Matematikk 15 V-2008

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Matematikk 15 V-2008"

Linda Ludvigsen
7 år siden
Visninger:

1 Matmati V-8 Løsigsorslag til øvig 7 OPPGVE Liigssttt på matrisorm: t b t y. t z t Et liært og vadratis liigsstt ar tydig løsig vis og bar vis dt Drsom dt må ølglig liigssttt a dlig mag løsigr llr ig løsig. Vi sttr dt. dt gir: t t t t t t t t t t t t t t Md adr ord: t og t gir llr ms all adr vrdir gir tydig løsig. Nærmr drsøls: Md t : ~ Md t : ~ Løsigr: y s s z SV: Etydig løsig or all rll vrdir av t tatt t og t dvs. t \ { } Udlig mag løsigr or t Ig løsig or t. OPPGVE a I III os os os8 -β β os 8 - β II 8 - β β os8 -β Vi lagr o jlpigrr i orm av rttvild tratr. Md l trigoomtri år vi da: I os os II os os8 β os os β * III os os8 β os os β os * Grlt: os ± os os m si si Og dror: os 8 β os β sid av 7

2 sid av 7 b Liig på matrisorm md vil som jt: β os os os. Symbols: b M ramrs rgl: dtm dtm os. Matris M ås vd å rstatt. olo i M md vtor b. Hr: M dt M dt os os os OPPGVE a Uastt atall vtorr a vi alltid lag liærombiasjo av diss sli at:.... I dtt tilllt: Drsom d trivill løsig r st mlig svar vil vtor vær liært avgig. Drsom liigssttt ar dlig mag løsigr vil vtor vær liært avgig. ltrativ 6 dt. Sid dt må ivrsmatris sistr. Vi år dror: Md adr ord ar vi trivill løsig. Vtor må vær liært avgig ltrativ ~ Dt gir : Liært avgig vtorr. b Vi ar vtorr og diss r i parallll 6. Da må d vær liært avgig. Vtor r liært avgig. Ka.s. lag liærombiasjo: Vi bøvr i orta brgigr i dtt tilllt! ll vtor r lmt i -rommt m dim. Evr basis or ar dror sat liært avgig vtorr. Hr ar vi mr vtorr og d MÅ dror vær liært avgig.

3 sid av 7 d 9 N! Uvstlig i vil rølg vtor smmrs. Dtt r t i-vadratis liigsstt og vi må dror br radoprasjor. Dtrmiat sistrr i. 9 Vi sr at liigssttt ar dlig mag løsigr liigr md jt. Vtor må dror vær liært avgig. OPPGVE a Vi a btrat sjo som vtorr og bytt samm ramgagsmåt som i oppg.. Sttr opp liig: os si Vi vt imidlrtid at: os si. Md.s. gir dt: os si Md adr ord dt is åpbart dlig mag løsigr av liig.s.:. Fsjo og må dror vær liært avgig. b g g g Vi a i bstmm ostat i på samm måt som i pt.a og m dt spillr ig roll. Espotialsjor r alltid positiv dvs.: a > or all. Foroldt mllom og a llr i vær ostat år varirr. Drmd r st mlig løsig på liig. Fsjo r dror liært avgig. Dt btyr at all ator ora -ldd må vær li dvs.: og Og dt gir som st løsig: Fsjo r liært avgig. ltrativt: Vi valgt basis } { og satt opp sjo som vtorr. Vi sr at dtt r øyatig samm liigsstt som ør. Est løsig r

4 OPPGVE a v llr vivalt: v. Grais: Vi tgr opp v og sr at dt tilsvarr v S llr m.a.o.: v i j y wi j - j v - i j Matmatis: i v i j i j i j i j Ellr lr md bar oordiatr: v S På matrisorm: Omsrivig av gir: v S. Symbols: v S M S v [ ] S v Mr! Matris M S gir trasormasjo ra basis til basis S og olo bstår av -vtor ttryt i S. asissit blir liær trasormasjo på lij md.s. rotasjo spilig osv. b * w ws llr vivalt: w i j. * Utlatr ot ids S or stadardbasis Grais: Vi sr av igr ovr at w i j tilsvarr w. Ellr w. Matmatis: I pt a at vi trasormasjosmatris M S or ovrgag ra til S. Da må M S M S vær trasormasjosmatris ra S til. 6 Dt vil si: w M S ws llr: w 8 6 ltrativt: w i j w sid av 7

