2 Differensiering. 2.1 Geometrien til reelle funksjoner. 2.3 Derivasjon. 2.2 Grenser og kontinuitet
|
|
- Peter Simonsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Generelle teoremer og definisjoner MA03 Flerdimensjonl nlyse - NTNU Lærebok: Vetor Clulus, 6 utgve v Jerrold E Mrsden og Anthony Tromb Jons Tjemslnd 8 pril 05 Geometrien til euklidske vektorrom Vektorer i to- og tre-dimensjonle rom Indreprodukt, lengde og vstnd der ρ 0, 0 θ π, 0 ϕ π z Ortogonl projeksjon: proj v = v (x, y, z) 3 Mtriser, determinnter og kryssprodukt ϕ ρ (ρ, θ, ϕ) Avstnden mellom et punkt og et pln: d(x 0, P ) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + A + B + C = n (x x 0) n x θ y 4 Sylinder- og kulekoordinter Sylinderkoordintene (r, θ, z) til et punkt gitt i krtesiske koordinter (x, y, z) er gitt ved Figur : Representsjon v kulekoordinter 5 n-dimensjonle euklidske vektorrom x = r os θ, y = r sin θ, z = z z (x, y, z) (r, θ, z) θ r y x Figur : Representsjon v sylinderkoordinter Kulekoordintene (ρ, ϕ, θ) til et punkt gitt i krtesiske koordinter (x, y, z) er gitt ved x = ρ sin ϕ os θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ os ϕ,
2 ifferensiering Geometrien til reelle funksjoner Nivåkurver og overflter: L f : U R n R og l R er nivåsettet til verdien definert til å være lle punktene x U slik t f(x) = ersom n = klles det nivåkurver, og dersom n = 3 klles det nivåoverflter Med symboler: {x U f(x) = } R n Med en seksjon v grfen f menes lle skjæringspunktene mellom grfen f og et pln P Altså P f(x) Grenser og kontinuitet Åpent og lukket sett: Et sett U R n klles et et åpent sett dersom det for ethvert punkt x 0 U finnes en r > 0 slik t r (x 0 ) U, der r (x 0 ) {x x x 0 < r} Med ndre ord vil et åpent sett ikke inneholde selve rnden ersom settet inneholder rnden klles det et lukket sett En blnding mellom disse vil bli klt et hlvåpent sett (jf åpne og lukkede mengder fr MA0) Grenser vh ε- og δ-bevis: L f : A R n R m og l x 0 være i A eller på rnden v A vil lim x x0 f(x) = b, hvis og bre hvis det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 som er slik t x A, x x 0 < δ = f(x) b < ε xyz EKSEMPEL : Vis t lim (x,y,z) (0,0,0) = 0 x +y +z Løsning: Må vise t det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 slik t x 0 = x + y + z < xyz δ x +y +z < ε Vi definerer hjelpestørrelsen h = x + y + z, og innser t h > 0, h x, h y og h z ersom vi velger δ = ε får vi dermed xyz x +y +z h 3 h = h δ = ε, som vr det vi skulle vise Kontinuitet vh ε- og δ-bevis: L f : A R n R m er f kontinuerlig i x 0 A hvis og bre hvis det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 slik t x A, x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε EKSEMPEL : L f : A R n R m oppfylle f(x) f(y) K x y α x, y A, K, α > 0 Vis t f er kontinuerlig Løsning: Vi må vise t de gitte betingelsene medfører t det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0, som er slik t x A, x y < δ f(x) f(y) < ε Vi ser lett t dersom vi velger δ = α ε/k får vi f(x) f(y) K x y α < Kδ α < ε, som vr det vi skulle vise 3 erivsjon Prtiell derivsjon: en prtiellderiverte v en funksjon f(x) : R n R med