Formler og likninger

Transkript

1 38 2

2 Formler og likninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk, rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

3 2.1 Noen enheter i elektrofaget Når vi skal skrive spesielt store eller spesielt små tall, bruker vi disse prefiksene: exa E peta P tera T giga G mega M kilo k 1000 milli m 0,001 mikro μ 0, nano n 0, piko p 0, Når vi sender en strøm I gjennom en motstand med resistansen R, får vi et spenningsfall U som vi kan regne ut ved hjelp av Ohms lov: U = R I Strømmen I måler vi i ampere (A), resistansen R måler vi i ohm ( ), og spenningen U måler vi i volt (V). Vi skal nå se hvordan vi kombinerer disse målenhetene med prefiksene ovenfor. EKSEMPEL Skriv størrelsene uten prefikser. a) 12 kv b) 1,7 μa c) 0,5 M Løsning: a) 12 kv = V = V b) 1,7 μa = 1,7 0, A = 0, A c) 0,5 M = 0, = EKSEMPEL Skriv størrelsene med et passende prefiks. a) V b) 0, A c) Sinus 1EL > Formler og likninger

4 Løsning: a) V = V = 150 kv b) 0, A = 45 0, A = 45 na c) = 1, = 1,6 M Når vi seriekopler motstander, finner vi den samlede resistansen R ved å summere resistansene i alle motstandene. Hvis vi seriekopler tre motstander med resistansene, og R 3, blir resistansen R i seriekoplingen R = + + R 3 R 3 EKSEMPEL Finn resistansen når vi seriekopler tre motstander med resistansene , 20 k og 0,75 M. Løsning: Vi gjør resistansen om til kiloohm (k ) = 45 k 0,75 M = 0, k = 750 k Deretter summerer vi resistansene k + 0,75 M = 45 k + 20 k k = 815 k? Oppgave 2.10 Skriv størrelsene uten prefikser. a) 340 kv b) 150 na c) 0,05 G Oppgave 2.11 Skriv størrelsene med et passende prefiks. a) 0, V b) 0, A c) Oppgave 2.12 Finn resistansen når vi seriekopler motstander med resistansene a) 7500, 1,5 k b) , 450 k og 1,2 M 41

5 Strøm er en viktig energibærer i vårt samfunn. I naturfagene måler vi energi i målenheten joule (J). Det er den energimengden vi får i løpet av ett sekund når strømmen er 1 A og spenningen er 1 V. Det er en svært liten energimengde. Den energien som blir brukt per tidsenhet, kaller vi effekt. I naturfagene bruker vi målenheten watt (W) for effekt. Effekten er 1 W når vi bruker energien 1 J hvert sekund. En varmeovn har for eksempel effekten 1 kw = 1000 W. Når denne ovnen har stått på i 1 time, har den brukt en energimengde som vi kaller 1 kwh (kilowattime). Det er den mest vanlige målenheten for elektrisk energi. Hvor mange joule svarer 1 kwh til? Når effekten er 1 kw = 1000 W, er energimengden 1000 J per sekund. Ettersom 1 time = s = 3600 s blir energimengden i løpet av 1 time 1000 J 3600 = J = 3, J = 3,6 MJ Det gir denne sammenhengen mellom enhetene: 1 kwh = 3,6 MJ EKSEMPEL En norsk husholdning bruker i gjennomsnitt ca kwh strøm hvert år. Hvor mange gigajoule (GJ) svarer det til? Løsning: kwh = ,6 MJ = MJ = 55,4 GJ En norsk husholdning bruker ca. 55 GJ strøm per år Sinus 1EL > Formler og likninger

6 ? Oppgave 2.13 Mange norske husholdninger fyrer med ved. Energimengden fra ved var i 2003 i gjennomsnitt 4000 kwh per husholdning per år. Hvor mange gigajoule svarer det til? Oppgave 2.14 En norsk husholdning bruker i gjennomsnitt ca. 52 GJ energi fra oljeprodukter per år. Hvor mange kilowattimer svarer det til? Oppgave 2.15 Den kraftintensive industrien i Norge brukte 259 PJ energi i I Norge var det da 2,02 millioner husholdninger som hver brukte kwh energi. Bensin og diesel er da medregnet. Var det husholdningene eller den kraftintensive industrien som brukte mest energi i 2003? 2.2 Grafer Aviser og tidsskrifter bruker ofte grafer i stedet for formler for å vise sammen henger. Grafen nedenfor viser hvor stor del av ungdomskullet som konfirmerte seg i kirka i årene ANTALL KONFIRMERTE I KIRKEN ,0% 89,0% 85,0% ,4% Borgerlig konfirmasjon ,4% 70,2% 68,2% ,4% 67,5% 16,1% 16,1% 02 67,7% 17,1% 16,7% Ut fra grafen virker det som andelen kirkekonfirmerte har gått ganske jevnt nedover i hele perioden. Grafen viser samtidig at andelen ungdommer som velger borgerlig konfirmasjon, har økt i årene etter Grafer kan være et godt hjelpemiddel til å se en utvikling over tid

7 Men det er lett å la seg lure av grafen på forrige side. Vi legger merke til at det i peri oden fra 1960 til 1980 er 5 år mellom hver strek på førsteaksen. Etter 1980 er det 1 år mellom hver strek. I 1960 var det 93,0 % av ungdommene som ble konfirmert i kirka. I 1980 var det 89,0 %. Nedgangen var dermed 93,0 89,0 20 = 4,0 20 = 0,2 prosentpoeng per år. I 2000 var det 70,2 % som konfirmerte seg i kirka. Nedgangen fra 1980 til 2000 var 89,0 70,2 20 = 18,8 20 = 0,94 prosentpoeng per år. Vi ser at nedgangen var mye kraftigere i perioden enn fra 1960 til Det kan vi ikke se direkte av grafen.! Hvis en graf skal vise en utvikling på riktig måte, er det viktig at det er jevn avstand mellom tallene på aksene. På grafen på forrige side er noen av prosenttallene skrevet på selve grafen. Det er ikke vanlig i matematikk. Som oftest må vi lese av grafen selv. Da går vi fram som vist i dette eksempelet. EKSEMPEL Grafen nedenfor viser spenningen U over en bestemt motstand og strømmen I gjennom motstanden. A I U V a) Hvor stor er strømmen når spenningen er 60 V? b) Hvor stor spenning må vi bruke for at strømmen skal bli på 10 A? Sinus 1EL > Formler og likninger

