Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
|
|
- Herman Davidsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 8 1
2 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpe midler bruke begrepene implikasjon og ekvivalens i matematisk argumentasjon
3 1.1 Bokstavregning og parenteser I uttrykket x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: I uttrykket x + 4x = x 4a + a + 1 a + 3a 1 er det seks ledd. Leddene 4a og a er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a og a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a + a + 1 a + 3a 1 = 4a a + a + 3a = 3a + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + b) (4a + b). Løsning: 5a + (3a + b) (4a + b) = 5a + 3a + b 4a b = 5a + 3a 4a + b b = 4a Sinus S1 > Algebra
4 ? Oppgave 1.10 Trekk sammen uttrykkene. a) x 5y + 3x + 7y + 1 b) a + a a 3a 1 c) x + x + y x y d) xy + xy x y xy yx Oppgave 1.11 Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x + y) + (x y) b) a + b ( a + b) c) (x + x + 1) (x x + 1) d) a a 3 + ( a + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. EKSEMPEL Regn ut. a) 3(x + 3x ) b) 3(x 4) c) (x 3)(x + ) d) y (y + 3)(y 1) Løsning: a) 3(x + 3x ) = 3 x + 3 3x 3 = 3x + 9x b) 3(x 4) = ( 3) x ( 3) 4 = x + 1 c) (x 3)(x + ) = x x + x 3 x 3 = x + 4x 3x = x + x d) y (y + 3)(y 1) = y (y y + y ( 1) + 3 y + 3 ( 1)) = y (y y + y 3) = y (y + 5y 3) = y y 5y + 3 = 5y + 3 Når vi multipliserer uttrykk med minus foran, må vi beholde parentesen. 11
5 Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Her skal vi vise hvordan vi kan regne ut (t 5)(t + 1 ) på tre forskjellige måter. Metode 1 Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først: (t 5)(t + 1 ) = (t + 1 t 5t 5 ) = (t 9 t 5 ) = t 9t 5 Metode Vi kan multiplisere med (t 5) først: (t 5)(t ) = (t 10)(t + = t t + t 1 ) 1 10t 10 = t + t 10t 5 = t 9t 5 Metode 3 Vi kan multiplisere med (t + 1 ) først: (t 5)(t + 1 ) = (t 5)(t + 1 ) = (t 5)(t + 1) = t + t 10t 5 = t 9t 5 Vi ser at alle de tre metodene gir samme svar, og vi kan velge fritt hvilken metode vi vil bruke. Her er kanskje den tredje metoden den beste, for den gir minst brøkregning.!? Når vi skal regne ut (t 5)(t + 1 ), må vi ikke multiplisere begge parentesene med. Oppgave 1.1 Regn ut. a) (x + 4) b) (t 3) c) 3(x + 1) (3x + 1) d) 5(x + 3x + ) 5(x + 1) Oppgave 1.13 Trekk sammen. a) (a b) + 3( a + 3b) b) a(ab b ) b(a ab) c) (x + 1)(x 3) d) (3t )(t + 1) Oppgave 1.14 Trekk sammen. a) (x 1)(x + 3) + (x 1)(x 4) b) (x + 3)(4x 1) (x + 1)(x 3) c) (x 1)(x + 3) d) 3 (t + 3)(8t 4) Sinus S1 > Algebra
6 1. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en eller flere variabler. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL Regn ut. a) 5 7 x x b) a 4 ab c) x 4 : x 1 Løsning: a) Vi utvider brøkene slik at alle får fellesnevneren 4x. 5 7 x x = x 7 x + 1 x 4 x = 0 4x 14 4x + x = x = + x 4x 4x 4x = b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a 4 ab = a 4 1 ab = a 4 a b = b 1 1 = c) Når vi deler med en brøk, ganger vi med den omvendte brøken. x 4 : x 1 = x 4 1 = x 1 3 x 4 x = 1 x 1 4 x = 3 1 = 3 1 1? Oppgave 1.0 Trekk sammen. a) a + a 3 + a b) 1 a + 1 3a + 1 a c) + 3 x x 4 3x Oppgave 1.1 Regn ut. a) a 3 b) x a 3y 5y 4x c) 8a 5 : 4a 15 d) a 5 : a Oppgave 1. Trekk sammen. a) a 7 3a b) x ( 5x 3 7x ) c) ( x 3 + 5x ) : x 1 13
7 Hvis telleren inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL Regn ut. a) x x + 1 b) 8 3 x Løsning: a) x x + 1 = (x + 3) 3 = 4x + b) 8 3 x + 1 = 8 (x + 1) x + 1 x + 1 = = 4x + x 1 = 3x + 5 = 1 = (4x + ) (x + 1) (x + 1) = x = Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene. EKSEMPEL Regn ut. x + x Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x + 4 ( x + ) 4 x x = ( x = ) 4 x = x + 8 x + = Sinus S1 > Algebra
8 ? Oppgave 1.3 Regn ut. a) x + 3 x c) x + x x 1 3x Oppgave 1.4 Regn ut. x a) x 1 10 c) 1 a b a 1 b b) a + d) + a a b) d) 1 x x x 1 x 1 3x a 1 a a + 3 3a 1.3 Likninger På vg1 lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningen 5x + 3 = x 11 og sett prøve på svaret. 15