hensyn på x i ved x = (x,, x n ) er definert som f f(x + he i ) f(x) = lim, j h 0 h dersom grensen eksisterer eriverbrhet, n vrible, m funksjoner: En funksjon f(x) : R n R klles deriverbr i punktet x 0 dersom lle prtiellderiverte v f eksisterer i x 0 og dersom f(x) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) lim = 0, x x 0 x x 0 der f(x 0 ) klles den deriverte v f i x 0 og er m n mtrise med mtriseelementene f i / j evluert i x 0 f f f n f f f f(x 0 ) = n f m f m f m n erviverbrhet og kontinuitet: L f : R n R være deriverbr i x 0, d er f kontinuerlig i x 0 L f : R n R Ant t lle prtiellderiverte v f eksisterer og er kontinuerlig rundt et punkt x er f deriverbr i x 4 Introduksjon til stier og kurver 5 Egenskper til den deriverte en deriverte f(x) hr de smme egenskpene som den deriverte kjent fr endimensjonl klkulus Kjerneregelen: L U R n og V R m være to åpne sett, og l g : U R n R m og f : V R m R p vil g f være definert Ant t g er deriverbr i x 0 og f er deriverbr i g(x 0 ) vil (f g)(x 0 ) = f(g(x 0 ))g(x 0 )
3 6 Grdienter og retningsderiverte Grdient: Tr mn for seg f : R n R, klles f(x) grdienten til f Mn skriver d ofte f(x) = f = grdf = ( f,, f ) n Retningsderivert: en retningsderiverte v en funksjon f : R 3 R i x lngs v er gitt ved d f(x + tv) dt, t=0 dersom denne eksisterer Vnligvis velges v til en enhetsvektor I dette tilfellet beveger vi oss med d enhetsfrt og referer til dt f(x + tv) t=0 som retningsderiverte v f i retning v ersom f : R 3 R er deriverbr, så eksisterer lle retningsderiverte en retningsderiverte i x i retning v = (v, v, v 3 ) er gitt ved f(x) v = f(x) v + f(x) v + f(x) v 3 Retning til rskest økning: Ant f(x) 0 peker f(x) i den retningen der f øker rskest Grdienten står normlt på nivåoverflter: L f : R 3 R være en C funksjon og l (x 0, y 0, z 0 ) ligge på nivåoverflt S = {(x, y, z) f(x, y, x) = }, der R vil f(x 0, y 0, z 0 ) være norml på S Altså dersom v er tngentvektoren ved t = 0 til en sti (t) S med (t) = (x 0, y 0, z 0 ), så er f(x 0, y 0, z 0 ) v = 0 Tngentpln til en nivåoverflte: L S = {(x, y, z) f(x, y, x) = }, der R Tngentplnet til S ved (x 0, y 0, z 0 ) til S er gitt ved likningen f(x 0, y 0, z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0, dersom f(x 0, y 0, z 0 ) 0 3
4 3 Høyere-ordens deriverte: mksimum og minimum 3 Itersjon v prtiellderiverte Likegyldighet v rekkefølgen på prtiellderiverte: L f(x,, x n ) : R n R være en C p - funksjon vil f i j = f j i, for lle i =,,, n og j =,,, n 3 Tylors teorem Tylors teorem i èn dimensjon: der f(x 0 + h) = R k (x 0, h) = k=0 x0 +h x 0 f (k) (x 0 ) h k + R k (x 0, h), k! (x 0 + h τ) k f (k+) (τ)dτ k! ersom det finnes et tll M slik t f (k+) (τ) M, vil R k (x 0, h) h k+ M k! Tylors teorem i MA0: Ant t f og dens n + første deriverte er kontinuerlige på intervllet [, x] er f(x) = T n f(x) + R n f(x), der T n f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! er det n-te Tylorpolynomet til f om punktet, og R n f(x) = n! x f (n+) (t)(x t) n dt er restleddet til det n-te tylorpolynomet Videre kn mn lett vise t dersom f (n+) (t) M t [, x], så R n f(x) M (n + )! x n+ Lgrnges