Øving 9. Oppgave 1. E t0 = 2. Her er

Transkript

1 FY00/TFY460 Bølgefysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 03. Veiledning: Mandag. og 8 og fredag 6. otober. Innleveringsfrist: tirsdag 9. otober l :00. Øving 9 Tema: Dipol-Ståling, reflesjon og transmisjon av e.m. bølge (normalt innfall). Geometris optis 3 lover. Grenseflatebetingelser for feltene D, E, B og H.Polarisasjon. Oppgave a) Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier (z < 0) og (z > 0), med permittiviteter og permeabiliteter henholdsvis ε, µ og ε, µ. Anta at en plan harmonis eletromagnetis bølge ommer inn fra venstre, dvs den forplanter seg i positiv z-retning. Amplituden til eletris felt i innommende bølge er E i0. Vis at bølgen som refleteres i z = 0 har amplitude E r0 = β + β E i0 og at bølgen som transmitteres i z = 0 har amplitude Her er E t0 = + β E i0 β µ v µ v med v j = c/n j = bølgens (fase-)hastighet i medium j. n j er brytningsindesen i medium j. (Dette tilsvarer figuren i oppgave, med alle vinler li null.) b) Innommende bølge har intensitet I i. Denne fordeler seg på den refleterte (I r ) og den transmitterte (I t ) bølgen. Finn reflesjonsoeffisienten og transmisjonsoeffisienten R I r I i T I t I i uttryt ved brytningsindesene n og n i det vi antar at begge medier er umagnetise, dvs µ = µ = µ 0. Bestem tallverdier for R og T for grenseflaten mellom luft ( vauum) og glass med relativ permittivitet.5.

2 Oppgave Geometris optis tre lover Planet z = 0 danner grenseflaten mellom to lineære medier (z < 0) og (z > 0), med brytningsindeser henholdsvis n og n. Anta at en plan harmonis eletromagnetis bølge ommer inn fra venstre sli at forplantningsretningen, gitt ved bølgetallsvetoren i, danner en vinel θ i med z-asen. Innommende bølge blir delvis refletert, med bølgetallsvetor r, og delvis transmittert (evt refratert), med bølgetallsvetor t, som vist i figuren. z= 0 r θ r θ i θ t t z i Eletris feltvetor for de tre bølgene er E i = E i0 cos( i r ωt) E r = E r0 cos( r r ωt) E t = E t0 cos( t r ωt) Bølgetallsvetoren i an uttryes i artesise oordinater, og tilsvarende for r og t. i = ixˆx + iy ŷ + iz ẑ a) Bru av grensebetingelsene for E og B i planet z = 0 (betingelser som sal gjelde overalt i dette planet, dvs for alle x og y og til alle tider t) vil resultere i ligninger på formen A cos( i r ωt) + B cos( r r ωt) = C cos( t r ωt)

3 der oeffisientene A, B og C ie avhenger av r og t. (Disse sal ie bestemmes her.) Bru dette til å argumentere for at i r = r r = t r for alle mulige posisjoner r = (x, y, 0) i grenseflaten z = 0. Argumenter videre for at vi da må ha og ix = rx = tx iy = ry = ty Men da har vi 3 vetorer med av omponentene identise, hvilet må bety at de 3 vetorene alle ligger i ett og samme plan. Vi ser dessuten at dette planet står vinelrett på grenseflaten, hvilet må bety at flatenormalen til grenseflaten også ligger i samme plan som de 3 bølgetallsvetorene. Dette er geometris optis. lov: Bølgetallsvetorene til innommende, refletert og transmittert bølge danner et plan, det såalte innfallsplanet, som også inluderer flatenormalen til grenseflaten. b) La oss nå velge x- og y-asene sli at i ligger i xz-planet. Vis at da er i sin θ i = r sin θ r = t sin θ t og dermed og θ i = θ r n sin θ i = n sin θ t Dette er henholdsvis. lov (reflesjonsloven): Innfallsvinelen og reflesjonsvinelen er lie store: θ i = θ r. Og 3. lov (brytningsloven, eller Snells lov): sin θ t sin θ i = n n 3

