TMA4245 Statistikk Eksamen 20. desember 2012

Transkript

1 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 20. desember 202 Løsigsskisse Oppgave a Sasylighete for å få 5 kro er P 5 kro = = /32 = Sasylighete for å få 3 kro er lik puktsasylighete P X = 3 der X er biomisk fordelt med parametre = 5 og p = 0.5, altså 5 P X = 3 = = = Fire kro på rad ka itreffe på 3 forskjellige måter: Kro på alle 5 kastee, kro på de første 4 kastee, og myt på siste, eller myt på første kast og kro på de 4 siste. Atall mulige utfall av de fem kastee er 2 5 = 32, og alle er like sasylige, så sasylighete for å få fire kro på rad er P 4 kro på rad = 3 32 = b Sasylighete for at legste sekves har legde 5 eller 6 ka aslås ved å rege ut adele utfall hvor legste sekves var på 5 eller 6 kast, av de 0000 simulasjoee. Fra figure leser vi av at legste sekves hadde legde 5 i omtret 2700 tilfeller, og legde 6 i omtret 700 tilfeller, og vi får estimatet P eller 6 = = I Miriams mytkastsekves har de legste uavbrutte sekvese av kro legde 2. For e tilfeldig geerert mytkastsekves av legde 30, vil legde av legste uavbrutte sekves av kro ha e sasylighetsfordelig som er svært lik de i figure. At dee legde er så lav som 2 er gaske usasylig, og Miriams mytkastsekves er dermed mistekelig. Vi vil teste ullhypotese mot de alterative hypotese H 0 : Sekvese er tilfeldig geerert H : Sekvese er ikke tilfeldig geerert. eksdes2-lsf-b 8. april 206 Side

2 Eksame 20. desember 202 Vi atar at uder ullhypotese er legde av legste sammehegede sekves av kro fordelt som i figure. For å avgjøre om ullhypotese skal forkastes eller ikke, reger vi ut p-verdie, altså sasylighete for å observere et like ekstremt eller mer ekstremt utfall. Her er dette lik sasylighete for at legste uavbrutte sekves av kro er 0, eller 2. Utfra figure ser det ut som om atall utfall i søylee for 0, og 2 er heholdsvis 0, 0 og 25. Vi får dermed følgede estimat for p-verdie: P 0, eller 2 = = Dette er e lav p-verdi som tilsier at ullhypotese forkastes f.eks. på sigifikasivå Det er altså gru til å hevde at Miriam har fuet på tallee. Oppgave 2 a P X > 000 = P X > 2 = P Z > 2 = P 500 < X < 000 = P X < 000 P X < 500 = P Z < 3 = b From the probability of 0 i the Poisso: P Ige fisk = e 3 = 0.05 By coditioal probability ad the Poisso distributio: P X > 3 X > 0 = P X = = = 0.37 c P X > 0 = P X = 0 = θ + θ e µ = e 4 = 0.49 EX = xp X = x = x=0 xp X = x = θ x= x= x µx x! e µ = θµ where the last sum is the expected value i the usual Poisso distributio Here µ. This gives EX = = 2. d The likelihood fuctio is the product of the idepedet variables, regarded as a fuctio of the ukow parameters: Lθ, µ = P X = x i = θ + θe µ r θ µx i x i! e µ eksdes2-lsf-b 8. april 206 Side 2

3 Eksame 20. desember 202 Log likelihood becomes: lθ, µ = l Lθ, µ = r lθ+ θe µ + r l θ+l µ x i rµ l x i! The maximum likelihood estimator for θ is foud by differetiatio with respect to θ: Solvig for dl dθ = 0 gives: dl dθ = r e µ r θ + θe µ θ r θ e µ = rθ + θe µ Ad separatig for θ gives the desired solutio: ˆθ = r e µ e µ The plot peaks at about ˆµ = 3, which is the maximum likelihood estimate for µ. Isertig this we get ˆθ = 8 20e 3 20 e 3 = 0.37 Oppgave 3 a The method of least squares fits the lie with smallest square distaces from the measuremets to the lie. It miimizes SSE = i y i α βx i 2. By differetiatio we get dsse dα = 2 i y i α βx i, dsse dβ = 2 i x i y i α βx i Settig the derivatives equal to 0, we have y i α βx i = 0 ad x i y i α βx i = 0. Dividig by this gives ȳ α β x = 0 ad x i y i α x β x 2 i = 0. Solvig the first equatio with respect to α gives α = ȳ β x, eksdes2-lsf-b 8. april 206 Side 3

4 ad isertig this expressio ito the latter we obtai x i y i ȳ x + β x 2 x i y i ȳ β x x β x 2 i TMA4245 Statistikk Eksame 20. desember 202 x 2 i = 0, = 0 β = x iy i xy x2 i. x2 Multiplyig with i the umerator ad deomiator i this last expressio, we get β = x iy i xy x2 i. x2 To obtai the least squares estimators we replace the y i s with the correspodig radom variables, i.e. β = x iy i xy x2 i ad α = Ȳ β x. x2 b The startig poit is P t 2,0.025 < ˆβ β s/ x i x < t 2 2,0.025 = 0.95 Solvig each of the iequalities with respect to β we get t 2,0.025 < ˆβ β s/ x i x 2 st 2,0.025 x i x 2 < ˆβ β ˆβ + st 2,0.025 x i x 2 > β ad ˆβ β s/ x i x 2 < t 2,0.025 ˆβ β < st 2,0.025 x i x 2 Thereby we have P ˆβ β > ˆβ st 2,0.025 x i x 2 st 2,0.025 x i x < β < ˆβ st 2, x = 0.95 i x 2 Thus, the cofidece iterval is ˆβ st 2,0.025 x i x 2, ˆβ + st 2,0.025 x. i x 2 We have = 28 ad the table gives us t 2,0.025 = Isertig umbers we get: ˆβ = 5942/3657 = 0.6. The wiig time is expected to improve by = 0.64 secods i successive Olympic Games. The 95 percet cofidece iterval: 0.99, eksdes2-lsf-b 8. april 206 Side 4

5 Eksame 20. desember 202 c We set x 0 = 206. We have ˆα = = The predicted time is Ŷ 0 = ˆα ˆβ = = 99.3, that is about mi, 39 sec. The 95% predictio iterval for the wiig time i 206 is Ŷ 0 ± t 2,0.025 s + x 0 x 2 x + /. Isertig umbers the predictio iterval beco- i x 2 mes 9.8, d We have Ŷ0 = ˆα + x 0 ˆβ = 90. This meas: x 0 = 90 ˆα ˆβ = = 2073 The ext Olympic Games is i It appears as if the wiig times are oliear as a fuctio of time. The model says that they spet 427 sec i year 0, which is ot likely. Also, the model predicts that we will ru at egative times i the future, which is ot possible. Modelig assumptios ca be checked usig residual plots. Do the residuals e i = Y i Ŷi seem to have a tred? Accordig to the model they should be close to idepedet ad idetically Gaussia distributed. With the curret plot, it seems that the early wiig times are above the lie, while the wiig times are uder the lie, ad the latest wiig times are above. Based o residual plots it may be worth lookig at aother model, possibly for the log wiig times, or somethig else. eksdes2-lsf-b 8. april 206 Side 5