Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål.

Transkript

1 Geometri - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri har spilt en viktig rolle i matematikken. Emnet spiller en sentral rolle i skolematematikken. På den tredje internasjonale kongressen for matematikkundervisning i Karlsruhe i 1976, sa matematikeren Michael Atiyah følgende: Som jeg har forsøkt å antyde, så er matematikken i dette århundret i stor grad engasjert i å løse problemer som hovedsakelig har geometrisk karakter,... geometrisk intuisjon er det viktigste redskapet for forståelse i matematikk. Derfor bør den oppmuntres og utvikles.... Jeg ønsker bare å komme med en oppfordring for mest mulig bruk av geometrisk tenking på alle nivåer. Den tradisjonelle geometrien i skolematematikken ble utført med passer og linjal. Dette har forandret seg i nyere tid etter at vi har fått datamaskiner. Det ble tidlig innsett at datamaskinen var et instrument for å konstruere geometriske figurer, og i slutten av 1980-årene ble det utviklet geometrisk programvare for matematikkundervisning. Det finnes nå flere slike programmer som er utviklet for PC, og de blir brukt mer og mer i skolematematikken. Det å konstruere geometriske figurer på datamaskin har gitt skolegeometrien en ny dimensjon. Konstruksjoner kan lagres og bli gjentatt, videre blir en del grunnleggende konstruksjoner utført automatisk av dataprogrammet. Geometri med datamaskin er derfor forskjellig fra den tradisjonelle geometrien med passer og linjal, selv om den inneholder de samme elementene. Den tradisjonelle skolegeometrien fokuserte på de grunnleggende konstruksjonene som for eksempel å konstruere en trekant med noen gitte forutsetninger. Geometri med datamaskin fokuserer på eksperimentering og utforsking av geometriske sammenhenger. Menyene i geometri Når vi velger Geometry på hovedmenyen (Main) får vi en tom skjerm og en ny meny med knapper på toppen av skjermbildet. Denne menyen er for å tegne og omforme figurer. Rekken med knapper har symbolet lengst til høyre, og dette gir tilgang til videre valg. Vi finner de samme menyvalgene aller øverst på skjermen: File Edit View Draw Dette vises på figurene øverst på neste side. 49

2 Vi kan bruke Draw menyen for å konstruere figurer. Draw menyen har to undermenyer som vist nedenfor. Den ene er for spesielle geometriske figurer og den andre er for grunnleggende konstruksjoner. Vi finner igjen de samme tre menyene med knapper (symboler). De første valgene på Draw menyen finner vi under knappen som er nummer to fra venstre. Valget Special shape er den neste knappen til høyre, og til høyre for denne igjen finner vi Construct menyen. Eksempel La oss se på en vilkårlig firkant. Ved å forbinde midtpunktene til de fire sidene får vi en ny firkant. Hva kan vi si om denne nye firkanten? 50

3 Før vi diskuterer detaljer, la oss bruke ClassPad 300 for å konstruere den samme figuren. Vi velger Polygon (mangekant) på menyen og starter tegningen med å merke hjørnene på firkanten med pennen. Mangekanten tegnes etter hvert som vi markerer punktene. Videre får punktene navn A, B, osv i den rekkefølgen som vi tegner dem. Når vi vil lukke firkanten, ser vi beskjeden Snap to point A nederst på skjermen når vi er nær punktet. Beskjeden forsvinner når vi løfter pennen. Vi vet da at vi har en fullstendig figur. Når firkanten er fullstendig tegnet, velger vi menyknappen lengst til venstre (pil) og merker siden AB. To små svarte kvadrater kommer til syne på linjestykket. Vi velger så Midpoint og får punktet E. Vi sletter merkingen av AB ved å markere et annet sted på skjermen. Deretter merker vi siden BC, og fortsetter på samme måte til vi har fått alle fire midtpunktene. Vi forbinder så alle midtpunktene ved å tegne linjestykker. Når vi berører et punkt ser vi beskjeden Snap to på bunnen av skjermen Dette gir oss beskjed om at vi har valgt rett element for konstruksjonen. Vi har nå fått den samme figuren på ClassPad 300. Med geometriprogrammet kan vi nå eksperimentere på følgende måte: 51