8 Løsning: a) Vi tar utgangspunkt i tallet 60 på førsteaksen. Vi kommer fram til tallet 12 på andreaksen. Strømmen blir 12 A. b) Når strømmen I er 10 A, går vi ut fra tallet 10 på andreaksen og leser av som vist på figuren til høyre. Vi kommer fram til tallet 50. Spenningen må være 50 V. A I U V? Oppgave 2.20 Bruk grafen i eksempelet foran i denne oppgaven. a) Finn strømmen når spenningen U er 80 V. b) Hvor stor spenning må vi bruke for at strømmen skal bli 18 A? Oppgave 2.21 Grafen viser strømmen I når vi kopler en motstand med resistansen R til en spenningskilde med fast spenning. A I a) Hvor stor er strømmen når resistansen er 6? b) Hvor stor må resistansen være for at strømmen skal bli 8 A? R 45

9 ? Oppgave 2.22 Figuren nedenfor viser hvor mange tonn torsk som ble fisket per år i Canada fra 1850 og fram til a) Hvor mange tonn torsk ble det fisket i 1900? b) I hvilke år ble det fisket tonn torsk per år? c) I hvilket år ble det fisket mest torsk? Hvor mange tonn ble det fisket det året? Hvordan vil du beskrive resultatet av det fisket? d) Helt fram til slutten av 1980-årene var det ikke lov å fiske småtorsk. Hva skjedde da det forbudet ble opphevet? Oppgave 2.23 I 2005 lånte en bilmekaniker bilen til en kunde og prøvekjørte den på offentlige veier. Grafen nedenfor viser farten til bilen på forskjellige tidspunkter Sinus 1EL > Formler og likninger

10 Bruk grafen og svar på spørsmålene. a) Hvor lenge varte kjøreturen? b) Hva var den høyeste farten? c) Hvor mange ganger stoppet mekanikeren helt? d) Omtrent hvor stor var gjennomsnittsfarten? e) Omtrent hvor lang var kjøreturen? f) Hvilke konsekvenser tror du denne kjøreturen hadde for mekanikeren? 2.3 Likninger Å løse likningen x + 2 = 7 er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det er det samme som å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her: + 2 = 7 Tallet 5 er det eneste som passer = 7 Likningen x + 2 = 7 har dermed løsningen x = 5. Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger. EKSEMPEL Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x = 12 b) 2x + 1 = 5 Løsning: a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. 3x = = 12 x = 4 b) 2x + 1 = = 5 x = 2 47

11 ? Oppgave 2.30 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x + 5 = 12 b) x 3 = 5 c) 2x = 8 d) 4x = 12 Oppgave 2.31 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) 2x 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x 1 = 14 d) 6x 4 = 20 Likningen x + 2 = 7 kan vi også løse på denne måten: Ettersom tallene på begge sidene av likhetstegnet skal være like, må vi kunne trekke fra 2 på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall. x = 7 2 x = 7 2 Vi ser at å trekke fra 2 på hver side i likningen x + 2 = 7 svarer til å flytte 2 over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte alle ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddene. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene: Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. x + 2 = 7 3x = 2x + 5 x = 7 2 3x 2x = 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. 1 2 x = 2 2x = x = 2 2 2x 2 = 4 2 Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi Sinus 1EL > Formler og likninger

12 EKSEMPEL Løs likningene og sett prøve på svaret i oppgave a. a) 5x + 3 = 2x 11 b) 1 2 x + 3 = 3 4 x 1 Løsning: a) Vi bruker regnereglene for likninger.? 5x + 3 = 2x 11 5x + 2x = x = 14 7x 7 = 14 7 x = 2 Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side. Trekk sammen leddene på hver side. Divider med tallet foran x. Vi kontrollerer løsningen x = 2 ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( 2) + 3 = = 7 Høyre side: 2x 11 = 2 ( 2) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. b) Fellesnevneren for brøkene 1 2 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 4 på begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene x + 3 = 3 4 x x = x 4 1 Multipliser alle leddene med fellesnevneren, som her er x + 12 = 3x 4 2x 3x = 4 12 x = 16 x = 16 1 Flytt over ledd og trekk sammen leddene på hver side. Når x = 16, er x = 16.? Oppgave 2.32 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) 2x + 3 = 11 c) 2x = x + 3 d) 4x 1 = 2x + 7 Oppgave 2.33 Løs likningene. a) 3x 1 = x + 4 b) 5x + 1 = 2x 3 c) 2x + 1 = x + 7 d) 2,5x + 2 = 5x 8 49

13 2.4 Likninger med brøker Når vi skal løse en likning som inneholder brøker, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. EKSEMPEL Løs likningen og sett prøve på svaret. x 2 x 3 = x Løsning: x 2 x 3 = x x x = x x 2x = 6x + 7 x = 6x + 7 x + 6x = 7 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. 6 6 Fellesnevneren er 6. 7x = 7 7x 7 = 7 7 Vi dividerer med 7. x = 1 Venstre side: x 2 x 3 = = = 1 6 Høyre side: = = 1 6 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. 1? Oppgave 2.40 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + 2 = 1 2 x 1 b) 2x 2 = x 1 x 2 c) = 2 x d) 1 2x = 4 + 2x Sinus 1EL > Formler og likninger

14 I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort foran, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x = x Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x 3x x = 1 5 2x = 4 x = 2 x = 2 gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning. b) Fellesnevneren er 3x. Vi multipliserer derfor med 3x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 = 2 x 3 1 x 3x x 1 3x = 2 x 3 3x 1 x 3x (x 1) 3 = 2x 3 3x 3 = 2x 3 3x 2x = x = 0 x = 0 gir null i to av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 2.41 Løs likningene. a) c) 2 x + 3 = 0 x 1 x + 2 = 1 x d) b) 5 x 3 = 8 x 1 x = 3 x 2 51

