Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x

Transkript

1 Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner seg yerlig. Sørsmålet er bare hvor langt vi skal la indeksen n gå. Det enkleste er å røve seg frem, så la oss gjøre det. Ogave a) (i) lot x 5 C x K 1, x =K10..10

2 K8 K6 K4 K x K5000 K10000 K15000 Grafen viser at likningen har minst én løsning. At den ikke har flere enn én følger av at f' x = 4 x 4 C 1 O 0 for alle x. (ii) Grafen viser at nullunktet ligger mellom og K. Vi velger derfor å starte Newtons metode med

3 x 0 = 0. Nå står det ikke i ogaven hvor nøyaktig svaret skal være. Så la oss være litt rå, og kreve 10 sifres nøyaktighet. Svaret må da gis med 11 sifre, og utregningene gjøres med enda -3 sifre. Vi velger å gjennomføre beregningene med 14 sifre, og slutte når 11 sifre er like i to åfølgende svar. Vi vet ikke hvor langt n må gå i for-løkken. Men som en tommelfingerregel får man to nye sifre i hvert trinn ved Newtons metode. Det skulle derfor være tilstrekkelig å gå til n = 11 C 1 der det siste trinnet er lagt til for kontrollen av at de to siste trinnene gir minst 11 like sifre. Derfor skulle det være nok å la n gå fra 1 til 7. Vi røver. Er det ikke nok, kan vi jo bare fortsette noen trinn til. x d 0 x := 0 (1) for n from 1 by 1 to 7 do x d evalf x K x5 C x K 1 5 x 4 C 1, 14 end do x := 1. x := x := x := x := x := x := Det gikk bra! Løsningen er altså x = korrekt avrundet. (Dersom ikke forløkken fungerer, får du regne rekursjonen trinn for trinn selv.) () Nå har vi gitt x en tallverdi. Hvis det er sjanse for at den skal brukes som variabel i neste omgang, er det en god skikk å bruke unassign like godt først som sist: unassign 'x' (iii) Det er vanskeligere å bruke en for-løkke for intervallhalveringsmetoden, for rosessen i ett trinn er avhengig av resultatet fra forrige trinn.

4 Men det finnes det råd for. Vi bruker konstruksjonen if... then... else... end if Men da er det gunstig om Male vet hvilken funksjon f er. Vi skal derfor definere denne funksjonen for Male. Vi starter så med intervallet [-,] som vi kaller x 0, y 0 Deretter velger vi intervaller x n, y n for n = 1,,..., 10 og ser hva som skjer. Altså: vi starter med å sette x=- og y=: x dk : y d y := (3) For å definere funksjonen f x = x 5 C x C 1, bruker vi kommandoen f d x/x 5 C x C 1 der ilen er tastet som minus etterfulgt av "større enn", altså - f d x/x 5 C x K 1 for n from 1 by 1 to 10 do t d evalf x C y f := x/x 5 C x K 1, 14 : if f x $f t % 0 then y d t else x d t end if end do t := 0. t := 1. t := t := t := t := t := t := t := t := Det er viktig at du ser at det vi har gjort her virkelig er å be Male om å bruke intervallhalveringsmetoden. (t settes først lik midtunktet av intervallet x n K 1, y n K 1. I if - konstruksjonen sjekkes det om f x n K 1 og f t har ulike fortegn, og har de det, får vi en ny y n som blir lik midtunktet. Hvis de ikke har ulikt fortegn, er det x n som blir lik t. Merk: (4) (5)

5 Male skal gjennomføre to ting å hvert trinn i for-løkken: beregne t og bestemme det nye endeunktet for intervallet. To eller flere oerasjoner i en for-løkke adskilles ved et kolon. Listen vi fikk viser bare t-verdiene. Vi er interessert i x og y. Men de er lette å få tak i: x y Dette er endeunktene for intervallet vi er kommet frem til så langt. Løsningen ligger et sted mellom x og y (endeunktene er også mulige). Er vi ikke fornøyd, kan vi bare fortsette, idet vi starter med verdiene som x og y nå allerede har: x C y for n from 1 by 1 to 10 do t d evalf, 14 : if f x $f t % 0 then y d t else x d t end if end do t := x y t := t := t := t := t := t := t := t := t := Ogaven krevde ikke noen sesiell nøyaktighet i svaret. Vi er nå kommet frem til at løsningen ligger i et intervall der t = er midtunktet. Vi sier derfor at denne t-verdien er løsningen. Nøyaktigheten i dette svaret er slik at feilen maksimat er lik (6) (7) (8) (9) (10) t K x (11)

