To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner

Transkript

1 To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse av kurset, er det viktig, om ikke essentielt, å ha en god forståelse av disse to begrepene. Det er derfor verdt å bruke noe tid på dem. Kongruensregning som vi også behandler, er det også svært viktig å ha en god forståelse av. Det første begrepet er ekvivalensrelasjoner, og det andre er partisjoner eller oppdelinger, somviogsåsier avmengder.dissetobegrepenehengernøyesammen. Vi starter med å definere hva vi mener med en ekvivalensrelasjon, for så å si hva en partisjon er, og tilslutt hvordan de to begrepene henger sammen. Ekvivalensrelasjoner Likhet er et grunnleggende eksempel på en ekvivalensrelasjon, og de tre egenskapen vi skal forlange at en ekvivalens relasjon har, refleksivitet, symmetri og transitivitet,er generaliseringer av velkjente egenskaper som likhet har. Tenker man seg litt om, er det svært sjelden man i dagligtalen står overfor like ting, altsåfullkommentidentisketing.somregel identifiserer vitingnårvisnakker. Det vil si at vi bruker samme betegnelse på fysisk forskjellige ting, men som i den gitte konteksten er ekvivalente. Når kjemikere snakker om hydrogen, omtaler de ikke de individuelle molekylene, men en klasse molekyler som kjemisk sett er identiske. I grammatikken heter dette fellesnavn! Vi innleder med å fortelle hva vi mener med en relasjon på en mengde X, eller for å være helt presis, en binær relasjon, sidendetdreiersegomåsammenligneto elementer fra X. DeterkortoggodtenundermengdeR A A hviselementer utgjør de par som står i relasjon til hverandre. Vi sier altså at x står i relasjon til y, ellerirelasjon R til y om vi vil presisere, dersom (x, y) 2 R, ogviskriverx R y.foråforenkleskrivemåtenvilmanoftesløyfe referansen til relasjonen R og bare skrive x y. En relasjon kalles en ekvivalensrelasjon hvis følgende tre betingelser er oppfyllt, der x, y og z 2 X er vilkårlige elementer: Refleksivitet: x x. Symmetri: x y hvis og bare hvis y x. Transitivitet: Dersom x y og y z, såerogsåx z. Det finnes mange relasjoner som ikke er ekvivalensrelasjoner. For eksempel relasjonen x>ypå R. Denertransitiv,menlangtfrasymmetrisk,ogsidenvibrukteekte ulikhet, er den heller ikke refleksiv.

2 Ekvivalensklasser Dersom x y er en gitt ekvivalensrelasjon på en mengde X, kanvideleinnelementene i X iklasser såkalteekvivalensklasser ved å gruppere ekvivalente elementer i samme klasse. Dersom x 2 A, larvi[x] betegne den klassen der x er med. Presist betyr det at vi lar [x] ={ y 2 X y x }. Den første observasjonen er at x 2 [x] detskullebaremangle,klassen[x] var jo nettopp den klassen der x var medlem! en trivialitet, men som gjenspeiler at relasjonen er refleksiv. Dette medfører at X er unionen av alle ekvivalensklassene: X = S x2x [x]. Den andre observasjonen er at vi har likheten [x] ={ y 2 X x y } (Y) det følger av symmetrien, siden at x y er ekvivalent med at y x. Ekvivalensklassene har den egenskapen at to av dem enten er disjunkte eller like, eller sagt annerledes, to forskjellige restklasser er disjunkte. Setning 1 Vi har følgende: Dersom y 2 [x], såer[y] =[x]. Dersom [x] \ [y] 6= ;, såer[x] =[y]. Bevis: Dersom y 2 [x] og z 2 [y], ery x og z y. Transitivitetgiratz x, detvil si at z 2 [x], ogderforer[y] [x]. Omy x, erx y fordi relasjonen er symmetrisk, så x 2 [y], ogfølgeliger[x] [y] etter hva vi nettopp har gjort. Hvis nå z 2 [x] \ [y], følger det fra den første påstanden at [x] =[z] =[y]. o Kongruens modulo et heltall Det er svært mange forskjellige ekvivalensrelasjoner i bruk i matematikk, men vi skal her konsentrerer oss om ett basalt eksempel. Den underliggende mengden skal være mengden Z av hele tall. Relasjonen vår avhenger av en parameter N som er et naturlig tall. Her kommer definisjonen: Vi sier at to heltall m og n er kongruente modulo N dersom differensen deres er delelig med N, alsåom n m = kn for en k 2 Z. Og isåfall skriver vi n m mod N. 2

