Formler og likninger

Transkript

1 36

2 Formler og likninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk, rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

3 .1 Grafer Aviser og tidsskrifter bruker ofte grafer i stedet for formler for å vise sammen henger. Grafen nedenfor viser hvor stor del av ungdomskullet som konfirmerte seg i kirka i årene ANTALL KONFIRMERTE I KIRKEN ,0% 89,0% 85,0% ,4% Borgerlig konfirmasjon ,4% 70,% 68,% ,4% 67,5% 16,1% 16,1% 0 67,7% 17,1% 16,7% 04 Ut fra grafen virker det som andelen kirkekonfirmerte har gått ganske jevnt nedover i hele perioden. Grafen viser samtidig at andelen ungdommer som velger borgerlig konfirmasjon, har økt i årene etter 000. Grafer kan være et godt hjelpemiddel til å se en utvikling over tid. Men det er lett å la seg lure av grafen ovenfor. Vi legger merke til at det i perioden fra 1960 til 1980 er 5 år mellom hver strek på førsteaksen. Etter 1980 er det 1 år mellom hver strek. I 1960 var det 93,0 % av ungdommene som ble konfirmert i kirka. I 1980 var det 89,0 %. Nedgangen var dermed 93,0 89,0 0 = 4,0 0 = 0, prosentpoeng per år. I 000 var det 70, % som konfirmerte seg i kirka. Nedgangen fra 1980 til 000 var 89,0 70, 0 = 18,8 0 = 0,94 prosentpoeng per år. Vi ser at nedgangen var mye kraftigere i perioden enn fra 1960 til Det kan vi ikke se direkte av grafen.! Hvis en graf skal vise en utvikling på riktig måte, er det viktig at det er jevn avstand mellom tallene på aksene. På grafen ovenfor er noen av prosenttallene skrevet på selve grafen. Det er ikke vanlig i matematikk. Som oftest må vi lese av grafen selv Sinus 1BA > Formler og likninger

4 EKSEMPEL Hvis ei trapp skal være god å gå i, må det være en sammenheng mellom bredden av trinnet (inntrinnet) og høydeforskjellen mellom trinnene (opptrinnet). Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom opptrinnet o i millimeter og inntrinnet i i millimeter. a) Hvor stort inntrinn må vi ha hvis opptrinnet skal være 00 mm? b) Hvor stort opptrinn må vi ha hvis inntrinnet skal være 300 mm? mm 400 i Inntrinn Opptrinn o mm Løsning: a) Vi tar utgangspunkt i tallet 00 mm på førsteaksen (aksen med opptrinnet). Vi kommer fram til tallet 0 på andreaksen. Inntrinnet må være 0 mm. b) Når inntrinnet er 300 mm, går vi ut fra tallet 300 på andreaksen og leser av som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet 160. Opptrinnet må være 160 mm. 39

5 ? Oppgave.10 Bruk grafen i eksempelet på forrige side i denne oppgaven. a) Finn inntrinnet når opptrinnet er 150 mm. b) Hvor stort må opptrinnet være hvis inntrinnet skal være 50 mm? Oppgave.11 Vi skal bore i ei hard treplate og må ha passe stor skjærefart. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom diameteren d på boret og omdreiningstallet n målt i omdreininger per minutt (r/min). r/min n d mm a) Finn omdreiningstallet hvis vi bruker et bor på 10 mm. b) Hvor tykt bor må vi bruke hvis omdreiningstallet er 5000 r/min? Oppgave.1 Figuren nedenfor viser hvor mange tonn torsk som ble fisket per år i Canada fra 1850 og fram til Sinus 1BA > Formler og likninger

6 a) Hvor mange tonn torsk ble det fisket i 1900? b) I hvilke år ble det fisket tonn torsk per år? c) I hvilket år ble det fisket mest torsk? Hvor mange tonn ble det fisket det året? Hvordan vil du beskrive resultatet av det fisket? d) Helt fram til slutten av 1980-årene var det ikke lov å fiske småtorsk. Hva skjedde da det forbudet ble opphevet? Oppgave.13 I 005 lånte en bilmekaniker bilen til en kunde og prøvekjørte den på offentlige veier. Grafen nedenfor viser farten til bilen på forskjellige tidspunkter. Bruk grafen og svar på spørsmålene. a) Hvor lenge varte kjøreturen? b) Hva var den høyeste farten? c) Hvor mange ganger stoppet mekanikeren helt? d) Omtrent hvor stor var gjennomsnittsfarten? e) Omtrent hvor lang var kjøreturen? f) Hvilke konsekvenser tror du denne kjøreturen hadde for mekanikeren? 41

7 . Likninger Å løse likningen x + = 7 er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det er det samme som å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her: + = 7 Tallet 5 er det eneste som passer. 5 + = 7 Likningen x + = 7 har dermed løsningen x = 5. Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger. EKSEMPEL Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x = 1 b) x + 1 = 5 Løsning: a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. 3x = = 1 x = 4 b) x + 1 = = 5 x =? Oppgave.0 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x + 5 = 1 b) x 3 = 5 c) x = 8 d) 4x = 1 Oppgave.1 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x 1 = 14 d) 6x 4 = Sinus 1BA > Formler og likninger

8 Likningen x + = 7 kan vi også løse på denne måten: Ettersom tallene på begge sidene av likhetstegnet skal være like, må vi kunne trekke fra på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall. x + = 7 x = 7 Vi ser at å trekke fra på hver side i likningen x + = 7 svarer til å flytte over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte alle ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddene. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene: Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.? x + = 7 3x = x + 5 x = 7 3x x = 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. 1 x = x = 4 1 x = x = 4 Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 5x + 3 = x 11 b) 1 x + 3 = 3 4 x 1 43

9 Løsning: a) Vi bruker regnereglene for likninger. 5x + 3 = x 11 5x + x = x = 14 7x 7 = 14 7 x = Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side. Trekk sammen leddene på hver side. Divider med tallet foran x. Vi kontrollerer løsningen x = ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( ) + 3 = = 7 Høyre side: x 11 = ( ) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. b) Fellesnevneren for brøkene 1 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 4 på begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene. 1 x + 3 = 3 4 x x = x 4 1 Multipliser alle leddene med fellesnevneren, som her er 4. 1 x + 1 = 3x 4 x 3x = 4 1 x = 16 x = 16 1 Flytt over ledd og trekk sammen leddene på hver side. Når x = 16, er x = 16. Vi kontrollerer løsningen x = 16 ved å sette prøve. 1 Venstre side: x + 3 = = = 11 3 Høyre side: 4 x 1 = = 1 1 = 11 4 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig.? Oppgave. Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) x + 3 = 11 c) x = x + 3 d) 4x 1 = x + 7 Oppgave.3 Løs likningene. a) 3x 1 = x + 4 b) 5x + 1 = x 3 c) x + 1 = x + 7 d),5x + = 5x Sinus 1BA > Formler og likninger