4 Vi peker på et hjørne, for eksempel B som vist ovenfor. Etter å ha market hjørnet, kan vi plassere pennen der å dra. En firkant kommer til syne og vi kan bevege pennen rundt og når vi slipper den opp, vil hjørnet i firkanten og alle delene av konstruksjonen som er knyttet til dette, bevege seg tilsvarende (som vist på figuren). Vi kan nå utforske den innskrevne firkanten. Litt utforsking vil antagelig lede oss til hypotesen om at figuren er et parallellogram. Å utføre disse konstruksjonene med passer og linjal ville være meget tidkrevende. Som matematikere er vi ikke fornøyd med bare å se på en figur. Vi vil gjerne ha et bevis eller resonnement for å overbevise oss om resultatet. Se på figuren nedenfor: C G F D H E B A Ved å trekke linjen BD, ser vi at FG er parallell til BD (siden F og G er midtpunkter). Et tilsvarende resonnement viser at EH er parallell til BD og derfor også til FG. Et helt tilsvarende resonnement viser også at EF er parallell til GH, og dermed har vi gitt et (uformelt) bevis for at den innskrevne figuren er et parallellogram. 52

5 Å konstruere geometriske figurer Konstruksjoner utføres ved forskjellige menyvalg. Som vi så i eksemplet ovenfor finner vi de ulike menyvalgene for tegning og konstruksjon på menyknappene under topplinja. Menyknappene fungerer som snarveier (shortcuts). Vi har de sammen mulighetene ved å bruke menyvalgene øverst på skjermen. Vi vil nå gå noe mer systematisk gjennom de mulighetene vi har for å konstruere geometriske figurer. En bemerkning vi vil komme med, er at det er ofte mange muligheter for å tegne en figur, for eksempel å tegne en trekant. Å tegne en trekant Trekanter kan tegnes på mange måter. En måte er å bruke Special shape menyen. Ved å merke menyvalget trekant og så peke et vilkårlig sted på skjermen får vi tegnet en standard trekant, som dessuten er størst mulig. Denne menyen gir oss videre mulighetene til å konstruere en likesidet trekant, eller en mangekant med tre sider. Denne finnes også på en spesialknapp. Vi kan selvfølgelig også tegne en trekant ved å merke 3 punkter og forbinde disse med tre linjestykker. Denne framgangsmåten kan vi gjøre mest effektivt ved å velge mangekanter som vist på figuren nedenfor til høyre. Å utforske egenskaper ved trekanter Medianer. Vi tegner en vilkårlig trekant med medianer (en median er et linjestykke som forbinder et hjørne og midtpunktet på den motstående siden). Dette gjør vi på følgende måte: 1. Tegn en vilkårlig trekant. 2. Merk en side ved å peke på den, bruk konstruksjonsmenyen for å finne midtpunktet. Gjenta dette for de to andre sidene. 3. Velg linjestykke (segment) på Draw menyen, merk hjørnene og midtpunktene på de motstående sidene, og medianen tegnes, gjenta dette for de andre to sidene. 53

6 Av figuren ser det ut som at de tre linjestykkene skjærer hverandre i ett punkt. For å utforske dette videre kan vi merke et hjørne, og så dra i det. Hva ser du da? Halveringslinje for vinkler. Foreta en tilsvarende konstruksjon: 1 Tegn en vilkårlig trekant. 2 Merk to sider ved å peke på dem, bruk konstruksjonsmenyen for å tegne halveringslinjen. Gjenta dette for de to andre sideparene. Eksperimenter ved å bevege trekanten. Midtnormaler på sidene Foreta en tilsvarende konstruksjon 1. Tegn en vilkårlig trekant. 2. Merk en side ved å peke på den, bruk så konstruksjonsmenyen for å konstruere midtnormalen. Gjenta for de andre to sidene. 54

