Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Transkript

1 8 1

2 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere og diskutere det matematiske innholdet i skriftlige, muntlige og grafiske framstillinger tolke og bruke formler knyttet til dagligliv, yrkesliv og program område

3 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler: Positivt tall positivt tall positivt tall Positivt tall negativt tall negativt tall + Negativt tall positivt tall negativt tall + Negativt tall negativt tall positivt tall + Når vi ganger to tall, blir svaret et positivt tall hvis fortegnene er like. Svaret blir et negativt tall hvis fortegnene er forskjellige. EKSEMPEL Regn ut. a) 3 4 b) 4 ( 2) c) ( 3) 12 d) ( 5) ( 3) a) b) 4 ( 2) 8 c) ( 3) d) ( 5) ( 3) 15 ON Regnestykkene ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det på mange lommeregnere er to ulike minustegn. Slike lommeregnere har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 2. Differansetasten står på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten ( ) finner du enten på den venstre siden eller i den nederste rekken. Fortegnstast: ( ) Differansetast: I uttrykket 4 ( 2) er minustegnet et fortegn. Vi må da bruke fortegnstasten ( ). OFF Hvis du bruker Casio, får du som oftest rett svar når du bruker differansetasten der du skulle brukt fortegnstasten Sinus 1P > Tall og formler

4 Når vi for eksempel skal regne ut er det viktig å vite hvordan vi gjør det. Det blir Det blir ikke Vi må gange før vi legger sammen. Utregninger gjør vi alltid i denne rekkefølgen: 1 Først multiplikasjon ( ) og divisjon ( : ) 2 Deretter addisjon (+) og subtraksjon ( ) EKSEMPEL Regn ut. a) b) c) ( 3) a) Multiplikasjon før addisjon b) Multiplikasjon før subtraksjon c) ( 3) Multiplikasjon før addisjon ON Gode lommeregnere regner slik vi lærte ovenfor. Når vi skal regne ut , taster vi slik skjermbildene viser. Casio Texas OFF Vi ser at svaret blir 13. Hvis du får svaret 28, bør du kjøpe deg en annen lommeregner. 11

5 ? Oppgave 1.10 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 5 6 b) 5 ( 4) c) ( 6) 3 d) ( 4) ( 6) Oppgave 1.11 Regn ut både med og uten lommeregner. a) b) ( 4) c) ( 6) 3 + ( 4) ( 5) d) 6 ( 5) 2 + ( 3) 5 Når du skal regne ut et uttrykk som også inneholder potenser eller parenteser, må du alltid gjøre det i denne rekkefølgen: 1 Regn først ut parentesuttrykkene. 2 Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Vi viser nå med et eksempel hvordan dette blir i praksis. EKSEMPEL Regn ut. a) 2 (3 + 1) b) (2 5) 2 a) 2 (3 + 1) Regn først ut uttrykket i parentesen Regn ut potensen Gjør multiplikasjonene Gjør til slutt addisjonen. b) (2 5) 2 1 Regn først ut uttrykket i parentesen ( 3) 2 2 Regn ut potensene Gjør til slutt addisjonen Sinus 1P > Tall og formler

6 !! ON Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut Det er ikke det samme som 8 3. Når vi skriver 4 2 3, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 2) Når vi skriver 3 2, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3) 2. ( 3) 2 9 La oss nå regne oppgave a i eksempelet på forrige side på lommeregneren. Vi skal regne ut 2 (3 + 1) Casio Vi taster slik skjermbildet viser. Texas Vi taster slik skjermbildet viser. OFF Svaret er 24. Svaret er 24.? Oppgave 1.12 Regn ut både med og uten lommeregner. a) b) 4 ( 2) 2 c) d) (5 3) 2 Oppgave 1.13 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 (7 5) + 2 b) 3 (4 12) c) (8 4) ( 3) 2 d) ( ) + ( ) 13