15 2.5 Formler Når vi kjenner strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, kan vi finne spenningen U ved hjelp av Ohms lov: U = R I Når resistansen R er målt i ohm ( ) og strømmen I er målt i ampere (A), får vi spenningen U i volt (V). EKSEMPEL Finn spenningen U når a) R = 11 og I = 20 A b) R = 2,0 k og I = 3,2 μa Løsning: a) Vi setter inn i Ohms lov. U = R I = A = 220 V b) Spenningen er U = R I = 2,0 k 3,2 μa = 2, ,2 0, A = 2,0 3,2 0,001 V = 6,4 mv? Oppgave 2.50 Finn spenningen U når a) R = 2,4 og I = 5,0 A b) R = 32 k og I = 5,0 ma c) R = 15 M og I = 12 ma d) R = 2,4 k og I = 5,0 μa Oppgave 2.51 Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen R = l A A l der l er lengden av tråden målt i meter og A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter (mm 2 ). Tallet (gresk bokstav som vi uttaler ro) kaller vi resistiviteten. Den er avhengig av hvilket metall det er i tråden. Målenheten for resistiviteten er mm 2 /m. Finn resistansen i en koppertråd der = 0,0175 mm 2 /m når a) l = 15 m og A = 0,2 mm 2 b) l = 250 m og A = 2,4 mm 2 c) l = 5,2 km og A = 0,5 mm 2 d) l = 1,5 m og A = 0,0012 mm Sinus 1EL > Formler og likninger

16 Når vi sender strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, er effekten gitt ved formelen P = R I 2 Når vi måler resistansen R i ohm ( ) og strømmen I i ampere (A), får vi effekten P i watt (W). EKSEMPEL Det går en strøm I = 0,2 A gjennom en motstand med resistansen R = 120 k. a) Finn effekten P. b) Finn energimengden per døgn. c) Hvor mye koster strømmen per døgn når prisen er 0,48 kr/kwh? Løsning: a) Effekten er P = R I 2 = 120 k (0,2 A) 2 = ,04 A 2 = ,04 W = 4800 W = 4,8 kw b) Når effekten er 4,8 kw, blir energimengden på 24 timer 4,8 kw 24 h = 115,2 kwh c) Strømmen koster 0,48 kr/kwh 115,2 kwh = 55,30 kr? Oppgave 2.52 Finn effekten P når a) R = 2,4 og I = 5,0 A b) R = 32 k og I = 5,0 ma c) R = 15 M og I = 12 ma d) R = 2,4 k og I = 5,0 μa Oppgave 2.53 Det går en strøm I = 200 ma gjennom en motstand med resistansen R = 1,1 k. a) Finn effekten P. b) Finn energimengden per døgn. c) Hvor mye koster strømmen per døgn når prisen er 0,54 kr/kwh? 53

17 Resistansen i et metall øker ved oppvarming. La være resistansen ved temperaturen t 1. Resistansen ved temperaturen t 2 er da gitt ved formelen = (1 + (t 2 t 1 )) Tallet er avhengig av materialet. EKSEMPEL For kopper er = 0,004 når temperaturen er målt i celsiusgrader. En koppertråd har resistansen = 320 når temperaturen er 20 C. a) Finn resistansen når tråden er varmet opp til 100 C. b) Hvor mange prosent har resistansen økt? Løsning: a) Når vi skal finne resistansen, setter vi inn tallet og temperaturene uten benevning. = (1 + (t 2 t 1 )) = 320 (1 + 0,004 (100 20)) = 320 (1 + 0,004 80) = 320 (1 + 0,32) = 320 1,32 = 422 Resistansen er 422. b) Utregningen ovenfor viser at vekstfaktoren er 1,32. Prosent faktoren er da 1,32 1 = 0,32. Prosenten er 0, % = 32 % Resistansen øker med 32 %.? Oppgave 2.54 Glødetråden i ei lyspære er lagd av wolfram. For wolfram er = 4, Glødetråden i denne lyspæra har resistansen = 50 når temperaturen er 20 C. Når pæra lyser, er temperaturen 2000 C. a) Finn resistansen når pæra lyser. b) Hvor mange prosent har resistansen økt? Sinus 1EL > Formler og likninger

18 2.6 Praktisk bruk av likninger Når det går en strøm I gjennom en motstand med resistansen R, er spenningen U gitt ved formelen U = R I. Effekten P er P = R I 2. Disse formlene kan vi også bruke til å finne resistansen R eller strømmen I. Da må vi løse en likning. EKSEMPEL a) Finn resistansen R i en motstand når spenningen U = 220 V og strømmen I = 1,1 A. b) Finn strømmen I når R = 50 og effekten P = 2,0 kw. Løsning: a) Vi snur Ohms lov slik at den ukjente resistansen kommer på venstre side. R I = U R 1,1 A = 220 V R 1,1 A 1,1 A = 220 V 1,1 A R = 200 b) Vi snur formelen P = R I 2 og bruker at 2,0 kw = 2000 W. R I 2 = P 50 I 2 = 2000 W 50 I 2 50 = 2000 W 50 I 2 = 40 W/ I = 40 W/ = 6,3 A Når vi har funnet I 2, trekker vi ut kvadratrota for å finne I.? Oppgave 2.60 Finn resistansen R i en motstand når a) spenningen U = 220 V og strømmen I = 4,4 A b) spenningen U = 4,5 mv og strømmen I = 90 μa Oppgave 2.61 a) Finn resistansen R når strømmen I = 4,4 A og effekten P = 968 W. b) Finn strømmen I når resistansen R = 3,2 M og effekten P = 8,0 kw. 55

19 EKSEMPEL En koppertråd har resistansen 120 når temperaturen er 20 C. Vi sender strøm gjennom tråden og finner ut at resistansen øker til 170. Bruk formelen på side 54 til å finne temperaturen i tråden når = 0,004. Løsning: Vi setter = 120, = 170 og t 1 = 20. Deretter finner vi temperaturen t 2 i celsiusgrader ved å løse en likning. (1 + (t 2 t 1 )) = 120 (1 + 0,004 (t 2 20)) = (1 + 0,004t 2 0,08) = (0,92 + 0,004t 2 ) = ,4 + 0,48t 2 = 170 0,48t 2 = 59,6 t 2 = 59,6 0,48 t 2 = 124 Temperaturen er 124 C. Divider med 0,48 på begge sidene.? Oppgave 2.62 Glødetråden i ei lyspære er lagd av wolfram. For wolfram er = 4, Glødetråden i denne lyspæra har resistansen 25 når temperaturen er 20 C. Når pæra lyser, er resistansen 240. Finn temperaturen i glødetråden når pæra lyser. Oppgave 2.63 Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen R = l A der l er lengden av tråden målt i meter, A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter og er resistiviteten til metallet i tråden. I kopper er = 0,0175 mm 2 /m. a) Finn lengden av en koppertråd med resistansen R = 8,0 når arealet av tverrsnittet er 2,0 mm 2. b) Finn arealet av tverrsnittet til en 1,5 km lang koppertråd med resistansen 0,12 k Sinus 1EL > Formler og likninger