9 Løsning: 5x + 3 = x 11 5x + x = x = 14 7x 7 = 14 7 x = Vi kontrollerer løsningen ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( ) + 3 = = 7 Høyre side: x 11 = ( ) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.? Oppgave 1.30 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 1 = 5 b) 3x 1 = x + c) x + = x d) x + = 3x + 7 Oppgave 1.31 Løs likningene. a) 1x 13 = 9x 7 b) 7x + 11 = x 3 c) 0,0x + 0,7 = 0,03x + 0, Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. Finn løsningen ved å dividere på begge sider av likhetstegnet med det tallet som står foran den ukjente. 1 1 Sinus S1 > Algebra
10 EKSEMPEL Løs likningen x ( 1 + x 3 ) = x + 1 Løsning: x ( 1 + x 3 ) = x + 1 x 1 x 3 = x ( x 1 x 3 ) = ( x + 1 ) x 1 x 3 = x + 1 3x x = x + 1 x = x x + x = x = 7 5 x = 1 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. Fellesnevneren er. Vi dividerer med 7. I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x + 1 x = x Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x x = 4 x = x = gir ikke null i noen nevner. 17
11 b) Fellesnevneren for x, x, 3 og 3x er x. Vi multipliserer derfor med x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 x ( x 1 x + 1 x = x + 1 x ) x = ( 1 x 3 1 3x ) x x 1 3 x + 1 x x x = 1 3 x 1 3x x (x 1) = x 3x = x 3x = x 3x x = + x = 0 x = 0 gir null i tre av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 1.3 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + = 1 x 1 3 x c) 3 = x b) (x 1) = 1 (x 3) 3 d) 1 x 3 = 4 + x Oppgave 1.33 Løs likningene. a) + 3 = 0 b) 5 x c) x 1 + = 1 x x d) 3 = 8 x x 1 x + = 3 x Oppgave 1.34 Løs disse oppgavene ved hjelp av likninger. a) Finn tre hele tall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 13. b) Finn fem partall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir Sinus S1 > Algebra
12 1.4 Kvadratsetningene I kapittel 1.1 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå multiplisere ut tre spesielle uttrykk: (a + b) = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) = a a a b b a + ( b) ( b) = a ab ab + b = a ab + b (a + b)(a b) = a a + a ( b) + b a + b ( b) = a ab + ab b = a b Vi har nå bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: (a + b) = a + ab + b Andre kvadratsetning: (a b) = a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) = a b I den tredje kvadratsetningen regner vi ikke ut noe kvadrat. Mange kaller denne setningen for konjugatsetningen. Men vi bruker ofte denne setningen den andre veien. Vi får da at a b = (a + b)(a b). Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Vi kaller derfor også denne setningen for en kvadratsetning. EKSEMPEL Regn ut. a) (x + 3) b) (y 5) c) (t + 1)(t 1) d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) Løsning: a) (x + 3) = x + x = x + x + 9 b) (y 5) = y y = y 10y + 5 c) (t + 1)(t 1) = (t) 1 = 4t 1 Legg merke til at d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) = (x + x + 9) + (x x + 9) (x 9) = x + x x x + 9 x + 18 = 0x + 0x + 3 = 3 (t) = t t = 4t 19
13 ? Oppgave 1.40 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a) (x 1) b) (x + 4) c) (t + 5) d) (t + 3)(t 3) e) (y 4)(y + 4) f) (t 1 )(t + 1 g) (x + 1 ) h) (x 5)(x + 5) i) (3x ) ) Oppgave 1.41 Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. a) (x + 1) (x + 1)(x 1) b) (x + 3) (x 3) c) (x 3) 4(x + )(x 3) d) (t 4)(t + 4) + 3(t + 4) Vi kan også bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 1 b) c) d) Løsning: a) 19 1 = (0 1) (0 + 1) = 0 1 = = 399 b) = 31 = (30 + 1) = = = 91 c) = 39 = (40 1) = = = 151 d) = (50 + 3) (50 3) = 50 3 = = 491? Oppgave 1.4 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 9 31 b) 19 c) 1 d) 8 3 e) f) Oppgave 1.43 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) ( + 1)( 1) b) ( 5 )( 5 + ) c) ( 7 + 3)( 7 3) 0 0 Sinus S1 > Algebra