10 .3 Likninger med brøker Når vi skal løse en likning som inneholder brøker, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. EKSEMPEL Løs likningen x x 3 = x Løsning: x x 3 = x x 6 3 x 3 6 = x x x = 6x + 7 x = 6x + 7 x + 6x = 7 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. 6 6 Fellesnevneren er 6. 7x = 7 7x 7 = 7 7 Vi dividerer med 7. x = 1 1? Oppgave.30 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + = 1 x 1 b) x = x 1 x c) = x d) 1 x = 4 + x 5 5 I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort ovenfor, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. 45

11 EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x = 3 1 x Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x 3x x = 1 5 x = 4 x = x = gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning. b) Fellesnevneren er 3x. Vi multipliserer derfor med 3x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 = x 3 1 x 3x x 1 3x = x 3 3x 1 x 3x (x 1) 3 = x 3 3x 3 = x 3 3x x = x = 0 x = 0 gir null i to av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.? Oppgave.31 Løs likningene. a) c) x + 3 = 0 x 1 x + = 1 x d) b) 5 x 3 = 8 x 1 x + = 3 x Sinus 1BA > Formler og likninger

12 .4 Formler Hvis ei trapp skal være god å gå i, må det være en sammenheng mellom inntrinnet i og opptrinnet o. o i Vi kan bruke en formel som gir størrelsen på inntrinnet når vi kjenner opptrinnet. Det fins flere slike formler. En formel som er mye brukt, er trappeformelen i = 60 o Når opptrinnet o er i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter. EKSEMPEL Bruk trappeformelen til å finne inntrinnet når opptrinnet er a) 150 mm b) 17 cm Løsning: a) Her er o = 150 mm. Inntrinnet i millimeter blir da i = 60 o = = = 30 Inntrinnet bør være 30 mm. b) Vi må først gjøre opptrinnet om til millimeter. o = 17 cm = 170 mm Inntrinnet i millimeter blir da i = 60 o = = = 80 Inntrinnet bør være 8 cm.? Oppgave.40 a) Hvor stort bør inntrinnet i ei trapp være når opptrinnet er 160 mm? b) Hvor stort bør inntrinnet i ei trapp være når opptrinnet er 1,3 dm? 47

13 ? Oppgave.41 Du skal lage ei rettløpstrapp som skal være 300 mm lang (alle inntrinnene skal være 300 mm til sammen). Etasjehøyden er 600 mm (alle opptrinnene skal være 600 mm til sammen). a) Lag en skisse av ei slik trapp. Legg merke til at det blir ett opptrinn mer enn det er inntrinn. b) Finn ut hvor mange opptrinn du må ha for at opptrinnet o og inntrinnet i skal passe best mulig med trappeformelen. Prøv deg fram. I alle hus er det varmetap gjennom yttervegger og vinduer. La Q være den varmemengden som i løpet av ett sekund passerer gjennom 1 m av en vegg eller et vindu. Målenheten for Q er watt per kvadratmeter (W/m ). Varmemengden Q er avhengig av forskjellen t mellom innetemperaturen og utetemperaturen. Vi har denne formelen: Q = u t Tallet u kaller vi u-verdien til veggen eller vinduet. Denne u-verdien forteller hvor godt isolert veggen eller vinduet er. Tallet Q er varmetapet per kvadratmeter vegg. Hvis veggen har arealet A, er samlet varmetap P gjennom veggen gitt ved formelen P = Q A Varmetapet P har målenheten watt (W). EKSEMPEL I et rom er det en yttervegg på 10 m og et vindu på 1,0 m. Veggen har en u-verdi på 0,5 W/(m grad), og vinduet har en u-verdi på,0 W/(m grad). Innetemperaturen er 1 C, og utetemperaturen er 7 C. a) Finn varmetapet gjennom veggen. b) Finn varmetapet gjennom vinduet. c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde romtemperaturen på 1 C? Vi regner ikke med noen varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv Sinus 1BA > Formler og likninger

14 Løsning: a) Temperaturforskjellen i grader er t = 1 ( 7) = = 8 Varmetapet Q gjennom veggen målt i watt per kvadratmeter er Q = u t = 0,5 8 = 7 Varmetapet gjennom veggen er 7 W/m. Samlet varmetap P gjennom veggen blir P = Q A = 7 W/m 10 m = 70 W b) Varmetapet Q gjennom vinduet målt i watt per kvadratmeter er Q = u t =,0 8 = 56 Det er 56 W/m. Samlet varmetap P gjennom vinduet blir P = Q A = 56 W/m 1,0 m = 56 W c) Det samlede varmetapet fra rommet er 70 W + 56 W = 16 W. Hvis ikke temperaturen skal synke, må vi tilføre rommet 16 W. Vi trenger 16 W for å holde temperaturen på 1 C.? Oppgave.4 I ei stue er det 30 m yttervegg og 8,0 m vindu. Veggene har en u-verdi på 0,0 W/(m grad), og vinduene har en u-verdi på,5 W/(m grad). Innetemperaturen er 0 C, og utetemperaturen er 15 C. a) Finn varmetapet gjennom ytterveggene. b) Finn varmetapet gjennom vinduene. c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde temperaturen i stua på 0 C? Vi regner ikke med noen varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv. Når vi borer, er skjærefarten den farten sponen har idet den forlater arbeidsstykket. Vi finner skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) ved hjelp av formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter til boret og n er tallet på omdreininger per minutt (r/min). 49

15 EKSEMPEL Når vi borer i kopper med et hurtigstålbor, skal skjærefarten være mellom 30 m/min og 70 m/min. Vi borer nå med et bor der diameteren d = 30 mm og tallet på omdreininger n = 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart? Løsning: Vi regner ut skjærefarten i meter per minutt: v = d n = = Skjærefarten er 71 m/min. Skjærefarten er litt for høy.? Oppgave.43 Når vi borer med et hardmetallbor i herdet stål, må skjærefarten være 8 1 m/min. Vi bruker et hardmetallbor der diameteren er 8 mm. Omdreiningstallet er 400 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Er dette en passende skjærefart? Oppgave.44 Når vi borer med et hurtigstålbor i sprø messing, må skjærefarten være m/min. Vi bruker et hurtigstålbor der diameteren er 5 mm. Omdreinings tallet er 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart?.5 Praktisk bruk av likninger Trappeformelen gir denne sammenhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o: i = 60 o Når vi setter inn opptrinnet o i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter Sinus 1BA > Formler og likninger