7 1.2 Hoderegning og overslagsregning I yrkeslivet og i dagliglivet er det ikke så ofte vi gjør utregninger ved hjelp av blyant og papir. Enten bruker vi lommeregner, eller så regner vi i hodet. Når vi regner i hodet, kan vi ikke bruke de samme metodene som når vi regner ved hjelp av blyant og papir. Når vi regner i hodet, klarer vi ikke å huske mange mentetall. Det fins flere metoder å velge blant når vi skal regne i hodet. Vi bør alle finne en metode som passer for oss. Først ser vi på en metode som vi kan bruke når vi legger sammen og trekker fra (addisjon og subtraksjon). Denne metoden går ut på å dele tallene i tiere og enere. Deretter trekker vi sammen de hele tierne først. Tenk gjerne på penger når du regner! EKSEMPEL Regn ut i hodet. a) b) 164, c) d) 152,00 83,50 a) ? b) 164, ? , , ,50 242,50 c) ? d) 152,00 83,50? ,50 1, ,50 68,50? Oppgave 1.20 Regn ut i hodet. a) b) c) d) 127, e) ,50 f) Sinus 1P > Tall og formler

8 ? Oppgave 1.21 Regn ut i hodet. a) b) c) 274,50 152,50 d) 127,50 98,50 e) ,50 f) Vi kan også klare å multiplisere i hodet. EKSEMPEL Regn ut i hodet. a) 13 7 b) c) 39 9 d) a) 13 7? b) 23 12? c) 39 9? Vi ganger først 40 med 9. Da har vi tatt med 9 en gang for mye d) 15 18? Vi ganger først 15 med 20. Da har vi tatt med 15 to ganger for mye ? Oppgave 1.22 Regn ut i hodet. a) 23 5 b) 17 9 c) 27 5 d) 43 3 Oppgave 1.23 Regn ut i hodet. a) 35 9 b) c) d)

9 Disse metodene kan virke vanskelige i begynnelsen, for du må både kunne regne og huske godt. Men begge disse egenskapene kan du utvikle ved trening. Mange regnestykker klarer vi ikke å få til i hodet. Da kan vi i stedet bruke overslagsregning og finne omtrent hvor stort svaret er. Et slikt omtrentlig svar vil ofte være godt nok for oss. Ved overslagsregning bruker vi disse reglene: Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. EKSEMPEL Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 184, ,20 b) 657,50 379,45 c) 18,5 26,3 d) 122 : 3,12 a) Ved addisjon runder vi ett tall opp og ett ned. 184, , b) Ved subtraksjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 657,50 379, Sinus 1P > Tall og formler

10 c) Ved multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. 18,5 26, d) Ved divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 122 : 3, : 3 40 EKSEMPEL Mona har en moped som hun bruker mye. Bruk overslagsregning når du løser denne oppgaven. a) En dag fyller hun 5,8 liter bensin som koster 9,18 kr per liter. Omtrent hvor mye koster bensinen? b) Mopeden bruker 0,23 liter bensin per mil. Omtrent hvor mye bensin trenger hun til en tur på 18 mil? c) Omtrent hvor lang tid bruker hun på 18 mil når hun kjører 47 km/h? a) Prisen for 5,8 liter bensin blir 9,18 kr 5,8 9 kr 6 54 kr Her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned fordi vi multipliserer. b) Antallet liter bensin er 0,23 l 18 0,2 l 20 4 l Også her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned. c) Ettersom 18 mil 180 km, bruker hun h h 4 h Hun bruker omtrent 4 timer. Her rundet vi begge tallene opp fordi vi dividerer. 17

11 ? Oppgave 1.24 Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 232, ,3 b) 488,3 232,5 c) 42,8 18,7 d) 362 : 7,3 Oppgave 1.25 Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 788, ,2 b) 788,3 615,2 c) 123,2 2,13 d) 582 : 20,3 Oppgave 1.26 Håkon og Gustav er ivrige langrennsløpere. De går runder i lysløypa. Hver runde er 2,6 km. a) Håkon gikk en dag 12 runder. Omtrent hvor langt gikk han? b) Håkon brukte i gjennomsnitt 9 min 10 s per runde. Omtrent hvor lang tid brukte han på de 12 rundene? c) Gustav gikk 2 runder på 15 min 20 s. Hvor lang tid brukte Gustav per kilometer? Oppgave 1.27 Marie er i butikken og har med seg 200 kr. Hun kjøper et brød til 17,50 kr en pakke kjøttdeig til 46,50 kr 2 liter jus til 11,50 kr per liter 5 kg poteter til 24 kr en pose epler til 19,50 kr 4 flasker brus til 9,90 kr per flaske ei avis til 10 kr Bruk overslagsregning og finn ut om Marie har med seg nok penger. 1.3 Forkorting og utviding av brøker Brøkene 1 4 og 2 8 kan vi skrive som desimaltall på denne måten: : 4 0, : 8 0,25 Begge tallene er lik 0,25. Brøkene 1 4 og 2 8 må derfor være like Sinus 1P > Tall og formler