5 sid av 7 OPPGVE 6 a asis rras: } { vtororm : På Drivasjo mp. : g matrisorm : / vtor På ' g b d. Itgrad: ' OPPGVE 7 a For vilårlig m -matrisr ar vi } mi{m ra. Hr r og ~ 6 I bgg tilllr r m < og atall radr m bstmmr dror d masimal rag. Dvs.: gg matris ar masimalt rag. ra ~ ra b Liærombiasjo: 6 b Valig Gasslimiasjo gir: 6 Md adr ord: b t vtor b a srivs som liær ombiasjo av og og dt på é og bar é måt visr at diss olovtor r liært avgig. D dar dror basis or olorommt til alt ol Dvs.: spa ol. [ Vtor spr t vtorrommt ol ] t ol b visr også at liigssttt r løsbart. Vi ar altså liært avgig olovtorr. D gjværd olovtor og r slv liærombiasjor av og og drmd liært avgig. Vi år ol dim Dimsjo til radrommt r alltid li dimsjo til olorommt. Valig Gasslimiasjo vill dror a avslørt at vi også ar liært avgig radvtorr. t ort a rad strys sid r r r. Vi sittr igj md og r r r som liært avgig radvtorr. ow dim ag til r gtlig bar t at ttry or dimsjo til rad/olorommt dvs. ra

6 OPPG. 7b orts. Totalmatris ~ ar é olo mr m sid dt r vtor b som tgjør d 6. olo og b ol vil i atallt liært avgig olor ø. Dror må også ra ~ Oppsmmrt: lltid: ra dimow dimol I d oppgav: ra dimow dimol ra ~ < 7 For t liært liigsstt b vil alltid: ra dimnll vor atall jt og Nll r llrommt til. Nllrommt ioldr all løsig av dt omog liigssttt. I vårt tilll: dim Nll ra E basis or llrommt må dror a liært avgig vtorr. Vtor og r liært avgig sid d i r parallll m dt gjstår å s om d atis r løsigr av. Kotroll: Krav r oppylt vtor dar basis or llrommt. Dvs.: Nll spa d Jr. pt. b. Vi li gjr a srvt: b T Vtor [ må dror vær d partilær løsig av liigssttt dvs. b p ] Fra pt. ar vi at og all liærombiasjor av diss t t r løsigr av p D ompltt løsig a dror srivs: p p t t t t vor : t i Kotroll: p p p s t s t s t b b OS! D dlig løsig i d ir vi lst vd å agrip dt oppgitt liigssttt dirt va. Gasslimiasjo. Hr ar vi gått o omvir i t orsø på å orlar bgrp radrom olorom llrom og rag. OPPGVE 8 a Etydig løsig. Sid ra ra ~ må b ol. ltså is dt é løsig p M vi ar også ra. Da må dim Nll og drmd p blir dror st løsig sid p p p sli at p b Ig løsig. L b ol vil tilsvar at é llr lr av liig i liigsstt b r på orm:.... Vi isr at dtt r mligt. b sid 6 av 7

7 OPPG. 8 Udlig mag løsigr. Samm argmtr som i a m r r dim Nll 6. Drmd vil dt omog sttt a løsig t t t og l liigssttt år løsigsmgd p d Udlig mag løsigr. Samm sitasjo som i. b ol gir løsig p og dim Nll > gir løsig Totalt: p. Etydig løsig. m ibærr t vadratis liigsstt. dt må bty at all rad og olo r liært avgig dvs. at ra ra ~. Samm sitasjo som i a. ltrativt: dt sistrr b tydig p Ig løsig. L Sid dimowdimolra må ra ~ > dimow ibær at b ol Dt r samm sitasjo som i b. g mligtr t dlig mag løsigr llr ig løsig. -matris ar ærr radr olor og drmd ar vi ærr liigr atall jt dvs. ra <. Dt btyr dlig mag løsigr vis ra ra ~ og ig løsig vis ra < ra ~. sid 7 av 7

Like dokumenter

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norgs tkiskaturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag MA Grukurs i aalys II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 8.8. a) Vi har fuksjo f(). Vi skal taylorrkk til f i puktt, kovrgsitrvallt til d rkk, og vis