16 EKSEMPEL Snekker Andersen skal lage ei trapp der inntrinnet skal være 300 mm. Hvor stort bør opptrinnet være? Løsning: Formelen for inntrinnet i millimeter er i = 60 o Vi setter i = 300 og regner ut o. 300 = 60 o o = 60 o = o = 30 o = 30 o = 160 Opptrinnet bør være 160 mm.? Oppgave.50 Tor M. Hammeren skal lage ei trapp der inntrinnet skal være 34 cm. Finn opptrinnet i centimeter. Oppgave.51 Snekker Tom E. Stokken lager ei trapp der inntrinnet er 0,1 m. a) Hvor stort opptrinn bør det være i denne trappa? b) Hva mener du om denne trappa? EKSEMPEL I et lagerrom uten vinduer er det i alt 56 m yttervegg. Det er ikke noe varmetap gjennom taket og golvet. En vinterdag er utetemperaturen 1 C. Vaktmesteren finner ut at han må tilføre rommet 370 W varme for å holde innetemperaturen på 18 C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien til veggen. 51

17 Løsning: a) Varmetapet gjennom 56 m vegg er 370 W. Varmetapet per kvadratmeter blir da Q = 370 W = 6,6 W/m 56 m b) Temperaturforskjellen t mellom inne- og utetemperaturen målt i grader er t = 18 ( 1) = = 30 Formelen for varmetapet per kvadratmeter er Q = u t Vi setter Q = 6,6 og t = 30. Det gir denne likningen: 6,6 = u 30 u 30 = 6,6 u 30 = 6, u = 0, Veggen har u-verdien 0, W/(m grad). Vi lar uttrykkene bytte side.? Oppgave.5 I et lagerrom uten vinduer er det i alt 10 m yttervegg. Det er ikke noe varme tap gjennom taket og golvet. En vinterdag er utetemperaturen 3 C. Vi må tilføre rommet 400 W varme for å holde innetemperaturen på C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien for veggen. Oppgave.53 I ei stue er det mange store vindusflater. Til sammen er det 1,0 m vinduer. Vi regner med at 80 % av varmetapet fra dette rommet er gjennom vinduene. Vinduene har u-verdien,5 W/(m grad). En dag må vi bruke 1500 W med varme for å holde innetemperaturen på C. a) Finn varmetapet Q gjennom vinduene. b) Finn utetemperaturen denne dagen. 5 5 Sinus 1BA > Formler og likninger

18 På side 49 så vi at skjærefarten målt i meter per minutt er gitt ved formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter og n er omdreiningene per minutt (r/min). EKSEMPEL Vi skal frese en stålplate med en fres som har diameteren 5 mm. Skjærefarten skal være 0 m/min. Finn det omdreiningstallet som vi må stille inn fresen på. Løsning: Først snur vi formelen for skjærefarten for å få det ukjente omdreiningstallet n på venstre side av likhetstegnet. Deretter setter vi inn v = 0, d = 5 og = 3,14 og finner omdreiningstallet n. d n = v ,14 5 n = ,5 n 1000 = ,5 n = ,5 n = ,5 78,5 n = 55 Vi stiller inn fresen på 55 r/min.? Oppgave.54 Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 1 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Hvilket omdreiningstall må vi stille inn boret på? Oppgave.55 Vi skal bore i en hard treplate med et bor som har omdreiningstallet 5000 r/min. Skjærefarten bør være mellom 100 m/min og 150 m/min. a) Finn diameteren på det største boret vi kan bruke. b) Finn diameteren på det minste boret vi kan bruke. 53

19 .6 Omforming av formler Trappeformelen gir denne sammenhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o: i = 60 o Snekker Andersen vil gjerne ha en formel som kan gi opptrinnet o når han kjenner inntrinnet i. Han går fram på denne måten: i = 60 o i + o = 60 o = 60 i o = 60 i o o = 60 i i Andersen kan bruke formelen ovenfor når han skal regne ut opptrinnet. EKSEMPEL Finn opptrinnet i ei trapp der inntrinnet er 50 mm. Løsning: Opptrinnet i millimeter blir o = 60 i = Opptrinnet må være 185 mm. = 370 = 185? Oppgave.60 Bruk formelen for opptrinnet o. a) Finn opptrinnet når inntrinnet er 30 mm. b) Finn opptrinnet når inntrinnet er 80 mm. Oppgave.61 Snekker Andersen har en mobiltelefon. Hvis han en måned ringer i x minutter, blir utgiftene i kroner U = 0,89 x a) Finn telefonutgiftene når han en måned ringer 1 timer. b) Hvor mange minutter har Andersen ringt hvis utgiftene er 500 kr? c) Finn en formel for ringetida x. d) Bruk formelen i oppgave c til å kontrollere svaret i oppgave b Sinus 1BA > Formler og likninger

20 EKSEMPEL a) Finn en formel som vi kan bruke til å finne u-verdien for en vegg når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og forskjellen t mellom inne- og utetemperaturen. b) Varmetapet gjennom en vegg på 140 m er 1680 W når utetemperaturen er C og innetemperaturen er C. Bruk blant annet formelen i oppgave a til å finne u-verdien for veggen. Løsning: a) Formelen for varmetapet per kvadratmeter er Q = u t der t er forskjellen på inne- og utetemperaturen. Vi lar uttrykkene skifte side: u t = Q u t t = Q t u = Q = t b) Først finner vi varmetapet Q per kvadratmeter. Q = 1680 W = 1 W/m 140 m Deretter finner vi forskjellen på inne- og utetemperaturen målt i grader. t = = 0 Vi setter inn Q = 1 og t = 0 i formelen i oppgave a. u = Q t = 1 0 = 0,6 Veggen har u-verdien 0,6 W/(m grad).? Oppgave.6 Varmetapet gjennom et vindu på 6,0 m er 480 W når innetemperaturen er 3 C og utetemperaturen er C. Bruk formelen ovenfor til å finne u-verdien for dette vinduet. 55