7 Utforskning 1. Eksperimenter ved å bevege trekanten. 2. Konstruer disse tre skjæringspunktene i en trekant. Hva ser du? Noen grunnleggende geometriske konstruksjoner Konstruksjonsmenyen gir oss direkte tilgang til mange geometriske konstruksjoner. Dersom vi ønsker en bestemt konstruksjon som vi ikke har direkte tilgang til, må konstruksjonen utføres ved å bruke klassiske konstruksjonsmetoder. Å konstruere en innskrevet og omskrevet sirkel til en trekant Konstruer en vilkårlig trekant (ABC), merk så to sider og konstruer halveringslinjen til vinkelen, og gjenta dette for de to andre sidene. ( Vi vet at de tre halveringslinjene skjærer hverandre i ett punkt og det er derfor tilstrekkelig å konstruere bare to halveringslinjer for å finne skjæringspunktet). Merk skjæringspunktet (D), og skjul halveringslinjene. Edit > Properties > Hide Merk punktet (D) og en av sidene, konstruer så normalen fra punket ned på siden, merk skjæringspunktet (E), og skjul normalen. Konstruer en sirkel med D som sentrum og DE som radius. En omskrevet sirkel konstrueres på tilsvarende måte, unntatt at vi bruker midtnormalene i stedet for halveringslinjene. Radius er avstanden fra midtnormalenes skjæringspunkt til et hjørne i trekanten. 55

8 Å konstruere en tangent fra et punkt til en sirkel Vi konstruerer en sirkel ved først å peke på sentrum (A) og så peke på et punkt (B) på sirkelbuen. Et punkt C er avmerket utenfor sirkelen. Linjestykket AC trekkes og midtpunktet konstrueres. En sirkel trekkes gjennom A og C. Skjæringspunktene mellom de to sirklene er tangeringspunktene, og tangentene kan konstrueres direkte fra menyen. Dra og slipp Som for andre dynamisk geometri programmer har ClassPad 300 en dra og slipp modus. Det er viktig at vi vet hva som bevares når vi bruker dra og slipp. Siden ClassPad 300 har en rekke av fordefinerte former, for eksempel likesidet trekant, må vi være varsomme når vi drar i en slik figur. I dette avsnittet vil vi starte med å systematisere de ulike tilfellene. Når vi utfører dra og slipp, må pekeknappen være aktiv, som vist på figuren nedenfor. En trekant uten restriksjoner Hvis vi tegner en trekant ved å markere tre hjørner, dvs ved å bruke polynomvalget i tegnemenyen som vist nedenfor, kan vi bevege ett hjørne, og de andre to vil være faste. 56

9 Vi lar pekeknappen være aktiv og merker punktet C. Vi løfter pennen og C er fortsatt markert. Hvis vi nå peker på C og beveger pennen på skjermen, ser vi en liten firkant som indikerer hvor C kan plasseres. Når vi løfter pennen, får C posisjonen til firkanten. Punktene A og B forandres ikke. Vi får tegnet en ny trekant. På figuren nedenfor har vi merket siden AC, og vi kan nå omforme trekanten ved å flytte denne siden. Peker vi på AC, får vi se et rektangel. Hjørnene på dette rektangelet viser hvor A og C vil bli plassert. Hvis vi merker alle tre sidene i en trekant, kan vi flytte trekanten og den beholder formen. Ved å merke alle sidene og så peke innenfor trekanten, kommer et rektangel til syne. Rektanglet er omskrevet trekanten og vi kan flytte det til en ny posisjon. Når vi løfter pennen, vil trekanten ha flyttet seg til rektanglets posisjon. 57

10 Likesidete og likebeinte trekanter Slike trekanter kan tegnes med en enkel kommando. Når slike trekanter flyttes, vil egenskapen (for eksempel å være likesidet) bevares. Vi kan flytte trekanten, men den vil nå kunne bli rotert og få ny størrelse. Ett hjørne annet enn de vi har valgt vil være fast. De to hjørnene vil bestemme den likesidete trekanten. På figuren nedenfor er hjørnet A fast og hjørnet B er flyttet. Den nye trekanten som vi ser til høyre nedenfor, er bestemt av siden AB. Utforskning Eksperimenter ved å velge 2 eller 3 sider. Start med en likesidet trekant. Sirkelen Når vi tegner en sirkel og merker sirkelbuen, kan sirkelen beveges ved å dra. På samme måten som for trekanter, vil det komme til syne en firkant(kvadrat) når vi peker på sirkelen etter å ha markert den. Hvis vi merker sentrum i sirkelen (punktet A på figuren), så vil punktet B være fast og derfor kan den nye sirkelen få en annen radius, som vist nedenfor til høyre. 58

