Øving 11. Oppgave 1. E t0 = 2. Her er

Transkript

1 FY00/TFY460 Bølgefysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 0. Veiledning: Mandag 5. og tirsdag 6. november. Innleveringsfrist: Mandag. november l :00. Øving Tema: Dipol-Ståling, reflesjon og transmisjon av e.m. bølge (normalt innfall). Geometris optis 3 lover. Grenseflatebetingelser for feltene D, E, B og H. Oppgave a) Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier (z < 0) og (z > 0), med permittiviteter og permeabiliteter henholdsvis ε, µ og ε, µ. Anta at en plan harmonis eletromagnetis bølge ommer inn fra venstre, dvs den forplanter seg i positiv z-retning. Amplituden til eletris felt i innommende bølge er E i0. Vis at bølgen som refleteres i z = 0 har amplitude E r0 = β + β E i0 og at bølgen som transmitteres i z = 0 har amplitude Her er E t0 = + β E i0 β µ v µ v med v j = c/n j = bølgens (fase-)hastighet i medium j. n j er brytningsindesen i medium j. (Dette tilsvarer figuren i oppgave, med alle vinler li null.) b) Innommende bølge har intensitet I i. Denne fordeler seg på den refleterte (I r ) og den transmitterte (I t ) bølgen. Finn reflesjonsoeffisienten og transmisjonsoeffisienten R I r I i T I t I i uttryt ved brytningsindesene n og n i det vi antar at begge medier er umagnetise, dvs µ = µ = µ 0. Bestem tallverdier for R og T for grenseflaten mellom luft ( vauum) og glass med relativ permittivitet.5.

2 Oppgave Geometris optis tre lover Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier (z < 0) og (z > 0), med brytningsindeser henholdsvis n og n. Anta at en plan harmonis eletromagnetis bølge ommer inn fra venstre sli at forplantningsretningen, gitt ved bølgetallsvetoren i, danner en vinel θ i med z-asen. Innommende bølge blir delvis refletert, med bølgetallsvetor r, og delvis transmittert (evt refratert), med bølgetallsvetor t, som vist i figuren. z= 0 r θ r θ i θ t t z i Eletris feltvetor for de tre bølgene er E i E r E t = E i0 cos( i r ωt) = E r0 cos( r r ωt) = E t0 cos( t r ωt) Bølgetallsvetoren i an uttryes i artesise oordinater, og tilsvarende for r og t. i = ixˆx + iy ŷ + iz ẑ a) Bru av grensebetingelsene for E og B i planet z = 0 (betingelser som sal gjelde overalt i dette planet, dvs for alle x og y og til alle tider t) vil resultere i ligninger på formen A cos( i r ωt) + B cos( r r ωt) = C cos( t r ωt)

3 der oeffisientene A, B og C ie avhenger av r og t. (Disse sal ie bestemmes her.) Bru dette til å argumentere for at i r = r r = t r for alle mulige posisjoner r = (x, y, 0) i grenseflaten z = 0. Argumenter videre for at vi da må ha og ix = rx = tx iy = ry = ty Men da har vi 3 vetorer med av omponentene identise, hvilet må bety at de 3 vetorene alle ligger i ett og samme plan. Vi ser dessuten at dette planet står vinelrett på grenseflaten, hvilet må bety at flatenormalen til grenseflaten også ligger i samme plan som de 3 bølgetallsvetorene. Dette er geometris optis. lov: Bølgetallsvetorene til innommende, refletert og transmittert bølge danner et plan, det såalte innfallsplanet, som også inluderer flatenormalen til grenseflaten. b) La oss nå velge x- og y-asene sli at i ligger i xz-planet. Vis at da er i sinθ i = r sinθ r = t sinθ t og dermed og θ i = θ r n sinθ i = n sin θ t Dette er henholdsvis. lov (reflesjonsloven): Innfallsvinelen og reflesjonsvinelen er lie store: θ i = θ r. Og 3. lov (brytningsloven, eller Snells lov): sinθ t sinθ i = n n 3

4 Oppgave 3 En oscillerende eletris dipol, resulterer i et eletris felt, p(t) = ẑp 0 cosωt, og et magnetfelt, E(r, t) = µ 0p 0 ω sinθ 4πr cos[ω(t r/c)] ˆθ, B(r, t) = µ 0p 0 ω sinθ cos[ω(t r/c)] 4πcr ˆφ. Begge disse er tilnærmede uttry som gjelder så lenge vi er langt unna dipolen, samt at bølgelengden er stor i forhold til dipolens utstrening. Videre er θ vinelen mellom z-asen og r, mens ˆθ og ˆφ er enhetsvetorer som peer i retning av øende verdi av henholdsvis θ og φ. (Med andre ord, r, θ og φ er standard uleoordinater, se f.es. eller Rottmann.) Finn et uttry for Poyntings vetor S(r, t) og vis at strålingsintensiteten I(r) = S(r, t) blir I(r) = µ 0p 0 ω4 sin θ 3π cr ˆr Her angir som vanlig et tidsmiddel over en eller flere perioder. Vis til slutt at total (midlere) utstrålt energi pr tidsenhet (dvs effet) blir P = µ 0p 0ω 4 πc Tips: Integrer S over en uleflate med radius r. Oppgave 4 (Dette er no tildels jent stoff fra FY003/TFY455 Eletrisitet og magnetisme. Du må selv vurdere behovet for å repetere det her.) Bru Maxwells ligninger, D da = q f E dl = d B da dt B da = 0 H dl = I f + d D da dt 4

5 til å utlede grenseflatebetingelsene D = 0, E = 0, B = 0 og H = 0 for en grenseflate uten fri ladning og strøm. Velg luede urver og flater som antydet i figuren nedenfor og la h 0. luet urve L h luet flate A h 5