3 Setning 2 Relasjonen n m mod N er en ekvivalensrelasjon. Bevis: Det er tre ting å sjekke. Refleksiviteten er åpenbar: n n =0 N. Symmetri følger fordi dersom n m = kn med k 2 Z, såerm n = kn, og k 2 Z når k 2 Z. Til slutt sjekker vi transitiviteten: Anta at n m og m l. Daern m = kn og m l = k 0 N for heltall k og k 0.Adderevidisselikheten,finnervin l =(k + k 0 )N. o Ekvivalensklassene kalles kongruensklasser eller også restklasser.detsistenavnet skriver seg fra at to tall m og n er kongruente modulo N hvis og bare hvis de gir samme rest når de divideres med N. Detteservislik.Antaatn m = kn med k 2 Z og at m = qn +r med q, r 2 Z og 0 apple r<n,daerselvfølgelign = n m+m =(q+k)n +r. En rekke skrivemåter for mengden av restklasser mod N er i bruk. Vi skal betegne denne mengden med Z N eller også med Z/N Z ienkeltesammenhenger. Eksempel. oddetall og partall. La N =2.Delerviettallpå2, fårvien rest som enten er 0 omtalleteretpartall eller1 omtalleterodde.vihar altså to restklasser modulo 2, ogz 2 = {[0], [1]}. Representasjonen [0] og [1] er ikke på noen måte entydig. Vi kan bruke et vilkårlig partall og et vilkårlig odde tall. For eksempel er Z 2 = {[2012], [2013]}, somkanskjeikke er en særlig fruktbar måte å beskrive elementene i Z 2 på med mindre man har en helt spesiell grunn, mens en representasjon som Z 2 = {[0], [ 1]} noen ganger er nyttig. e La nå m være et vilkårlig helt tall. Vi dividerer m med N og finner m = qn + r der kvotienten q, ogrestenr er hele tall og resten tilfredstiller 0 apple r<n.deterklart at r og m tilhører samme restklasse, så det følger: Setning 3 Det er nøyaktig N restklasser modulo N, ogvihar Z N = {[0], [1],...,[N 1]}. Eksempel. Representanter av miste tallverdi. Igjen presiserer vi at representasjonen for restklassene i lemmaet ikke er entydig. Det valget av representanter som gjøres der, kalles for standardvalget og er det mest vanlige. Det finnes også et annet naturlig valg som i mange sammenhenger er smart. Det består i å bruke representanter med minst tallverdi, ellerav minste modulus, sommanogsåsier.omn =2k +1er odde, består dette i at Z N = {[ k], [ k +1],...,[ 1], [0], [1],...,[k]}. Så for eksempel er Z 3 = {[ 1], [0], [1]} og Z 5 = {[ 2], [ 1], [0], [1], [2]}. DersomN =2k er jevn, er det følgende Z N = {[ k +1], [ k +2],...,[ 1], [0], [1],...,[k]}. Eksempelvis er Z 4 = {[ 1], [0], [1], [2], } e Oppgave 1. Vis at modulo 5 så er [ 2] = [3] og [ 1] = [4]. X 3