11 Problemløsing i geometri Geometri har tradisjon i skolematematikken for å være et område der vi legger vekt på problemløsing. Å utføre geometriske konstruksjoner har karakteristikk av å være en problemløsingsprosess. De enkelte leddene i problemløsingsprosessen kan identifiseres og diskuteres. I et konstruksjonsproblem har vi i hovedsak tre faser Heuristisk Konstruksjon Analyse I heuristikkfasen vil vi vanligvis bruke en hjelpetegning, hvor vi tar med egenskaper til den figuren vi skal konstruere. Ved å studere hjelpefiguren er målet å komme fram til en konstruksjonsmåte. Å tegne en slik figur med blyant og papir har visse problematiske sider hvis du starter feil, er det vanskelig å gjøre forandringer på figuren du kan ikke variere parametrene dynamisk du kan som regel ikke foreta målinger Et geometriprogram slik som vi finner på ClassPad 300, er spesielt nyttig i den heuristiske fasen. Ved å bruke et dynamisk geometriprogram kan vi slippe unna begrensningene som vi møter med papir og blyant. Ved å bruke egenskapene til dynamiske geometriprogrammer får vi en annen type geometriske konstruksjoner enn de tradisjonelle. Slike dataprogrammer vil utføre mange av de vanlige konstruksjonene automatisk, og disse konstruksjonene kan også utføres på ClassPad 300. I eksemplet nedenfor har vi konstruert midtnormalen til linjestykket AB, som også kunne blitt utført direkte på ClassPad 300. Hvilke konstruksjoner som bør utføres klassisk i en undervisningssituasjon må læreren bestemme. Vi må imidlertid legge til at bevis er det viktigste i geometri når vi ser på geometrien som en matematisk disiplin. 59

12 En rolle for ClassPad 300 vil være som et hjelpemiddel til å danne hypoteser. En interessant egenskap ved ClassPad 300 er at vi har muligheten til å måle størrelsen på geometriske objekter. På figuren til venstre har vi konstruert et linjestykke og markert punktet A. Vi ser at det er to tall nederst på skjermen. Det finnes et koordinatsystem på skjermen. Vi kan gjøre det synlig ved å peke på knappen lengst til høyre. Peker vi to ganger, får vi fram enheter på aksene. Vi har også muligheten til å få fram et nett der heltallige koordinater er markert View > Integer Grid Symbolet er en avkryssing (Integer Grid av/på). Hver gang vi markerer, vil det forandre seg. Hvis vi markerer linjestykket, kan vi gå til neste meny ved å bruke symbolet. Dette gir oss en meny for måling, som i eksemplet viser stigning til linjestykket. Vi kan også foreta andre målinger. lengde stigning retningsvinkel likning 60

13 Vi vil nå se på et klassisk problem i geometri. Lengden til sidene i et kvadrat ABCD er x. F er midtpunktet til BC, og AE DF. Finn BE. D C E F A x B Vi vil konstruere figuren på ClassPad 300 og måle lengden på sidene. Vi kan selvfølgelig ikke bruke et generelt mål for lengde, som x, men vi kan se at avstanden DF er den samme som lengden på siden i kvadratet. Vi kan eksperimentere videre ved å dra i kvadratet, og vi vil hele tiden se det samme forholdet. En god hypotese vil derfor være at DF har samme lengde som sidekanten i kvadratet. (Dette kan vi så bevise ved et geometrisk resonnement). Måling I problemet ovenfor var det et viktig element at vi kunne måle lengden på ulike størrelser. Mulighetene for måling av geometriske størrelser med ClassPad 300 er mange. 61

14 Vi kan for eksempel sette enhetene på skjermen. Vi velger Settings > Setup > View Window Dimensjonen på y-aksen blir så gitt automatisk relativt til dimensjonen på x-aksen. La oss se på noen eksempler. Sirkelmåling Vi har tegnet en sirkel med radius = 50 (enheter på skjermen). På menyen for måling har vi følgende muligheter Radius Omkrets Areal Likning (som vises) Flere typer av målinger kan utføres. Som et eksempel vil vi vise at ClassPad 300 vil måle avstanden fra et punkt til en sirkel (sirkelbuen). 62

