Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning
|
|
- Ole-Kristian Gulbrandsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til stor hjelp når en skal lage perspektiviske tegninger. De forteller nemlig hvor bildet av en gjenstand vil være dersom vi kjenner gjenstandens plassering i forhold til rutenettet. Det blir gitt eksempel på hvordan rutenett og plantegninger kan brukes til å lage en perspektivtegning. 1 Konstruksjon av bildet av et vannrett kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt Dette er det enkleste tilfellet. Siden det er et forsvinningspunkt vil linjene i det kvadratiske rutenettet enten være parallelle med grunnlinjen eller de vil være perpendikulære til grunnlinjen. Linjene som går vekk fra betrakteren vil da ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Diagonalene i det kvadratiske rutenettet som går fra venstre mot høyre er alle parallelle med hverandre. Det perspektiviske bildet av disse linjene vil derfor ha et felles forsvinningspunkt. Dette forsvinningspunktet ligger på horisontlinjen siden diagonalene er vannrette. Som vi så tidligere vil dette forsvinningspunktet være et av distansepunktene. Avsnittet over forteller oss faktisk alt vi trenger for å forstå og gjennomføre konstruksjonen. Vi vil først gjennomføre konstruksjonen i tilfelle hvor fremste linje i rutenettet er grunnlinjen i bildet. Velg hovedpunkt (H) og distansepunkt (D) på horisontlinjen. Sett av ønsket antall punkter med fast avstand mellom dem på grunnlinjen. Som et eksempel vil vi lage et perspektivisk bilde av et 6 x 6 kvadratisk rutenett. Versjon av 25. november Denne teksten er et utdrag fra en tekst om perspektivtegning som jeg holder på å arbeide med. Utdraget greier mer eller mindre å stå på egne ben, selv om enkelte ord og uttrykk som benyttes kan være ukjente da de er presentert tidligere i teksten. For å forstå alle argumentene, må en kjenne til distansepunkt og distansepunktkonstruksjonen. Kort fortalt er distansepunktet forsvinningspunktet til de linjene som står 45 på billedplanet. Ikke la deg skremme av det første avsnittet som er ganske teknisk dersom du ikke er vant med terminologien - fortsett å lese og gå tilbake til det i etterkant. Teksten er fortsatt under bearbeiding og den er ikke skikkelig korrekturlest, så det vil nok være noen feil her og der. Ta kontakt (gmh@hib.no) dersom du har kommentarer. 1
2 Neste punkt er å tegne opp linjestykkene mellom hovedpunktet og punktene på grunnlinjen. 2
3 For å nne bildet av hjørnene i rutenettet trekker vi opp bildet av diagonalene. Det er faktisk nok å trekke opp en diagonal dersom vi trekker opp den diagonalen som går fra punktet på grunnlinjen som er lengst vekke fra distansepunktet. Siden de resterende linjestykkene i rutenettet er parallelle med grunnlinjen kan vi tegne de opp gjennom skjæringspunktene til bildet av diagonalen. 3
4 Nå har vi alt vi trenger, så det er bare å fullføre guren. Vi ser at dersom vi trekker opp de andre diagonalene, så går alle disse mot distansepunktene (sjekk dette). Konstruksjonen her er gammel og velkjent. Figur 1 viser samme konstruksjon i de Vries lærebok. Der er diagonalene til begge distansepunktene trukket opp. Vi har nå laget et perspektivisk bilde av et vannrett kvadratisk rutenett i tilfellet hvor den fremste siden i rutenettet er grunnlinjen. I dette tilfellett blir det kvadratiske rutenettet seende ut som et gulv. For å lage perspektiviske bilder av tilsvarende rutenett hvor den fremste siden i rutenettet ikke er grunnlinjen kan vi bruke akkurat samme 4
5 Figur 1: Plansje 2 i de Vries, Perspective (1604). 5