12 Det kan vi også finne ut ved å se på en pizza. Pizzaen til venstre nedenfor er delt i 4 like store deler. Hege spiser ett stykke av denne pizzaen. Hun spiser dermed 1 4 pizza. 1/4 1/8 1/8 Pizzaen til høyre ovenfor er delt i 8 like deler, og hver del er altså 1 8 pizza. Thomas spiser to slike stykker. Han spiser dermed 2 pizza. Figurene viser 8 at Hege og Thomas spiser like mye. Dermed er Dette kan vi få fram ved å dividere telleren og nevneren med : 2 8 : Vi har forkortet brøken. Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. 19

13 EKSEMPEL Forkort brøkene. a) b) a) : 6 30 : 6 3 b) : 3 12 : Til vanlig fører vi forkortingene på denne måten: a) b) !! ON I brøken 5 er telleren større enn nevneren. Vi har da en uekte brøk. En 4 uekte brøk kan vi skrive som et blandet tall. Brøken 5 er det samme som Du behøver ikke gjøre om uekte brøker til blandede tall. 4 Når vi skal finne ut hvor stor en uekte brøk er, bruker vi lommeregneren og regner den uekte brøken om til et desimaltall. Det er lettere enn å regne den om til et blandet tall. Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker. Nå skal vi vise hvordan vi forkorter brøken 18 fra eksempelet ovenfor. 30 Casio Velg RUN på ikonmenyen og tast Tegnet får du fram ved å trykke på tasten a b / c. Trykk nå på EXE. Da får du svaret 3 5 slik figuren viser. Texas Tast først 18. Tegnet / får du fram 30 ved å trykke på tasten. Trykk så på tasten MATH og velg 1: Frac. Trykk nå på ENTER. Da får du svaret 3 slik figuren viser. 5 OFF Sinus 1P > Tall og formler

14 ? Oppgave 1.30 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. a) 4 b) 9 c) d) Oppgave 1.31 Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. a) d) b) e) 78 c) f) Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Vi kan også multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren uten at brøken endrer verdi. Da utvider vi brøken. Det får vi bruk for når vi skal summere brøker. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. EKSEMPEL Utvid brøkene 1 3, 5 6 og slik at alle brøkene får 24 som nevner. Vi ganger med 8 i telleren og nevneren for å få 24 i nevneren. Hele tall kan vi også skrive som brøker. Tallet 5 kan vi skrive som en brøk med 3 som nevner:

15 EKSEMPEL Skriv tallet 7 som en brøk med 5 som nevner ? Oppgave 1.32 Skriv brøkene med 12 som nevner. a) 1 2 b) 2 3 c) 3 4 d) 5 6 Oppgave 1.33 Skriv brøkene med 36 som nevner. a) 3 b) 7 c) d) 11 6 e) 5 2 f) Brøkregning All tallregning med brøker kan vi gjøre på lommeregneren. EKSEMPEL Regn ut på lommeregneren. a) b) 3 4 : 9 10 ON Casio a) Først velger vi RUN på ikonmenyen. Tast inn uttrykket og husk på å trykke på tasten a b / c for å få fram symbolet for brøkstrek. Når du tryk ker på EXE, får du svaret Texas a) Først taster vi inn uttrykket og bruker delings tegnet som brøkstrek. Trykk deretter på MATH og velg 1: Frac. Når du trykker på ENTER, får du svaret Sinus 1P > Tall og formler