restleddsformel sier t det finnes et tll (, x) slik t R n f(x) = f (n+) () (n + )! (x )n+ Første-ordens flervrible tylorpolynom: L f : U R n R være deriverbr i x 0 U er f(x 0 + h) = f(x 0 ) + der R (x 0, h) = = i,j= i,j= 0 i= for en ij (x 0, x 0 + h) h i f(x 0 ) i ( t) f(x 0 + th) i j f( ij ) h i h j, i j + R (x 0, h), h i h j dt Andre-ordens flervrible tylorpolynom: L f : U R n R være C 3 i x 0 U er f(x 0 + h) = f(x 0 ) + der R (x 0, h) = = + i,j,k= i,j,k= i= i,j= 0 h i f(x 0 ) i h i h j f(x 0 ) i j ( t) for en ijk (x 0, x 0 + h) 3 f( ijk ) h i h j h k, 3! i j k + R (x 0, h), 3 f(x 0 + th) h i h j h k dt i j k 33 Ekstremlpunkter til reelle funksjoner Test for loklt ekstremlpunkt: f : U R n R kn kun h lokle (og globle) ekstremlverdier i et punkt dersom er ett v følgende: kritisk/stsjonært punkt; f() = 0 singulært punkt, f() ikke definert 3 rndpunkt til definisjonsmengden U Hessin mtrise: Ant t lle nnenordens prtiellderiverte til en funksjon f : U R n R er Kursorisk 4
5 definert i et punkt x 0 U vil Hessin mtris til f ved x 0 være den kvdrtiske funksjonen definert ved Hf(x 0 )(h) = i,j= f(x 0 ) i j h i h j f = [h,, h n ] f n f n h f h n n n z x 0 y Annenderiverttest for lokle ekstremlpunkt for n-vrible: ersom f : U R n R er en C -funksjon, x 0 U er et kritisk punkt, og Hf(x 0 )(h) 0 h R n og Hf(x 0 )(h) = 0 hvis og bre hvis h = 0 (positivt definitt), er x 0 et loklt minimum På smme vis vil x 0 være et loklt mksimum dersom Hf(x 0 )(h) 0 h R n (negtivt definitt) y Annenderiverttesten for -vrible: L f(x, y) være en C -funksjon på et åpent sett U R Et punkt (x 0, y 0 ) er et (strengt) loklt minimum til f dersom de tre betingelsene holder f(x 0,y 0 ) = f(x 0,y 0 ) = 0 f(x 0,y 0 ) > 0 ( ) ( ( ) 3 = f f ) f > 0 ved (x0, y 0 ) ersom vi heller hr < 0 i, så hr vi et loklt mksimum ersom < 0 hr vi et sdelpunkt = 0 gir ingen konklusjon x Figur 3: Geometrisk tydning v ekstremlpunkter (svrt) og begrensede ekstremlpunkter (rød) I følge lgrngemultipliktoren vil begrensede ekstremlpunkter befinne seg der vgrensningen S (grønn) tngerer en nivåkurve til f, noe figuren bekrefter 35 Implisitt funksjonsteorem 34 Begrenset ekstremlpunkter og lgrngemultipliktorer Metoden med lgrngemultipliktorer: Ant t f : U R n R og g : U R n R er gitte C -funksjoner L x 0 U og g(x 0 ) =, og l S = {x g(x) =, x R} ersom f S (f begrenset til S) hr et loklt mksimum eller minimum på S ved x 0, så finnes det et tll λ R slik t Implisitt funksjonsteorem: Ant t en funksjon F : R n+ R hr kontinuerlige prtiellderiverte Skriv punkter i R n+ ved (x, z), der x R n og z R, og nt t F (x 0, z 0 ) = 0 og F (x 0, z 0 ) z 0 f(x 0 ) = λ g(x 0 ) kursorisk 5
6 : finnes det et omegn U om x 0 og et omegn V om z slik t det finnes en unik funksjon z = g(x) definert for x U og z V som tilfredstiller F (x, g(x)) = 0 ersom x U og z V tilfredstiller F (x, z) = 0, så er z = g(x) Videre vil de prtiellderiverte til z = g(x) være gitt ved g = F/ i, i =,,, n i F/ z Resten v delkpittelet sier seg selv dersom vi husker tilbke til MA0 6