21 ? Oppgave.63 a) Finn en formel for forskjellen t på innetemperaturen og utetemperaturen når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og u-verdien for veggen. b) I et lagerbygg uten vindu er det 40 m med tak og vegger. Både taket og veggene har u-verdien 0,50 W/(m grad). I bygget er det en ovn som gir 3000 W. Finn innetemperaturen t i når utetemperaturen er 1 C. EKSEMPEL a) Bruk formelen for skjærefarten v til å finne en formel for omdreiningstallet n når vi kjenner diameteren d og skjærefarten v. b) Finn omdreiningstallet når vi bruker et bor på 8 mm og skjærefarten skal være 40 m/min. Løsning: a) Først snur vi formelen, og deretter ganger vi med 1000 på begge sidene av likhetstegnet. d n = v d n 1000 = v d n = 1000v d n d = 1000v d n = 1000v d b)når diameteren d = 8 mm og skjærefarten v = 40 m/min, må tallet på omdreininger per minutt være n = 1000v = = 159 d 8? Oppgave.64 Bruk formelen ovenfor til å finne det omdreiningstallet vi må stille inn boret på når diameteren i hullet skal være 8 mm og skjærefarten bør være 50 m/min. Oppgave.65 a) Bruk formelen for skjærefarten til å finne en formel for diameteren d. b) Når vi borer i manganstål med et hardmetallbor, må skjærefarten være mellom 10 m/min og 0 m/min. Vi borer med 1000 r/min. Finn diameteren på det minste og på det største boret vi da kan bruke Sinus 1BA > Formler og likninger

22 .7 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhets tegnet. EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8 b) x (4 x) 5x + Løsning: a) 3x + 4 < x + 8 3x x < 8 4 x < 4 x < 4 x < b) x (4 x) 5x + x 8 + x 5x + x + x 5x + 8 x 10 x 10 x 5 Vi dividerer med på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 57

23 ? Oppgave.70 Løs ulikhetene. a) 3x + > 8 b) x + 5 > x 1 c) x 3 < 3x 1 d) (x 1) 3(x 6) Oppgave.71 Løs ulikhetene. a) x 5 > 4x + 1 b) (3 x) < + 3(x 1) c) + 3x 6(1 x ) > 0 d) 3 5 x < 1 3 x e) 5 x 1 6 > x Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv. EKSEMPEL I Øverbygda er det 10 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Løsning: Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s = 10 4x Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40 Ettersom s = 10 4x, gir det ulikheten 10 4x < 40 4x < x < 80 4x 4 > 80 4 x > 0 Når det har gått mer enn 0 dager, er snømengden mindre enn 40 cm Sinus 1BA > Formler og likninger

24 ? Oppgave.7 La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 0 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 55 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 30 kr? Oppgave.73 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og synker med,5 C per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? Oppgave.74 Anne og Einar er ute og reiser. Anne har med seg 100 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave.75 Løs ulikhetene. a) 8 (a 1 c) ) < 3 a 3( a ) b) 6 4(t 8) + t > 34 6t 3 s + 1 4(s 1) < 1.8 Likningssett Mari har en mobiltelefon som hun bruker mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 x Hvis hun en måned ikke ringer, er x = 0. Da er utgiftene i kroner y = 0, = 150 Hvis hun en måned ringer i 400 minutter, er utgiftene i kroner denne måneden y = 0, = 506 Vi samler utregningene i en tabell og tegner deretter en graf som viser utgiftene. Se den røde linja på figuren på neste side. 59

25 x x y y kr 600 y y = 1,39x + 50 y = 0,89x Sinus 1BA > Formler og likninger minutter Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y i kroner y = 1,39 x + 50 Hvor mye må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? Vi lager en tabell (se øverst på siden) og tegner ei blå linje sammen med den røde linja ovenfor. Avlesingen på figuren ovenfor viser at begge abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn det, lønner det seg å ha abonnementet med høyest fast avgift. Vi kan også finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonnementene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis 1,39x + 50 = 0,89x ,39x 0,89x = ,50x = 100 x = 100 0,50 = 00 De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene. y = 1, = 38 Begge abonnementene koster da 38 kr. x

26 Vi har nå løst likningssettet y = 0,89x og y = 1,39x + 50 både grafisk og ved regning.!? Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Oppgave.80 Per er 140 cm høy og vokser 5 cm per år. Om x år er høyden i centimeter gitt ved formelen y = 5x a) Hvor høy er Per om 5 år? b) Høyden i centimeter til Anne om x år er gitt ved formelen y = x Hvor høy er Anne nå, og hvor mye vokser hun per år? c) Lag et koordinatsystem og tegn linjer som viser høyden til Per og høyden til Anne de neste 10 årene. d) Bruk linjene til å finne ut når Per og Anne er like høye. e) Finn ved regning når Per og Anne er like høye. Oppgave.81 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast lønn på kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. ) En fast lønn på kr pluss 50 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger x datamaskiner per måned. b)finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave.8 Løs likningssettene grafisk og ved regning. a) y = x + 1 b) y = x + 4 c) y = 1 x 4 y = x + 4 y = x y = 3 x Vi skal nå løse likningssettet 5x y = 4 x + y = 5 ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den andre likningen. x + y = 5 x = 5 y 61

27 Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den første likningen: 5x y = 4 5 (5 y) y = 4 5 5y y = 4 7y = 4 5 7y = 1 Divider med 7. y = 3 Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x = 5 y. x = 5 y = 5 3 = Løsningen blir x = og y = 3. EKSEMPEL Løs likningssettet x y = 8 3x + 4y = 1 Løsning: Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen. x y = 8 y = x + 8 Multipliser alle leddene med 1. y = x 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x + 4y = 1 3x + 4(x 8) = 1 3x + 8x 3 = 1 11x = 33 x = 3 Vi finner y ved å sette x = 3 inn i uttrykket for y. y = x 8 = 3 8 = 6 8 = Løsningen er x = 3 og y =.? Oppgave.83 Løs likningssettene ved regning. a) x + y = 5 b) 3x + 4y = 1 c) x y = 4 d) x + y = x + y = 6x + y = 7 3x y = 3 1 x + y = Sinus 1BA > Formler og likninger

28 SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Framgangsmåte når vi løser likninger 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent som vi løser. 63