16 Legg merke til hvordan lom meregneren skriver blandede tall. Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi på tasten d/c. Symbolet d/c står skrevet med gult over tasten a b / c. Du trykker da på SHIFT og deretter på a b / c. Nå får du svaret 7 4. b) Når vi skal regne ut 3 4 : 9 10, setter vi parentes rundt hver brøk. Det er fordi lommeregneren ikke skiller mellom brøkstrek og delingstegn. Vi taster som vist på skjermen 5 nedenfor og får svaret 6 når vi trykker på ENTER. b) Vi taster som vist på skjermen nedenfor og får svaret 5 6 når vi trykker på EXE. OFF? Oppgave 1.40 Bruk lommeregneren og regn ut. a) d) g) b) e) 3 : 5 12 c) 1 3 : 4 9 f) h) 4 9 : 3 i)

17 ? Oppgave 1.41 Bruk lommeregneren og regn ut. a) 2 ( ) b) ( ) 3 5 c) ( ) : 2 9 d) ( ) ( ) Nå skal vi se på hvordan vi kan regne med brøk uten å bruke lommeregneren. Når vi skal summere brøkene 1 2 og 1, må vi først utvide dem slik at de får 3 den samme nevneren. Deretter summerer vi brøkene. Det minste tallet som både 2 og 3 går opp i, er 6. Tallet 6 er fellesnevneren for de to brøkene Her er de reglene for brøkregning som du lærte på ungdomsskolen: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Der etter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 2 7 : Sinus 1P > Tall og formler

18 EKSEMPEL Regn ut. a) b) c) d) 3 4 : 9 10 a) Vi finner fellesnevneren for 4 og 8. Den er 8. Vi utvider den første brøken slik at begge brøkene får 8 som nevner. Vi summerer tellerne og lar nevneren stå som den er. b) Vi multipliserer det hele tallet med telleren. Vi dividerer med 3 i telleren og nevneren. c) d) : Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi dividerer med 6 i telleren og nevneren. Vi snur først den brøken som vi dividerer med. Vi ganger telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi dividerer med 6 i telleren og nevneren. 25

19 ? Oppgave 1.42 Regn ut uten lommeregner. a) d) b) e) 3 : 5 12 c) 1 3 : 4 9 f) Oppgave 1.43 Regn ut uten å bruke lommeregneren. Regn ut parentesene først. a) 2 ( ) b) ( ) 3 5 c) ( ) : 2 9 d) ( ) ( ) 1.5 Formler Marit arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marit ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L 120x + 150y Dette er en formel for lønna L. Vi kan bruke den til å regne ut lønna når vi vet hvor mye hun har arbeidet på hverdager og på søndager. Hvis hun arbeider 10 timer på hverdagene og 4 timer på søndagen, blir lønna i kroner L Lønna blir 1800 kr. Vi har her satt x 10 og y 4 inn i formelen for L. Lønna L har vi funnet ved å sette inn i formelen. EKSEMPEL Otto har en mobiltelefon med et kontantkort og betaler 0,79 kr per tekstmelding. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger, er prisen P i kroner for tekstmeldingene gitt ved formelen P 0,79 x a) Hvor mye betaler Otto for 200 tekstmeldinger? b) Hvor mye betaler han for 400 meldinger? Sinus 1P > Tall og formler

20 a) Vi setter inn tallet 200 i stedet for x i formelen og får P 0, Otto betaler 158 kr for 200 tekstmeldinger. b) Nå setter vi x 400 og får P 0, Otto betaler 316 kr for 400 tekstmeldinger. EKSEMPEL Otto har skaffet seg et abonnement for mobiltelefonen sin. Prisen P i kroner for x tekstmeldinger er P 0,69x + 49 a) Hvor mye betaler Otto nå for 200 tekstmeldinger? b) Hvor mye betaler han for 400 meldinger? a) Vi setter x 200 i formelen og får P 0, Otto betaler 187 kr for 200 tekstmeldinger. b) Med x 400 får vi P 0, Otto betaler 325 kr for 400 tekstmeldinger.? Oppgave 1.50 La U være prisen i kroner uten merverdiavgift på en vare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er på 25 %, er P 1,25 U Finn prisen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 350 kr. 27

