Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5. Løsningsforslag

Transkript

1 Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag a) x = cos x x cos x = 0 eller f(x) = 0 med f(x) = x cos x b) f(0) = 0 cos 0 = 1 < 0 og f(π/2) = π/2 cos(π/2) = π/2 > 0. f(x) er en elementær funksjon denert på hele R. Derfor er også f(x) kontinuerleg på hele R (inkludert intevallet [0, π/2]). Ved skjæringssetninga må f derfor ha minst ett nullpunkt på intevallet (se s. 97 i Kalkulus). c) Slik kan det se ut når vi leker oss i MATLAB: > a=0; > b=pi/2; > fa=a-cos(a) fa = -1 > fb=b-cos(b) fb = ans = ans = ans = ans = ans =

2 ans = ans = ans = ans = ans = ans = ans = ans = > fc fc = ans = ans = > NullPkt=(a+b)/2 NullPkt = Kanskje ikke så spennende lesning. Men forhåpentligvis blir systematikken synlig. Og: Forhåpentligvis ser vi verdien av at vi kan be maskina gjøre disse noe enerverende repetisjonene for oss. Hver slik repetsjon, alså sekvenser av typen > fc fc =

3 ans = kaller vi en iterasjon. Og vi itererer helt til dieransen mellom b og a er mindre enn den nøyaktigheten vi krever. I vårt tilfelle har vi komment fram til at nullpunktet x 0.742, og at det nøyaktige svaret ligger i et intervall sentrert om denne verdien med bredden Om vi ville hatt svaret mer nøyaktig enn dette, måtte vi ha fortsatt med iterasjonene våre. Skjemaet, eller algoritmen, vi har fulgt kan skrives slik: Bestem a og b slik at b>a og f(a) og f(b) har motsatt fortegn Gjenta følgende så lenge b-a er større enn en viss størrelse: Finn midpunktet c, c=(a+b)/2 Rekn ut f(c) Dersom f(a) og f(c) har samme fortegn: La c bli din nye a Dersom f(a) og f(c) ikke har samme fortegn: La c bli din nye b Når b-a er liten nok, finner vi ei tilnærma løsning som (a+b)/2 d) Vi kjører skriptet: > HalveringsEksempel NullPunkt = Gikk ikke dette raskt? Vi plotter grafen til f(x) sammen med nullpunktskandidaten vår (og x-aksen): > x=0:.1:pi/2; > plot(x,x-cos(x),'linewidth',2) > hold on > plot([0 pi/2],[0 0],'k-') > plot(nullpunkt,0,'ro','linewidth',2) > hold off Her har vi også tatt med x-aksen som ei tynn, svart linje. Resultatet er vist i gur 1. e) Svaret kan gjøres mer nøyaktig ved å la variabelen Pres, presisjonen, bli enda mindre. f) For å løse b)-oppgava i oppgave 9, delavsnitt 2.5, gjør vi noen små justeringer på skriptet (og lagrer det): 1 % Implementering av halveringsmetoden. 2 % Løser likninga x^5+3*x-2= % Fikserer endepunktene: 3

4 Figur 1: Grafen til f(x) = x cos x for x [0, π/2] sammen med numerisk utregnet nullpunkt (rød sirkel). 5 a=0; 6 b=1; 7 8 % Funksjonsverdiene i endepunktene: 9 fa=a^5+3*a-2; 10 fb=b^5+3*b-2; Pres=1e-4; % Angir ønsket presisjon % While-løkke som gjentar seg så lenge intervallet mellom a og b har 15 % lengde større enn Pres 16 while b-a>pres 17 c=(a+b)/2; % Regner midpunktet og tilordner dette til c 18 fc=c^5+3*c-2; % Funksjonsverdien i midpunktet 19 if fa*fc<0 % Undersøker om fortegnene er like for f(a) og f(c) 20 b=c; % Lar midpunktet bli den nye høgre enden 21 else 22 a=c; % Lar midpunktet bli den nye venstre enden 23 end % Avslutter if-sats 24 end % Avslutter while-løkke NullPunkt=(a+b)/2 % Skriver nullpunktet til skjerm Her har vi forandra funksjonsuttrykket i de relevante linjene (linje 2, 9, 10 og 18). Vi har også justert endepunktene (linje 6). Vi har her valgt en noe lavere verdi for Pres altså blir svaret noe mer nøyaktig enn i forige 4