6 (a) Under horisontlinjen (b) Over horisontlinjen Figur 2: Forskjellige plasseringer av fremre side i rutenettet (a) Tilstrekkelige opplysninger (b) Ferdig rutenett Figur 3: Rutenett hvor fremre side i rutenettet ikke er horisontal fremgangsmåte, bare at vi nå først må nne ellers bestemme den fremste siden i rutenettet. To eksempler på dette er vist i gur 2. I gur 2 b) er den fremste siden i rutenettet høyere enn horisontlinjen. Da ser rutenettet ut som et tak. Samme fremgangsmåte kan brukes til å lage et vilkårlig perspektiviske rutenett med et forsvinningspunkt. Da vil ene siden i alle kvadratene være parallell med billedaten. For å tegne rutenettet trenger vi bare å kjenne bildet til den siden i rutenettet som er parallell med billedaten og to punkter til på billedaten. Et av disse punktene (P) er forsvinningspunktet til de sidene i kvadratene som går vekk fra betrakteren. Det andre (Q) er forsvinningspunktet til en diagonal. Et eksempel vises i gur 3. Bildet i gur 4 viser et bilde av et rutenettmønster i en hage. Dersom vi forlenger alle sidekantene, får vi gur 5. Vi ser at vi i teorien kan fortsette rutenettet så langt vi ønsker ved å tegne inn ere linjer. Siden rutenettet bare har et forsvinningspunkt, må forsvinningspunktet også være hovedpunktet. I gur 6 er også diagonalene tegnet inn og forlenget. Disse møtes som ventet i to forsvinningspunkt, et på hver side av hovedpunktet. 6
7 Figur 4: Bilde fra en hage med rutenettmønster. Foto: lragerich ( Figur 5: Bilde av rutenett med et forsvinningspunkt. Disse forsvinningspunktene blir distansepunktene til bildet. De ligger også i samme høyde på bildet som hovedpunktet. De ligger da på horisontlinjen. Dette er akkurat som ventet ettersom rutemønsteret er vannrett. 7
8 Figur 6: Bilde av rutenett med diagonaler og forsvinningspunkt. 2 Konstruksjon av bildet av et loddrett rutenett når bildet av et kvadratisk rutenett er gitt Metoden som ble brukt over kan også brukes til å tegne et loddrett rutenett. Men dersom vi allerede har tegnet et kvadratisk rutenett nnes det en raskere metode. Denne metoden bygger på at bildet av en loddrett linje også er en loddrett linje. Vi starter med 6 x 6 rutenettet som ble konstruert over. Vi vil lage et 5 x 6 loddrett rutenett på venstre side av dette. Vi starter med å tegne en loddrett linje gjennom nedre venstre hjørnet i rutenettet vårt (normalen til grunnlinjen gjennom nedre venstre hjørne). På denne setter vi av punkter med fast avstand i mellom dem. 8
9 Sidene i det loddrette rutenettet vil enten være loddrette eller vannrette. De vannrette sidene vil ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Vi trekker derfor opp linjestykkene fra punktene på den loddrette linjen til hovedpunktet. De loddrette sidene i rutenettet vil starte ved hjørnepunktene på den venstre siden av det vannrette rutenettet. Vi trekker derfor opp de loddrette linjene som går gjennom disse punktene. 9
10 Skjæringspunktene vi da får er hjørner i bildet av det loddrette rutenettet. Så nå er det bare å fullføre rutenettet. Dersom vi hadde trukket opp diagonalene i det loddrette rutenettet ville vi sett at disse har forsvinningspunkt på den loddrette linjen gjennom hovedpunktet. Avstanden mellom hovedpunktet og disse forsvinningspunktene er det samme som avstanden mellom hovedpunktet og distansepunktet (hvorfor?). 10
11 3 Å bruke rutenettet til å plassere gjenstander i riktig høyde i en perspektivtegning For å plassere gjenstander ved hjelp av et rutenett er det tre ting vi må ha i tankene: A.1 Alle rutene i perspektivtegningen representerer ruter som er like store i virkeligheten. A.2 Bildet av loddrette linjer er loddrette. A.3 Hvis en vannrett rute i den perspektiviske tegningen har sin horisontale sidelengde lik x, så vil en loddrett rute i den perspektiviske tegningen med hjørne i samme reelle posisjon også ha vertikal sidelengde lik x. Dette kan illustreres gjennom gur 7. Her er det tegnet inn det horisontale rutenettet og deler av mulige loddrette rutenett. Fra punktet Q ønsker vi å nne punktet R som er bildet av et punkt som ligger 8 rutelengder loddrett ovenfor det punktet som har Q som bilde. I kapittelet om distansepunktkonstruksjonen så vi på en måte å nne R på ved å sette av en normal på grunnlinjen. Fra guren ser vi at Vignola har gjort det samme i høyre billedkant. Men guren til Vignola viser også en annen måte å nne R på. Vi tenker oss at bare det vannrette rutenettet er tegnet inn. Fra punktet Q vil vi nne R. Fra A.2 ser vi at R må ligge på den loddrette linjen som går gjennom Q. Ved å kombinere A.1 og A.3 ser vi at