21 ? Oppgave 1.51 Grete Grønn kjøper en plante som hun planter i hagen. Etter x uker er høyden av planten målt i centimeter gitt ved h 2x + 5 a) Hvor høy er planten etter 5 uker? b) Hvor høy er planten etter 20 uker? c) Hva forteller tallene 2 og 5 i formelen ovenfor? Oppgave 1.52 Vi ser nå på hele telefonregningen til Otto. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger og har y telefonsamtaler som varer i til sammen z minutter, er beløpet B i kroner gitt ved B 0,69x + 0,59y + 1,59z + 49 a) Hvor stor blir regningen hvis Otto sender 250 tekstmeldinger og ringer 40 ganger og snakker i til sammen 120 minutter? b) Hva blir regningen for 180 meldinger og 100 samtaler som varer i til sammen 240 minutter? c) Hva forteller tallene 0,69, 0,59, 1,59 og 49 om dette abonnementet? I de eksemplene vi nå har hatt, fikk vi oppgitt den formelen vi skulle bruke. Noen ganger må vi lage formelen selv. EKSEMPEL Mona Mo kjøper en moped som koster kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. Mona har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden per år. I tillegg regner hun med at det går 2 kr per mil til bensin. c) Finn en formel for utgiftene U kroner når hun kjører x mil per år. d) Finn utgiftene når hun et år kjører 2000 km Sinus 1P > Tall og formler

22 a) På t måneder synker verdien med 300 t kroner. Verdien i kroner er da V t b) Ettersom 2 år er måneder, er verdien i kroner V Verdien om 2 år er kr. c) Bensinutgiftene i kroner for x mil er 2 x 2x De samlede utgiftene er da U 2x d) Ettersom 2000 km er det samme som 200 mil, blir utgiftene U Utgiftene er 4600 kr dette året. EKSEMPEL I skihopping er det en fordel å være lett. I 2005 ble det innført regler som skulle hindre at hoppere slanket seg for mye. Reglene bygger på kroppsmasseindeksen. Dette tallet blir ofte kalt BMI etter engelsk body mass index. BMI-verdien regner vi ut slik: vekt BMI høyde høyde der høyden er i meter. Vekten er i kilogram, og da er hopputstyret medregnet. For å få hoppe i konkurranser må hopperne ha en BMI over 20. a) Skriv formelen med vanlige matematiske symboler. b) Sverre Sletta er 178 cm høy og veier 64 kg medregnet hopp utstyret. Finn BMI-verdien hans. c) Får Sverre Sletta hoppe? 29

23 a) Vi lar h være høyden i meter, v er vekten i kilogram, og BMI-verdien kaller vi b. Da er v b h h v h 2 b) Vi setter v 64 og h 1,78. BMI-verdien er da b v h , ,2 c) Ettersom BMI-verdien er over 20, får han lov til å hoppe.? Oppgave 1.53 Martin har mobiltelefon. Han betaler 250 kr i abonnementsavgift per måned og i tillegg 0,89 kr per minutt når han ringer. Det er ingen startpris for samtalene. a) Finn en formel for utgiftene U i kroner per måned når han ringer i x minutter. b) Hvor mye må han betale hvis han en måned ringer i 300 minutter? Martin sender i tillegg tekstmeldinger og betaler 0,80 kr per melding. c) Finn en formel for utgiftene U i kroner per måned når han ringer i x minutter og sender y tekstmeldinger. d) Hvor mye må han betale hvis han en måned ringer i 150 minutter og sender 120 tekstmeldinger? Oppgave 1.54 Kåre Kulen er 180 cm høy og veier 64 kg medregnet hopputstyret. a) Bruk formelen for kroppsmasseindeksen og vis at Kåre Kulen ikke får lov til å delta i hopprenn. b) Kåre Kulen legger på seg 1 kg. Får han nå lov til å hoppe? Det er regler for hvor lange ski hoppere kan bruke. I avisene finner vi denne regelen for største skilengde i centimeter: skilengde 146 høyde + 0,675 (BMI 20) der høyden av hopperen er regnet i meter. c) Skriv formelen for skilengden l uttrykt ved høyden h og BMI-verdien b. d) Hvor lange ski kan Kåre Kulen bruke når BMI-verdien er 20? e) Finn en formel for skilengden l uttrykt ved høyden h og vekten v. f) Bruk formelen i oppgave e til å finne den største skilengden for en hopper som er 185 cm høy og veier 72 kg Sinus 1P > Tall og formler