20 EKSEMPEL Når vi parallellkopler to motstander med resistansene og, kan vi finne resistansen R i parallellkoplingen ved hjelp av formelen 1 R = Vi parallellkopler to motstander med resistansene 4 og 8. a) Finn resistansen i parallellkoplingen ved regning. b) Finn resistansen ved hjelp av lommeregneren. Løsning: a) Vi setter = 4, og = 8. Vi regner uten enheter når vi løser likningen. 1 R = R = R Vi multipliserer med fellesnevneren 8R. 1 R 8R = R R 8 = 2R + R 8 = 3R 3R = 8 Vi lar uttrykkene skifte side. R = 8 3 = 2,7 Resistansen er 2,7. b) På lommeregneren taster vi ON OFF 4 x x 1 = x 1 og får svaret 2, når vi trykker på tasten =. Resistansen er 2,7. 57

21 ? Oppgave 2.64 Vi parallellkopler to motstander med resistansene 32 k og 48 k. Finn resistansen i parallellkoplingen. Oppgave 2.65 Vi har en motstand med resistans = 75. Vi vil parallellkople denne motstanden med en motstand med resistans slik at resistansen i parallellkoplingen blir 50. Finn resistansen. 2.7 Omforming av formler Ved hjelp av Ohms lov U = RI kan vi regne ut strømmen I når vi kjenner spenningen U og resistansen R. Vi må da løse en likning. Men vi kan også finne en formel som vi kan bruke til å regne ut strømmen. Da går vi fram på denne måten: U = RI RI = U RI R = U R I = U R Hvis spenningen U er 110 V og resistansen R er 44, blir strømmen I = U R = = 2,5 Strømmen er 2,5 A.? Oppgave 2.70 a) Finn hvor stor resistans R vi må ha i en motstand for at strømmen I gjennom motstanden skal bli 5,5 A når spenningen U = 220 V. b) Lag en formel for resistansen R når spenningen er U og strømmen er I. c) Bruk formelen til å kontrollere svaret i oppgave a. Oppgave 2.71 Når vi sender strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, blir effekten P = R I 2. a) Finn en formel for resistansen R. b) Finn resistansen R når strømmen I = 4,4 A og effekten P = 968 W. c) Finn en formel for strømmen I. d) Finn strømmen I når resistansen R = 3,2 M og effekten P = 8,0 kw Sinus 1EL > Formler og likninger

22 ? Oppgave 2.72 Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen R = l A der l er lengden av tråden målt i meter, A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter (mm 2 ) og er resistiviteten til metallet i tråden. I kopper er = 0,0175 mm 2 /m. a) Finn en formel for lengden l. b) Finn lengden av en koppertråd med resistansen R = 8,0 når arealet av tverrsnittet er 2,0 mm 2. c) Finn en formel for arealet A. d) Finn arealet av tverrsnittet til en 1,5 km lang koppertråd med resistansen 0,12 k. EKSEMPEL Når vi parallellkopler to motstander med resistansene og, kan vi finne resistansen R i parallellkoplingen ved hjelp av formelen 1 R = a) Finn en formel for resistansen R. b) Finn resistansen når vi parallellkopler to motstander med resistansene 4 og 8. Løsning: a) Vi skal finne R i formelen 1 R = Vi multipliserer med fellesnevneren, som er R. 1 R R ( = ) R 1 R R = 1 R R + 1 R R 1 2 = R + R La uttrykkene skifte side: R + R = Nå setter vi R utenfor en parentes. R ( + )= 59

23 Til slutt dividerer vi med R2 + R1 på begge sidene av likhetstegnet. R (R2 + R1) R1 R2 = R2 + R1 R2 + R1 R1 R2 R = R1 + R2 b) Når R1 = 4 og R2 = 8, blir resistansen R1 R R = = = = 2,7 R1 + R Sammenlikn med svaret i eksempelet på side 57. PIN A ? Oppgave a) Bruk formelen = + til å finne en formel for R2. R R1 R2 b) Vi har en motstand med resistans R1 = 75. Vi vil parallellkople denne motstanden med en motstand med resistans R2 slik at resistansen i parallellkoplingen blir 50. Finn resistansen R2. Oppgave 2.74 Resistansen i metall øker ved oppvarming. La R1 være resistansen ved temperaturen t1. Resistansen R2 ved temperaturen t2 er da gitt ved formelen R2 = R1(1 + (t2 t1)) a) Finn en formel for t2. b) En koppertråd med = 4, har resistansen 120 når temperaturen er 20 C. Vi sender strøm gjennom tråden og finner ut at resistansen øker til 170. Bruk formelen i oppgave a til å finne temperaturen i tråden Sinus 1EL > Formler og likninger

24 2.8 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhets tegnet. EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8 b) x 2(4 x) 5x + 2 Løsning: a) 3x + 4 < x + 8 3x x < 8 4 2x < 4 2x 2 < 4 2 x < 2 b) x 2(4 x) 5x + 2 x 8 + 2x 5x + 2 x + 2x 5x x 10 2x x 5 Vi dividerer med 2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 61

25 ? Oppgave 2.80 Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 b) 2x + 5 > x 1 c) x 3 < 3x 1 d) 2(x 1) 3(x 6) Oppgave 2.81 Løs ulikhetene. a) 2x 5 > 4x + 1 b) 2(3 x) < 2 + 3(x 1) c) 2 + 3x 6(1 x 2 ) > 0 d) x < 1 3 x e) 5 2 x 1 6 > x Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv. EKSEMPEL I Øverbygda er det 120 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Løsning: Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s = 120 4x Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40 Ettersom s = 120 4x, gir det ulikheten 120 4x < 40 4x < x < 80 4x 4 > 80 4 x > 20 Når det har gått mer enn 20 dager, er snømengden mindre enn 40 cm Sinus 1EL > Formler og likninger

