EKSAMEN løsningsforslag

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "EKSAMEN løsningsforslag"

Gunnar Stefan Dale
7 år siden
Visninger:

EKAMEN løigforlag 5. augut 6 Emkod: ITD5 Emav: Matmatikk adr dlkam Dato: 8. mai 6 Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfritt ihold på bgg idr. Ekamtid: 9.. Faglærr: Chritia F Hid - Formlhft.

1 EKAMEN løigforlag 5. augut 6 Emkod: ITD5 Emav: Matmatikk adr dlkam Dato: 8. mai 6 Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfritt ihold på bgg idr. Ekamtid: 9.. Faglærr: Chritia F Hid - Formlhft. Kalkulator r ikk tillatt. Om kamoppgav og pogbrgig: Oppgavttt btår av 6 idr ikluiv d forid og to vdlgg. Kotrollr at oppgavttt r kompltt før du bgr å bvar pørmål. Oppgavttt btår av 7 oppgavr md i alt dloppgavr. Vd ur vil all dloppgavr tll omtrt lik m. Dr dt r mulig kal du: vi utrgigr og hvorda du kommr fram til var bgru di var urfrit: 8. jui 6 Karaktr r tilgjglig for tudtr på tudtwb t virkdagr ttr oppgitt urfrit.

2 ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av Oppgav Figur vir graf til fukjo f (. a Fi aralt av flat udr d graf mllom = og =, altå aralt av dt kravrt områdt. Dtt aralt r ( ( d d d d f A ( ( ( b D kravrt flat dri om -ak. Fi volumt av dt omdriiglgmt om da framkommr. ( ( d d d d f V For ovrikt kld bhadlr vi di to itgral parat. Dt ført itgralt gir 8 ( d Dt adr itgralt må vi bhadl vd dlvi itgrajo: d Vi vlgr å kall u og v om gir 5,5,5

3 u og v Dlvi itgrajo gir da d d ( d ( Volumt r umm av di to itgral, og følglig V Oppgav Bgru at følgd rkk kovrgrr, og fi umm: ( D rkk btår av umm to rkkr om hvr for g r gomtrik. D ført ( 7 9 r gomtrik rkk md ført ldd a = og kvotit kvotit r midr, r rkk kovrgt. D adr rkk r 6 k. id tallvrdi til Dtt r ogå gomtrik rkk md a = og k. Ogå hr r tallvrdi til kvotit midr, og d r følglig ogå kovrgt. umm av to kovrgt rkkr, r kovrgt, og umm ka vi fi vd å addr umm ( f. k. torm.5,. 8 i lærboka. ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av

4 umm av kovrgt, udlig gomtrik rkk, r gitt vd a k umm av d ført rkk r følglig ( ( umm av d adr rkk r 8 umm av rkk om hlht r følglig 8 9. Oppgav La A, og B, vær to bair for dt uklidk rommt R. Gitt følgd vktor i bai B: B Fi koordiat til d vktor båd i tadardbai og i bai A. Vi ka fi koordiat i tadardbai vd å da koordiatkiftmatri til bai B, U B, om har baivktor om kolovktorr, altå U B Da har vi ammhg Vi fir da U B B ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av

5 ( ( ( ( ( Dt r ogå mulig å rg ut d vd å rg lik (om jo trgt tatt r dt amm rgtkkt, lv om dt tt opp på litt a måt: Vi tar av d ført baivktor og lggr til av d adr baivktor (om agitt i : ( ( kal vi fi d vktor i bai A, ka vi ført fi koordiatkiftmatri mllom bai A og tadardbai: B U A Vi har da ammhg om gir U A A A U A Vi fir Vi får da U A ( 7 A U A ( 7 7 ( ( Oppgav Gitt følgd matri: A 5 7 ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id 5 av

6 D rdurt trappform til A r a Fi bai for ullrommt til A. E bai for ullrommt fir vi vd å lø ligigtmt A =. Fordi it rkk i d rdurt trappform iholdr bar ullr, har vi fri variabl, og ttr for kmpl variabl trappform gir da og altå t Rkk gir og altå t Løig på ligigtmt r følglig t. Rkk i d rdurt = t t t t Dtt ibærr at bai for ullrommt r (hvr vktor om r parallll md d ka ogå vær bai for ullrommt b Fi bai for kolorommt til A. I d rdurt trappform r vi at kolo og ldd lmtr. Di kolo ka drfor bruk om bai for kolorommt, og bai blir drfor:, c i Bgru at kolovktor i matri A liært avhgig. ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id 6 av