7 4 Vektor-funksjoner 4 Akselersjon og Newtons lov Vnlige derivsjonsregler gjelder for vektor-funksjoner 4 Buelengde Buelengde: Lengden til en sti (t) for t 0 t t, er t L() = (t) dt Infinitesimle endringer ( i buelengden: ) ds = dxi + dyi + dzk = dx dt i + dy dt j + dz dt k dt, ds = dx + dy + dz = 43 Vektorfelt t 0 ( dx dt + dy dt + dz dt ) dt Flytlinje: ersom F er et vektorfelt, vil en flytlinje til F være en sti (t) slik t (t) = F((t)) Ofte kreves vnskelige differensillikninger for å finne flytlinje til et vektorfelt, eller vie vers Curl: Curl til et vektorfelt F = (F, F, F 3 ) er definert som i j k F = F = z F F F 3 Identiteter i vektornlysen: (f + gh) = f + h g + g h div (F + G) = div F + div G 3 div (ff) = fdiv F f 4 div (F G) = G url F F url G 5 div url F = 0 6 url (F + G) = url F + url G 7 url (ff) = furl F + f F 8 url f = 0 9 div ( f g) = 0 0 div (f g g f = f g g f) Figur 4: Vektorfelt med inntegnet flytlinje 44 ivergens og url ivergens: ivergensen til et vektorfelt F = (F, F, F 3 ) er definert som div F = F = F + F + F 3 z 7
8 5 obbelt- og trippelintegrl 5 Introduksjon 5 obbeltintegrler over et rektngel Bundet funksjon: En funksjon f(x) er bundet dersom det finnes et tll M slik t f(x) M x R n obbelintegrl: obbeltintegrl er definert som lim n n j,k=0 f( jk ) x y = R fdxdy, dersom grensen eksisterer, der R = [, b] [, d], som vi deler inn i mindre prtisjoner R jk = [x j, x j + x] [y k, y k + y], og med fritt vlgt jk R jk Vi sier d t f er integrerbr over R Fubinis teorem: L f : R R være en bundet reel funksjon over rektngelet R, og nt t settet v punkter der f er diskontinuerlig ligger på unionen v et endelig ntll grfer v kontinuerlige funksjoner er f integrerbr over R vil b d f(x, y)dydx = dersom disse eksisterer d b f(x, y)dxdy, 53 obbeltintegrler over mer generelle regioner Integrl over en elementær region: L være en elementær region i plnet, og l R være et rektngel slik t R defineres integrlet over som f(x, y)da = f (x, y)da, der f (x, y) = R { f(x, y), hvis (x, y) 0, hvis (x, y) / (x, y) R Itererte integrler: ersom er en y-enkel region vil f(x, y)da = b ϕ (x) ϕ (x) ersom er en x-enkel region vil f(x, y)da = b ψ (x) ψ (x) f(x, y)dydx f(x, y)dydx 54 Bytting v integrsjonsrekkefølge Bytting v integrsjonsrekkefølge: Teoremet over forteller t dersom en region er enkel, så vil b ψ (x) f(x, y)da = f(x, y)dydx = ψ (x) b ϕ (x) ϕ (x) f(x, y)dydx Elementære regioner: En region klles x-enkel dersom det finnes to kontinuerlige funksjoner ψ : [, d] R og ψ : [, d] R slik t = {(x, y y [, d], ψ (y) x ψ (y)}, der ψ ψ y [, d] På smme vis klles en region y-enkel dersom det finnes to kontinuerlige funksjoner ϕ : [, b] R og ϕ : [, b] R slik t = {(x, y x [, b], ϕ (x) y ϕ (x)}, der ψ ψ y [, d] En region som bå de er x- enkel og y-enkel klles enkel En smlebetegnelse for lle disse er en elementær region Middelverditeoremet for dobbeltintegrl: L C være en elementær region og f(x, y) : R Ant t det finnes to tll m og M slik t det for lle (x, y) C er slik t m f(x, y) M vil ma() f(x, y)da MA(), der A() er relet til ersom f er kontinuerlig vil det finnet et punkt (x 0, y 0 ) slik t f(x, y)da = f(x 0, y 0 )A() 8
