KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG

Transkript

1 Side av 7 NTNU Norges tenis-naturvitensapelige universitet Faultet for fysi, inforati og ateati Institutt for datateni og inforasjonsvitensap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TT23 VISUALISERING TIRSAG 7. AUGUST 27 KL LØSNINGSFORSLAG OGAVE Volurepresentasjoner a) Esepler på etoder so benyttes til volurepresentasjoner er: CSG-representasjoner Sveiperepresentasjoner Grenseflaterepresentasjoner b-rep) Vingeantrepresentasjonen Rooppdelingsrepresentasjoner i. Cellerepresentasjoner ii. Otaltrerepresentasjoner iii. S-representasjoner b) Ved CSG-representasjon har en et bibliote av eleentære onstrusjonseleenter so obineres ved boolse operasjoner til å danne er oplese objeter.

2 Side 2 av 7 c) En an brue stråleasting til å bygge CSG-odeller. So esepel viser nedenstående figurer og tabell stråleasting anvendt for besteelse av union, snitt og differens ello ula og terningen. Strålen sjærer inn i ula i puntet A og går ut i puntet. Tilsvarende går strålen inn i terningen i punt C og ut i punt. OGAVE 2 araetrise urver a) En variabel z so funsjon av variablene og y an beregnes ved en esplisitt lining av typen: z = f, y) ) å iplisitt for blir liningen: gyz,, ) = erso funsjonen f y, ) er ontinuerlig i og y over et intervall i hver av variablene, vil z ligge på en flate so ligger over den flaten i planet z = so roer variasjonsintervallene til og y. et sae gjelder når funsjonen gyz,, ) er ontinuerlig i alle variablene. et betyr at funsjoner av disse typene i sin alinnelighet vil besrive flater og ie være egnet til å besrive generelle urver i roet.

3 Side 3 av 7 b) En paraetris representasjon får vi når vi lar hver av variablene, y og z være funsjoner av en paraeter u: = f u) y = gu ) z = h u) 3) Når f, g og h er ontinuerlige funsjoner i u, vil det til enhver verdi av u svare verdier av, y og z sli av en urve besrives. c) en geoetrise tolningen av den førstederiverte til en urve er at den er et ål for retningen til urvens tangent. I to diensjoner er interpretasjonen av den deriverte grei. I tre diensjoner ed en generell rourve er fortsatt den førstederiverte et ål for tangentens retning og for urvens glatthet. Kontinuerlig førstederiverte gir en urve so er glatt og so ie buter seg. Kontinuerlige deriverte av høyere orden gir urver so an bute seg på en glatt åte. I otsetning til tilfellet ed urver i to diensjoner, er det ie vanlig å se ateatise foruleringer av geoetris deriverte i tre diensjoner. araetrise førstederiverte vil iidlertid ed unnta av et spesialtilfelle gi retningen til tangenten. Tilsvarende gjelder for høyere ordens deriverte. araetris deriverte fåes ved å derivere: u ) = [ u ), yu ), zu ),] T ) ed hensyn på paraeteren so her er u. en paraetrise deriverte er en vetor og har dered både retning og lengde. Retningen av den paraetris førstederiverte er langs urvens tangent og er ål for hvor langt en beveger seg langs urven når en endrer paraeteren ed en enhet. en paraetris førstederiverte oppfattes so hastighet ed hensyn på paraeteren u. et vitigste sillet er: e geoetris deriverte har retning og er uavhengige av paraeteren u e paraetris deriverte har retning og lengde

4 Side av 7 d) en paraetris deriverte an bli i et punt og fortsatt være ontinuerlig. ette an sje i et nepunt for urven der den geoetris deriverte er disontinuerlig. ette fenoenet inntrer for esepel for unifore -splines når naboontrollpunt faller saen. OGAVE 3 Kurvetilpasning Gitt - punt nuerert = 3,,. untene sal interpoleres av en ubis unifor -spline. Et generelt uttry for en sli urve over ontrollpunt er: uˆ) = uˆ) 5) i i Kurven er bestet av ontrollpunt i nuerert i =,,. Kontrollpuntene er de ujente størrelsene. For besteelse av ontrollpuntene får vi, når vi benytter det generelle uttryet ovenfor, lininger: = p) = ) for = 3,, 6) i i eller på oponentfor: = ) = ) for = 3,, i i = ) = ) for = 3,, y yi i = ) = ) for = 3,, z zi i 7)

5 Side 5 av 7 e to anglende liningene an vi få for esepel ved å legge til to estra punt so også sal interpoleres. isse an legges inn hvor so helst. Vi velger å legge inn ett punt i hver ende:, 2, 2 = = 8) e to tilhørende estra urvesegentene vil bli degenererte bygd på bare tre blandefunsjoner. ette gir følgende liningssett på atrisefor her for -oponenten, vi får tilsvarende for de øvrige oponentene): = 2,, 3 2, ) ) ) ) 3) 3) 3) 3) 9) å grunn av blandefunsjonenes natur, blir atrisen en båndatrise: ) 3) 3) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Med tallverdier beregnet ut fra blandefunsjonene for ubise unifore -splines satt inn i atrisen ie spurte etter i oppgaven): 6 )

6 Side 6 av 7 OGAVE artielsysteer Vi lar partilene esplodere oppover innenfor en onis flate. Utgangshastigheten, so er forsjellig for de individuelle partilene, har et asialt avvi fra loddlinjen svarende til den onise flatens helning. artilene påvires av gravitasjonen sli at banene bøyes ned. Sporet etter partilene tegnes so gresstrå. OGAVE 5 Synlige flater a) Hovedprinsippet for dybdesorteringsalgoriten er:. Sorter polygonene etter den z-oordinatene so er lengst fra projesjonsplanet 2. Løs overlappsprobleet 3. Tegn polygonene ett for ett ved å start ed det so er lengst borte fra projesjonsplanet

7 Side 7 av 7 b) unt 2 algoriten fra deloppgave a) løses sli:. er den polygonen so for øyebliet er først i listen over sorterte polygoner 2. Før eventuelt an tegnes, ed den testes ot hvert av de øvrige polygonene so følger etter i listen 3. For polygon avbrytes testen så snart det an svares ja på ett av de følgende spørsålene: a. Er det fritt for overlapp av oordinater i z-retningen? b. Er det fritt for overlapp av oordinater i -retningen? c. Er det fritt for overlapp av oordinater i y-retningen? d. Er i sin helhet ba det planet so inneholder? Se figur. e. Er i sin helhet foran det planet so inneholder? Se figur 2 f. Er projesjonene av og uten overlapp ed hverandre?. erso ett av spørsålene i punt 3 ble besvart ed ja, beholder og sine relative posisjoner og testes ot neste polygon i listen ved å starte på punt 3 igjen. 5. erso ingen av spørsålene i punt 3 ble besvart ed ja, an det hende at helt eller delvis bloerer. erfor stilles følgende to spørsål. erso svaret på ett av de er ja, sette inn so den første polygonen i listene over gjenværende polygon og ny testing startes ed punt 2 a. Er i sin helhet ba planet so inneholder? Se figur 3. b. Er i sin helhet foran det planet so inneholder? Se figur. 6. erso overlappsprobleet fortsatt ie er løst, å en av polygonene splittes i indre deler og testen fortsetter ed de nye polygonene på rett plass i den sorterte listen. er i sin helhet ba planet so ligger i ligger i sin helhet foran planet so inneholder z Figur z Figur 2 er i sin helhet ba planet so inneholder er i sin helhet foran planet so inneholder z Figur 3 z Figur