14 1.5 Faktorisering Et uttrykk består av flere ledd dersom det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket x + 5x + har tre ledd: x, 5x og. Uttrykket 5xy + 3(x + y) + y består av de tre leddene 5xy, 3(x + y) og y. Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det består av bare ett ledd. Uttrykket 3(x + 5)(x 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, (x + 5) og (x 3). Uttrykket 3(x + 5)y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3(x + 5)y og 7. Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lære flere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4x + 1 = 4 x = 4(x + 3) x 4x = x x 4 x = (x 4) x = (x 4)x 3x 3 9x = 3x x 3x 3 = 3x(x 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd. Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere om en faktorisering er riktig: 3x(x 3) = 3x x 3x 3 = 3x 3 9x Vi må være forsiktige når vi setter negative tall utenfor en parentes: x + 4x 10 = (3x x + 5) 3x x = 3x(x + ) Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 3x(x + ) = 3x x + ( 3x) = 3x x? Oppgave 1.50 Hvor mange ledd består uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? a) x(x ) + 4x b) x 4x + 4 c) (x 4y)(x y) d) (x ) 1
15 ? Oppgave 1.51 Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x + b) x 3x c) y 3 4y d) x 3 4x + x Oppgave 1.5 Trekk mest mulig utenfor en parentes. a) xy + 4x b) 5xy 10xy c) a b + 3a b + ab d) 3x + xy 9x Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a b = (a + b)(a b) EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4 b) x 5 c) 4t 9 d) (x 1) 4 Løsning: a) x 4 = x = (x + )(x ) b) x 5 = x ( 5 ) = ( x + 5 ) ( x 5 ) c) 4t 9 = (t) 3 = (t + 3)(t 3) d) (x 1) 4 = (x 1) = ((x 1) + )((x 1) ) = (x + 1)(x 3) Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning. EKSEMPEL Faktoriser 3x 3 48x. Løsning: 3x 3 48x = 3x(x 1) = 3x(x 4 ) = 3x(x + 4)(x 4) Sinus S1 > Algebra
16 ? Oppgave 1.53 Faktoriser uttrykkene. a) x 9 b) t 1 c) x 1 4 d) x 8 Oppgave 1.54 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 4x 9 b) x + 4 c) 9x 1 d) 1x 3 75x Oppgave 1.55 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) (x ) 9 b) (x + 1) 1 c) (x 3) + 4 d) (x + 1) 1 1. Andregradslikninger med to ledd Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. EKSEMPEL Løs andregradslikningene grafisk og ved regning. a) x 8 = 0 b) x + 3 = 0 3
17 Løsning: a) Grafi sk: Vi tegner grafen til funksjonen f(x) = x y f x Grafen viser at f har nullpunktene x = og x =. Det er løsningen av likningen. x 8 = 0 når x = og når x =. Ved regning: x 8 = 0 x = 8 x = 8 x = 4 x = eller x = Likningen har to løsninger. b) Grafi sk: Vi tegner grafen til funksjonen f(x) = x y f x 4 4 Sinus S1 > Algebra
18 Funksjonen har ingen nullpunkter, for grafen rekker ikke ned til x-aksen. Likningen har ingen løsninger. Ved regning: x + 3 = 0 x = 3 Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 1.0 Løs likningene. a) x = 9 b) x = 10 c) d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 Oppgave 1.1 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 4x 5 = 0 Oppgave 1. a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,5 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. 5
19 Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer.? Oppgave 1.3 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 1.4 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x + 3 Sinus S1 > Algebra
20 1.7 Andregradsformelen Vi har en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± ( ) 3 5 ± x = 5 ± 49 x = x = 5 ± 7 x = x = x = 1 3 eller x = 5 7 eller x = 1 eller x = 7
21 b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x x = 9 x x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b =, og c = 9. x = ( ) ± ( ) x = ± 0 x = + 0 x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 0 Denne likningen har bare én løsning. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = ± 4 1 x = ± 8 x = Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 1.. Vi kan også løse andregradslikninger på lommeregneren. På neste side viser vi hvordan vi løser likningen x + x + 3 = Sinus S1 > Algebra
22 ON CASIO Vi velger EQUA på ikonmenyen og velger Polynomial ved å trykke på F. Deretter velger vi andre grad ved å trykke på F1. Vi legger så inn verdier for tallene a, b og c på denne måten: TEXAS Denne lommeregneren har ikke innebygd noe program som løser andregradslikninger. Men vi kan legge inn et program selv. Det kan vi gjøre på to måter: Den ene måten er å få overført et program fra en annen lommeregner der formelen er lagt inn. Alternativet er å taste inn programmet selv. Du finner framgangsmåten og programmet på nettstedet sinus.cappelen.no. Nå trykker vi på F1 (SOLV) og får fram løsningene x = 1 og x = 3. OFF? Oppgave 1.70 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) x 17x + 1 = 0 Oppgave 1.71 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 1.7 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene grafisk. c) Finn nullpunktene ved regning. 9