9 55 Trippelintegrler Trippelintegrl blir definert på smme vis som dobbeltintegrl Smme regler for iterering gjelder Vi skriver f(x, y, z)dv = W b ϕ (x) γ (x,y) = ϕ (x) γ (x,y) f(x, y, z)dzdydx 9
10 6 Vribelbytte og nvendelser v integrsjon 6 Geometrien i vbildninger fr R til R Avbildninger fr lineære trnsformsjoner: En lineær vbildning T A : R R (jf MA0-), trnsformerer prllellogrm til prllellogrm og hjørner til hjørner Videre vil T ( ) prllellogrm prllellogrm Injektiv (En-til-en): En vbildning T er injektiv (en-til-en) på dersom T (u, v) = T (u, v ) u = u, v = v, for (u, v ) Surjektiv (på): En vbildning T er surjektiv (på) på dersom det for ethvert punkt (x, y) finnes minst ett punkt (u, v) i definisjonsområdet til T slik t T (u, v) = (x, y) Noen vribelbytter Polrkoordinter (x,y) (u,v) = r Sylinderkoordinter (x,y,z) (r,θ,z) = r Kulekoordinter (x,y,z) (ρ,θ,ϕ) = ρ sin ϕ 6 Anvendelser Gjennomsnittsverdier: Gjennomsnittsverdien til funksjoner med en, to og tre dimensjoner er definert som henholdsvis b [f] gj = f(x)dx, b f(x, y)da [f] gj = A() og W (x, y, z)dv [f] gj = V (W ) Jobin determinnt: L T : R R være en C -trnsformsjon gitt ved x = x(u, v) og y = y(u, v) Jobin deteminnten til T er definert som (x, y) (u, v) u u v v I tre dimensjoner under de smme betingelsene og T : R 3 R 3, vil Jobin deteminnten være (x, y, z) (u, v, w) u u z u v v z v w w z w Mssesenteret til to-dimensjonle plter: Koordintene til mssesenteret R m = ( x, ỹ) til et objekt med msse-per-flte-fordeling µ er gitt ved xµ(x, y)da x = M tot og ỹ = yµ(x, y)da M tot 63 Uegentlige integrler Vribelbytte: L og være elementære regioner i plnet og l T : være en C trnsformsjon Ant t T er en-til-en på Ant videre t = T ( ) vil det for enhver integrerbr funksjon f : R R gjelde t f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv et smme vil gjelde i tre dimensjoner under tilsvrende betingelser Ikke pensum 0
11 7 Integrler over stier og overflter 7 Bneintegrl Bneintegrl: Bneintegrl, eller integrlet til f(x, y, z) lngs stien, er definert når : I = [, b] R 3 er C og når den prmetriserte funksjonen f(x(t), y(t), z(t)) er kontinuerlig på I Bneintegrlet defineres d ved likningen fds = b f((t)) (t) dt Enkle kurve: En enkel kurve C er per definisjon en stykkvis C vbildning : I R 3 som er en-til-en på et intervll I = [, b] Til en enkel kurve er det ofte ssosiert en retning, slik t C nses som rettet mellom to endepunkter (feks fr () til (b)) En enkel kurve C smmen med retningen klles ofte en orientert enkel kurve C klles en enkel lukket kurve dersom den er en-til-en og C på intervllet (mellom endepunktene) I = [, b), og dersom den smtidig oppfyller betingelsen () = (b) 7 Linjeintegrl Linjeintegrl: L F være et vektorfelt i R 3 som er (stykkvis) kontinuerlig på en C -sti : [, b] R 3 Linjeintegrlet til F lngs er d definert ved F ds = b F((t)) (t)dt Reprmetrisering: L h : I I være en C reel funksjon som er en-til-en mellom I = [, b] og I = [, b ] L videre : I R 3 være en stykkvis C -sti klles komposisjonen p = h : I R 3 en reprmetrisering v C F ds = F ds; 73 Prmetriserte overflter C fds = fds En prmetrisering v en overflte er en funksjon Φ : R R 3 Overflten som korresponderer til funksjonen