4 Restklassenes aritmetikk Det er en svært interessant observasjon med vidtrekkende konsekvenser at man kan addere og multiplisere restklasser. Mengden Z N utgjør faktisk et tallsystem på linje med tallene vi kjenner fra dagliglivet, selv om Z N på mange måter skiller seg dramatisk fra de dagligdagse tallene. Blant annet er Z N endelig. Slike systemer der det er definert en addisjon og en multiplikasjon kalles enten ringer eller kropper, ogviskalsenere ikursetstuderedemnøyere. Grunnen til at det lar seg gjøre å definere addisjon og multilikasjon av elementer fra Z N på en meningsfylt måte, finner vi i følgende lemma: Lemma 1 La N være et naturlig tall. La n, n 0 og m, m 0 være hele tall, og anta at n n 0 og m m 0 mod N. Dagjelderfølgende: n + m n 0 + m 0 mod N, nm n 0 m 0 mod N. Bevis: Vi har likhetene n = n 0 + kn og m = m 0 + ln, der k og l er hele tall. Addisjon av de to gir n + n 0 = m + m 0 +(k + l)n, sombetyrat n+m n 0 +m 0 mod N, ogmultiplikasjonavdemgirnm = n 0 m 0 +(m 0 k+n 0 l+kln)n, som betyr at nm n 0 m 0 mod N. o Med dette lemma i bakhånd er vi i stand til å definere addisjon og multiplikasjon av restklasser. La [n] og [m] være to restklasser mod N, derdetiskrivemåtenligger at vi har plukket ut en representant for hver av dem, henholdsvis n og m. Videfinerer summen av de to restklassene ved formelen: [n]+[m] =[n + m]. Selv om dette ser tilforladelig ut, er definisjonen i utgangspunktet problematisk. Venstre side avhenger bare av restklassene [n] og [m], mens den høyre siden derimot a priori avhenger av vårt valg av representanter n og m. Dette er imidlertid bare a priori, forfralemmaetfølgerdetatforetannetvalgavrepresentanter,laosssin 0 og m 0 med [n 0 ]=[n] og [m 0 ]=[m], såer[n 0 + m 0 ]=[n + m]. Derforerogsåhøyresiden uavhengig av representantvalg. På en helt tilsvarende måte definerer vi multiplikasjon av restklasser: [n][m] =[nm], og argumentet for at dette er en meningsfull definisjon, er mutatis mutandi det samme som for addisjon. 4

5 Praktisk kongruensregning Når et sett av representanter er valgt, kan man spørre om en konkret evaluering av en sum eller et produkt modulo N. Viberegnersummenellerproduktetpåvanligmåte for så å bestemme i hvilken restklasse svaret ligger. La oss se på eksemplet Z 14 med standard representasjon, og la oss beregne [7]+[13]. Vi har 7+13 = 20,ogdelervipå14, finnervi20 = Derforer[7] + [13] = [6]. Vi tar et multiplikasjonsstykke også og ser på [7] [13], fortsattiz 14.Viharat7 13 = 91 og dividerer vi på 14, finnervi91 = , så[7] [13] = [7]. Oppgave 2. Vis at [13] = [ 1] i Z 14 og at [7] = [7]. X Oppgave 3. Finn [11] + [12] og [5] [6] i Z 13 både i standard representasjon og minste tallverdi representasjon. X Etterhvert, når man får erfaring i å regne modulo et heltall, vil man forenkle skrivemåten, sløyfe hakeparentesene, og rett og slett skrive n for restklassen [n]. Det er da selvsagt underforstått at vi betrakter n som et element i Z N.Regningenegjørviakkurat slik vi er vant med, med ett viktig unntak. Vi må huske på at N =0i Z N,og at dette har visse konsekvenser. Blant annet krever det årvåkenhet når vi vil dividere. Det er nemlig ikke alltid mulig. For eksempel er 2 7=14=0i Z 14,sådivisjonmed 2 og 7 er forbudt der! Hadde vi kunnet dele med 2, villejo2 7=0medført at 7=0, hvilket ikke er tilfellet i Z 14. Derimot er divisjon med 3 i Z 14 uproblematisk. Vi har nemlig at 3 5=15 1 mod 14, såiz 14 er 3 5=1,ellerommanvil1/3 =5. Eksempel. I Z 5 er 4= 1 siden 1+4=5=0,ogdetfølgerat2 2 = 1, SåiZ 5 har vi en kvadratrot av 1! e Partisjoner En partisjon av en mengden X er ikke noe annet enn det navnet sier. Det er kort fortalt en oppdeling av X iparvisdisjunkteundermengder.viskalkalledisseundermengdene for partisjonens deler eller også stundom klasser. Denformelledefinisjonenersom følger: Definisjon 1 En partition P av en mengde X er en familie av undermengder av X som oppfyller S Klassene i P dekker X; i.e., P 2P P = X. Klassene i P parvis disjunkte, i.e., P \ P 0 = ; dersom P og P 0 er to forskjellige klasser fra P Partisjoner og ekvivalensrelasjoner Hvis x y er en ekvivalensrelasjon på en mengde X, kanvidelex inn i ekvivalensklasser og slik få en partisjon av X. Sidenx 2 [x], eropplagtx = S x2x [x], ogilemma1 5

