0 b) Vi finnr først f ( ). ( ) 5 f 5 ( ) = 5( ) Vi tgnr i fortgnslinj for f ( ).

4 Fortgnslinja visr at f har t toppunkt for. Toppunkt:, 5 c) Vi finnr f ( ). ( ) 5( ) f 5( )( ) = f ( ) 5( ) Vi tgnr i fortgnslinj for f ( ). Fortgnslinja visr at f har t vndpunkt for. Vndpunkt:, 0 d) ) Flatstkkt r markrt på grafn md farg. Vi finnr aralt av flatstkkt vd intgrasjon. f ( ) d 5 d 0 0

5 Vi finnr først dt ubstmt intgralt d Vlgr u og v. Da r u og v. Dlvis intgrasjon gir d d = Aralt av flatstkkt r da A 5 f ( ) d 5 ( ) C = C 0 OPPGAVE 4 ln a) 0 ln 0 b) og c)

6 c) ) Volumt V av dn omdriningsgjnstandn vi da får, r gitt vd V π f ( ) d ln (ln ) V π d π d (ln ) Vi finnr først dt ubstmt intgralt d. Vi fortar t variablskift vd å stt u = ln. Da r du d. u ln d u du C C ln (ln ) (ln ) π V d π (ln ) (ln ) π π π 6π ( ln ) (ln ) () 7 OPPGAVE 5 a) ),5 7,5,5 7,5,5( ) d,5d,5d ln,5 C,5 C C ) Vi drivrr først. C,5,5 C,5,5C,5,5 Vi sttr inn i dn opprinnlig likningn. C C C C,5,5,5,5,5,5,5( ),5 7,5,5 7,5

7 b) ) 0 Likningn r sparabl. d C C C C ) Når 0 r. Vi bstmmr konstantn C. C C 0 C OPPGAVE 6 a) Ettrsom oljn rnnr ut md n fart som r proporsjonal md, vil vær gitt vd diffrnsiallikningn 0,04 0,04 dt 0,04dt 0,04dt ln 0,04t C 0,04t C C 0,04t C 0,04t

8 Dn gnrll løsningn r C 0,04t. Ettrsom = 4000 vd tidspunktt t = 0, får vi 0, C C ,04t Halvpartn av oljn r lkkt ut når ,04t ,04t ,04t 0,04t 0,04t 000 0,04t ln ln t 7, 0,04 Halvpartn av oljn r lkkt ut ttr 7, timr. b) ) at Md a = 0,004, får vi 0, 004t 0 Vi løsr likningn 0, 004t dt 0, 004tdt 0, 004tdt ln 0,004 t C 0,00t C C 0,00t C 0,00t Dn gnrll løsningn r 4000 når t 0, gir ,00t C 0,00t.

9 ) Vi må løs likningn 0,00 t ,00t 000 0, ,00t ln 0,5 ln 0,5 t 577,6 0, 00 t 577,6 4,0 Da t > 0, r t = 4. Halvpartn av oljn r lkkt ut ttr 4 timr.