24 1.6 Grafer Aviser og tidsskrifter bruker ofte grafer i stedet for formler for å vise sammenhenger. Grafen nedenfor viser hvor stor del av ungdomskullet som konfirmerte seg i kirka i årene ANTALL KONFIRMERTE I KIRKEN ,0% 89,0% 85,0% ,4% Borgerlig konfirmasjon ,4% 70,2% 68,2% Grafikk: Aftenposten/Adresseavisen 68,4% 67,5% 16,1% 16,1% 02 67,7% 17,1% 16,7% Ut fra grafen virker det som andelen kirkekonfirmerte har gått ganske jevnt nedover i hele perioden. Grafen viser samtidig at andelen ungdommer som velger borgerlig konfirmasjon, har økt i årene etter Grafer kan være et godt hjelpemiddel til å se en utvikling over tid. Men det er lett å la seg lure av grafen ovenfor. Vi legger merke til at det i perioden fra 1960 til 1980 er 5 år mellom hver strek på førsteaksen. Etter 1980 er det 1 år mellom hver strek. I 1960 var det 93,0 % av ungdommene som ble konfirmert i kirka. I 1980 var det 89,0 %. Nedgangen var dermed 93,0 89,0 20 4,0 20 0,2 prosentpoeng per år (prosentpoeng lærer du mer om i kapittel 2). I 2000 var det 70,2 % som konfirmerte seg i kirka. Nedgangen fra 1980 til 2000 var 89,0 70, ,8 20 0,94 prosentpoeng per år. Vi ser at nedgangen var mye kraftigere i perioden enn fra 1960 til Det kan vi ikke se direkte av grafen. 04! Hvis en graf skal vise en utvikling på riktig måte, er det viktig at det er jevn avstand mellom tallene på aksene. På grafen ovenfor er noen av prosenttallene skrevet på selve grafen. Det er ikke vanlig i matematikk. Som oftest må vi lese av grafen selv. Da går vi fram som vist i eksempelet på neste side. 31

25 EKSEMPEL Camilla arbeider i en butikk. Lønna er delvis bestemt av hvor mye hun selger. Når hun vet hvor mye hun har solgt for, finner hun lønna av denne grafen: kr Lønn Salg kr a) Finn lønna når hun en dag selger for kr. b) Hvor mye må hun selge for hvis lønna skal bli 600 kr? a) Når Camilla selger for kr, må vi ta utgangspunkt i tallet på x-aksen og lese av på denne måten: kr Lønn Salg kr Vi kommer fram til tallet 740 på y-aksen. Lønna blir 740 kr. b) Når lønna er 600 kr, går vi ut fra tallet 600 på y-aksen og leser av som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet Hun må selge for kr Sinus 1P > Tall og formler

26 ? Oppgave 1.60 Joakim arbeider i en butikk. Lønna er bestemt av hvor mye han selger. Han finner lønna av denne grafen: kr 1000 Lønn Salg kr a) Finn lønna når Joakim en dag selger for 5000 kr. b) Hvor mye må han selge for hvis lønna skal bli 900 kr? Oppgave 1.61 Guro har mobiltelefon. Hvor mye hun må betale per måned, finner hun av grafen nedenfor. Hun betaler ingen startavgift for samtalene. kr 600 Utgifter Ringetid min a) Hvor mye koster det når Guro ringer i 240 minutter? b) Hvor lenge kan hun ringe for 300 kr? 33

27 ? Oppgave 1.62 Figuren nedenfor viser hvor mange tonn torsk som ble fisket per år i Canada fra 1850 og fram til a) Hvor mange tonn torsk ble det fisket i 1900? b) I hvilke år ble det fisket tonn torsk per år? c) I hvilket år ble det fisket mest torsk? Hvor mange tonn ble det fisket det året? Hvordan vil du beskrive resultatet av det fisket? d) Helt fram til slutten av 1980-årene var det ikke lov å fiske småtorsk. Hva skjedde da det forbudet ble opphevet? Oppgave 1.63 I 2005 lånte en bilmekaniker bilen til en kunde og prøvekjørte den på offentlige veier. Grafen nedenfor viser farten til bilen på forskjellige tidspunkter Sinus 1P > Tall og formler

