Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2008

Transkript

1 Side 1 a 9 Løsningsforslag Esaen i Fys-e111 åren 8 På denne esaenen sal i studere en ollisjon ello to identise partiler (atoer) so begge påires a refter fra en assi, stasjonær partiel (f.es. et oleyl). Vi sal gjøre dette i to steg. I oppgae 1 sal i studere en enel eanis odell so også illustrerer eselirningen ello en assi partiel og et ato, ens i oppgae studerer i en ollisjonsprosess for partiler i et er realistis potensial. Oppgae 1 En loss ed asse slir på et frisjonsfritt bord so illustrert i figuren. En asseløs fjær ed fjæronstant og lieetslengde b er festet i eggen ed x =. I begynnelsen a prosessen ligger fjæren i ro og den har lengden b. I det lossen treffer fjæren fester den seg til fjæren. Klossen starter ed posisjonen x( t) = x ed hastigheten t ( ) = ed tiden t = t = s. Du an se bort fra luftotstand. a) Identifiser reftene på lossen og tegn et frilegeediagra for lossen før den treffer fjæren og etter at den har truffet fjæren. Før ontat ed fjær: Kontatrefter: Noralraften N fra gulet Fjernrefter: Graitasjonsraften W = g Etter ontat ed fjær: Kontatrefter: Noralraften N fra gulet og raften F fra fjæren. Fjernrefter: Graitasjonsraften W = g b) Finn posisjonen x() t til lossen so funsjon a tiden før lossen treffer fjæren. Det er ingen horisontale refter på lossen. Newtons andre lo i x-retninger gir da: F = a =, og hastigheten er derfor onstant. For beegelsen ed onstant hastighet er posisjonen gitt ed: x() t = x( t) + ( t)( t t). Her er t ( ) = og t = so gir: x() t = x t. c) Klossen treffer fjæren ed tiden t = t1. Finn t 1.

2 Klossen treffer fjæren når x( t1) x b = b so gir x t 1 = b. Vi finner t1 = Side a 9 d) Vis at aselerasjonen til lossen etter at den har truffet fjæren an sries so: a = ( x b). Etter at lossen treffer fjæren blir den påiret a en horisontal fjærraft. For en fjær ed lieetslengden b og fjæronstanten er fjærraften på lossen: F( x) = ( x b) Newtons andre lo for lossen gir: F = F( x) = a Vi finner aselerasjonen ed å dele ed assen: F( x) a = ( x b) =. e) Sisser posisjonen til lossen so funsjon a tiden fra t = t. Ha er fjærens asiale opresjon? Vi å sille oppførselen før t 1 og etter t 1. Før t 1 har i funnet oppførselen oenfor. Etter t 1 et i at løsningen a beegelsesliningen gir en oscillerende beegelse. Løsningen er x t t< t xt () = > ω 1 b sin( ω( t t1)) t t1, hor ω = /. Men det ar ie nødendig å finne løsningen. Det holder ed en alitati sisse a løsningen. Et plot a løsningen er ist i figuren under: Vi finner den asiale opresjonen fra energibearing fordi alle refter so påirer lossen er onseratie: 1 1 = Δ x so gir: Δ x =.

3 Side 3 a 9 Oppgae Vi sal i denne oppgaen se på en ollisjon ello to identise atoer ed asse so begge er påiret a refter fra en assi partiel, f.es. et oleyl. Først ser i på oppførselen til et enelt ato so er påiret a refter fra et oleyl. Den potensielle energien for eselirningen ello atoet og oleylet er: når x < b d 1 U ( x) = ( x b) når b d < x < b + d U når x > b + d 1 hor U = d og x er posisjonen til atoet. Vi antar at oleylet ligger fast i puntet x =. (Atoet an ie oe inn i orådet hor potensialet er uendelig). a) Sisser potensialet. Tegn inn en beegelse hor totalenergien er indre enn U og en beegelse hor totalenergien er større enn U og besri beegelsene ort. Den grønne linjen iser en beegelsen hor energien er indre enn U. Her er atoet bundet til oleylet og det oscillerer fre og tilbae ello to ytterpunter, sli i så for lossen i oppgae 1. Den røde linjen iser en beegelse hor energien er større enn U. Her er atoet ie bundet til