avstanden fra Q til R er den samme som avstanden fra Q og 8 rutelengder horisontalt mot venstre. Vi kan derfor sette passerspissen i Q, den andre enden i P som ligger 8 rutelengder horisontalt mot venstre fra Q og slå sirkelbuen. Der hvor sirkelbuen treer den loddrette linjen gjennom Q ligger R. Dette ble en tungvint beskrivelse for et prinsipp som er ganske enkelt å anvende. La oss ta et par eksempler fra de Vries bok Perspective (1604) for å illustrere det bedre. Først hans plansje 14 (gur 8). Vi skal se nærmere på den rektangulære inngjerdingen i midten av rommet. La oss tenke oss at inngjerdingen ikke er tegnet enda og vi ønsker å gjøre dette (for enkelhetsskyld beskriver jeg bare den ytre rammen - den indre blir tilsvarende). For å benytte oss av rutenettet må vi vite dimensjonene til inngjerdingen. Denne er tre ruter bred, re ruter dyp og en rute høy. Når vi vet dette er det greit å plassere den korrekt på tegningen. Vi merker av de fremre nedre hjørnene med tre horisontale rutelengders avstand. Så nner vi de bakre nedre hjørnene ved å teller re ruter "innover"i tegningen. Siden inngjerdingen er en rute høy kan vi nne de øvre hjørnene ved å gå en virtuell rutelengde vertikalt oppover fra alle de nedre hjørnene. 1 Det samme er gjort i den noe mer avanserte plansje 18 (gur 9). Her er bordet tre ruter høyt og benken er litt over en rute høy. Denne 1 Ser vi på den ferdige tegningen til de Vries så ser det ut som om høyden er større enn en rutelengde på baken. Dette er et synsbedrag som skyldes at vi prøver å tolke den todimensjonale tegningen som tredimensjonal. Dersom en måler på tegningen vil en se at høyden er akkurat like stor som den horisontale rutelengden på samme plass i bildet. 11
12 Figur 7: Figuren er fra Jacopo Barozzi Vignolas Le due regole della prosppettiva (1583) 12
13 Figur 8: Plansje 14 i de Vries, Perspective (1604). 13
14 plansjen får leseren studere nærmere selv. Se også GeoGebra-arbeidsarket: gmh/geogebra/perspektiv/distansepunktkonstruksjon4.html. 4 Å lage perspektivtegning med bruk av plantegninger og rutenett Vi så nettopp hvordan å plassere bildet av et punkt dersom vi har tegnet inn et rutenett. I denne delen skal vi gjøre noe helt tilsvarende, bare at vi nå går ut i fra at vi har plantegninger av det vi vil tegne. En plantegning er en ortogrask projeksjon. 2 Ved en ortogrask projeksjon nner vi bildet av punkt som følger: gitt et punkt P i rommet, så vil dette bli avbildet på punktet i planet P' som ligger nærmest P. Da vil linjestykket PP' være ortogonalt (altså perpendikulært eller vinkelrett) på planet. Se gur 10 og 11. Det går faktisk an å se på plantegninger som en type perspektivtegning. Dersom vi tenker oss en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt vekke fra billedplanet, slik at øyepunktet ligger i den retningen som er ortogonal på billedplanet, så vil perspektivtegningen være det samme som en ortogonal projeksjon på billedplanet. Dette fordi at alle synsstrålene vil være parallelle og ortogonale på billedplanet. Se gur 12. Ortogrask projeksjon blir brukt både i arkitektur (plantegninger til hus) og i kart. Plantegninger til hus er velkjent (se gur 13). Alle kart over områder som er så små at vi kan se på jorden som at er også tilnærmet gitt ved en ortogrask projeksjon. For kart over større områder er det umulig å unngå distorsjon - det er umulig å få både vinkler og lengder til å samsvare med tilsvarende vinkler og lengder på sfæren - ettersom kartet er en plan representasjon av jordsfæren. Forskjellige typer projeksjon vil være hensiktsmessig, for slike kart, alt etter situasjonen, og av og til blir ortogrask projeksjon brukt (et eksempel er vist i gur 14). Som et eksempel skal vi tegne et rektangulært prisme som er re ruter høyt, re ruter bredt og tre ruter dypt. For å gjøre konstruksjonen lettere å følge har jeg valgt å gjøre prismet fargerikt: venstre (og høyre) sideate er blå, fremre sideate er rød og toppen er grønn. Plantegninger forfra, ovenfra og fra høyre følger i gur Alt etter hva vi ønsker å tegne trenger vi plantegninger fra forskjellige sider. I