7 Dtt ka bgru på flr måtr, og vi godtar all foruftig bgrulr. E bgrul r at id d rdurt trappform har rkk om r bar ullr, vil dtrmiat til matri om r på rdurt trappform, vær ull. Og to rkkkvivalt matrir har amm dtrmiat (md mulight for at fortgt ka ha blitt drt, og dtrmiat til A r drfor ogå ull. At dtrmiat til matri r ull, ibærr at kolovktor i matri r liært avhgig. E a bgrul r at kolorommt r todimjoalt (id bai for kolorommt btår av to vktorr. I t todimjoalt rom ka vi makimalt ha to liært uavhgig vktorr, og d tr kolovktor ka drfor ikk vær liært uavhgig. E trdj bgrul r at ligigtmt A = har ikk-trivill løigr, om vi å i a. ii Uttrkk d ført kolovktor om liærkombiajo av d to adr. Dtt ka ogå gjør på flr måtr. Dt klt r trolig følgd: 5 Vi kallr d tr kolovktor for v, v og v. 7 Ettrom di tr vktor r liært avhgig, ka ma fi liærkombiajo av dm om r lik ullvktor. Altå at k v + k v + k v = Kallr vi vktor av k-r for k, ka vi kriv dtt ligigtmt om Ak = Vi ka altå fi k- vd å lø dtt ligigtmt. Og dtt ligigtmt løt vi da vi fat ullrommt i pørmål a lv om vi dr kalt vktor av d ukjt for itdfor k. Dr fat vi at k = t All vrdir av t vil gi løig. Vlgr vi t =, får vi følgd vrdir: k, k, k. Drom vi ttr di vrdi i i uttrkkt får vi altå k v + k v + k v = v + v + v = ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id 7 av

8 Løig blir drfor v = v + v = 5 7 Oppgav 5 Gitt matri A 6 5 og vktor v og u a Matri A rprtrr liærtraformajo, T. Fi bildt av vktor v u udr traformajo T (altå: hvorda blir vktor ttr traformajo. Vi fir ført vktor v u: v u ( å traformrr vi d vktor: T(v u = T A 6 5 ( 6 6 ( 5 5 b Fi gvrdi og gvktortt til liærtraformajo T. Vi må ført fi gvrdi. Di fir vi vd dt ( A I 6 ( ( 5 ( 6 5 ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id 8 av

9 5 Vi får drfor følgd karaktritik ligig: om gir følgd gvrdir 9 8 Egvktorttt r løig på ligig A, om ka omkriv om ( A I =. Egvktortt tilhørd gvrdi ligigtmt ( A ( I = Koffiitmatri til dtt ligigtmt blir blir drfor løig av dt homog Vi lør å ligigtmt på valig måt vd å brig koffiitmatri på trappform: 6 ~ R ' R ~ R ' R R Hr får vi é fri variabl, og vi ttr t t. Rkk gir da ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id 9 av

10 Egvktorttt tilhørd gvrdi r følglig t = t t t Egvktortt tilhørd gvrdi ( A ( I = Koffiitmatri til dtt ligigtmt blir r løig av dt homog ligigtmt Vi får da R ' R ~ R ' R R Vi får é fri variabl, og ttr. Rkk gir da Egvktorttt tilhørd gvrdi r følglig = llr, drom vi økr å ugå brøkr i vktor ka vi, id r vilkårlig, kriv d om = r r ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av

11 Oppgav 6 Fi løig til følgd diffrialligig md grvrdi ( =. (co i Hr ka vi bruk mtod md itgrrd faktor. Ligig r alt på tadardform. Vi itgrrr faktor fora, altå co : co d i å kpotirr vi d for å fi itgrrd faktor: i Vi gagr hl ligig md d, og får: i i (co i i Vi ka å forkl vtr id til i i ii ( i. På hør id obrvrr vi at. Ligig ka drfor kriv ( i Itgrrr vi å bgg idr md h på, får vi ( i d d i C å lør vi md h på vd å gag uttrkkt md i : ( C i Vi bttr å grbtigl ( = for å btmm C: ( C id i = gir dtt C i og altå C = ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av

12 ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av Løig blir drfor i Oppgav 7 Bruk laplactraformajo til å lø følgd iitialvrdiproblm: ( 6 t, '(, ( Laplactraformrr vi diff.ligig, får vi 6 ( Y Y Y Flttr vi all ldd om ikk iholdr Y ovr på hør id, får vi 6 Y Y Y Vi trkkr Y utfor part på vtr id, og får 7 6 ( Y å dlr vi ligig på uttrkkt i part, og får 6 7 ( Y Vi r å om vr har rll røttr: ( Vi r at vr har røtt 5 og 5 id vr har rll røttr, ka vi dlbrøkopppalt uttrkkt: 6 7 B A

13 Gagr vi å bgg idr av dtt uttrkkt md ( ( får vi 7 A( B( Vi ka å btmm A og B vd å tt i ulik vrdir for. ttr vi i = får vi dv. 7 A ( B( 5 5A om gir A ttr vi i = får vi 7 A ( B( dv. 5B om gir B Vi ka altå omform uttrkkt for Y lik: 7 Y ( 6 Vi fir å vd å fi ivrtraform til dtt uttrkkt: (t L ( Y L 7 6 L L L L L t t t t ITD5 Matmatikk, adr dlkam, mai 6 løigforlag id av

Like dokumenter

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide EKSAMEN Emnkod: ITD503 Emnnavn: Mmikk andr dlkamn Do: 20. mai 209 Hjlpmidlr: Ekamntid: 09.00 2.00 Faglærr: To A4-ark md valgfritt innhold på bgg idr. Formlhft. Kalkulor om dl ut amtidig md oppgavn. Chritian