15 Vi har markert A og sirkelen. Avstanden som vises på toppen av skjermbildet, er avstanden AD. La oss fortsette med et annet geometriproblem. En sirkel er innskrevet i en kvadrant til en sirkel med radius 8. Hvor stor er radius til den innskrevne sirkelen? For å konstruere kvadranten kan vi bruke kommandoen for sirkelbue som vist til venstre. Når vi har tegnet to linjer som står normalt på hverandre, velger vi A og B som vist. Ved å bruke kommandoen for sirkelbue får vi tegnet en full sirkel. Peker vi på C gir det oss kvadranten. I oppgaven var det gitt at radius i kvadranten skulle være 8. Dette får vi enkelt til på ClassPad 300. Ved å merke A og B gir det oss avstanden. I avstandsfeltet kan vi nå sette avstanden til 8 ved å skrive over den lengden som står. Vi tegner halveringslinjen til A, deretter en tangent til sirkelen der halveringslinjen skjærer sirkelen. Vi kan nå fortsette konstruksjonen og ender opp med følgende figur 63

16 Ved å merke den innskrevne sirkelen kan vi lese av radius (= ). Dette er en numerisk beregning, og vi overlater til leseren å finne et eksakt uttrykk. La oss undersøke det følgende velkjente geometriske teoremet. Vivianis teorem Summen av avstandene til de tre sidene i en likesidet trekant fra et punkt som ligger inne i trekanten eller på en side, er konstant og lik høyden til trekanten. Vi arbeider med delt skjerm. Vi velger geometri fra Main som vist nedenfor. Vi arbeider med geometri i det nederste vinduet og tegner en likesidet trekant. Så velger vi to punkter, D og E, inne i trekanten. Vi måler avstandene til sidene og legger dem sammen i det øverste vinduet. Vi bruker Edit > Copy i geometrivinduet og Edit > Paste Main vinduet. Vi taster inn + tegnet fra tastaturet og bruker så [EXE]-tasten for å få summen. 64

17 Det første svaret er summen av avstandene fra punktet D til de tre sidene. Neste svar er summen av avstandene fra punktet E, og det siste tallet er høyden i trekanten målt fra B til AC som vist.. Vi har selvfølgelig ikke bevist Vivianis teorem, men dette eksperimentet kan lede oss til å akseptere teoremet. Det neste skrittet vil være å gi et formelt bevis for teoremet. Koordinatgeometri En spesiell nyttig egenskap ved ClassPad 300 er at den har integrert euklidsk og koordinatgeometri. Vi har tre muligheter når vi arbeider med koordinater. å vise aksene å vise aksene med enheter å vise heltallige koordinatpunkter (Integer Grid) Når vi arbeider med geometri, har vi koordinatsystemet tilgjengelig hele tiden, selv om det ikke alltid vises på skjermen. Vi kan definere dimensjonene på skjermen fra Settings > Setup 65

18 Når vi bruker nettpunkter, må vi bemerke at punkter som vi plasserer inn, vil feste seg til punkter på nettet. At vi har nettpunkter på skjermen vil hjelpe oss til å tegne spesielle linjer, som for eksempel er parallelle til koordinataksene. Dessuten når vi arbeider i et koordinatsystem kan vi automatisk få likningen til ulike objekter. Å bruke koordinatsystemet sammen med Main gir oss en rekke muligheter. Vi kan for eksempel skrive et uttrykk i Main som i enkelte tilfeller kan trekkes ned i geometrivinduet som vist nedenfor. Både parabelen og ellipsen kan merkes og flyttes til andre posisjoner. Likningene kan vi se på toppen av skjermbildet. At vi på denne måten kan integrere kalkulus og geometri gjør ClassPad 300 til et interessant verktøy for eksperimentering. Som et annet eksempel kan vi trekke ned eksponentialfunksjonen fra Main vinduet, og vi kan finne likningen for tangenten i et bestemt punkt ved først å bruke konstruksjonsmenyen. Tilsvarende kan vi gjøre for andre figurer. 66