6 viste vi at det andre kravet til å være en partisjon er oppfylt, nemlig at to forskjellige restklasser er disjunkte. Omvendt, om vi er gitt en partisjon P, kanvidefinereenekvivalensrelasjonvedå si at x P y hvis og bare hvis x og y ligger i samme klasse fra P. Dennerelasjonener klart refleksiv og symmetrisk, så la oss sjekke at den er transitiv. Anta at x P y, i.e., x og y ligger begge i en P 1 2 P, ogaty P z, i.e., y og z ligger begge i P 2 2 P. Da er er y 2 P 1 \ P 2,ogfølgeligerP 1 = P 2,sidenklasseneiP enten er disjunkte eller like. Følgelig ligger x og z også i samme klasse; i.e., x P z. Vi har således vist at det er en-entydig sammenheng mellom partisjoner og ekvivalensklasser. Partisjonen til en avbildning Hvis X og Y er to mengder, og f : X! Y er en avbildning, lar vi f 1 (y) ={ x 2 X f(x) =y } betegne undermengden av X som består av punktene som f avbilder på y. Mengden f 1 (y) kalles ofte fiberen til f over y. Fibrenetilf danner en partisjon av X: Lemma 2 Om f : X! Y er en avbildning mellom to mengder, så er P f = { f 1 (y) y 2 Y } en partisjon av X. Fordentilsvarendeekvivalensrelasjonengjelderdetat x f x 0 hvis og bare hvis f(x) =f(x 0 ). Bevis: Anta at x 2 f 1 (y)\f 1 (y 0 ).Daery = f(x) =y 0 og følgelig er f 1 (y) =f 1 (y 0 ). At X = S y2y f 1 (y), følgerfordix 2 f 1 (f(x)). o Eksempel. La X = Z og definer f : Z! Z ved f(n) =( 1) n.daerpartisjonen tilordnet f, ikkenoeannetennoppdelingenavz ioddeogjevnetall. e Oppgave 4. Angi en funksjon f : Z! C hvis fibre presis er restklassene modulo 3. X Et opptellingsresultat Vi vil i flere sammenhenger være interessert i å finne uttrykk for antall elementer i endelige mengder X. Detteantalletskalvibetegneentenmed#X eller ofte også med X. Sidenmengdeneienpartisjonerdisjunkte,ogunionenavdemerlikX, harvi følgende: Setning 4 Om X er en endelig mengde og P er en partisjon av X, såer #X = X P 2P #P. Kobler vi dette sammen med sammenhengen mellom fibre og partisjoner, finner vi: Setning 5 Om f : X! Y er en avbildning og X en endelig mengde, så er #X = X y2y #f 1 (y). Versjon: Thursday, January 10, :46:39 PM 6