26 ? Oppgave 2.82 La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 20 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 302 kr? Oppgave 2.83 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og synker med 2,5 C per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? Oppgave 2.84 Anne og Einar er ute og reiser. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave 2.85 Løs ulikhetene. a) 8 2 (a 1 c) 2 ) < 2 3 a 3(2 a ) b) 6 4(t 8) + 2t > 34 6t 3 2s + 1 4(2s 1) < Likningssett Mari har en mobiltelefon som hun bruker mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 x Hvis hun en måned ikke ringer, er x = 0. Da er utgiftene i kroner y = 0, = 150 Hvis hun en måned ringer i 400 minutter, er utgiftene i kroner denne måneden y = 0, = 506 Vi samler utregningene i en tabell og tegner deretter en graf som viser utgiftene. Se den røde linja på figuren på neste side. 63

27 x x y y kr 600 y y = 1,39x + 50 y = 0,89x Sinus 1EL > Formler og likninger minutter Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y i kroner y = 1,39 x + 50 Hvor mye må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? Vi lager en tabell (se øverst på siden) og tegner ei blå linje sammen med den røde linja ovenfor. Avlesingen på figuren ovenfor viser at begge abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 200 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn det, lønner det seg å ha abonnementet med høyest fast avgift. Vi kan også finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonnementene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis 1,39x + 50 = 0,89x ,39x 0,89x = ,50x = 100 x = 100 0,50 = 200 De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 200 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene. y = 1, = 328 Begge abonnementene koster da 328 kr. x

28 Vi har nå løst likningssettet y = 0,89x og y = 1,39x + 50 både grafisk og ved regning.!? Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Oppgave 2.90 Per er 140 cm høy og vokser 5 cm per år. Om x år er høyden i centimeter gitt ved formelen y = 5x a) Hvor høy er Per om 5 år? b) Høyden i centimeter til Anne om x år er gitt ved formelen y = 2x Hvor høy er Anne nå, og hvor mye vokser hun per år? c) Lag et koordinatsystem og tegn linjer som viser høyden til Per og høyden til Anne de neste 10 årene. d) Bruk linjene til å finne ut når Per og Anne er like høye. e) Finn ved regning når Per og Anne er like høye. Oppgave 2.91 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast lønn på kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. 2) En fast lønn på kr pluss 250 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger x datamaskiner per måned. b)finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave 2.92 Løs likningssettene grafisk og ved regning. a) y = 2x + 1 b) y = x + 4 c) y = 1 2 x 4 y = x + 4 y = 2x 2 y = 3 2 x Vi skal nå løse likningssettet 5x 2y = 4 x + y = 5 ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den andre likningen. x + y = 5 x = 5 y 65

29 Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den første likningen: 5x 2y = 4 5 (5 y) 2y = y 2y = 4 7y = y = 21 Divider med 7. y = 3 Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x = 5 y. x = 5 y = 5 3 = 2 Løsningen blir x = 2 og y = 3. EKSEMPEL Løs likningssettet 2x y = 8 3x + 4y = 1 Løsning: Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen. 2x y = 8 y = 2x + 8 Multipliser alle leddene med 1. y = 2x 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x + 4y = 1 3x + 4(2x 8) = 1 3x + 8x 32 = 1 11x = 33 x = 3 Vi finner y ved å sette x = 3 inn i uttrykket for y. y = 2x 8 = = 6 8 = 2 Løsningen er x = 3 og y = 2.? Oppgave 2.93 Løs likningssettene ved regning. a) x + 2y = 5 b) 3x + 4y = 1 c) x 2y = 4 d) x + 2y = 2 x + y = 2 6x + y = 7 3x y = x + y = Sinus 1EL > Formler og likninger

30 SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Framgangsmåte når vi løser likninger 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent som vi løser. 67

31 2 Formler og likninger KATEGORI Noen enheter i elektrofaget Oppgave Skriv størrelsene uten prefikser. a) 3 kv b) 4 M c) 2,3 kv d) 0,5 k Oppgave Skriv størrelsene uten prefikser. a) 3000 ma b) 30 ma c) 320 mv d) 25 mv Oppgave Skriv størrelsene uten prefikser. a) 0,33 M b) 25 μa c) 355 mv d) 4,5 μv Oppgave Gjør om til kilovolt (kv). a) 2000 V b) V c) 300 V d) 25 V Oppgave Gjør om til milliampere (ma). a) 0,002 A b) 0,025 A c) 0,000 5 A d) 0, A Oppgave Skriv størrelsene med et passende prefiks. a) V b) c) 0,0020 V d) 0, A Oppgave Finn resistansen når vi seriekopler motstander med disse resistansene. a) 30, 20 og 45 b) 1600, 225 og 375 c) 2000 og 3,5 k d) 3500, 2 k og 500 k Oppgave Vi har tre motstander med resistansene 300 k, og 0,5 M. a) Gjør om resistansene til kiloohm (k ). b) Vi kopler motstandene i serie. Hva blir den samlede resistansen? 206 Sinus 1EL > Formler og likninger

32 Oppgave kwh tilsvarer 3,6 MJ. Hvor mange MJ tilsvarer a) 2 kwh b) 24 kwh c) 5000 kwh Oppgave En familie har i løpet av et år et strømforbruk på kwh. Hvor mange gigajoule (GJ) tilsvarer det? 2.2 Grafer Oppgave Petter tar ofte drosje. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen i kroner på en drosjetur og lengden av turen målt i kilometer. kr y km a) En dag kjørte han 16 km med drosje. Hva måtte han betale for den turen? b) Omtrent hvor mange kilometer kan han kjøre for 300 kr? x Oppgave Grafen viser sammenhengen mellom elektrisk resistans og lengde for en motstandstråd. 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 Resistans 0,4 Lengde 0,8 1,2 1,6 m a) Hvor stor er resistansen når lengden er 0,8 m? b) Hvor stor er resistansen når lengden er 1,2 m? c) Hvor lang må tråden være for at resistansen skal være 0,012? Oppgave Frida har mobiltelefon. På en graf kan hun lese av utgiftene per måned til bruk av telefonen når hun bare bruker den til samtaler. kr y min a) Hvor store var telefonutgiftene når hun en måned snakket til sammen i to timer? b) En annen måned hadde hun ikke råd til å bruke mer enn 150 kr på telefonen. Hvor mange minutter kunne hun da snakke til sammen? x 207