4 Side 4 a 9 oleylet. Det refleteres fra potensialet der hor linjen er ertial, og beeger seg deretter utoer uten å stoppe. b) Finn raften F( x ) på atoet so funsjon a atoets posisjon x Kraften er gitt so inus den derierte a potensialet: F( x) = du = ( x b) dx Når x > b+ d er potensialet onstant og raften null. Atoet an ie beege seg inn i orådet hor x < b d. Vi sal nå studere en ollisjon ello et ato (B) ed asse so ligger i ro i puntet xb = b og et identis ato (A) so starter ed xa > b+ d ed en hastighet A,. For hert a atoene an eselirningen ed oleylet uttryes ed den potensielle energien U( x ), sli at den potensielle energien til ato A er U( x A) og den potensielle energien til ato B er U( x B ). Det er ingen langtreende eselirninger ello atoene. De eselirer un når de er i sae punt, xa = xb, og da olliderer de. Etter ollisjonen henger atoene saen. Du an anta at atoene ie har beeget seg neneerdig i løpet a ollisjonen. c) Finn hastigheten til ato A i puntet xa = b uiddelbart før ollisjonen. Ato A er un påiret a en onserati raft gitt a potensialet U( x ). Vi an derfor benytte bearing a eanis energi til å finne den inetise energien til ato A i posisjonen 1 hor x = b. E = K + U = E1 = K1+ U1 Hor den potensielle energien i puntet 1 er. Derfor finner i: + U = 1 1 A, A,1 Vi finner farten i puntet 1: U = + A,1 A, Hastigheten er rettet ot enstre, sli at hastigheten blir:

5 U = +. A,1 A, Side 5 a 9 d) Finn hastighetene til ato A og til ato B uiddelbart etter ollisjonen. Fordi ollisjonen sjer i puntet x = b hor raften fra potensialet er null, er det ingen ytre refter so irer på atoene under ollisjonen. Beegelsesengden er derfor beart. + = + A,1 B,1 A, B, Ato B er i ro før ollisjonen, sli at B,1 =. Atoene henger saen etter ollisjonen, sli at = =. Vi finner da hastigheten etter ollisjonen: A, B, = + = A,1 Og dered 1 =,1 A So er hastigheten til begge atoene. Denne er negati siden A,1 <. e) Hor stor å,a ære for at ato B sal løsrie seg fra oleylet etter ollisjonen? (Atoet er løsreet his det an beege seg ilårlig langt e fra oleylet.) Ato B løsrier seg derso den totale energien er større eller li U. Den totale energien etter ollisjonen er: B, = B, + ( ) = A,1 = A,1 = + E U b U 4 4 Hor i har benyttet resultatet fra oppgae c) Vi finner hastigheten ato A å ha før ollisjonen ed:

6 1 1 E = + U = U U = 4U 1 = 3U B, = 6U Side 6 a 9 Hastigheten å ære større enn dette for at ato B sal løsrie seg. (Derso du her har regnet ed at ato A og B henger saen bør du strengt tatt også ha tatt hensyn til at potensialet også er dobbelt så stort, fordi hert ato har den potensielle energien U( x ). His du derfor har fått en fator (eller ½) feil oer i ie til å tree for det.) Vi sal nå studere den sae prosessen, en i to diensjoner. Det assie oleylet ligger i ro i origo, og den potensielle energien til et ato har sae foren so oenfor, en er nå en funsjon a atoets astand, r = x + y, til origo: når r < b d 1 () = ( ) < < + U når r > b + d U r r b når b d r b d f) Vis at raften på atoet an sries so Fr ( ) = r ( b) r r når b d < r < b+ d. Vi finner raften ed potensialet ed å brue: F = U U 1 Fx = = ( r b ) = ( r b ) ( r b ) = ( r b ) r x x x x 1/ 1 1/ x = ( r b) ( x + y ) = ( r b) x( x + y ) = ( r b) x r Og tilsarende for y-oponenten.. Vi ser på x-oponenten: g) (Denne deloppgaen teller so 4 deloppgaer) Atoet starter ed hastigheten i posisjonen r ed tiden t =. Sri et progra so finner posisjonen til atoet so funsjon a tiden. Bru fortrinnsis Matlab eller Python og gjør det lart hordan du representerer etorer. Vis også hordan du plotter banen til atoet.