28 Bruk grafen på forrige side og svar på spørsmålene. a) Hvor lenge varte kjøreturen? b) Hva var den høyeste farten? c) Hvor mange ganger stoppet mekanikeren helt? d) Omtrent hvor stor var gjennomsnittsfarten? e) Omtrent hvor lang var kjøreturen? f) Hvilke konsekvenser tror du denne kjøreturen hadde for mekanikeren? 1.7 Likninger Å løse likningen x er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det er det samme som å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her: Tallet 5 er det eneste som passer Likningen x har dermed løsningen x 5. Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger. EKSEMPEL Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x 12 b) 2x a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. 3x x 4 b) 2x x 2 35

29 ? Oppgave 1.70 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x b) x 3 5 c) 2x 8 d) 4x 12 Oppgave 1.71 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) 2x 1 3 b) 3x c) 5x 1 14 d) 6x 4 20 Likningen x kan vi også løse på denne måten: Ettersom tallene på begge sidene av likhetstegnet skal være like, må vi kunne trekke fra 2 på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall. x x 7 2 Vi ser at å trekke fra 2 på hver side i likningen x svarer til å flytte 2 over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte alle ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddene. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene: Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. x x 2x + 5 x 7 2 3x 2x 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. 1 2 x 2 2x x 2 2 2x Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. Sinus 1P > Tall og formler

30 EKSEMPEL Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 5x + 3 2x 11 b) 1 2 x x 1 a) Vi bruker regnereglene for likninger. 5x + 3 2x 11 5x + 2x x 14 7x x 2 Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side. Trekk sammen leddene på hver side. Divider med tallet foran x. Vi kontrollerer løsningen x 2 ved å sette prøve. Venstre side: 5x ( 2) Høyre side: 2x 11 2 ( 2) Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. b) Fellesnevneren for brøkene 1 2 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 4 på begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene. 1 2 x x x x 4 1 Multipliser alle leddene med fellesnevneren, som her er 4. 2x x 4 2x 3x 4 12 x 16 x 16 Flytt over ledd og trekk sammen leddene på hver side. Når x 16, er x 16. Vi kontrollerer løsningen x 16 ved å sette prøve. 1 Venstre side: 2 x Høyre side: 4 x Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. 37

31 ? Oppgave 1.72 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x b) 2x c) 2x x + 3 d) 4x 1 2x + 7 Oppgave 1.73 Løs likningene. a) 3x 1 x + 4 b) 5x + 1 2x 3 c) 2x + 1 x + 7 d) 2,5x + 2 5x 8 Oppgave 1.74 Løs likningene. a) 1 2 x 1 4 x + 1 b) 1 2 x x Praktisk bruk av likninger Noen ganger bruker vi likninger til å løse praktiske problemer. Vi skal vise noen eksempler på det. EKSEMPEL Kristian har en mobiltelefon med et kontantkort. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger, er prisen P for tekstmeldingene gitt ved formelen P 0,79 x Hvor mange tekstmeldinger kan han sende for 250 kr? Her er P 250. Det gir denne likningen: P 250 0,79 x 250 0,79 x 0,79 x 250 0,79 x 316, ,79 Kristian kan sende 316 meldinger Sinus 1P > Tall og formler

32 EKSEMPEL Mona har nettopp fylt tanken på mopeden med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved b 6 0,2x a) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? b) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom? a) Vi får denne likningen: b 2 6 0,2x 2 0,2x 2 6 0,2x 4 0,2x 0,2 4 0,2 4 x 0,2 x 20 Hun har kjørt 20 mil. b) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b 0 6 0,2x 0 0,2x 0 6 0,2x 6 0,2x 0,2 6 0,2 6 x 0,2 x 30 Hun kan kjøre 30 mil. 39

