Eksamen i TMA4135 Matematikk 4D

Transkript

1 Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Harald Krogtad telefon / Ekamen i TMA435 Matematikk 4D Bokmål Mandag 8. augut 2 Tid: Helpemidler (kode C): Enkel kalkulator (Hewlett Packard HP3S eller Citizen SR-27X) Rottmann: Matematik formelamling Alle var kal begrunne og det kal gå klart frem hvordan varene er oppnådd. Oppgave a) Finn f (t) og g (t) når dere Laplace-tranformaon er L {f (t)} = F () = e, L {g (t)} = G() = 2 ( e ). b) Lø initialverdiproblemet y (t) + y(t) = g (t) ±(t ), y() =, y () =, der g (t) er definert om i punkt a) og ± betegner deltafunkonen. Oppgave 2 er gitt ved Fourier-tranformaonen til funkonen g (x) = ĝ (w) = a a 2 + x 2, a >, r º 2 e a w.

2 Side 2 av 5 a) Betem Fourier-tranformaonen til funkonen f (x) = Vink: Benytt delbrøkopppaltning. ( + x 2 )(4 + x 2 ). b) Regn ut integralet Z (e w e 2w )co wx dw. Oppgave 3 En radioaktiv tav ligger lang x-aken fra x = tilx = L. Materialet i taven utvikler varme lik at temperaturen i taven, u(x, t), u + r, x L, t, ( der varmeprodukonen, r, er en potiv kontant. Temperaturen ved x = holde kontant lik, u(, t) =, men taven er varmeiolert ved x = L, =, t. Under normale forhold er temperaturen i taven uavhengig av tiden, og denne løningen for temperaturen betegne ved u (x), det =. a) Betem u (x) ut fra ( ) og randbetingelene. Skriv u(x, t) = u (x) + v(x, t), og vi at differenialligningen og randbetingeler for v(x, t) er b) Ved t = er temperaturen 2, v(, t) t) u(x,)= u (x) + in ºx 2L Finn temperaturen i taven for x L, t. 5ºx + 2in, x L. 2L Oppgave 4 La y(x) være en funkon, definert på intervallet x. Funkonen elv er ukent, men funkonverdien er kent i gitte punkter, oppgitt i tabellen under. i 2 x i /2 y(x i ) 2/3 /2 a) Finn polynomet p(x) av lavet mulig grad om interpolerer y(x) i punktene gitt i tabellen. Bruk dette til å finne en tilnærmele til y(3/4).

3 Side 3 av 5 b) Bruk polynomet p(x) til å finne en tilnærmele til integralet R y(x)dx. Bruk deretter trapemetoden til å finne en annen tilnærmele til amme integralet. Den ekakte verdien av integralet er ln2. Hva blir feilen i de to approkimaonene, og hvilken er bet? Oppgave 5 Gitt ytemet av ikke-lineære ligninger e x y =, y 2 6x = 4. Lag en kié, og vi hvor mange løninger dette ytemet har. Gør deretter én iteraon med Newton metode, med tartverdier x () =, y () = 3. Oppgave 6 Gitt differenialligningen x (t) + x(t) =, x() =, x () =. Skriv om denne til et ytem av førte orden differenialligninger. Finn tilnærmeler til x(,2) og x (,2) ved henholdvi (i) to kritt med Euler metode, (ii) ett kritt med bakleng Euler metode (e vink), etterfulgt av ett med (vanlig) Euler. Skrittlengden er altå h =, i begge tilfellene. Den ekakte løningen av ligningen er x(t) = co(t), og det er lett å vie at x(t) 2 + x (t) 2 = for alle t. Hvilken av de to metodene gir approkimaoner om bevarer denne egenkapen bet? (I denne oppgaven er det tiltrekkelig å ekke for t =,2.) Vink: For en ordinær differenialligning y = f(t,y) er et kritt med bakleng Euler metode gitt ved y n+ = y n + hf(t n+,y n+ ). Tilnærmelen y n+ må altå løe ut fra ligningen for hvert kritt.

4 Side 4 av 5 Formler i numerikk La p(x) være et polynom av grad n om interpolerer f (x) i punktene x i,i =,,...,n. Forutatt at x og alle nodene ligger i intervallet [a,b], å gelder ny f (x) p(x) = (n + )! f (n+) (ª) (x x i ), ª 2 (a,b). Newton dividerte differaner interpolaonpolynom p(x) av grad n: Numerik derivaon: p(x) = f [x ] + (x x )f [x, x ] + (x x )(x x )f [x, x, x 2 ] i= + +(x x )(x x )...(x x n )f [x,...,x n ] f (x) = f (x + h) f (x) + h 2 hf (ª) f (x) = f (x + h) f (x h) 2h 6 h2 f (ª) f (x) = f (x + h) 2f (x) + f (x h) h 2 2 h2 f (4) (ª) Simpon integraonformel: Z x2 x f (x)dx º h 3 (f + 4f + f 2 ) Newton metode for ligningytemet f(x) = er gitt ved J (k) x (k) = f x (k) x (k+) = x (k) + x (k). Iterative teknikker for løning av et lineært ligningytem Jacobi: Gau Seidel: nx a i x = b i, = x (k+) i = a ii x (k+) i = a ii b i i P i =,2,...,n = b i i P = a i x (k) n P =i+ a i x (k+) n P =i+ a i x (k) a i x (k) Heun metode for løning av y = f(x,y): k = hf(x n,y n ) k 2 = hf(x n + h,y n + k ) y n+ = y n + 2 (k + k 2 )

5 Side 5 av 5 Tabell over noen Laplace-tranformer f (t) F () = L {f (t)} = t t n (n =,,2,...) 2 n! n+ Z e at a co!t 2 +! 2 in!t coh at inh at e at co!t e at in!t! 2 +! 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a) 2 +! 2! ( a) 2 +! 2 e t f (t)dt ±(t a) e a Tabell over noen Fourier-tranformer f (x) g (x) = f (ax) u(x) u(x a) f ˆ(w) = F (f ) = p Z f (x)e iwx dx 2º ĝ (w) = a µ in aw p 2º w u(x)e x p 2º µ w fˆ a i co aw w + w 2 i w + w 2 e ax2 p e w2 4a 2a r 2 e a x a º w 2 + a 2