7 = 1.; = 1.; b = 1.; d =.5; r = [1..]; = [..8]; tie = 5.; dt =.1; % n = round(tie/dt); t = zeros(n,1); r = zeros(n,); = zeros(n,); a = zeros(n,); (1,:) = ; r(1,:) = r; for i = 1:n-1 rr = nor(r(i,:)); if (rr>b+d) F = [..]; elseif (rr>b-d) F = -*(rr-b)*r(i,:)/rr; else % Collision - reerse elocity in radial direction ur = r(i,:)/rr; projur = dot((i,:),ur); (i,:) = (i,:) - projur*ur + abs(projur)*ur; end a(i,:) = F/; (i+1,:) = (i,:) + a(i,:)*dt; r(i+1,:) = r(i,:) + (i,:)*dt; t(i+1) = t(i) + dt; end plot(r(:,1),r(:,)); xlabel('x/b') ylabel('y/b') Side 7 a 9 Mer at det her er lagt inn en del so tar hånd o ha so sjer når atoet prøer å gå inn i den harde jernen. Vi har ie truet noe derso denne delen ie ar ed i oden. Men dere å her ise: (1) at dere an brue etorer, og () at raften har forsjellige erdier forsjellige steder i roet, og at det trengs en test for å sette ritig raft. h) Vi bruer prograet til å gjøre en siulering hor r = (,) b og = (, ). Du ser resultatet i figuren til høyre. Forlar resultatet. Hordan il du gå fra for å åle periodetiden for denne beegelsen i prograet ditt? (Her behøer du un forlare hordan det an gjøres, du behøer ie srie oden). Figuren iser banen til atoet. Det går ie i en sirelbane, en singer fre og tilbae rundt en sirelbane. Dette syldes at potensialet irer so en fjærraft sli at his atoet beeger seg litt utenfor en sirelbane il det ire en raft so treer den tilbae igjen atoet oersyter at sirelbanen litt. Beegelsen er i et horisontalt utt

8 Side 8 a 9 gjenno potensialflaten gitt a den potensielle energien. Her er atoet bundet til oleylet. Vi an åle periodetiden ed å se hor lang tid det tar før atoet sjærer asen y = på ei i positi y-retning. Vi får bedre resultat derso i åler tiden det tar atoet å passere N ganger og så dele på N. i) Du ønser at atoet sal gå i en sirelbane o oleylet ed farten. Hile initialbetingelser å du elge for å få dette til? Kan du få dette til for enher fart? Begrunn saret. Vi ser at raften fra oleylet er ahengig a r. For å få dette til å raften so irer på atoet gi en aselerasjon so er identis ed den aselerasjonen atoet å ha for å gå i en sirelbane. Ds: Fr () a = = r Vi setter inn for raften, og finner: r ( b) = r So gir rr ( b) = Dette er en annengradslining: r rb =. Løsningen a denne liningen er: b ± b + 4 / b 4 r = = b Hor i un ser på den positie løsningen (siden r å ære positi). Mer at løsningen å ære innenfor b d < r < b+ d, hilet i ie får til derso hastigheten blir så stor. Det er ie så rart, fordi i et jo at den totale energien å ære indre enn U for at atoet sal ære bundet. Derso hastigheten blir stor, il den inetise energien bli stor, og atoet il ie lenger ære bundet.

9 Side 9 a 9 Vi antar at ato A, so i følger beegelsen til, olliderer ed ato B so ligger i ro i astanden rb = b. Ato B er plassert sli at ollisjonen inntreffer idet r A = r B = b. Kollisjonen an odelleres so et sentralt støt, og atoene henger saen etter støtet. j) Hordan il du odifisere prograet ditt for å odellere beegelsen til atoet A før og etter ollisjonen? (Her er det no å forlare hordan du il endre oden, du behøer ie srie ny ode.) Prograet oer finner banen til ato A. I det atoet har astanden r = b inntreffer ollisjonen. Siden ollisjonen er sentral, og atoene blir hengende saen etter ollisjonen, har i allerede funnet hastigheten til ato A og B etter ollisjonen i oppgae d). Vi odifiserer oden sli at (første gangen) ato A når r = b endrer i hastigheten til ato A sli i fant i d). Deretter fortsette prograet so før. Den enest endringen for partielen er at den får en ny hastighet etter ollisjonen. Hastighetens retning endres ie. (Dette gir full uttelling i oppgaen. Du behøer derfor ie å ha løst oppgae d) ritig for å få full uttelling her.) ) Ato A starter ed hastigheten i posisjonen r ed tiden t = t og olliderer ed ato B ed tiden t = t1. Ha å til for at ato B sal løsrie seg fra oleylet etter støtet? Problestillingen er den sae so i oppgae e). Sel o beegelsen nå er to-diensjonal blir energi-betratningen den sae, og dered blir også betingelsen den sae. l) Hordan å du elge og r for at ato B sal gå i en sirelbane etter støtet? Det er ie ulig å elge hastighet sli at banen blir en sirelbane. (Du an her brue forsjellige arguenter for dette. For esepel an du brue liningen rr ( b) = so iser at når r = b å hastigheten ære null i en sirelbane og da har i ingen sirelbane.) *** Dette er siste ar i oppgaesettet. Lye til ed oppgaene!