Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006

Transkript

1 Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står normalt på trekanten i punktet D. Videre er det gitt et øyepunkt O og en lyskilde plassert i et punkt L. a) Konstruer perspektivprojeksjonen av trekanten med O som øyepunkt. Merk de projiserte punktene med, og. b) Konstruer perspektivprojeksjonen av linjestykket DE med O som øyepunkt. Merk de projiserte punktene med D og E. c) Konstruer det punktet der en lysstråle sendt ut fra L gjennom E treffer horisontalplanet. Her skal du finne ut hvor punktet ligger sett ovenfra og fra sida. Sett navnet F på dette punktet. d) Konstruer perspektivprojeksjonen av skyggen av linjestykket DE. D E O O Eksamen i M-0. mai 006 Side av 7

2 Oppgave En bygård ser slik ut sett ovenfra i vertikalprojeksjon: ygården har flatt tak, og boligblokkene har tykkelse lik en fjerdedel av bygårdens bredde. Du skal tegne en perspektivtegning av bygården i et billedplan som står loddrett mellom øyepunktet Ø og bygården. På svarark nr. er det oppgitt fire elementer som du skal bruke til å tegne en perspektivtegning av bygården: Horisonten Toppen T av den ytterste høyre loddrette kanten. Den loddrette kanten L ytterst til venstre sett fra øyepunktet. Den ytterste, øverste vannrette kanten H. Tegn en perspektivtegning av bygården ut fra disse opplysningene. Eksamen i M-0. mai 006 Side av 7

3 Oppgave Gitt en sirkel med radius r. På en diameter ligger et punkt slik at a) Konstruer figuren nedenfor og tangentene fra til sirkelen. = b) Tangeringspunktene er D og E. eregn avstanden D uttrykt ved r. c) Finn lengden av korden DE. d) Korden DE skjærer i F. Finn lengden av F. r a) Se figuren til høyre b) s potens m.h.p sirkelen på to måter: E = D =, = r r + r = r r E =. lternativt: Pythagoras på OD : D = O OD = r + r r = r c) OFD : OD gir O OD OD = = og D DE DE D OD r r DE = = = r O r d) Pythagoras på OFD F = r r = r OF = OD FD = r r = r og gir ( ) r O D E F Eksamen i M-0. mai 006 Side av 7

4 Oppgave I en trekant er =a, =a og =a der a er linjestykket nedenfor. lle lengder i oppgaven skal uttrykkes ved hjelp av a. a) Konstruer trekanten. b) Finn arealet av og. c) Halveringslinja for skjærer i D, og normalen på denne halveringslinja gjennom skjærer forlengelsen av i E. Finn lengdene av D, D og E. d) Konstruer innsirkelen til, og finn radien i denne. e) Konstruer omsirkelen til, og finn radius i denne. f) La midtpunktet på være F, og trekk F. La skjæringspunktet mellom D og F være G, og trekk G til skjæring med i punktet H. Vis så hvordan evas setning kan brukes til å finne lengdene av H og H. g) eregn avstanden mellom innsenteret og omsenteret ved hjelp av Eulers setning. a) Se figuren til høyre. b) Herons formel med s = a+ a+ a = a, 9 s = a a = a, 9 s = a a = a, 9 9 s = a a = a gir arealet 9 a a a a a =. osinussetningen på ( a) = = gir + = a + a a a cos og herav 9a + 6a a 7 cos = =, a 8 7 = 9. lternativt kan du finne arealet ved hjelp av : Når cos =, er sin= = og arealet a a a 8 =. c) Setningen om innvendig og utvendig delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en D a trekant gir = = =, så da må D = = a og D = = a D a E a E a Utvendig: = = =, så E = = a. a a a a D H 8 E Eksamen i M-0. mai 006 Side av 7

5 d) Vi beregner arealet av ved hjelp av innradien: a r = = 9 a 6 e) Sinussetningen gir a a 8 8 = R=, og derfor R = a. sin s r = a r = a. Det gir 9 H F D H a a f) evas setning gir = =, herav H = H. Da må H F D H a a 8 H = = a og H = = a. g) Eulers setning (s. 98 i kompendiet) gir d = a = 8 a 0 d = R r R = a a = a Oppgave Tegn et polygon ( halvpil ) P i planet med hjørner (0,0), (6,0), (,), D(,) og E(0,), og merk dessuten av punktet F(0,6). Det er gitt følgende isometrier: er en motsatt isometri med som fikspunktlinje er en motsatt isometri med E som fikspunktlinje er en direkte isometri med som fikspunkt, og = (, ) er en motsatt isometri med E som fikslinje, og er speiling om linja y = x = F. a) Klassifiser isometriene,,, som speilinger, rotasjoner, translasjoner eller gliderefleksjoner. Ta med eventuelle speilakser, rotasjonssenter, rotasjonsvinkel, translasjonsvektor. b) Tegn inn bildene av polygonet P ved hver av symmetriene,,, og. c) Hva er matrisene til isometriene,, og? d) Hva er bildet av et punkt ( xy, ) ved isometrien? e) Hvilke isometrier er ( først), og? f) Hvilke isometrier er og? g) Pilen P brukes til å generere to figurer. Den første har symmetrigruppe, mens den andre har symmetrigruppe den dihedrale gruppen D. Tegn figurene. Eksamen i M-0. mai 006 Side av 7

6 a) er speiling om x-aksen er speiling om y-aksen b) : Siden tan60 = =, danner 60 med, så uuur er gliderefleksjon med y-aksen som speilsymmetriakse og F = ( 0,6) translasjonsvektor. er rotasjon 60 om. som P L P F G P H P P P K c),,, har matrisene 0 0 cos60 sin60 cos0 sin0,, =, = 0 0 sin60 cos60 sin0 cos0 d) = T F uuur, og Tuuuur F xy, xy, xy, + e) (, ) xy xy, x, y og (, ) xy x, y x, y er begge rotasjon 80 om origo.. og f) og er begge motsatte isometrier med som fikspunkt. La H og K ligge på sirkelen med radius slik at K= H = 0. Da har vi H K H og K H K. Det betyr at er speiling om H, mens er speiling om K. Eksamen i M-0. mai 006 Side 6 av 7

7 og er begge direkte isometrier med som fikspunkt, altså rotasjoner om : Vi finner (jfr. figuren) L, L = 0 og L M, M = 0. og er rotasjoner om hhv. 0 og + 0. g) Symmetrigruppe Z Symmetrigruppe D : F Eksamen i M-0. mai 006 Side 7 av 7