Forelesning uke 36 Laplace v(t)=u(t)*vb. u(t) er en nyttig funksjon. kan brukes til å modulere et batteri med bryter. Signalbyggesett. t=0.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Forelesning uke 36 Laplace v(t)=u(t)*vb. u(t) er en nyttig funksjon. kan brukes til å modulere et batteri med bryter. Signalbyggesett. t=0."

Lisa Ellingsen
6 år siden
Visninger:

1 Forlning uk 6 aplac 9 ut r n nyttig funkon vt=ut*vb kan bruk til å modulr t battri md brytr. Signalbyggtt t= d t t ut -ut-d d ut -ut-d Ekmpl på andr mulghtr Figur. Mang ulik ignalr kan lag av trinnfunkonn. Stt n kontrukon av trinnfunkonr inn i n ummaon kan man ogå lag harmonik ignalr

2 t= t ut-d int d ut-dint Figur. Produktt mllom ut-d og n inufunkon imulrr ignalt fra n gnrator om lå på i tidn d. Forøk å gør n fouriranaly på t ignal om ut Vi må drfor kunn analyr dnn funkonn. Vi kan gør n Fourir Tranformaon av ut, Svart blir ubruklig Grunn: ut går ikk tilbak til Får aldri avluttt intgraonn Gir undlightn i vart.

3 t t t t u U t u F. = Enht vktor lang rll ak.

4 Brukr trik Trkkr inn fortgnt og byttr rkkfølg in / / in x x Undlig amplitud, Udfinrt fa forkyvning Er fanvinkln undlig vt vi ikk hvor dn pkr. ltå udfinrt. Utvidr md for å kunn bruk a Eulr idntitt b kriv om til ink Ordnr md nvnr å vi kan krivr vart på inx/x form. Og r at vi fikk t klart, mn ubruklig var

5 Vi trngr n ny ak for å lø t mplitud llr Figur. Fourirplant bkrivr ndring i amplitud og fa om funkon av frkvn, mn ir ikk no om ndring om funkon av tid. Vi trngr n ktra dimnon. ω z-ak σ 9 F 4 ω Figur 4. aplacplant har n ktra ak om gør mulig å bkriv ndringr i amplitud- og fapktrt om funkon av båd tid og frkvn. Hr vir vi n funkonvrdi for punktt =,4, mn mrk at F dannr n kontinurlig flat hvi vi tgnr inn all mulig vrdir av σ,ω Fir grunnr til at vi kal bnytt aplac Kan hånr tranint tidområd, ikk bar taonær Utvidr ignaln vi kan analyr Fungrr om modll byggtt for lktronik komponntr Fornklr n dl rgnopraonr. Omgør intgralr og diff-likningr til mult og divion

6 naly av ignalr ll priodik ignalr, Bruk FS Pul, Bruk FI llr aplac Pul, Bruk FI llr aplac ut Bruk aplac Ramp, Bruk aplac Figur 5. aplac kan analyr ignalr om u t, at b,, mn ikk t a ignalr om da d vokr llr avtar for fort. at Ekmpl Finn trøm i n krt Slå opp aplacmodlln for hvr av d involvrt komponntn tt ammn til n ovrføringfunkon i - plant. Multiplir md n kitaon Studr rponn. Tranformr dnn tilbak til tidplant. Dfinr aplac tranformn aplactranformaon liknr på Fouririntgralt md to unntak. aplacintgralt går fra og ikk fra minu undlig

7 F Frkvnvariabln r utvi fra ω til = ω+σ v t V v t v t V t t v t Bgg tranformaonn gir t kontinurlig frkvnpktr om rultat. aplactranformaonn gir t pktrt om n flat ovr -plant hvor vi kan pktrt oppførl i tid og frkvn, mn Fourir gir pktrt om n lin ovr ω akn. Digital parallll tranformaon Z-tranform v k k v k tk Har vi n analog pul om vi vill tranformrt md aplac kan dnn dikrtir i punktr md n avtand på Δt om vi å kan tranformr md z t Dfinion på z v k k v k z k

8 aplactranformaon av n firkantpul vt t= τ t v t V t v t t t vt for firkant pul Sidn =ω+σ å r ikk vart lik ltt å tolk om for Fourir Dfinionn Sttr inn for vt Som r i tidn..τ ør intgralt Sttr inn grnn Brukr at = Byttr rkkfølg Hva fortllr t vart? Når vi kal fortå n trdimnonal figur, tgnr vi dn oft i to dimnonr. Vi ttr drfor σ =.

9 aplactranformaon av n dlta pul t lim Gør amm om for Fourir Rkkutviklr -x x x.5x... Vi får tadig mindr bidrag. x x Er i utgangpunktt nær idn τ. Kan tilnærm md ldd ^-x og dn rkk tilnærmingr y x y=^-x y=-x y=-x+.5x^ Sr hvorfor ldd r nok når x

10 t Ertattr md tilnærmingn. Som vi ogå fikk når vi fourirtranformrt dlta puln Trinnfunkonn ut Har vit at Fouriranaly på ut gav undlig var d kapt problmn Dn vil alltid ha lngd og pk dit argumntt ir Undlig grnr gir udfinrt rtning md lngd aplactranformaonn har ktra ldd utn t = σ + ω får ld til å gå mot når t går mot undlig Hvi riktig valgt fortgn. Vi r fri til å vlg lv. Ikk dfinrt I vart. t u t U Stt inn i dfinion intgrrr t