33 Oppgave Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom strømmen gjennom en motstand og spenningen over motstanden. V U I A a) Hvor høy er spenningen over motstanden når strømmen er 6 A? b) Hvor stor er strømmen gjennom motstanden når spenningen er 5 V? c) Hvor stor er strømmen gjennom motstanden når spenningen er 17,5 V? Oppgave Grafen viser sammenhengen mellom effekt og spenning for en motstand. W Effekt Spenning V a) Finn effekten når spenningen er 20 V. b) Hvor stor er spenningen når effekten er 175 W? Oppgave Lise skal kjøre langt med bilen og fyller bensintanken helt opp før start. Grafen viser hvordan bensinmengden minker med avstanden. liter y mil a) Hvor mye rommer bensintanken? b) Hvor mye er det igjen på tanken når Lise har kjørt 50 mil? c) Hvor langt har hun kjørt når det er 40 liter bensin igjen? d) Hvor langt kan Lise kjøre før tanken er tom? 2.3 Likninger Oppgave Løs likningene. a) 2x 3 = 1 b) x + 2 = 4 x c) 3 + 2x = 1 d) 5 2x = x 4 Oppgave Løs likningene. a) 4 + 4x = 2x + 8 b) 5x 6 = 4x 5 c) 1 x = x + 1 d) 3 3x = x 5 Oppgave Løs likningene. a) x + 2 2x = 3 2x b) 4 5x = x 14 c) 3x 1 = 4x + 4 d) 2x + 2 3x = 0 x 208 Sinus 1EL > Formler og likninger

34 Oppgave Løs likningene. a) 2 2x = 4x 10 b) 3x 8 = 4 + 2x 6 c) x + 2 2x = x Likninger med brøker Oppgave Løs likningene. a) 1 2 x 2 = 1 2 c) b) 2 3 x = x 2 5 x = 1 d) 2 1 x = 6 3 x Oppgave Løs likningene. a) = 3 x b) 2 1 x 2 = 5 2x c) x = d) x 2 = Formler Oppgave Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h. g Regn ut arealet når a) g = 6 m og h = 8 m b) g = 120 mm og h = 8 mm c) g = 0,2 cm og h = 3,1 cm h Oppgave La s være strekningen i kilometer som du har kjørt med bil på t timer. Hvis du holder jevn fart på 60 km/h, er s = 60 t a) Hvor langt kjører du på 2 timer? b) Hvor langt kjører du på 3,5 timer? Oppgave Sammenhengen mellom spenningen U, strømmen I og resistansen R i en strømkrets er gitt ved Ohms lov: U = R I Finn spenningen når a) R = 30 og I = 2,0 A b) R = 45 og I = 0,4 A c) R = 6,2 og I = 3,5 A Oppgave Resistansen R i en metalltråd med resistiviteten, lengden l og tverrsnittet A kan vi finne ved formelen R = l A A l Finn resistansen når = 0,032 mm 2 /m, l = 2,5 m og A = 0,75 mm 2. Oppgave I en seriekopling av to motstander kan vi regne ut strømmen I ved hjelp av formelen I = U + der og er resistansene til motstandene og U er spenningen over motstandene. Finn strømmen når = 5, = 10 og U = 3 V. 209

35 Oppgave Vi kan regne ut den elektriske effekten P til en motstand ved hjelp av formlene P = U I eller P = R I 2 der U er spenningen, I er strømmen og R er resistansen. a) Regn ut effekten i watt (W) når U = 45 V og I = 2,2 A. b) Finn effekten i watt (W) når R = 30 og I = 0,8 A. Oppgave Guri har et mobilabonnement der hun betaler fast 59 kroner i måneden og en minutt pris på 1,49 kr for samtaler. Dersom hun en måned bare bruker mobiltelefonen til samtaler, er utgiftene U i kroner for x minutter med samtale U = 1,49x + 59 a) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 200 minutter? b) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 350 minutter? Oppgave En krets består av et batteri og to motstander med resistansene og som er seriekoplet. Spenningen U 2 over motstanden med resistans kan vi finne ved hjelp av formelen U 2 = U + U der U er batterispenningen. a) Finn spenningen U 2 når U = 12 V, = 12 og = 4. b) Hva er spenningen U 2 når U = 12 V og både og er 6? 2.6 Praktisk bruk av likninger Oppgave Sammenhengen mellom spenningen U, resistansen R og strømmen I er gitt ved U = RI. a) Finn strømmen I når 1) U = 12 V og R = 4 2) U = 7,2 V og R = 120 b) Finn resistansen R når 1) U = 45 V og I = 5 A 2) U = 230 V og I = 2,3 A Oppgave Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor lang er grunnlinja når A = 30 cm 2 og h = 7,5 cm? b) Finn høyden når A = 22,4 cm 2 og g = 4,7 cm. Oppgave Effekten P til en motstand kan regnes ut med formelen P = U I der U er spenningen og I er strømmen. a) Regn ut spenningen når effekten er 60 W og strømmen er 5,0 A. b) Regn ut strømmen når spenningen er 230 V og effekten er 2000 W. Oppgave Folkemengden i verden var i 2000 på 6,1 milliarder. Noen hevder at x år etter 2000 vil folkemengden i milliarder være F = 6,1 + 0,1 x 210 Sinus 1EL > Formler og likninger