23 Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm Arealet i kvadratcentimeter blir gitt ved A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm Sinus S1 > Algebra
24 ? Oppgave 1.73 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved funksjonen h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 1.74 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 x) meter. b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved funksjonen A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. 1.8 Im pli ka sjon og ek vi va lens Mange av de matematiske symbolene som er vanli ge i dag, ble først tatt i bruk i pe ri oden fra år 1500 til For noen sym boler kjenner vi både opphavsmannen og nøyaktig når symbo le ne først ble tatt i bruk: Tegn Navn År Brøkstreken Fibonacci 10 Teg ne ne + og Widman 1489 Kvadratrottegnet Rudolff 15 Likhetstegnet = Record 1557 Desimaltegnet. eller, Napier 11 Ulik hets teg ne ne < og > Herriot 131 Multiplikasjonstegnet Oughtred 131 Divisjonstegnet Rahn 159 Divisjonstegnet : Leibniz 184 Multiplikasjonstegnet Leibniz 193 Symbolet Jones
25 I den nor ske sko len ble det rundt 1970 tatt i bruk man ge lo giske symboler. Vi skal gjø re oss kjent med noen av dis se symbolene. Vi vet at hvis x + 1 = 4, så er x = 3. Med bruk av sym boler fra logikken skri ver vi x + 1 = 4 x = 3 Teg net er en implikasjonspil som vi le ser «fø rer til at», «med fø rer at» el ler «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. 3 3 Sinus S1 > Algebra Slike påstander trenger ikke være ma tematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola Per so nen er en gutt Det er en rik tig slut ning. Men denne slut nin gen er ikke riktig: Per so nen er en gutt Personen heter Ola Hvis x =, fø rer det til at x = 4. Med sym boler skriver vi x = x = 4 Men hvis x = 4, be hø ver ikke det bety at x =. Det rik ti ge kan være at x =. Der for kan vi ikke skri ve at x = 4 x =. Det rik tige er x = 4 x = el ler x = Man ge bru ker et eget lo gisk sym bol for «el ler» og skri ver x = 4 x = x = Teg net le ser vi alt så «el ler». Vi bru ker det mel lom to på stan der for å fortel le at minst en av på stan de ne må være rik tig. Likningene x = 8 og x = 4 har nøy ak tig de sam me løs ningene, nemlig x = og x =. Vi sier at de to lik ningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver x = 8 x = 4 Teg net kal ler vi et ekvivalenstegn. Vi le ser «er ek vivalent med», «har sam me løs ning som» el ler «hvis og bare hvis». Vi kan også skri ve x = 4 x = x = Det er ikke bare i ma tematikk vi bru ker ekvivalenstegnet. Vi kan skri ve Ola er fa ren til Jens Jens er søn nen til Ola
26 To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi lø ser en lik ning, gjør vi lik nin gen om på en slik måte at vi får en ny likning med den sam me løs nin gen. Vi kan for eks em pel flyt te ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi om for mer en lik ning på den ne må ten, får vi en ek vi va lent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flyt ter et ledd over på den and re si den av lik hets teg net og skif ter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ek vi va lent lik ning. EKS EM PEL Løs likningen Løs ning: 3x x + 3 = 4x + 3 3x x + 3 = 4x + 3 3x x = 0 3x(x ) = 0 3x = 0 x = 0 x = 0 x =! I den ne boka kom mer vi nor malt ikke til å skri ve ek vi va lens teg net når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe sym bol mel lom dem. 33