19 Geometri på geobrett Et geobrett er vanligvis et brett med 25 stifter som er satt opp i et 5 x 5 mønster. Større geobrett kan vi lage ved å sette sammen flere 5 x 5 brett. Prikkpapir er en annen måte som gir oss de samme aktivitetene hvis et geobrett ikke er tilgjengelig, eller hvis elevene ikke trenger en konkret modell. Geobrett aktiviteter er viktige for begrepsdanning. Begreper som omkrets og areal kan illustreres og manipuleres. Et annet element når det gjelder geobrett er å få elevene til å gjenkjenne ulike former. Mange interessante aktiviteter kan utføres på et geobrett. Vi vil generelt her referere leserne til andre kilder, men vil trekke fram et eksempel som viser noen av mulighetene Å velge Integer Grid i geometri gir oss et prikkpapir som vi kan arbeide på. Vi kan lage figurer ved å tegne linjestykker mellom punktene. Picks formel Picks formel gir en sammenheng mellom arealet av en figur avmerket på et geobrett, og antallet indre punkter og punkter på randen. Husk at når vi plasserer punkter i et nett, festes de til punkter i nettet. 67

20 På figuren til venstre er det 3 punkter på randen (bare hjørnene) og 13 punkter i det indre av figuren. Arealet blir oppgitt til På figuren til høyre er det 10 punkter på randen og 21 punkter i det indre av figuren. For å utforske sammenhengen vil vi konstruere følgende tabell: Indre punkter Punkter på randen Areal Picks formel gir en sammenheng. Kan du finne den? ClassPad 300 er i dette eksemplet et godt hjelpemiddel for å eksperimentere. Hvordan kan du mest effektivt eksperimentere for å avdekke en sammenheng? Hva er en god strategi? Picks formel er: Areal = (antallet indre punkter) + (halvparten av antallet punkter på randen) 1 Pytagoras med nettpunkter Noen spesielle tilfeller av Pytagoras setning kan illustreres på et geobrett ved hjelp av Picks teorem. 68

21 De to minste kvadratene har 4 indre punkter og 12 punkter på randen. Altså er arealet 9 (enheter) som vi også kan se direkte. Det største kvadratet har 13 indre punkter og 12 punkter på randen. Av Picks formel får vi arealet: = 18. Refleksjon, translasjon og rotasjon er tre transformasjoner som i senere tid har blitt innført i skolematematikken i mange land. Å rotere en figur, eller å finne speilbildet (refleksjon) krever vanligvis en del arbeid. Imidlertid med et dynamisk geometriprogram som vi finner på ClassPad 300, kan figurer manipuleres meget effektivt. At slike operasjoner har blitt innført i skolematematikken, knytter den spesielt geometrien til kunst. I bildende kunst har symmetri blitt brukt i stort omfang av enkelte kunstnere. La oss se litt nærmere på hvordan vi kan manipulere figurer på ClassPad 300. translasjon refleksjon rotasjon 69

22 Refleksjon Vi kan lage et speilbilde av en figur om en linje som vist på figuren nedenfor. Først tegner vi trekanten ABC og deretter linjen ED. Hele trekanten (alle sidene) merkes, deretter velges symmetri ( ). Programmet spør etter en linje og når vi merker ED kommer figuren A B C fram. Translasjon En figur kan også flyttes i en bestemt retning. Dette krever noe mer avansert matematikk siden bevegelsen skal gis ved en vektor. Vi tegner trekanten ABC og velger translasjon. Vi får da fram Select Vector i en dialogboks. Her kan vi skrive inn to tall. Tallet øverst er antall enheter bevegelsen skal være i x-retningen, og tallet nederst er antall enheter bevegelsen skal være i y-retningen. Resultatet ser vi på figuren til høyre. Vi ser også at hjørnene har fått tilsvarende navn A, B og C i samsvar med den opprinnelige figuren. 70

23 Rotasjon Dette er en annen operasjon som utføres automatisk på ClassPad 300. Rotation utføres ved at brukeren merker et punkt som figuren skal roteres om, og deretter må en vinkel oppgis. Punktet D i figuren til høyre er rotasjonspunktet. Dette framstår ikke som merket før etter at rotasjonen er foretatt. I eksemplet kan vi bemerke at vi ikke har merket trekanten. For alle disse transformasjonene gjelder at vi må være nøyaktige. Hvis ingen figur er merket, vil alle figurer som er tegnet på skjermen, bli rotert. Hvis noe er merket, vil bare det som er merket, bli rotert. Vi har illustrert dette for rotasjon nedenfor i dette skjermbildet er det bare linjestykket BC som har blitt rotert om D (90º). Generelle transformasjoner Hvis vi roterer et linjestykke eller en vektor en viss vinkel i forhold til origo, kan vi finne transformasjonen av koordinatene ved å bruke formlene for sin (u + v) og cos (u + v). Vi finner at de nye koordinatene (a, b ) når et punkt (a, b) er rotert en vinkel v, er gitt ved 71