dette tilfellet her får vi nok informasjon til å fullføre tegningen med de tre plantegningene under. I andre, mer kompliserte, tilfeller kan det 2 I ordet ortogonal er oρθoς (ortos - gresk for rett) satt sammen med γωνια (gonia - betyr nå vinkel, men opprinnelig kne (så polygon betyr bokstavelig mange knær)). Ordet ortogonal brukes nå om to geometriske gurer (f. eks. linje og plan) som står vinkelrett på hverandre. En projeksjon er en gjengivelse av et romlig gur på en plan ate. Etymologisk henspeiler ordet projeksjon på skyggene som kastes på en ate (denne betydningen nner vi igjen i ordet projektor - maskiner som projiserer et bilde på et lerett). En ortogrask projeksjon er en gjengivelse av en romlig gur på en plan ate slik at punkter blir yttet til aten gjennom linjer som står vinkelrett på aten. 14
15 Figur 9: Plansje 18 i de Vries, Perspective (1604). 15
16 Figur 10: Eksempel på ortogrask projeksjon. Vi starter med et plan i rommet som resten av rommet skal projiseres på. Punktet P projiseres (avbildes) på P', som ligger i dette planet, slik at linjestykket PP' står ortogonalt (vinkelrett) på planet. Figur 11: Et prisme avbildet ved ortogrask projeksjon. Bildet av prismet avhenger av hvilken orientering planet det avbildes på har. 16
17 Figur 12: Ortogrask projeksjon sett på som en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt borte. Da blir linjene PP', QQ' og RR' synsstråler. Figur 13: Plantegning av et hus. commons/9/9a/sample_floorplan.jpg 17
18 Figur 14: Ortogrask projeksjon av jorden sentrert over Nordpolen. Orthographic_Projection_Polar_North.jpg 18
19 Figur 15: Prisme forfra Figur 16: Prisme ovenfra hende vi trenger ere plantegninger (ekstra plantegninger i tilfellet her vil være plantegninger nedenfra eller fra venstre). 3 Vi kan nå skissere plantegningene på vegger og gulv i rutenettet vårt. Plantegningen fra høyre kommer på venstre vegg (gur 18). Plantegningen ovenfra kommer på gulvet. Plantegningen forfra kommer på bakre vegg. Og tilsvarende for andre plantegninger. Grunnen til at vi gjør det på denne måten er at vi nesten uansett gur vil trenge plantegning forfra og for å slippe en uoversiktlig gur med ere rutenett oppå hverandre er det greiest å skissere denne plantegningen på bakre vegg. For å nne det perspektiviske bildet av prismet trenger vi nå en del hjelpelinjer. Det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på venstre (eller høyre) vegg vil ligge på den horisontale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Tilsvarende vil det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er 3 Dersom vi tenker oss gjenstandene som gjennomsiktige er det alltid nok med plantegninger forfra og ovenfra. 19
20 Figur 17: Prisme fra høyre side Figur 18: Plantegninger skissert i rutenettet 20
21 Figur 19: Omriss gitt av plantegningene avbildet ved plantegning til punktet P på gulv (eller tak) ligge på den vertikale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Og det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på bakre vegg vil ligge på strålen fra hovedpunktet gjennom P. Vi tegner så inn disse linjene for strategisk valgte punkter på plantegningene (gur 19). Vi har nå nok perspektiviske bilder av punkter på prismet til å tegne inn prismet (gur 20). Vi har faktisk "overødig"informasjon. Vi hadde fått nok informasjon til å tegne inn prismet selv om vi ikke hadde tatt med strålene fra hovedpunktet (se gur 21). Tilsvarende kunne vi i stedet for å droppe strålene ha droppet de vertikale eller horisontale hjelpelinjene. I praksis vil gurene bli svært uoversiktlige med alle disse hjelpelinjene, spesielt når en skal tegne mer kompliserte gurer enn prismet som er tegnet inn her. I tillegg vil en jo gjerne unngå alle hjelpelinjene på den ferdige tegningen. En måte å unngå dette på er ved å bruke to linjaler og nne ut hvor disse skjærer uten å faktisk tegne opp hjelpelinjene. Til slutt kan vi pusse litt på tegningen og ferdigstille den (gur 22). 5 Rutenett med to forsvinningspunkt For et rutenett med to forsvinningspunkt vil ingen av sidekantene i rutenettet være parallelle med grunnlinjen. Som et eksempel skal vi lage en perspektivtegning av et 5 x 5 rutenett. 4 Et omriss av dette er gitt i gur Se også GeoGebra-arbeidsarket: gmh/geogebra/perspektiv/rutenetttoforsvinningspkt.html. 21