6 (11) OBS! Viktig! Både x, y og t har nå fått tallverdier av Male. Så Male kan ikke lenger ofatte dem som frie variable. Det kan skae roblemer senere å dette arbeidsarket. Derfor er det en god idé å alltid "avtallifisere" variable som har fått tallverdier ved kommandoen := når man er ferdig med å bruke dem som tall. Det gjør vi ved kommandoen unassign unassign 'x', 'y', 't' Ogave Vi løser ogaven for x = 0.. Siden sin y = x, er y = sin K1 x. Derfor er det en god idé å løse ogaven ved å løse likningen sin y = x med hensyn å y. Newtons metode krever at likningen er skrevet å formen f y = 0. Vår funksjon f y er derfor f y = sin y K x = sin y K 0.. Den deriverte av f y er f' y = cos y Det kan være lurt å sjekke hvor nullunktet for f y omtrentlig er: lot sin y K 0., y =

7 y K0.1 K0. Aha! vi lar derfor Newtons metode starte med y = 0.. Det ser ut til at vi bare trenger tre desimaler til. 4 Vi lar derfor n gå fra 1 til C 1 = 3 (eller litt lenger om du vil, for sikkerhets skyld) y d 0. y := 0. (1)

8 for n from 1 by 1 to 3 do y d y K sin y K 0. cos y end do y := y := y := Vi fikk visshet for at svaret er korrekt avrundet, allerede etter n = (13) Ogave Pi Vi vet at sin = 1 6. Derfor er Pi 6 en løsning av likningen sin x = 1. Vi skriver likningen som sin x K 1 = 0, og løser den med hensyn å x ved Newtons metode. Når vi så multiliserer svaret med 6, har vi et estimat for Pi. Vi bruker x 0 = 3 6 = 1 som startverdi for Newtons metode. Siden vi skal multilisere svaret med 6, trenger vi minst 10 sikre desimaler i svaret. Vi lar derfor n går fra 1 til 6, og ser hva det leder til. Blir det ikke langt nok, er det lett å henge å noen ekstra trinn. Vi trenger også å regne med litt mer enn 10 sikre sifre (som er Males standard). La oss bruke 1. x d 0.5 x := 0.5 (14) for n from 1 by 1 to 6 do x d evalf x K sin x K 1, 1 end do cos x x := x := x := x := x := x := (15)

9 evalf x$6, For kontroll kan vi be Male om å skrive Pi med 10 sikre sifre, som rett og slett er Males standardform: () evalf(pi); (17) unassign 'x' Ogave 13. a) Vi beregner først funksjonsverdiene i randunktene x = 0 og x = : f d x/ 1 3 $x3 C cos x f := x/ 1 3 x3 C cos x (18) evalf f 0 1. (19) evalf f Pi (0) Deretter leter vi etter kritiske unkter: diff f x, x (1)

10 x K sin x (1) Vi er interessert i løsninger av likningen x K sin x = 0. For å få en idé om hvor de er, lotter vi først grafen til x K sin x: lot x K sin x, x = 0.. Pi K x

11 Aha! det er kritiske unkter i x = 0 og omtrent i midtunktet mellom andre løsningen er nok ikke eksakt. Så vi forbedrer estimatet x 0 = 1 x K sin x = 0, så iterasjonen er x n C 1 = x n K x n K sin xn. x n K cos x n 4 og 5 4 C 5. At x = 0 er en løsning, ser vi egentlig umiddelbart. Den ved hjel av Newtons metode. Likningen vi skal løse er x d evalf 1 $ Pi 4 C 5$Pi x := () for n from 1 to 5 do t d x K x K sin x $x K cos x : x d t end do t := x := t := x := t := x := t := x := t := x := (3) Så beregner vi funksjonsverdien i de to kritiske unktene. Det vil si, vi har allerede beregnet funksjonsverdien i x = 0, så vi trenger bare beregne verdien for denne xkverdien som Male netto fant for oss: evalf f x (4)

12 Som kontroll kan vi naturligvis også beregne denne funksjonsverdien slik: evalf C cos (5) Konklusjon: funksjonen har maksimum f = og minimum f = For moro skyld kan vi tegne grafen til f, men da må x slutte å være tallet og bli en fri variabel igjen: unassign 'x' lot f x, x = 0.. Pi

13 x