29 Formler og likninger KATEGORI 1.1 Grafer Oppgave.110 Petter tar ofte drosje. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen i kroner på en drosjetur og lengden av turen målt i kilometer. kr y km a) En dag kjørte han 16 km med drosje. Hva måtte han betale for den turen? b) Omtrent hvor mange kilometer kan han kjøre for 300 kr? x Oppgave.111 Gunnar maler hus om sommeren. På grafen nedenfor kan du lese av hvor mange liter maling han trenger når han kjenner arealet av veggene til et hus. liter Volum Areal m a) Hvor mange liter maling trenger han til 90 m? b) Hvor stort areal kan han male med 10 liter maling? c) Hvor mange kvadratmeter kan han male med én liter maling? 195

30 Oppgave.11 Frida har mobiltelefon. På en graf kan hun lese av utgiftene per måned når hun bare bruker den til samtaler. kr y min a) Hvor store var telefonutgiftene når hun en måned snakket til sammen i to timer? b) En annen måned hadde hun ikke råd til å bruke mer enn 150 kr på telefonen. Hvor mange minutter kunne hun da snakke til sammen? Oppgave.113 Grafen viser fuktighetsgraden i prosent i et parti trematerialer som er lagt til tørk. % Fuktighet timer a) Hvor stor er fuktighetsgraden etter 40 timer? b) Når er fuktighetsgraden 15 %? c) Hva var fuktighetsgraden da tørkingen begynte? d) Etter 60 timer er det 10 kg fuktighet igjen i materialene. Hvor mange kilogram fuktighet var det i materialene da tørkeprosessen begynte? x Tørketid Oppgave.114 Lise skal kjøre langt med bilen og fyller bensintanken helt opp før start. Grafen viser hvordan bensinmengden minker med avstanden. liter y mil a) Hvor mye rommer bensintanken? b) Hvor mye er det igjen på tanken når Lise har kjørt 50 mil? c) Hvor langt har hun kjørt når det er 40 liter bensin igjen? d) Hvor langt kan Lise kjøre før tanken er tom?. Likninger Oppgave.10 Løs likningene. a) x 3 = 1 b) x + = 4 x c) 3 + x = 1 d) 5 x = x 4 Oppgave.11 Løs likningene. a) 4 + 4x = x + 8 b) 5x 6 = 4x 5 c) 1 x = x + 1 d) 3 3x = x 5 Oppgave.1 Løs likningene. a) x + x = 3 x b) 4 5x = x 14 c) 3x 1 = 4x + 4 d) x + 3x = 0 x 196 Sinus 1BA > Formler og likninger

31 Oppgave.13 Løs likningene. a) x = 4x 10 b) 3x 8 = 4 + x 6 c) x + x = x Likninger med brøker Oppgave.130 Løs likningene. a) 1 x = 1 c) b) 3 x + 3 = x 5 x = 1 d) 1 x = 6 3 x Oppgave.131 Løs likningene. a) 1 + = 3 x b) 1 x = 5 x c) 1 3 x = d) x = 3.4 Formler Oppgave.140 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h. g Regn ut arealet når a) g = 6 m og h = 8 m b) g = 10 mm og h = 8 mm c) g = 0, cm og h = 3,1 cm h Oppgave.141 La s være strekningen i kilometer som du har kjørt med bil på t timer. Hvis du holder jevn fart på 60 km/h, er s = 60 t a) Hvor langt kjører du på timer? b) Hvor langt kjører du på 3,5 timer? Oppgave.14 Bruk trappeformelen på side 47 til å finne inntrinnet når opptrinnet er a) 180 mm b) 148 mm c) 18,5 cm Oppgave.143 En snekker bruker denne sammenhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o målt i mm for en trapp: i = 630 o o Finn inntrinnet når opptrinnet er a) 145 mm b) 17, cm Oppgave.144 Et rom har en yttervegg med en u-verdi på 0,35 W/(m grad). a) Finn varmetapet per kvadratmeter når innetemperaturen er 0 C og utetempera turen er 4 C. b) Hvor stort er det totale varmetapet gjennom veggen når arealet av veggen er 14 m? c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde romtemperaturen på 0 C? Vi regner ikke med noen varmegjennomgang gjennom innervegger. i 197

32 Oppgave.145 Finn varmetapet Q per kvadratmeter gjen nom en vegg når u = 0,35 W/(m grad), inne temperaturen er 1 C og utetemperaturen er 5 C. Oppgave.146 Guri har et mobilabonnement der hun betaler fast 59 kroner i måneden og en minutt pris på 1,49 kr for samtaler. Dersom hun en måned bare bruker mobiltelefonen til samtaler, er utgiftene U i kroner for x minutter med samtale U = 1,49x + 59 a) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 00 minutter? b) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 350 minutter? Oppgave.147 For et bor med en diameter på 15 mm er formelen for skjærefarten v (m/min) v = 0,047 n der n er omdreiningstallet (r/min). a) Hva er skjærefarten ved 1000 omdreininger per minutt? b) Hva er skjærefarten når omdreiningstallet er dobbelt så høyt som i a? c) Hva er omdreiningstallet når skjærefarten er 30 m/min? Prøv deg fram..5 Praktisk bruk av likninger Oppgave.150 Formelen for inntrinnet i millimeter er i = 60 o. a) Hvor stort er opptrinnet o når inntrinnet i er 00 mm? b) Hvor stort er opptrinnet når inntrinnet er 18,0 cm? Oppgave.151 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor lang er grunnlinja når A = 30 cm og h = 7,5 cm? b) Finn høyden når A =,4 cm og g = 4,7 cm. Oppgave.15 For et bor med diameter på 10 mm er formelen for skjærefarten v (m/min) v = 0,0314 n der n er omdreiningstallet (r/min). a) Hva er skjærefarten ved 1000 omdreininger per minutt? b) Hva er omdreiningstallet når skjærefarten er 35 m/min? Oppgave.153 Folkemengden i verden var i 000 på 6,1 milliarder. Noen hevder at x år etter 000 vil folkemengden i milliarder være F = 6,1 + 0,1 x a) Finn ved regning når folkemengden er 7,6 milliarder. b) Finn ved regning når folkemengden er fordoblet i forhold til i 000. Oppgave.154 Inga tar av og til drosje på dagtid. Prisen T i kroner for en drosjetur på x kilometer er T = 13,70x + 31 a) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 168 kr. b) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 305 kr. 198 Sinus 1BA > Formler og likninger