22 Figur 20: Prismet gitt av plantegningene Figur 21: Prismet gitt av plantegningene ovenfra og fra høyre 22
23 Figur 22: Ferdig prisme Figur 23: Omriss av et 5 x 5 rutenett 23
24 For å lage perspektivtegning er det nok å kjenne til plasseringen av horisontlinjen og det perspektiviske bildet til de to fremre, ytre sidekantene av rutenettet. 5 Vi starter med å tegne en linje m' parallell med grunnlinjen gjennom det fremre punktet i rutenett (denne linjen er også parallell med horisontlinjen). Denne linjen svarer til linjen m i gur 23. Det neste vi gjør er å nne forsvinningspunktene F og G til de to sidekantene i rutenettet som vi kjenner til (dette er forsvinningspunktene til linjene a og l i gur 23). 5 Vi skal etterpå nne ut hvor hovedpunktet og distansepunktene må være plassert. 24
25 Linjene a, b, c, d, e, og f er parallelle, så bildet av de vil ha samme forsvinningspunkt F. Vi kjenner da til to punkter som bildet f' av f går i gjennom og kan tegne inn f' på guren. I tillegg, siden linjene a, b, c, d, e og f er parallelle og ligger med jevn avstand fra hverandre, vil de skjære linjen m med jevn avstand. Siden m er parallell med billedplanet, vil bildet av disse skjæringene ligge med jevn avstand på m'. Deler vi linjestykket PQ inn i fem like store deler, nner vi da de andre skjæringene. 25
26 Nå kjenner vi to punkter på bildet av alle linjene b, c, d og e, så det er bare å tegne de inn. Nå kan vi gjøre akkurat det samme for bildet av linjene g, h, i, j, k og l. 26
27 Skjæringene mellom de forskjellige forsvinningslinjene er hjørnene i rutenettet, så nå er det bare å gjøre guren ferdig. Merk at i konstruksjonen av rutenettet brukte vi ingen plass at rutene var kvadratiske. Det ble bare brukt at sidekantene i rutenettet alle var like lange, altså at rutene var romber. Om perspektivtegningen faktisk viser det perspektiviske bildet av et kvadratisk rutenett avhenger av hvor hovedpunktet og distansepunktene ligger. Hvor må så hovedpunktet og distansepunktene ligge for at rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett? Faktisk blir disse entydig bestemt dersom rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett. Se gur 24 27
28 Figur 24: La P, Q og R være tre forskjellige punkter i samme vannrette plan, med perspektiviske bilder P, Q og R, slik at P Q = P R og P ligger nærmest billedaten. Videre La m være linjen gjennom P parallell med grunnlinjen, F være forsvinningspunktet til P Q og G være forsvinningspunktet til P R. Da vil QP R = 90 hvis og bare hvis hovedpunktet H er gitt sånn at F H HG = (Q 2 Q /Q Q 1 )2. Hvis QP R = 90, så ligger distansepunktet D (R 2 R /R R 1 1 på linjen R V )2 hvor T V = SP og distansepunktet D 2 på linjen Q U hvor US = P T. Dersom P, Q og R er hjørner i et kvadratisk rutenett, som på guren, gir dette plasseringen av hovedpunktet og distansepunktene. for de eksakte betingelsene. 6 Betingelsene kan også brukes til å nne hovedpunkt og distansepunkt i mange situasjoner som er tegnet med topunktsperspektiv. I gur 25 ser vi bilde av et iselagt gulv. Det er tydelig at sideakantene til isene har to forsvinningspunkt. Trekker vi opp diagonalene til isene så ser vi at de enten er vannrette på bildet eller forsvinner mot et forsvinningspunkt som ligger på linjen gjennom forsvinningspunktene til sidekantene til isene (se gur 26). I dette tilfelle blir forsvinningspunktet til de gule linjene hovedpunktet, mens forsvinnignspunktene til sidekantene til isene blir distansepunktene. Dette betyr at bildet er tatt akkurat sånn at sidekantene til isene står 45 på billed- aten. Vi ser også at de gule og svarte linjene gir et kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt. De røde og blå linjene blir diagonalene til dette rutenettet. 6 Jeg tar ikke med beviset for dette her. Betingelsene følger primært av å se på hvor Q og R plasserer seg ved distansepunktkonstruksjonen. 28
