TMA4240 Statistikk Høst 2013

Transkript

1 TMA44 Statistikk Høst Norgs tkisk-aturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag Øvig ummr, blokk II Løsigsskiss Oppgav a) Th probability is R.9.5 6x( x) dx = R.9.5 (6x 6x ) dx =[x x ].9.5 =.47. b) Th liklihood fuctio is giv by Y L( )= ( + )x i ( x i ) ad th log liklihood which has drivativ l L( )= l + l( + ) + (l L) ( )= +! Y Y = ( + ) x i ( x i ) l x i +( ) l( x i ), + + l( x i ). (l L) is dcrasig o (, ) ad th sum of two first trms tds to wh! + ad to wh!, so that (l L) will hav a sigl ro (th third trm is gativ) for > ad b positiv lft of th ro ad gativ right of th ro. This mas that L has its maximum at this ro. Solvig for th ro, l( x i )+ + l( x i ) + =, w gt = l( x i) ± p 4 +( l( x i)) l( x i) = l( x i) s ± l( x i), + 4. W choos th largr ro sic (l L) has oly o ro for positiv argumts (th othr w foud must b gativ), ad gt th maximum liklihood stimator s s + l( X P i) 4 l( X i) = l( X) + 4 l( X). ov-lsf-b. oktobr Sid

2 TMA44 Statistikk Høst For = ad l( x i)= 4. th stimat is p /.4 +/4+/.4 / =.545. (Th discussio of actual attaimt of maximum at th ro ad of which ro to b chos, is ot rquird.) Oppgav a) Ataglsr for at X r biomisk fordlt: Gjør forsøk: Spør prsor. Rgistrrr suksss llr fiasko i hvrt forsøk: Får svart JA llr ikk JA (i llr vt ikk) i hvrt forsøk. P (suksss) lik i all forsøk: Sasylight for JA r p for all som blir spurt. Forsøka r uavhgig: Rimlig å ata at d som blir spurt svarr uavhgig av hvradr. P (X 8) = P (X <8) = P (X appl 7) tabll =.965 =.5. P ( <X<5) = P (X appl 4) b) E( ˆP )=p og Var( ˆP )= 4 ( + )p( p). P (X appl ) tabll = =.56 E(P )=p og Var(P )= + p( p). Egskapr for god stimator: forvtigsrtt og lit varias. Bgg stimator r forvtigsrtt, m P har mist varias, vi vlgr drfor P. La =.5. Sid P ˆP q ˆP p ˆP ( ˆP ) r ˆP ( r tilærmt stadardormalfordlt får vi: ( < q ˆP p ˆP ) <p< ˆP + < A ˆP )! r ˆP ( ˆP ) Et tilærmt 95% kofidsitrvall for p blir da: " r r ˆp.5 ˆp( ˆp), ˆp +.5 ˆp( ˆp) #. c) Vi har at Y = X ˆP = X X + X = X X X. Sid r stor og p ikk ær og, vil vi ha at p > 5 og ( p) > 5, slik at vi ka bruk ormaltilærmig til biomisk fordlig. Vi ka drmd ata at X, X og X all r tilærmt ormalfordlt, d r uavhgig, og liærkombiasjo Y r drmd også tilærmt ormalfordlt. ov-lsf-b. oktobr Sid

3 TMA44 Statistikk Høst Var(Y ) = Var(X p( p). Har da at ˆP ) uavh. = Var(X )+ Var( ˆP ) = b) p( p) + p( p) = X ˆP r tilærmt ormalfordlt Var(X ˆP )= p( p) E(X ˆP )=E(X ) E( ˆP )=p p = Vi får da t prdiksjositrvall vd: ˆP < X q ˆP < A p( p)! r r p( p) <X <ˆP + p( p) Sid r stor, vil varias til ˆP vær lit, og ˆP vær god stimator for p. Vi ka drfor rstatt p md stimatt ˆp i uttrykkt for itrvallgrs. q q Itrvallt blir: [ˆp.5 ˆp( ˆp),ˆp +.5 ˆp( ˆp)] Isatt vrdir blir itrvallt [6, 74]. Oppgav a) T ksp( ) E(T )= =, =. P (T appl ) = R x dx = R P (T appl ) =.5, =.5 =.5, = l.5 =.69 =., =. P (T T )=? Fir simultafordlig til T og T : 5 x 5 dx =[ x 5 ] = =.86 f(t,t )= t t sid T og T r uavhgig. P (T T )= Z Z Z = = [ Z f(t,t )dt dt = t [ Z t t t ] t dt = Z t + ( + )t ] = + =..+. = t dt dt t t dt ov-lsf-b. oktobr Sid

4 TMA44 Statistikk Høst b) SME for : f(t,...,t ;,,..., )= Q i i t i L(; t,...,t,,..., )= Q l() =ll() = = = t i + t i = i t i t i = t i Drmd r SME b = T i. E(b) =E( T i )= E(T i )= = = Dvs. stimator r forvtigsrtt. Var(ˆ) = Var( = T i )= i i = Var( T i )= = i Var(T i ) c) MGF for T i : M Ti (t) = V = b = T i M i (t) = T i = t (Fut i tabll.) T i t =( t) (Brukr at M ax (t) =M X (at)) M V (t) = Q ( t) =( t) (Brukr at M X (t) =Q i M X i (t)) ( t) r MGF for kji-kvadratfordlig md frihtsgradr. V har samm MGF som kji-kvadratfordlig md frihtsgradr, drfor r V. d) ( )% kofidsitrvall for : Brukr at V = b. P ( /, appl V appl /, )= P ( P ( b Dt gir kofidsitrvallt [ /, appl b appl /,) = /, P ( b /, appl appl appl appl /, b appl )= b b, /, ] /, b /, )= ov-lsf-b. oktobr Sid 4

5 =., =, b = 7.8 /, =.95, =.85, /, =.5, =.4 Isatt diss tallvrdi blir kofidsitrvallt [88.9, 4.7] TMA44 Statistikk Høst ov-lsf-b. oktobr Sid 5