Φ er dens vbildning S = Φ() Mn kn skrive Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Videre er det lurt å innføre T u Φ u og T v Φ v Tngentplnet til en overflte: ersom en prmetrisert overflte Φ : R R 3 er gltt i Φ(u 0, v 0 ), vil tngentplnet til overflten i dette punktet være gitt ved (x x 0, y y 0, z z 0 ) (T u T v ) = 0 74 Arelet til en overflte En reprmetrisering kn være retningsreverserende eller retningsbevrende (Alle typer) integrl over to stier som er reprmetriseringer v hverndre, er ekvivlente med henholdsvis motstt eller smme fortegn Arelet til prmetrisert overflte: A(S) = T u T v dudv Linjeintegrl over grdient vektorfelt: Ant t f : R 3 R er C og t : [, b] R 3 er stykkvis C vil f ds = f((b)) f(()) 75 Integrler v sklrfunksjoner over overflter Integrlet til en sklrfunksjon over en overflte: f(x, y, z)ds = f(φ(u, v)) T u T v dudv S
12 76 Overflteintegrl til vektorfelt Overflteintegrl til vektorfelt: F ds = F (T u T v )dudv Φ Mn kn definere en utside (positiv side) og en innside (negtiv side) til en overflte Uvhengighet til overflteintegrler på prmetriseringer: L S være en retningsbevrende [retningsreverserende] overflte og Φ og Φ være to gltte prmetriseringer v S vil F ds = [ ] F ds Φ Φ F ds = F nds S S 77 Anvendelser til differensilgeometri, fysikk og former for liv Ikke pensum
13 8 Integrlteoremene til vektornlysen 8 Greens teorem C + - med klokk Greens teorem: L være en enkel region og l C være rnden til Ant P : R og Q : R er C vil P dx + Qdy = C + ( Q P ) dxdy Konservtive felt: L F være et C vektorfelt definert på R 3, knskje utenom et endelig ntll punkter F klles d et konservtivt vektorfelt dersom de ekvivlente utsgnene er oppfylt: For enhver lukket enkel kurve C vil F ds = 0 C For to enkle kurver C og C med smme endepunkter vil C F ds = C F ds 3 et finnes en funksjon f slik t F = f 8 Stokes teorem for grfer Stokes teorem: L S være en C -funksjon z = f(x, y) med retning, der (x, y) og en enkel region, og l F være et C vektorfelt på S ersom vi lr S være rndkurven til S med retning slik som spesifisert i figuren under, vil url F ds = ( F) ds = F ds S S Stokes teorem gjelder også for en-til-en prmetriserte kurver Φ : R S z n S 4 F = 0 ersom F er et C vektorfelt på hele R 3 med div F = 0, så eksisterer det et C vektor felt G slik t F = url G 84 Guss teorem Guss divergensteorem: L W være en symmetrisk elementær region i rommet L W være rnden til W med en spesifisert retning (innside/utside) L F være et gltt vektorfelt definert på W vil ( F)dV = F ds ( W W (div F)dV = W W (F n)ds ) S S 85 ifferensilformer y x Figur 5: Retningen på S: ersom du går rundt rnden, skl overflten ligge på din venstre hånd Hodet peker i smme retning som normlvektoren ette gir smme svr som høyrehåndsregelen 83 Konservtive felt Ikke pensum 3
1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
Detaljer1 Mandag 8. mars 2010
1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
DetaljerMultippel integrasjon. Geir Ellingsrud
Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning
DetaljerMAT 100A: Mappeeksamen 4
. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().
DetaljerHøgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave
Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y
DetaljerDerivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen
3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
Detaljer2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 6 Avsnitt 6. 7 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π[r(x)] 2 dx 3 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er L u
DetaljerEksamen R2, Va ren 2014, løsning
Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerTillegg om integralsatser
Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerProjeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er
Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerMultippel integrasjon
Kittel 4 Multiel integrsjon Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte oersjoner. de foregående kitlene hr vi sett ulike måter vi kn derivere funksjoner i flere vrible. Neste skritt er
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerMAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06
MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen Mat1110 våren 2004 Oppgave 1 (a) Elemetære rekkeoperasjoner anvendt på den utvidete matrisen til systemet gir oss:
Løsningsforslg til prøveeksmen Mt våren 4 Oppgve () Elemetære rekkeopersjoner nvendt på den utvidete mtrisen til systemet gir oss: b b b b b Setter vi = og b = får vi d mtrisen: som gir likningssystemet:
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
DetaljerI = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,
TMA5 Mtemtikk Vår 7 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 8 Alle oppgvenummer referer til 8 utgve v Adms & Essex Clculus: A Complete Course 57: Vi
Detaljer2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π
Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerKinematikk i to og tre dimensjoner
Kinemtikk i to og tre dimensjoner 3.1.218 Innleveringsfrist oblig 1: Mndg, 5.eb. kl.18 Innlevering kun vi: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Pizz ved spørsmål
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerFormelsamling for Matematikk. Jostein Trondal
Formelsmling for Mtemtikk Jostein Trondl Algebr, b, c, x R i = Kvdrtsetning: ( + b) = + b + b Kvdrtsetning: ( b) = b + b Konjugtsetningen: ( + b)( b) = b Kvdrtrotkonjugt: ( + b)( b) = b Komplekskonjugt:
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerFlott Formel. Jostein Trondal
Flott Formel Jostein Trondl. utgve Mrs 05 Forord Dette heftet strtet sitt liv i perioden 008-05 som seprte, skreddersydde formelsmlinger til ulike mtemtikkurs på UiA i Grimstd. I 03 ble de ulike smlingene
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerMidtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Oppgver på side 3 10. Svrtbell på side 11. Sett tydelige
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 1
Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl (Versjon B)
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Midtsemesterprøve fredg 13. mrs 2009 kl 1415 1615. (Versjon ) Oppgver på side 3 9. Svrtbell på side 11. Sett
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2007
Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 15, (13).
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..7 (..7) Kurven r( t) (, t, t), t ligger i - plnet. Dette gir lterntiv b eller f. Setter inn t som gir punktet (, ) som bre er med i lterntiv f. Vi
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerEksempel Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende. vokser på intervallet [0, ) og avtar på intervallet
Kpittel Derivsjon I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller
Detaljerdy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA4 Mtemtikk Høst 8 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 6 5..5 Gjennomsnittet v f(x) = x på intervllet [, ] er lik relet A under grfen dividert
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
Detaljerθ grader sin θ cos θ tan θ
MA-8 Klkulus formelsmling versjon 8. Kvdrtsetning: ( + ) = + +. Kvdrtsetning: ( ) = + Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x = ± c Fullstendig kvdrt: x + x + c = ( ) x + + c Trigonometriske
DetaljerFormelsamling i matematikk
Formelsmling i mtemtikk Algebr Aritmetiske opersjoner (b + c) b + c + c b Potensregler Polynom b + c b b + c d + bc d bc b c d b d c d bc x y x+y x x / x y x y n x x /n 0 x n x n ( x ) y xy (b) x x y (
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 3. mrs 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: Studiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk,
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Målform: Eksmesdto: 5. jui 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): Studiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg, Elektro, Mski, Kjemi,
DetaljerIntegrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016
Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerIntegrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon
Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)
Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle
DetaljerMa1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover
Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerNumerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2
DetaljerFormelsamling i matematikk
Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005
LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor
DetaljerØving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromgnetisme år 2009 Øving 9 eiledning: Mndg 09. og fredg 13. (evt 06.) mrs Innleveringsfrist: Fredg 13. mrs kl. 1200 (Svrtbell på siste side.) Opplysninger:
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerObligatorisk oppgåve 1
FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Eksmesdto: 3. mrs 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): tudiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg,
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerFakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007
Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
Detaljer