11 ttr inn killr kponntn ttr inn grnn rgnr ut kponntn og har t fornuftig var aplac tranformaon av dn drivrt trngr t for å vi ndvrditormt nr it vt=ut**i Figur 6. Krt md battri, brytr og pol. Brytrn lå på vd tidn t= og bgynnr da å gå n trøm i poln. Funkonn ut bkrivr brytrn. Spnningn ovr n pol r poln induktan gangt md dn drivrt trømmn. Ergo t bhov for å drivr. Å drivr n tidfunkon r lttr i -plant

12 Drivaon i S-plant r ført drivrt v' t v t v andr drivrt v t v t v v trd drivrt v t v t v v v Vi kan oft tt v= da vi i tidn t= nnå ikk har lått på trømmn. aplactranformaonn til dn drivrt t v t v t dv v' t dv Startr md dfinionn Tranformrr dn drivrt til vt dv t Sttr inn i dfinionn Og kortr bort t dv får vart gir ikk non mning. må finn n vi tilbak til

13 Dlvi intgraon t v' t dv udv tid Brukr dlvi intgraon u v t dv, du t Dfinr u og v udv uv vdu Dlvi intgraon uv t v t v vt - -t v finn uv v vdu vt v t -t v' t v v t Brgn it ldd Gnknnr dfinionn av aplac aplactranformrt til dn drivrt i tid kan finn vd å multiplir md

14 Endvrdi tormt Vi trngr ikk bnytt ndvrditormt, kan vær tidbparnd å om vi gør vil før fram Kan par tid hvi vi bar vil ha luttvrdin Tormt ir: grnn til dn aplactranformrt funkonn multiplirt md når går mot r dn amm om grnn til funkonvrdin til dn ikktranformrt funkonn når t går mot undlig. lim F limf t t -plan t-plan F F σ Mappr til amm vrdi f f 9 ω t Bvi for ndvrditormt Gitt ft F Da r f' t F - f Brukr aplac tranformaon av n drivrt funkon vi nr

15 f r initial btingl rt nrgi i n pol fra før t= Btydning av - Ex: u - = u + = f' t f' t F f - f F - f f indikr at ovrgangr om vi r vd f.k ut kal vær md. Startr md tranformaonn av dn drivrt ggr til f på bgg idr F f' t F f' t df F F lim F -t df -t f f f -t df f f Sttr inn dfinionn for aplac Skrivr dn drivrt på ibnitz notaon Forkortr bort Sr på grnn. -t = når ør intgralt ltt

16 lim F lim F lim F f t f f f f f Vi r at å multiplir md og la gå mot, gir tidfunkonn når t lim F limf t t Sttr inn grnn Og rgnr ut Bvit Faktoriring og dlbrøkoppalting Vi får oft polynomr I nvnr når vi rgnr på lktrik krtr. For å kunn laplac tranformr må vi oft bruk dl brøk opppalt. For dlbrøkopppalting trngr vi å kunn faktorir. Minnr om litt barnlærdom N a b c Typik Nvnr polynom for RC krt Finn -punktr

17 a ac b b 4, N Faktorirt form a a a a a a a Nyttig å knn ign utrykk om t Dlbrøkopppalting Prinippt r: F Når vi har t polynom på faktorirt form kan vidlbrøkopppalt. c B ikn polynomt md n um md uknt i tllr og hvr nklt faktor i nvnr c B Utvid opp og nd md ført ldd nvnr hr Forkortr

18 c B C B ør mhp 6 c B Stt inn ført null punkt = Vi krivr hl dnn utldingn på følgnd kompakt form F Vi finnr B på amm måt. F F Finn B vd å utvid md + tt inn -punktt =-

19 B F tt inn -punktt =- B B 5 C F 5 Gntar for C F / / 5 /5 Endlig var F på opppaltt form Unntak N når -punktn til faktorn r lik = a = a a a a a B Da r ikk t riktig Vi omgår problmt vd å ta md dnn ituaonn i bibliotkt

20 Invr aplac tranform Invrtranformn bruk til ø diffrniallikning vd å tranformr til -plant og tilbak Krtanaly -> kir rponn til n gitt kitaon i tid. Oft vanklig å utfør invrtranform dirkt Brukr altrnativ mtod:. Bruk ndvrditormt for å om finn n løning. Faktorir uttrykkt i. Dlbrøkopppalting av faktorirt uttrykkt til n um av nkl ldd 4. Slå opp hvrt nklt ldd i t bibliotk. Ekmpl på bruk av bibliotkt for invr laplactranformaon Finn tidfunkonn vd Bibliotkopplag aplac tid a bt a b a a ut F B c f t u t B t C t

21 POERog -punkt B c F Sr at F går mot undlig når =, =- og=- F om gir t kall n pol En pol kan vær båd rll og imaginær =ω+σ p=a+b Sid kan vær komplk å kan n pol vær komplk - Plan Tidplan k p k a b t Pol : p p r p t im p t pt k k

Like dokumenter

( ) ( Tosidig spektrum for x(t) = cos(100π t π/3) + 15 cos(400π t + π/4) 8 15/2 e jπ/4. absoluttverdi av a k 6. 5 e 5.

( ) ( Tosidig spektrum for x(t) = cos(100π t π/3) + 15 cos(400π t + π/4) 8 15/2 e jπ/4. absoluttverdi av a k 6. 5 e 5. dr X A r n rll kontant og X k A k jφ k Forlning,. april 6 Pnum i bokn: - og -, no fra -4 ikk n dvndig å l, -6., INF4-8 -3. og -3.5 3- til 3-4 Ovrikt Spktrum for tignal, frkvninnholdt Bruk av Fourir-tranform