27 ? Opp ga ve 1.80 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) Jeg er fra Ha mar Jeg er fra Nor ge b) Jeg er fra Ber gen Jeg er ber gen ser c) Jeg er fra Oslo Jeg he ter Odd d) Jeg er fra Finn mark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo Opp ga ve 1.81 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) 3x = 1 x = 4 b) x = 4 x = 1 c) x = 9 x = 3 x = 3 d) x 3 = x x = 1 I til legg til teg net («el ler») har vi teg net for «og». Teg net bør vi lese «og sam ti dig». Vi kan for eks em pel bru ke det når vi lø ser to lik nin ger med to ukjen te. Likningssettet x + y = 1 x y = be tyr at de to lik nin ge ne skal være opp fylt sam ti dig. Vi kan der for skri ve x + y = 1 x y =! Vi kan ikke all tid er stat te or det «og» med teg net, for teg net be tyr «og sam ti dig». Vi kan gjer ne si at en lik ning har løs nin ge ne x = og x = 3. Det er ikke det sam me som å si at lik nin gen har løs nin ge ne x = x = 3. Variabelen x kan ikke sam ti dig være både og 3. Vi må si at lik nin gen har løsningen x = x = 3.? Opp ga ve 1.8 Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvin ne b) Jeg er norsk Jeg er kvin ne c) Jeg er trøn der Jeg er svensk d) Jeg er trøn der Jeg er svensk Sinus S1 > Algebra
28 ? Opp ga ve 1.83 Finn løsningene. a) x = 9 x > 0 b) x = 9 x < 0 c) x = 4 3x + 1 = 4 d) x = 4 3x + 1 = Noen be vis me to der Når vi di vi de rer 17 med, får vi 17 : = Tal let 8 kal ler vi kvotienten, og tal let 1 kal ler vi resten. Vi kan skri ve 17 = Vi multipliserer med og får 17 = Hvis vi dividerer et helt tall x med, får vi en kvo ti ent k og en rest r. Resten r er en ten 0 el ler 1. Vi kan skri ve x = k + r Hvis res ten r = 0, er tal let x de le lig med. Det er det sam me som at tal let x er et par tall. Hvis res ten r = 1, er tal let x ikke de le lig med. Det er det sam me som at x er et od de tall. Den ne egen ska pen kan vi bru ke som defi nisjon av par tall og oddetall. Et helt tall x er et par tall hvis det fins et helt tall k slik at x = k. Et helt tall x er et od de tall hvis det fins et helt tall k slik at x = k + 1. Tal let er et par tall for di = 13. Tal let 15 er et od de tall for di 15 = I matematikken må vi bevi se alle reg ler og set nin ger. Da tar vi ut gangs punkt i definisjoner og setninger som er bevist før. Så be vi ser vi nye set nin ger som vi der et ter kan bru ke i nye be vis. 35
29 Vi har man ge forskjellige typer be vis. Et direkte bevis er en se rie med lo giske argumenter som fører oss direkte til den setnin gen vi vil be vi se. Vi skal se på et eks empel. EKS EM PEL La x være et helt tall. Be vis set nin ge ne. a) x er et par tall x er et par tall b) x er et od de tall x er et od de tall Løs ning: a) Hvis x er et par tall, fins det et helt tall k slik at x = k. Da er x = ( k) = k = k = (k ) = s Tal let s = k er et helt tall, og da er x = s et par tall. b) Hvis x er et od de tall, fins det et helt tall k slik at x = k + 1. Da er x = (k + 1) = (k) + k = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 = r + 1 Tal let r = k + k er et helt tall, og da er x = r + 1 et od de tall.? Opp ga ve 1.90 Bevis setningene. a) x par tall og y par tall x y par tall b) x par tall og y od de tall x y par tall c) x od de tall og y od de tall x y od de tall Opp ga ve 1.91 La x være et partall. Be vis at 4 går opp i x. Opp ga ve 1.9 La x være et oddetall. Be vis at 4 går opp i x 1. Velg noen verdier for x og vis at også 8 går opp i x 1. Klarer du å forklare hvorfor det er slik? 3 3 Sinus S1 > Algebra
30 Andre ganger fører vi indirekte bevis el ler et kontrapositivt bevis. Vi an tar da at set nin gen ikke er rik tig, og vi ser at det fø rer til en selv mot si gel se. Vi ser på et eks em pel. EKS EM PEL Bevis setningene. a) x er et par tall x er et par tall b) x er et od de tall x er et od de tall Løs ning: a) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x er et par tall uten at x er et par tall. Et ter som x ikke er et par tall, må x være et od de tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x da et od de tall. Det er en selv mot si gel se, for x skul le være et par tall. Der som x er et par tall, må alt så x være et par tall. b) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x er et od de tall uten at x er et od de tall. Hvis x ikke er et od de tall, må x være et par tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x da et par tall. Det er en selv mot si gel se, for x skul le være et od de tall. Der som x er et od de tall, må alt så x være et od de tall. Vi har nå be vist dis se to set nin ge ne x er et par tall x er et par tall x er et par tall x er et par tall El ler sagt med ord: Hvis x er et par tall, så er x et par tall. Og hvis x er et par tall, så er x et par tall. Da har vi vist at x er et par tall hvis og bare hvis x er et par tall. Det te kan vi skri ve med sym bo ler: x er et par tall x er et par tall Vi har også be vist den ne ekvivalensen:! x er et od de tall x er et od de tall Når vi skal bevise ekvivalensen A B, må vi vise at A B, og at B A. 37