33 Oppgave.155 Arealet av ytterveggen i en kjellerbod er 6,0 m. Varmetapet for hele veggen er 75 W. a) Hvor stort er varmetapet per kvadratmeter? b) Ytterveggen har en u-verdi på 0,35 W/(m grad). Hvor stor er forskjellen t mellom innetemperaturen og ute temperaturen? Oppgave.156 Ola drikker ofte en kopp varm te om morgenen. Når han lager te, bruker han alltid varmt vann med temperaturen 88 C. Ola lar teen stå til avkjøling i koppen, og etter t minutter er temperaturen i teen målt i celsiusgrader T = 88 t a) Hva er temperaturen i teen etter 3,5 minutter? b) Ola liker best å drikke te med temperaturen 70 C. Finn ved regning hvor lenge han da må vente før han drikker teen. c) En dag glemte han hele teen, og temperaturen i teen sank til 5 C. Finn ved regning hvor lang tid det da hadde gått fra han helte på vannet..6 Omforming av formler Oppgave.160 Sammenhengen mellom inntrinn og opptrinn i en trapp er i = 60 o. a) Finn en formel for opptrinnet o. b) Bruk formelen i a til å regne ut opptrinnet når inntrinnet er 00 mm. c) Finn opptrinnet når inntrinnet er 18,5 cm. Oppgave.161 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor stort er arealet når g = 4 cm og h = 7 cm? b) Finn en formel for grunnlinja g. c) Hvor lang er grunnlinja når arealet er 7 cm og høyden er 9 cm? Oppgave.16 La U være prisen i kroner uten merverdi avgift på en vare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdi avgiften er 5 %, er P = 1,5 U a) Finn en formel for U uttrykt ved P. b) En vare koster 45 kr med 5 % mva. Hva koster varen uten mva.? c) Vis at vi kan skrive formelen i oppgave a U = 4 5 P Oppgave.163 Varmetapet per kvadratmeter gjennom en vegg er Q = u t. a) Lag en formel for u-verdien. b) Hva er u-verdien når Q er 5,0 W/(m grad) og t er 0 grader? c) Lag en formel for temperaturforskjellen t. 199

34 Oppgave.164 Sammenhengen mellom farten v, strekningen s og tida t for en bil som kjører med konstant fart, er gitt ved v = s t a) Finn en formel for strekningen s. b) En bil kjører i 60 km/h i 1,5 timer. Hvor langt kommer bilen? c) Finn en formel for tida t. d) En bil kjører 75 km med farten 50 km/h. Hvor lang tid tok bilturen? Oppgave.165 For et bor med en diameter på 15 mm er formelen for skjærefarten v (m/min) v = 0,047 n der n er omdreiningstallet (r/min). a) Lag en formel for omdreiningstallet n. b) Regn ut omdreiningstallet når skjærefarten er 50 m/min..7 Ulikheter Oppgave.170 Løs ulikhetene. a) x > 4 b) x + 1 < 3 c) x + < x 4 d) 3 x > 3x + 11 Oppgave.171 Løs ulikhetene. a) x + > x + 3 b) 3 x < 7 x c) 8 3x > 7 x d) 6 + (x + ) < 0 Oppgave.17 Temperaturen T i en bestemt tekopp etter t minutter er gitt ved T = 3,0t + 77 a) Når er temperaturen under 44 C? b) Når er temperaturen over 6 C?.8 Likningssett Oppgave.180 Løs likningssettene ved regning. a) y = x + 1 x + y = 7 b) x = y 1 3x y = Oppgave.181 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordinat systemet nedenfor y a) Finn løsningen av likningssettet. b) Likningssettet i oppgaven er 3x y = 4 y = x + 3 Løs likningssettet og kontroller svaret i oppgave a. Oppgave.18 Løs likningssettene både grafisk og ved regning. a) y = x 1 y = x + 1 b) x = y + y + x = 1 x 00 Sinus 1BA > Formler og likninger

35 KATEGORI.1 Grafer Oppgave.10 Anne skal klippe en stor plen. Hun arbeider i jevnt tempo. Grafen viser hvor mange kvadratmeter hun har igjen å klippe den nærmeste tida. m y min a) Hvor stor er plenen som skal klippes? b) Hvor mange kvadratmeter har Anne igjen å klippe etter 40 minutter? c) Hvor mange minutter har Anne klipt når det gjenstår 300 m å klippe? d) Hvor lang tid bruker hun på hele jobben? x Oppgave.11 Grafen viser temperaturen x timer etter midnatt ei høstnatt. C y a) Hva var temperaturen kl ? b) Hva var temperaturen kl ? c) Når var temperaturen lavest? Hva var temperaturen da? d) Når var temperaturen 1 C? Oppgave.1 En stein blir kastet rett opp i lufta. Grafen viser hvordan høyden y over bakken forandrer seg med tida t. m y 0,5 1 1,5,5 x timer a) Hvor høyt er steinen etter 0,5 s? b) Hvor høyt er steinen etter s? c) Når er steinen høyest? Hvor høyt over bakken er steinen da? d) Når treffer steinen bakken? e) Fra hvilken høyde ble steinen kastet? f) Når er steinen 8 m over bakken? t s 01

36 Oppgave.13 Biler slipper ut karbondioksid (CO ). Hvor mye CO en bil slipper ut, avhenger blant annet av farten. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom CO - utslipp og farten for en bestemt bil. g/km y x km/h Karbondioksidmengden er målt i gram per kilometer (g/km), og farten er i kilometer per time (km/h). a) Hvor mye CO slipper bilen ut når farten er 40 km/h? b) Hvor mye CO slipper bilen ut når farten er 110 km/h? c) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet av CO da? d) Hva er farten når utslippet er 150 g/km?. Likninger Oppgave.0 Løs likningene. a) 5x + 1 = 15x b) 14s 6 + 7s = 15 c) 3t + 18 = 1t 5t + 68 d) 4 5(I ) + I = 0 Oppgave.1 Løs likningene. a) 0,3x + 1,7x = 3,6 + 0,x b) 1,5x 0, = 1,3x + 0,6 c) 0,6 (0,x + 0,3) = 0,1x +,5.3 Likninger med brøker Oppgave.30 Løs likningene. a) 1 x 5 = ( x ) 1 6 b) 3 t 1 (7 t) = 0 c) ( 1 t ) t = 1 3 d) (1 4 5 s ) + s = 7 5 Oppgave.31 Løs likningene. 1 a) x + 3 = 1 1 x b) 1 x x + 1 = 4 x c) x x x = 1 8 x + 1 Oppgave.3 Løs om mulig likningene. a) x + 1 x b) c) + 3 = 1 x 1 x x + 1 x = x + 1 = 3 x + x 1 x(1 x) 0 Sinus 1BA > Formler og likninger