29 Figur 25: Fliselagt gulv med noen linjer tegnet inn. Figur 26: Fliselagt gulv med enda ere linjer tegnet inn. 29
Tegning av tredimensjonale figurer parallell sentral perspektiv Parallell-projeksjoner grunnlinje horisontalprojeksjon vertikalprojeksjon
Tegning av tredimensjonale figurer Å tegne en tredimensjonal figur på et papirark byr på fundamentale prinsipielle problemer: Papiret er todimensjonalt, mens gjenstandene som skal avbildes, er tredimensjonal.
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI
INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...
DetaljerRom og form i 3D og 2D. fra det tredimensjonale rom til perspektivtegning
Rom og form i 3D og 2D fra det tredimensjonale rom til perspektivtegning Multilink Tre og tre arbeider sammen. Person 1 bygger en figur av maks seks multilinkklosser og forklarer for Person 2 hvordan figuren
DetaljerGeometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen
DetaljerEksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005
Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og
DetaljerGeometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.
Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale
DetaljerTallinjen FRA A TIL Å
Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen
Detaljer03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
DetaljerLærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:
Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene
DetaljerLøsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007
Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1
DetaljerVOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE
VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER 1 Innledning til volum 1 V - 2 2 Grunnleggende om volum 1 V - 2 3 av V - 5 3a Kube V - 5 3b Rett prisme V - 7 3c Sylinder V - 8 3d
DetaljerTest, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?
Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som
DetaljerOVERFLATE FRA A TIL Å
OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c
DetaljerPunktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.
Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fasit Grunnbok Kapittel 2 Bokmål Kapittel 1 Trekantberegning 2.1 a Likesidet trekant b Rettvinklet trekant c Likebeint trekant d Rettvinklet og likebeint trekant 2.2 a 9,4 cm b 5 cm c 4,5 cm 2.3 2.11 Korteste
DetaljerESERO AKTIVITET HVA ER EN KONSTELLASJON? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8
ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 80 min. Å: vite at stjernene i en konstellasjon er veldig langt fra hverandre vite at det du
DetaljerGeogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:
Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit
DetaljerLærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?
Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store
DetaljerLøsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.
Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at
Detaljer5.4 Konstruksjon med passer og linjal
5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen
DetaljerHeldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1
Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem
DetaljerEt internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.
SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten
DetaljerLøsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.
DetaljerKurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet
Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes
DetaljerStjernepolyeder og glidegurer
Stjernepolyeder og glidegurer Gert Monstad Hana, Høgskolen i Bergen 29. september 2010 I denne artikkelen beskrives hvordan å lage romgurer ved å la papirbiter gli inn i hverandre. Ved å klippe hakk i
DetaljerAvdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge
Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde
DetaljerPå samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.
GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet
Detaljerb, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.