31 ? Opp ga ve 1.93 Bevis setningen. x er od de tall og y er od de tall x y er od de tall Opp ga ve 1.94 Bevis setningene. a) x er et par tall x 3 er et par tall b) x er et od de tall x 3 er et od de tall Når vi skal be vi se en ma te ma tisk på stand som in ne hol der variabler, er det ikke nok å vise at set nin gen er rik tig for noen verdier av variablene. Vi må vise at den er rik tig for alle verdier. Hvis vi der imot skal vise at en set ning er feil, er det nok å fin ne et moteksempel. Hvis noen på står at n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi mot be vi se det ved å fin ne et eks em pel som vi ser at det er galt. Hvis n = 4, er 4 =, og det er ikke noe irrasjonalt tall. På stan den er alt så ikke rik tig.? Opp ga ve 1.95 Bevis at denne setningen er feil: x er et od de tall minst ett av tal le ne x og x + er et prim tall Sinus S1 > Algebra
32 SAMMENDRAG Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + b) = a + ab + b Andre kvadratsetning: (a b) = a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) = a b Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. 39
Tallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
Detaljerfor opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne
8 1 Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerInnledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerKAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
Detaljer1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
DetaljerInnhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13
Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...
DetaljerInnhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S Innledning Potenser og kvadratrøtter... 4
1 Algebra Innhold Innhold... 1 Kompetansemål Algebra, S1... 3 Innledning... 3 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 4 Regneregler for potenser... 5 Definisjoner og regnereglene for potenser Oppsummering...
DetaljerRegning med variabler
Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et
DetaljerRegelbok i matematikk 1MX og 1MY
Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
Detaljer2 Algebra. Innhold. Algebra R1
Algebra Innhold Kompetansemål Algebra, R1... Innledning... 3.1 Faktorisering... 4 Faktorisering av tall og enkle bokstavuttrykk... 4 Faktorisering av uttrykk som inneholder flere ledd... 5 Faktorisering
DetaljerFasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Tall og algebra VgT Fasit Innhold Innhold.... Tallregning... 3 Tall og tallmengder... 3 Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon
DetaljerAlgebra S1 Quiz. Test, S1 Algebra
Test, S1 Algebra Innhold 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 1. Algebraiske uttrykk... 5 1.3 Likninger... 8 1.4 Andregradslikninger... 1 1.5 Ulikheter... 15 1.6 Logaritmer... 1 1.7 Implikasjon og ekvivalens...
DetaljerFaktorisering og multiplisering med konjugatsetningen
Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
DetaljerFormler, likninger og ulikheter
58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerTest, 1 Tall og algebra
Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk
DetaljerOppgaver. Innhold. Algebra R1
Oppgaver Innhold.1 Faktorisering... Polynomdivisjon.... Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer... 6 Rasjonale
Detaljer1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar
Oppgaver 1 Vektorer KATEGORI 1 1.1 Implikasjon og ekvivalens Oppgave 1.110 Er noen av im plikasjonene gale? a) Ola er nord mann Ola er fra Nor den b) Kari har tatt ser tifi kat for bil Kari er 18 år c)
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerInnhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter.