24 a = a cos v b sin v b = a sin v + b cos v med tilhørende matrise: cos v sin v sin v cos v Vi kan nå transformere en figur på flere måter. Vi illustrerer ved å rotere en trekant. Vi arbeider med delt skjerm (Main og Geometry). Trekanten har koordinater A: (0,0), B: (3,0) og: (3,1). Vi vil rotere trekanten π/6 = 30º Vi skriver rotasjonen på matriseform, og skriver et multiplikasjonstegn etter matrisen. Vi plasserer skrivemerket etter multiplikasjonstegnet. Vi merker alle sidene i trekanten og trekker den til Mainvinduet. Da får vi matrisen til koordinatene Vi utfører multiplikasjonen. Resultatmatrisen trekkes ned til Geometry og rotasjonen vises. Vi kan også utføre en generell transformasjon ved å bruke General transform valget som finnes på Draw menyen 72

25 I det vinduet som kommer fram, har vi to mulige steder å skrive en Rotation/Scale og Translation. Hvis vi skriver inn den samme rotasjonsmatrisen og velger [OK], så vil trekanten bli rotert. Utforsking Vi kan konstruere interessante figurer ved å bruke refleksjon. Kan vi få øye på symmetrier? Hvilken type objekter i naturen framviser symmetri. Se på følgende figur hva likner den på? Eksempel Det følgende er et klassisk konstruksjonsproblem. Gitt et linjestykke og en sirkel. Konstruer en korde i sirkelen som har samme lengde som, og er parallell til linjestykket. 73

26 Figuren til venstre viser situasjonen som vi har. Vi har tegnet linjestykket som en vektor. Dette valget er vist på menyen med knapper. På figuren i midten velger vi translasjon og får fram Select Vector. Vi kan peke på vektoren, og sirkelen blir flyttet. Linjestykket (vektoren) kan flyttes til spissen faller sammen med skjæringspunktet mellom de to sirklene, og dette gir løsningen. Animasjon En annen interessant egenskap ved ClassPad 300 er muligheten vi har til å utføre animasjoner. Dette er spesielt nyttig når vi utforsker kurver som er definert ved spesielle egenskaper. Ved å bruke animasjon kan vi få tegnet kurven. Et vanlig eksempel som finnes i bruksanvisningen er å tegne en parabel, som er definert ved at punkter på kurven har samme avstand fra en rett linje og et punkt utenfor linjen. Vi vil imidlertid her se på et annet eksempel. 74

27 Vi kan utføre animasjoner fra Edit menyen eller fra Draw menyen. Vi kan i hovedsak utføre de samme animasjonene, unntatt at Edit Animations bare er tilgjengelige i Edit menyen. Et enkelt eksempel et punkt som beveger seg rundt på en ellipse Først tegner vi ellipsen, og et punkt på utsiden, så merkes punktet og ellipsen. Deretter velges Edit > Animation > Add animation Punktet D fester seg til ellipsen. Velger vi Go once beveger punktet D seg en gang rundt ellipsen. 75

28 Å tegne et lokus Ideen er å få tegnet spor av et punkt (C på figuren), når et annet punkt (D) som er knyttet til dette punktet (ved hjelp av punktet E) beveger seg langs en kurve. Vi vil tegne en kurve som er kjent som Pascals snegle. For å få en jevn figur kan det være nødvendig å øke antallet skritt i animasjonen. Første skritt (første figur) Konstruer en sirkel (AB) og et punkt C utenfor sirkelen, konstruer videre et punkt D på sirkelen Andre skritt (andre figur) Konstruer en tangent til sirkelen i D, og en normal fra C på tangenten.. Trykk Edit > Animate > Edit Animation En dialogboks kommer til syne og vi kan definere antall skritt. Det ser ut som om 80 vil være en passende verdi. Tredje skritt (tredje figur) (1) Merk sirkelen og punktet D: Velg Edit > Animate > Add Animation (2) Opphev valget av sirkelen og punktet D (3) Merk punktet E: Velg Edit > Animate > Trace (4) Med punktet E merket, velg Edit > Animate > Go (once) Du vil nå se at kurven blir tegnet. 76