37 Oppgave.33 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 3 (R + 1) 3 (1 + R) = 5 R b) 1 (I 1) 3 (1 I) = Formler Oppgave.40 Du skal lage ei rettløpstrapp. Etasjehøyden er 3000 mm (alle opptrinnene skal være 3000 mm til sammen). o I denne oppgaven må du bruke trappeformelen på side 47. a) Hvorfor er det ett opptrinn mer enn inntrinn? b) Hvert opptrinn skal være 00 mm. Hvor mange trinn skal trappa ha? c) Hvor langt blir da ett inntrinn? d) Hvor lang blir trappa (alle inntrinnene til sammen)? Oppgave.41 Du skal lage ei rettløpstrapp som skal være 3500 mm lang. Etasjehøyden er 850 mm. a) Lag en skisse av trappa. b) Finn ut hvor mange opptrinn du må ha for at opptrinnet o og inntrinnet i skal passe best mulig med trappe formelen. Prøv deg fram. i Oppgave.43 Vi fyller varmt drikke på ei tekanne. Kanna holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsius grader i kanna T = 90 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 0 minutter? Oppgave.44 I et rom er det en yttervegg på 1 m og et vindu på 1,0 m. Veggen har en u-verdi på 0,0 W/(m grad), og vinduet har en u-verdi på,3 W/(m grad). Innetemperaturen er 1 C, og ute temperaturen er 5 C. a) Finn varmetapet gjennom veggen. b) Finn varmetapet gjennom vinduet. c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde romtemperaturen på 1 C? Vi regner ikke med noen varmegjennom gang gjennom innervegger, golv og tak. Oppgave.45 En bil har en bensintank på 48 liter. En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Bilen bruker 0,60 liter per mil. a) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 3 mil? b) Finn et uttrykk for bensinmengden B på tanken etter x mil. Oppgave.4 Vi bruker et bor med diameteren 4 mm. Regn ut skjærefarten og fyll ut tabellen. Omdreiningstall (r/min) Skjærefart (m/min)

38 Oppgave.46 Et vindu på 1, m har en u-verdi på,3 W/(m grad). Innetemperaturen er C, og utetemperaturen er 8 C. a) Beregn varmetapet gjennom vinduet. b) Vinduet blir byttet ut med et nytt vindu med u-verdi 1,3 W/(m grad). Hvor stort er varmetapet nå? c) Hvor mange prosent ble varmetapet redusert med?.5 Praktisk bruk av formler Oppgave.50 Snekker Finn Sagen bruker denne trappeformelen: i = 630 o. a) Hvor stort er opptrinnet når inntrinnet er 19 cm? b) Hvor stort er opptrinnet hvis opptrinnet og inntrinnet skal være like store? c) Hvor høy blir trappa dersom inntrinnet er 1 cm og trappa skal ha 14 inntrinn? Oppgave.51 Skjærefarten for slipeskiver kan regnes ut ved v = d n der farten v er oppgitt i meter per sekund (m/s), omdreiningstallet n i omdreininger per minutt (r/min) og diameteren d i millimeter (mm). Ei slipe skive har en diameter på 00 mm og en skjærefart på 30 m/s. a) Finn omdreiningstallet. b) Ei annen slipeskive har en diameter på 30 mm. Skjærefarten skal ligge mellom 0 og 5 m/s. Finn det største og minste omdreiningstallet du kan bruke. Oppgave.5 Vi bruker et bor der diameteren er 6 mm. Omdreiningstallet er 000 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Hva er omdreiningstallet når skjærefarten er 10 m/min? c) I hardt stål må ikke omdreiningstallet være for stort. Ellers blir boret for varmt, og eggen blir ødelagt. Hva er det største omdreiningstallet du kan bruke når skjærefarten ikke skal være større enn 1 m/min? Oppgave.53 I et stort lagerrom uten vinduer er det i alt 84 m med yttervegg. Det er ikke noe varmetap gjennom golvet og taket. En høstdag er utetemperaturen 4 C og innetemperaturen 0 C. På en måler kan vi lese av at rommet får tilført en effekt på 546 W slik at innetemperaturen skal holde seg konstant. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter gjennom ytterveggene. b) Finn u-verdien til veggen. Oppgave.54 En bil har en bensintank med 48 liter bensin. Etter x mil med jevn kjøring er det igjen y liter på tanken, der y = 48 0,6x Bilen fortsetter med jevn kjøring. a) Hvor langt har bilen kjørt når det er igjen 39 liter på tanken? b) Hvor langt har bilen kjørt når det er igjen 7 liter på tanken? 04 Sinus 1BA > Formler og likninger

39 Oppgave.55 Arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = gh Høyden i en trekant er 18 cm og arealet 16 cm. Finn grunnlinja i trekanten..6 Omforming av formler Oppgave.60 Arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = gh Finn en formel for høyden i en trekant uttrykt ved arealet og grunnlinja. Oppgave.61 Vi bruker en sirkelsag der diameteren på sagbladet er 195 mm. Omdreiningstallet er 1000 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Finn en formel for omdreiningstallet uttrykt ved diameteren d og skjærefarten v. c) Hva blir omdreiningstallet når skjærefarten er 613 m/min? Stemmer dette svaret med svaret på oppgave a? Oppgave.6 Ellen trenger å leie en bil noen dager. Det koster 800 kr i faste utgifter og 5 kr per kjørte kilometer. a) Hva koster det Ellen å kjøre 10 km? b) Finn en formel som viser kostnaden K i kroner for x kjørte kilometer. c) Finn en formel for x uttrykt ved kostnaden K. d) Hvor langt kan hun kjøre for 1700 kr? Oppgave.63 a) Finn en formel for utetemperaturen t u når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter for en vegg, u-verdien for veggen og innetemperaturen t i. b) I et lagerbygg uten vindu er det 60 m med tak og vegger. Både taket og veggene har u-verdien 0,4 W/(m grad). I bygget er det en ovn som gir effekten 4000 W. Hvor lav er ute tempera turen når ovnen står på fullt og inne temperaturen er 0 C? c) Lageret må holdes frostfritt. Hva er den laveste verdien ute temperaturen kan ha før det blir minusgrader i bygget? Oppgave.64 Jeppe har drukket alkohol og har en promille på 1,8. Han regner med at promillen avtar med 0,15 per time. a) Hvor høy promille har Jeppe i kroppen etter 6 timer? b) Finn en formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timer. c) Finn en formel for x uttrykt ved P. d) Hvor lang tid har det gått når promillen er 0,3? e) Når er alkoholen helt ute av kroppen hans? Oppgave.65 Det samlede varmetapet gjennom en vegg med ett vindu kan regnes ut ved formelen P = (u 1 A 1 + u A ) t der u 1 er u-verdien for veggen og u er u-verdien for vinduet. A 1 er arealet av veggen, og A er arealet av vinduet, og t er forskjellen mellom inne- og utetemperaturen. a) Bruk formelen ovenfor til å lage en formel for temperaturforskjellen t. b) Finn en formel for arealet A av vinduet uttrykt ved de andre størrelsene i formelen ovenfor. 05