5 deloppgave (linje 12). Når vi nå skriver HalveringsEksempel i MATLAB, får vi svaret x Vi kan nne ut hvor mange iterasjoner som har blitt gjort ved, for eksempel, å fjerne semikolonet i den første linja i whileløkka. Når vi da kjører skriptet, får vi: MATLAB exe:192> HalveringsEksempel c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = NullPunkt = Ved å telle hvor mange ganger c har blitt tilordna, nner vi at det har blitt gjort 14 iterasjoner. Men dette kan gjøres litt mer sostikert: Vi kan legge inn en tellefunksjon: 1 % Implementering av halveringsmetoden. 2 % Løser likninga x-cos(x)= % Fikserer endepunktene: 5 a=0; 6 b=1; 7 8 % Funksjonsverdiene i endepunktene: 9 fa=a^5+3*a-2; 10 fb=b^5+3*b-2; Pres=1e-4; % Angir ønsket presisjon Iterasjoner=0; % Initierer teller % While-løkke som gjentar seg så lenge intervallet mellom a og b har 17 % lengde større enn Pres 18 while b-a>pres 19 c=(a+b)/2; % Regner midpunktet og tilordner dette til c 20 fc=c^5+3*c-2; % Funksjonsverdien i midpunktet 21 if fa*fc<0 % Undersøker om fortegnene er like for f(a) og f(c) 5

6 22 b=c; % Lar midpunktet bli den nye høgre enden 23 else 24 a=c; % Lar midpunktet bli den nye venstre enden 25 end % Avslutter if-sats 26 Iterasjoner=Iterasjoner+1; % Antall iterasjoner økes med én 27 end % Avslutter while-løkke NullPunkt=(a+b)/2 % Skriver nullpunktet til skjerm 30 Iterasjoner % Skriver antall iterasjoner til skjerm Dette skriptet er identisk med versjonen over bortsett fra linje 14, 26 og 30. Først er tellevariabelen, Iterasjoner, satt til 0. Inni while-løkka lar vi telleren øke med én for hver iterasjon, og til slutt blir dette tallet skrevet til skjerm. Når vi nå kjører skriptet, kan det se slik ut: > HalveringsMetoden NullPunkt = Iterasjoner = 14 g) Alle steder der det blir referert til et funksjonsuttrykk, erstatter vi uttrykket med et kall til funksjonsla NullpktFunk.m. (Selvsagt kan vi velge å kalle funksjonen noe annet.): 1 % Implementering av halveringsmetoden. 2 % Løser likninga f(x)=0, der funksjonen f(x) skal være 3 % gitt i funksjonfila NullpktFunk.m 4 5 % Fikserer endepunktene 6 a=0; 7 b=pi/2; 8 9 % Funksjonsverdiene i endepunktene 10 fa=nullpktfunk(a); 11 fb=nullpktfunk(b); % Angir ønsket presisjon 14 Pres=1e-4; % Initierer teller 17 Iterasjoner=0; % While-løkke som gjentar seg så lenge intervallet mellom a og b har lengde 20 % større enn Pres 21 while b-a>pres 22 c=(a+b)/2; % Regner midpunktet og tilordner dette til c 23 fc=nullpktfunk(c); % Funksjonsverdien i midpunktet 24 if fa*fc<0 % Undersøker om fortegnene er like for f(a) og f(c) 25 b=c; % Lar det gamle midpunktet bli den nye høgre enden 6

7 26 else 27 a=c; % Lar det gamle midpunktet bli den nye venstre enden 28 end % Avslutter if-sats 29 Iterasjoner=Iterasjoner+1; % Antall iterasjoner økes med én 30 end % Avslutter while-løkke 31 NullPunkt=(a+b)/2 % Skriver nullpunktet til skjerm 32 Iterasjoner % Skriver antall iterasjoner til skjerm Funksjonla NullpktFunk.m kan for eksempel se slik ut: function F=NullpktFunk(x) % Funksjonfil som brukes i skriptet HalveringsMetoden F=x-cos(x); Fordelen med å gjøre det på denne måten, er at når vi en annen gang skal nne nullpunktene til en annen funksjon, trenger vi ikke å endre noe funksjonsuttrykk i skriptet, vi kan ganske enkelt bare endre på den siste linja i funksjonsla over. Vi må retnok fremdeles angi a og b i skriptet. Men vi kan endre skriptet slik at a og b blir lest inn fra kommando-viduet for hver gang. Dette kan gjøres med input-funksjonen i MATLAB. Linje 6 og 7 kan erstattes med a=input('gi venstre grense: '); b=input('gi hoegre grense: '); 7