36 a) Finn ved regning når folkemengden er 7,6 milliarder. b) Finn ved regning når folkemengden er fordoblet i forhold til i Oppgave Inga tar av og til drosje på dagtid. Prisen T i kroner for en drosjetur på x kilometer er T = 13,70x + 31 a) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 168 kr. b) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 305 kr. Oppgave Ola drikker ofte en kopp varm te om morgenen. Når han lager te, bruker han alltid varmt vann med temperaturen 88 C. Ola lar teen stå til avkjøling i koppen, og etter t minutter er temperaturen i teen målt i celsiusgrader T = 88 2t a) Hva er temperaturen i teen etter 3,5 minutter? b) Ola liker best å drikke te med temperaturen 70 C. Finn ved regning hvor lenge han da må vente før han drikker teen. c) En dag glemte han hele teen, og temperaturen i teen sank til 52 C. Finn ved regning hvor lang tid det da hadde gått fra han helte på vannet. Oppgave En krets består av et batteri med spen nin gen U og to motstander med resistansene og som er serie koplet. Spenningen U 2 over motstanden med resistans kan vi finne ved hjelp av formelen U U 2 = U I I der I er strømmen. a) Finn U når U 2 = 8,0 V, = 5,0 og I = 2,2 A. b) Finn I når U = 45 V, U 2 = 7,0 V og = Omforming av formler Oppgave a) Bruk formelen nedenfor og lag en formel for I. P = U I b) Bruk formelen nedenfor og lag en formel for V. T = m V Oppgave Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor stort er arealet når g = 4 cm og h = 7 cm? b) Finn en formel for grunnlinja g. c) Hvor lang er grunnlinja når arealet er 27 cm 2 og høyden er 9 cm? 211

37 Oppgave La U være prisen i kroner uten mer verdiavgift på en vare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis mer verdi avgiften er 25 %, er P = 1,25 U a) Finn en formel for U uttrykt ved P. b) En vare koster 45 kr med 25 % mva. Hva koster varen uten mva.? c) Vis at vi kan skrive formelen i oppgave a U = 4 5 P Oppgave Den samlede resistansen for en seriekopling av to motstander kan skrives som R = + der og er resistansene til de to motstandene. a) Finn en formel for. b) Hvor stor er når R = 12 og = 8? Oppgave Sammenhengen mellom farten v, strekningen s og tida t for en bil som kjører med konstant fart, er gitt ved v = s t a) Finn en formel for strekningen s. b) En bil kjører i 60 km/h i 1,5 timer. Hvor langt kommer bilen? c) Finn en formel for tida t. d) En bil kjører 75 km med farten 50 km/h. Hvor lang tid tok bilturen? Oppgave Den samlede spenningen U for tre seriekoplede batterier med spenningene U 1, U 2 og U 3 er U = U 1 + U 2 + U 3 a) Lag en formel for U 1. b) Forklar at når batteriene har like høy spenning kan formelen for den samlede spenningen skrives U = 3U 1 c) Bruk formelen i b til å lage en formel for U 1. Oppgave En krets består av et batteri med spenningen U og to motstander med resistansene og som er seriekoplet. Spenningen U 2 over motstanden med resistans er U U 2 = U I der I er strømmen. a) Lag en formel for U. b) Lag en formel for I. 2.8 Ulikheter I Oppgave Løs ulikhetene. a) x 2 > 4 b) x + 1 < 3 c) 2x + 2 < x 4 d) 3 x > 3x Sinus 1EL > Formler og likninger

38 Oppgave Løs ulikhetene. a) x + 2 > 2x + 3 b) 3 x < 7 2x c) 8 3x > 7 2x d) 6 + 2(x + 2) < 0 Oppgave Temperaturen T i en bestemt tekopp etter t minutter er gitt ved T = 3,0t + 77 a) Når er temperaturen under 44 C? b) Når er temperaturen over 62 C? 2.9 Likningssett Oppgave Løs likningssettene ved regning. a) y = x + 1 2x + y = 7 b) x = 2y 1 3x y = 2 Oppgave Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordinat systemet nedenfor y a) Finn løsningen av likningssettet. x b) Likningssettet i oppgaven er 3x 2y = 4 y = x + 3 Løs likningssettet og kontroller svaret i oppgave a. Oppgave Løs likningssettene både grafisk og ved regning. a) y = 2x 1 y = x + 1 b) x = y + 2 y + 2x = 1 KATEGORI Noen enheter i elektrofaget Oppgave Skriv størrelsene uten prefikser. a) 3,33 kv b) 4,45 M c) 0,108 k d) 23,2 μa Oppgave Gjør om til milliampere. a) 1,2 A b) 22 μa c) 140 na d) 0,53 μa Oppgave Gjør om til kiloohm. a) 122 b) 1,23 M c) 0,014 G d) 0,032 M Oppgave Du har tre motstander med resistansene 0,01 G, 100 k og To av motstandene skal seriekoples. Hvilke motstander må du velge for at den samlede resistansen skal bli 0,11 M? 213

39 Oppgave Ei vindmølle produserer en energi mengde på 25 TJ i løpet av ett år. a) Hvor mange husholdninger får dekket energi behovet sitt av denne vind mølla? Gå ut fra et forbruk på kwh per husholdning. b) I en by med innbyggere er det ca husholdninger. Hvor mange vindmøller må til for å dekke energibehovet til alle disse husholdningene? Oppgave Ei lyspære har en effekt på 60 W. a) Hvor stort er energiforbruket til denne lyspæra i løpet av et år hvis den gjennom snittlig står på 8 timer hver dag? Oppgi svaret i både kilowattimer og mega joule. b) Hvor mye koster energiforbruket i a når energiprisen er 63 øre/kwh? 2.2 Grafer Oppgave Anne skal klippe en stor plen. Hun arbeider i jevnt tempo. Grafen viser hvor mange kvadratmeter hun har igjen å klippe den nærmeste tida. Oppgave Det samlede energiforbruket innenfor industri og bergverk i Norge var på 0,31 EJ i a) Hvor mange husholdninger tilsvarer dette energiforbruket? Gå ut fra at hver husholdning trenger kwh. b) Hvor mange av vindmøllene i oppgave må til for å dekke denne energi bruken? m y min a) Hvor stor er plenen som skal klippes? b) Hvor mange kvadratmeter har Anne igjen å klippe etter 40 minutter? c) Hvor mange minutter har Anne klipt når det gjenstår 300 m 2 å klippe? d) Hvor lang tid bruker hun på hele jobben? x 214 Sinus 1EL > Formler og likninger