4 Oppgave 3 En oscillerende eletris dipol, resulterer i et eletris felt, p(t) = ẑp 0 cos ωt, og et magnetfelt, E(r, t) = µ 0p 0 ω sin θ 4πr cos[ω(t r/c)] ˆθ, B(r, t) = µ 0p 0 ω sin θ cos[ω(t r/c)] 4πcr ˆφ. Begge disse er tilnærmede uttry som gjelder så lenge vi er langt unna dipolen, samt at bølgelengden er stor i forhold til dipolens utstrening. Videre er θ vinelen mellom z-asen og r, mens ˆθ og ˆφ er enhetsvetorer som peer i retning av øende verdi av henholdsvis θ og φ. (Med andre ord, r, θ og φ er standard uleoordinater, se f.es. Rottmann. Finn et uttry for Poyntings vetor S(r, t) og vis at strålingsintensiteten I (r) = S(r, t) blir I(r) = µ 0p 0ω 4 sin θ ˆr 3π cr Her angir som vanlig et tidsmiddel over en eller flere perioder. Vis til slutt at total (midlere) utstrålt energi pr tidsenhet (dvs effet) blir P = µ 0p 0ω 4 πc Tips: Integrer S over en uleflate med radius r. Oppgave 4 (Dette er no tildels jent stoff fra FY003/TFY455 Eletrisitet og magnetisme. Du må selv vurdere behovet for å repetere det her.) Bru Maxwells ligninger, D da = q f E dl = d B da dt B da = 0 H dl = I f + d D da dt til å utlede grenseflatebetingelsene D = 0, E = 0, B = 0 og H = 0 for en grenseflate uten fri ladning og strøm. Velg luede urver og flater som antydet i figuren nedenfor og la h 0. 4

5 luet urve h luet flate h L A Oppgave 5 Hvis været tillater: Se opp på den blå himmelen gjennom et polarisasjonsfilter. (Polarisasjonsfiltre deles ut på forelesning torsdag 7.0, tre styer til hver, noen er tilgjengelig hos øvingslærere) Besriv og forlar det du ser. Bildene nedenfor er tatt lie etter solnedgang fredag 4. otober 008, på pareringsplassen P-35 sør for Gløshaugen, i ulie retninger, og gjennom et polarisasjonsfilter orientert henholdsvis vertialt og horisontalt, dvs sli at lys med E polarisert henholdsvis vertialt og horisontalt i forhold til synslinjen slipper gjennom. De to bildene lengst til venstre er tatt sørover, dvs mer eller mindre normalt på sollysets forplantningsretning. De to bildene i midten er tatt østover, dvs mer eller mindre i samme retning som sollysets forplantningsretning. De to bildene lengst til høyre er tatt vestover, dvs mot solnedgangen. Besriv og forlar det du ser. Se på en PC-sjerm gjennom et polarisasjonsfilter. I hvilen retning er lyset fra sjermen polarisert? (Dette vil variere fra sjerm til sjerm.) Hold nå polarisasjonsfilteret sli at det slipper minimalt av lyset fra sjermen gjennom. Hold deretter et annet polarisasjonsfilter ba det første og drei det rundt. Besriv og forlar det du ser. Se mot en hvilen som helst (upolarisert) lysilde gjennom to ryssede polarisasjonsfiltre (dvs med polarisasjonsretninger normalt på hverandre). Sti deretter et tredje polarisasjonsfilter inn på srå mellom de to første. Besriv og forlar det du ser. Vis at man får størst intensitet på det transmitterte lyset når det midterste polarisasjonsfilteret har en polarisasjonsase som danner en vinel 45 grader i forhold til de to andre. (Tips: Malus lov.) 5