5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like
Detaljer1.9 Oppgaver Løsningsforslag
til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45
DetaljerEneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014
Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet
DetaljerGeometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske
DetaljerUtsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006
Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent
DetaljerHva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals
Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt
DetaljerKort innføring i kart, kartreferanser og kompass
Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til
DetaljerLærerveiledning uke 2-7: Geometri. volum, overflate og massetetthet Kompetansemål Geometri Måling Læringsmål Trekantberegning Kart og målestokk
Lærerveiledning uke 2-7: Geometri. volum, overflate og massetetthet Geogebra - Anders film - Nappeinnlevring Kompetansemål Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar
DetaljerGeoGebra på mellomtrinnet
GeoGebra på mellomtrinnet innføring + UTFORSKING + problemløsing Mattelyst Vågå, 16. sept. 2015 Anne-Gunn Svorkmo og Susanne Stengrundet I LK06 for matematikk fellesfag står det følgende om digitale ferdigheter:
DetaljerHovedområder og kompetansemål fra kunnskapsløftet:
Lærerveiledning: Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram der elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske
DetaljerKUBEKURS: HVORDAN LØSE RUBIKS KUBE? By Norges Kubeforbund / Marie Lilleborge
KUBEKURS: HVORDAN LØSE RUBIKS KUBE? By Norges Kubeforbund / Marie Lilleborge Hællæ! Og god påske og happy TG! Dette heftet er laget til kubekurs på TG påsken 2014. Det beskriver en begynnermetode for å
DetaljerPerspektivtegning. -12 timers kurs
Perspektivtegning -12 timers kurs Utarbeidet av Gunn Åse Røstad Letnes, Vinne skole. 2009 Undervisningsopplegg i kunst og håndtverk, 5.-7. klasse. Tema 1. Perspektivtegning a) Sentralperspektiv b) Forminskning
DetaljerInnlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1.
Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl. 13.00 Antall oppgaver 9 Løsningsforslag Oppgave 1 a) sin A = BC AC 3, 2 cm = = 0, 627 5, 1 cm A = sin 1 0, 627
DetaljerGeometri Vi på vindusrekka
Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle
DetaljerGeometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
DetaljerGEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE
GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer
Detaljer5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerTall og form 1 UTFORDRINGER UTFORDRINGER GENIER UTFORDRINGER UTFORDRINGER
Hvorfor er de vridd? Undersøk og sammenlikn de blå, gule og røde pinnene. Legg merke til at de blå pinnene er rette mens de gule og røde er vridd på midten. Hvorfor? Lag formen på pinnene Legg merke til
DetaljerEksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006
Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står
DetaljerGeometriske morsomheter trinn 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske
DetaljerKapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate
Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate Mål for kapittel 5: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse problem som gjelder lengde, vinkel, areal og volum Læringsmål Etter at
DetaljerKul geometri - overflateareal og volum av kuler
Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerResultanten til krefter
KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet
DetaljerKul geometri - overflateareal og volum av kuler
Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerTing det er lurt å tenke over før en går i gang med å tegne et bilde:
-Skyggelegging Ting det er lurt å tenke over før en går i gang med å tegne et bilde: Skal jeg tegne etter hukommelsen, eller skal jeg ha det jeg tegner foran meg? Hvor skal jeg stå eller sitte i forhold
DetaljerSensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013
Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av
DetaljerØvingshefte. Geometri
Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned
DetaljerLag et bilde av geometriske figurer, du også!
Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing
Detaljer8 Likninger med to ukjente rette linjer
8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.
DetaljerSCREENINGTEST TIL BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE)
Elev: Klasse: dato: Materiell: Papir og blyant. Røde, gule og blå centikuber (minst ti av hver). Målebånd. Analogt og digitalt ur. Firesidet pyramide med bunnen utformet av Polydron brikker. Elevens følelser
DetaljerPerspektivtegning på småskoletrinnet
Bjørnar Alseth, Grete H. Lindegaard Perspektivtegning på småskoletrinnet Bjørnar Alseth er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved HiO, avdeling for lærerutdanning. Han har drevet med grunnog videreutdanning
Detaljerpeiling? en innføringsbok i hekling, hakking og pjoning DU STORE ALPAKKA
Hakke peiling? en innføringsbok i hekling, hakking og pjoning DU STORE ALPAKKA Forord Strikkebølge. Det er et ord jeg som jobber med garn har blitt vant med å høre. Jeg har hørt det i mange år, og er veldig
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
DetaljerStillasguide for TG og Lignende
Stillasguide for TG og Lignende Guide: Stillas Innhold 1: Forord... 2 2: Skaff og beregn materialer... 3 3: Materialer... 4 4: Konstruksjon... 4 4.1: Steg 1... 5 4.2: Steg 2... 5 4.3: Steg 3... 6 4.4:
DetaljerLengdemål, areal og volum
Lengdemål, areal og volum Lengdemål Elever bør tidlig få erfaring med å vurdere ulike avstander og lengdemål. De kommer ofte opp i situasjoner i hverdagen hvor det er en stor ulempe å ikke ha begrep om
DetaljerKapittel 7. Lengder og areal
Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,
DetaljerESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...
ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg
DetaljerAlgebra Vi på vindusrekka
Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...
DetaljerFasit til øvingshefte
Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter
DetaljerPytagoras, Pizza og PC
Øistein Gjøvik Pytagoras, Pizza og PC Skal vi bestille en stor eller to små? Eller kanskje en medium og en liten? Magnus har helt klart tenkt seg å få mest for pengene. Kan du regne ut hvor stor forskjellen
DetaljerGEOGEBRA (3.0) til R1-kurset
GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden
DetaljerBasisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri
Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate
DetaljerQED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL
QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50 Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ S 37: Andre linje i 124: Det skal være «kile og hakk», dvs at symbolet som står
DetaljerBedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana)
Bedre vurderingspraksis Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Prosjekt Bedre vurderingspraksis skal arbeide for å få en tydeligere
DetaljerJulekalender mellomtrinn -
Julekalender 2004 - mellomtrinn - 1. desember Vi har noen underlige terninger. De viser tallene 1, -2, 3, -4, 5, -6. Om vi slår to terninger samtidig, hvilken av summene listet opp under klarer vi IKKE
DetaljerSUBTRAKSJON FRA A TIL Å
SUBTRAKSJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til subtraksjon S - 2 2 Grunnleggende om subtraksjon S - 2 3 Ulike fremgangsmåter S - 2 3.1 Tallene under hverandre
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerStart med å åpne programmet ved å trykke på ikonet GIMP 2 på skjermen eller under startmenyen.
1 Tegne i GIMP Det er flere måter å tegne på i Gimp. Man kan bruke frihåndstegning, og man kan bruke utvalgsverktøy. Man kan også hente opp bilder som kan manipuleres med ulike verktøy. Åpne Gimp Start
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerHovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering
Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007
Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG1341-4. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 15, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MY er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerINF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth
INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men
DetaljerMatematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm
Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned
DetaljerHvordan hente ut listen over et hagelags medlemmer fra Hageselskapets nye portal
Hvordan hente ut listen over et hagelags medlemmer fra Hageselskapets nye portal Av Ole Petter Vik, Asker Versjon 2.3 20.03.2012 Beskrivelsene for hvert enkelt skritt er over hvert skjermbilde. Via Hageselskapets
Detaljerivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25
Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...
DetaljerKapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?
Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9
Detaljer3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3
Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,
DetaljerGeometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets
2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...
DetaljerVeiledning: Tegning av sonekart i billakkeringsverksteder
Veiledning: Tegning av sonekart i billakkeringsverksteder Utarbeidet av Alpha Consult AS, Bjørn G. Larsen for Norges Bilbransjeforbund Finansiert av NHOs Arbeidsmiljøfond Innledning Et sonekart hører med
DetaljerMenylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,
DetaljerÅ utforske form - forkortet og bearbeidet versjon av kapittel 7 i boka Matematikkens kjerne.
Å utforske form - forkortet og bearbeidet versjon av kapittel 7 i boka Matematikkens kjerne. Mens du leser teksten skal du tenke over følgende og notere stikkord: Hva i teksten er kjent for deg, og hva
DetaljerRegler for: - Regning med tall! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!
Regler for: getsmart Kids - Regning med tall! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og
DetaljerNedlasting av SCRIBUS og installasjon av programmet
Nedlasting av SCRIBUS og installasjon av programmet Laget for BODØ FRIMERKEKLUBB av Sten Isaksen Versjon 06.01.2018 1 Før du laster ned Scribus: Du må vite hvilken versjon av Windows du har, sannsynligvis
DetaljerLøsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
DetaljerMatematikk 1P-Y. Bygg- og anleggsteknikk
Matematikk 1P-Y «Å kunne regne i bygg- og anleggsteknikk innebærer å beregne tid, pris, vekt, volum, mengde, størrelser og masser. I tillegg er målestokk, måltaking og beregning av vinkler knyttet til
Detaljer