40 Oppgave Grafen viser hvordan temperaturen varierte ei kald høstnatt. Enheten langs førsteaksen er timer etter midnatt. C y a) Hva var temperaturen kl ? b) Hva var temperaturen kl ? c) Når var temperaturen lavest? Hva var temperaturen da? d) Når var temperaturen 1 C? x timer Oppgave Grafene viser sammenhengen mellom strømmen I og resistansen R for to variable motstander M 1 og M 2. Spenningen er konstant, men forskjellig for de to motstandene. A I 2 M 1 M R c) I hvilken av motstandene er strømmen 8 A når resistansen er 4? d) Hvor stor er forskjellen mellom resistansene når strømmen er 11 A? e) Sammenhengen mellom spenning, strøm og resistans er gitt ved U = R I. Bruk dette til å finne spenningen over de to motstandene. Oppgave En stein blir kastet rett opp i lufta. Grafen viser hvordan høyden y over bakken forandrer seg med tida t. m y 0,5 1 1,5 2 2,5 a) Hvor høyt er steinen etter 0,25 s? b) Hvor høyt er steinen etter 2 s? c) Når er steinen høyest? Hvor høyt over bakken er steinen da? d) Når treffer steinen bakken? e) Fra hvilken høyde ble steinen kastet? f) Når er steinen 8 m over bakken? t s a) Hvor stor er strømmen gjennom M 1 når resistansen er 5? b) Hvor stor er resistansen til M 2 når strømmen er 4 A? 215

41 Oppgave Biler slipper ut karbondioksid (CO 2 ). Hvor mye CO 2 en bil slipper ut, avhenger blant annet av farten. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom CO 2 - utslipp og farten for en bestemt bil. g/km y x km/h Karbondioksidmengden er målt i gram per kilometer (g/km), og farten er i kilometer per time (km/h). a) Hvor mye CO 2 slipper bilen ut når farten er 40 km/h? b) Hvor mye CO 2 slipper bilen ut når farten er 110 km/h? c) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet av CO 2 da? d) Hva er farten når utslippet er 150 g/km? 2.3 Likninger Oppgave Løs likningene. a) 25x + 12 = 2 15x b) 14s 6 + 7s = 15 c) 32t + 18 = 12t 5t + 68 d) 4 5(I 2) 2 + 2I = 0 Oppgave Løs likningene. a) 0,3x + 1,7x = 3,6 + 0,2x b) 1,5x 0,2 = 1,3x + 0,6 c) 0,6 2 (0,2x + 0,3) = 0,1x + 2,5 2.4 Likninger med brøker Oppgave Løs likningene. a) 1 2 x 5 2 = 2 ( x ) 1 6 b) 2 3 t 1 (7 t) = 0 2 c) 2 ( 1 2 t ) 2t = 1 3 d) 2 (1 4 5 s ) + s = 7 5 Oppgave Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 3 2 (R + 1) 2 3 (1 + R) = 5 2 R b) 1 (I 1) 3 (1 I) = Oppgave Løs likningene. 1 a) 2x = 1 1 x b) 1 2 x x + 1 = 4 x c) x x x = 1 8 x Sinus 1EL > Formler og likninger

42 Oppgave Løs om mulig likningene. a) x + 1 x b) c) = 1 x x + 1 = 3 x + 2 2x 1 x(1 x) 1 x x + 1 x = 2.5 Formler Oppgave Når vi sender strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, er effekten P gitt ved formelen P = R I 2 Gjennom en motstand med resistans 30 går det en strøm på 8,0 A. a) Finn effekten P. b) Finn energimengden i kilowattimer per døgn. c) Hvor mye koster strømmen per døgn når prisen er 68 øre/kwh? Oppgave En krets består av en spenningskilde med spenningen U og to motstander med resistansene og som er seriekoplet. Den samlede effekten P til motstandene er gitt ved P = ( + ) I 2 I a) Finn P når 1) I = 8,0 A 2) I = 4,0 A 3) I = 2,0 A b) Bruk resultatene i a til å finne I når P = 256 W. Oppgave Resistansen R i en metalltråd med resistiviteten, lengden l og tverr snittet A kan vi finne ved hjelp av formelen R = l A l En kopperledning har et tverrsnitt på 0,75 mm 2 og en resistivitet på 0,0175 mm 2 /m. a) Hva er resistansen per meter for en slik ledning? b) Hvor mange meter kan du høyst ha av denne ledningen for at ikke resistansen skal overstige 8? Oppgave Vi fyller varmt drikke på ei tekanne. Kanna holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i kanna T = 90 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 20 minutter? A U der I er strømmen. er 0,3, og er 0,7. Oppgave To motstander med resistansene og er koplet parallelt. Samlet resistans i parallellkoplingen er da gitt ved R = R

43 a) Finn R når = 6 og = 4. b) Finn R når = 10 og = 10. c) Hva er den største verdien R kan ha når summen av og skal være 10? Prøv deg fram ved å sette inn ulike verdier i formelen. Oppgave En bil har en bensintank på 48 liter. En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Bilen bruker 0,60 liter per mil. a) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 32 mil? b) Finn et uttrykk for bensinmengden B på tanken etter x mil. 2.6 Praktisk bruk av formler Oppgave Effekten P til en motstand kan regnes ut ved formelen P = R I 2 der R er resistansen og I er strømmen. a) Regn ut resistansen når effekten er 500 W og strømmen er 0,40 A. b) Regn ut strømmen når resistansen er 50,0 og effekten er 120 W. Oppgave I en parallellkopling er den samlede resistansen R gitt ved formelen 1 R = Oppgave Med formelen nedenfor kan vi regne ut endringen i resistansen i en metalltråd når temperaturen forandrer seg. = (1 + (t 2 t 1 )) er resistansen ved temperaturen t 1, og er resistansen ved temperaturen t 2. Tallet er avhengig av metallet. For kopper er = 0,004. a) En kopperledning har resistansen 22 m ved 20 C. Hvor stor er resistansen ved 400 C? b) Hvor mange prosent øker resistansen i ledningen når temperaturen øker fra 20 C til 400 C? c) Hvor mange prosent øker resistansen når temperaturen i ledningen øker fra 400 C til 780 C? a) Regn ut den samlede resistansen når 1) = 2,0 og = 5,0 2) begge motstandene er på 30 3) begge motstandene er på 60 b) Hva kan du si generelt om den samlede resistansen i en parallellkopling når motstandene er like store? Oppgave Emsen til en spenningskilde er gitt ved = U + R i I der U er polspenningen, R i er den indre resistansen og I er strømmen. Hvor høy er strømmen når = 24,2 V, R i = 2,6 og U = 22,9 V? 218 Sinus 1EL > Formler og likninger