40 .7 Ulikheter Oppgave.70 Løs ulikhetene. a) 5x + 4 > x b) 3( x) < 3 x c) x + 3 (3 + x) < 5( x) d) (x 1) 3(1 x) < x + 3 e) 3(x + 1) (5 x) > 1 (x + 3) Oppgave.71 Løs ulikhetene. a) x b) 7x c) x d) 3 5x 5 e) > x x 3 6 > 5 x > 1 + x 3 (x 1) x 3 + 3x 8 Oppgave.7 Per har kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter. Når har Anne mer penger enn Per på kontoen sin?.8 Likningssett Oppgave.80 a) Løs likningssettet ved regning. x y = 5 x + 3y = 5 b) Løs likningssettet grafisk. y = 1 x x + y = 4 Oppgave.81 Løs likningssettene grafisk og ved regning. a) x y = 3 b) x 3y = 4 x + y = 5 x + y = 1 c) x 3y = 3 d) 6x 3y = 8 x + y = 7 x + 3y = 4 Oppgave.8 a) Løs likningssettet ved regning. x y = 4 3 x y = 373 b) Ved en videregående skole opplyste 1 av jentene og 1 av guttene at de 3 4 ikke røykte. Det var 373 elever som røykte. På skolen var det 4 flere jenter enn gutter. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det på skolen? Oppgave.83 Kari og Ola er til sammen 6 år gamle. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammel som Kari. Hvor gamle er de i dag? Oppgave.84 En videregående skole har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 6 kr, og en kopp kaffe koster 8 kr. En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 400 kr på automaten. Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen? 06 Sinus 1BA > Formler og likninger

41 BLANDEDE OPPGAVER Oppgave.300 En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 0,75x a) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom x og B. b) Hvor mange liter rommer bensintanken? c) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 30 mil? d) Finn ved regning hvor langt de har kjørt når det er igjen 36 liter på tanken. e) Hvor mange mil kan de kjøre før de må fylle bensin igjen? Oppgave.301 Grafen viser varmetapet gjennom en ytter vegg for utetemperaturer mellom 0 C og 0 C W Varmetap Temperatur C a) Hvor stort er varmetapet når utetemperaturen er 0 C? b) Hva er utetemperaturen når varmetapet er på 50 W? c) Hvor mange watt synker varmetapet når utetemperaturen stiger med en grad? d) Hvor høy er innetemperaturen? Oppgave.30 a) Løs likningssettet ved regning. x + y = 4 x y = 5 b) Lise og Henrik er foreldrene til Katrine. Til sammen er familien 108 år. Lise er fire år yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre ganger så gammel som Katrine. Hvor gamle er de enkelte familiemedlemmene? Oppgave.303 En kjellerbod har en yttervegg med en u-verdi på 0,39 W/(m grad). Arealet av veggen er 14,0 m. Utetemperaturen er 4 C, og innetemperaturen er C. a) Hvor stort er varmetapet per kvadratmeter? b) Hvor stort er varmetapet for hele veggen? c) Hvor mange vinduer på 1,0 m kan vi sette inn når varmetapet ikke skal være høyere enn 190 W? Vinduene har en u-verdi på 1,3 W/(m grad). Oppgave.304 a) Løs likningene. 1) 3x = 5x 6 ) 1 (x ) = x b) I en forretning er kiloprisen på epler kr høyere enn kiloprisen på appelsiner. Svein kjøper,5 kg epler og 3 kg appelsiner. Til sammen betaler han 93 kr. Hva var kiloprisen på epler og kilo prisen på appelsiner i denne forretningen? 07

42 Oppgave.305 Grafen viser hvordan vannstanden varierer i løpet av et døgn i et område med tidevann. På figuren tilsvarer x = 0 midnatt. m y timer a) Når på døgnet er vannstanden høyest? b) Når på døgnet er vannstanden lavest? c) Hva er vannstanden kl ? d) Hva er vannstanden kl ? Oppgave.306 Tettheten T av et stoff finner vi av formelen T = m V der m er massen og V er volumet. Bruk tabellen nedenfor til å finne ut hvilke metaller dette kan være. Stoff Tetthet Aluminium,74 kg/dm 3 Stål 7,89 kg/dm 3 Magnesium 1,74 kg/dm 3 a) m = 1,79 kg, V = 1,03 dm 3 b) m = 0,8 kg, V = 0,104 dm 3 c) m = 4,8 kg, V = 15,6 dm 3 x Oppgave.307 Løs likningssettet grafisk og ved regning. x y = x + 4y = 8 Oppgave.308 I en kopp kaffe er temperaturen 68 C. Etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i koppen T = 68 3,6t a) Når er temperaturen i koppen mer enn 50 C? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 3 C? Oppgave.309 Vi skal bore i en plate med et bor som har omdreiningstallet 3000 r/min. Skjære farten bør være mellom 70 m/min og 10 m/min. a) Finn en formel for diameteren på boret. b) Hva er den største og den minste diameteren boret kan ha? Oppgave.310 a) Løs likningene. 1) (x ) (1 x) = 7 ) 1 3 x 1 (1 x) = 17 6 b) En kuleformet vanndråpe har diameteren D. Etter t sekunder har fordampingen gjort at diameteren er d. Sammenhengen mellom D, d og t er gitt ved d = D 0,01 t 1) Finn diameteren d når D =,1 mm og t = 60 s. ) Finn en formel for t uttrykt ved de andre størrelsene. 3) Hvor lang tid tar det for vanndråpen å fordampe helt når D =,1 mm? 08 Sinus 1BA > Formler og likninger