Innhold Kapittel 1 For br u ker k jøps lo vens omr åde 1.1 Innledning...15 1.2 For bru ker kjøps lo vens vir ke om rå de. Hva lo ven gjel der for el ler re gu le rer...17 1.2.0 Litt om begrepet «kjøp»
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerInnlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18
Innlevering i FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag 9. september 04 kl. 4:00 Antall oppgaver: 8 Løsningsforslag Skriv som en brøk (eller et heltall) + 3/4 +
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerTempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra
Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerEn konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.
Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles
Detaljer4 Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1
DetaljerNAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
DetaljerDen første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:
1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,
Detaljer1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
DetaljerNoen regneregler som brukes i Keynes-modeller
Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket
DetaljerPotenser og tallsystemer
8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse
DetaljerPotenser og tallsystemer
1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerLøsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerAlgebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende
DetaljerTall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere
DetaljerHusk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:
Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
Detaljer8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE
Innhold Ka pit tel 1 Etablering, drift og avvikling av virksomhet...................... 13 1.1 Ut meis ling av for ret nings ide en i en for ret nings plan................13 1.2 Valg mel lom en kelt per
DetaljerSTEGARK. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet algebra.
STEGARK NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL lav kompetanse innen temaet algebra. A.1: Trekke sammen positive uttrykk med samme variabel: Trekk sammen: 3d + 5d + 2d = A.2: Multiplisere et uttrykk
DetaljerInnhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T Tallregning... 4
1 Tall og algebra Innhold Kompetansemål Tall og algebra, 1T... 3 1.1 Tallregning... 4 Tallene våre... 4 Tall og tallmengder... 5 Regningsarter... 11 Å regne med negative tall... 1 Addisjon og subtraksjon
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerOppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.
Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,
Detaljer2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent
MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel
Detaljer1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer
Innhold Del 1 Forutsetninger og betingelser............................. 15 1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Rune Assmann og Tore Hil le stad............................
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerDel I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15
InnholD bak grunn... 11 h E n s i k t... 12 inn hold... 12 mo ti va sjon og takk... 13 Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 o p p h E v E l s E n av t y n g d E k r a
DetaljerMAT1030 Plenumsregning 5
MAT1030 Plenumsregning 5 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:29) Oppgave 4.18 Uttrykk følgende påstander i predikatlogikk, og finn deres sannhetsverdier. (a) Det
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
DetaljerKompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk
Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende
DetaljerInn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?...
Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16 Del 1 HR som kil de til lønn som het... 21 Ka pit tel 2 For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva
DetaljerKapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel 4. Algebra Mål for kapittel 4: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerLikninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?
side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger
Detaljer1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser
Innhold 1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Gre te Rus ten, Leif E. Hem og Nina M. Iver sen 13 Po ten sia let i uli ke mål
DetaljerMatematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget
DetaljerKapittel 2. Algebra. Mål for Kapittel 2, Algebra. Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel. Algebra Mål for Kapittel, Algebra. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerOppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6
Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene
DetaljerP(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.
5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Kilde: www.clipart.com 1 Likninger og annen algebra. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
DetaljerDAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.
Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med
DetaljerTall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen
DetaljerLøsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.
DetaljerRonny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk
Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er
DetaljerVektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne
8 Vektorer Mål for opp læ rin gen er at ele en skal kun ne gjøre rede for begrepene implikasjon og ekialens, kjenne til anlige matematiske beistyper og argumentasjon og gjennomføre matematiske beis gjøre
DetaljerEksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerEksamen høsten Fag: MAT1006, Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 14. november Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen høsten 014 Fag: MAT1006,
DetaljerSemester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som
DetaljerInnledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18
Innhold Innledning...16 Kapitlene... 17 Ano ny mi tet... 18 Del I Innledning til mentoring KapIttel 1 Introduksjon til mentoring...20 Bak grunn...20 Be gre pe ne...22 Sponsorship og ut vik len de mentoring...23
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerMatematisk julekalender for trinn, 2009
Matematisk julekalender for 8. - 10. trinn, 2009 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver med tilsammen 14 svar. Oppgavene kan løses uavhengig av hverandre, og alle svar tilsvarer
Detaljer