33 EKSEMPEL Marita arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marita ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L 120x + 150y Ei uke arbeidet hun 5 timer på søndagen. Hun fikk 3630 kr i lønn for hele uka. Hvor mange timer arbeidet hun på hverdagene? Her er y 5 og L Det gir denne likningen: 120x + 150y L 120x x x x x x 24 Marita arbeidet 24 timer på hverdagene.? Oppgave 1.80 En vare koster U kroner uten merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift gitt ved formelen P 1,25 U Bruk formelen til å finne prisen uten merverdiavgift når prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr. Oppgave 1.81 Einar har mobiltelefon. Hvis han en måned ringer i x minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved U 0,89x Hvor mange minutter ringte Einar når han betalte 712,80 kr? Sinus 1P > Tall og formler

34 ? Oppgave 1.82 Ivan betaler 150 kr per måned for abonnementet på mobiltelefonen sin. Hvis han en måned ringer i x minutter og sender y tekstmeldinger, er utgiftene U i kroner gitt ved U 1,20x + 0,75y En måned var telefonregningen på 486 kr. Han hadde da sendt 264 tekstmeldinger. Hvor mange minutter ringte han? Til nå har vi fått oppgitt den formelen vi skal bruke når vi løser en oppgave. Noen ganger må vi først lage formelen før vi kan løse oppgaven. EKSEMPEL Mona har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden sin per år. I tillegg regner hun med at det går 0,20 kr per kilometer til bensin. Hvor langt kan Mona kjøre på ett år for 5000 kr? Å kjøre x km koster henne 0,20 x kr i bensin og 4200 kr i faste utgifter. Utgiftene i kroner per år blir da U 0,20 x Vi setter utgiftene U 5000 og finner x: U ,20 x ,20 x ,20 x 800 x 800 0, Mona kan kjøre 4000 km for 5000 kr.? Oppgave 1.83 Hans Martin betaler 50 kr per måned i abonnementsavgift for mobiltelefonen sin. Han betaler 1,39 kr for hvert minutt han ringer. a) Hvor mange minutter per måned kan Hans Martin ringe for 1500 kr? b) Hvor mange timer kan han ringe for 1800 kr? 41

35 ? Oppgave 1.84 Mona kjøper en ny moped for kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Sett opp en formel for verdien V i kroner om x måneder. b) Når er verdien kr? c) Når er verdien av mopeden halvert? Oppgave 1.85 Faren til Ole er dobbelt så gammel som Ole. Søstera til Ole er 4 år yngre enn Ole. Til sammen er de tre like gamle som bestefaren, som er 80 år. Finn ut hvor gammel Ole er, ved å sette opp en likning der x er alderen til Ole. 1.9 Omforming av formler Vi kan bruke en formel til å lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger. La U være salgsprisen uten merverdiavgift for en vare. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift P 1,25 U Vi skal finne en formel for prisen U uten merverdiavgift. Først lar vi de to sidene i formelen bytte plass. Deretter deler vi med 1,25 på begge sidene av likhetstegnet: 1,25 U P 1,25 U 1,25 U P 1,25 P 1,25 Nå har vi funnet formelen. Hvis prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr, er prisen uten merverdiavgift U 1062,50 kr 850 kr 1, Sinus 1P > Tall og formler

36 EKSEMPEL Mari har mobiltelefon. Hvis hun en måned ringer i x minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved formelen U 1,39x + 50 a) Finn en formel for ringetida x. b) Hvor mange minutter kan Mari ringe for 1000 kr? a) Først snur vi formelen, og deretter bruker vi regnereglene. 1,39x + 50 U 1,39x U 50 1,39x 1,39 U 50 1,39 x U 50 1,39 b) Vi setter U 1000 inn i formelen og får x U 50 1, , , For 1000 kr kan Mari ringe i 683 minutter.? Oppgave 1.90 Hvis Anne kjører x mil med mopeden på ett år, er utgiftene i kroner gitt ved U 3x a) Finn en formel for x uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til å finne hvor mange mil hun kan kjøre for 5000 kr. Hva blir utgiftene per mil da? Oppgave 1.91 Med et abonnement er prisen P i kroner for x tekstmeldinger P 0,69x + 49 a) Finn en formel for x uttrykt ved prisen P. b) Bruk formelen til å finne hvor mange tekstmeldinger vi kan sende for 250 kr. 43

37 EKSEMPEL En familie betaler 500 kr i fast avgift per kvartal for strømmen. I tillegg betaler de 0,60 kr per kilowattime. a) Finn en formel for utgiftene U per kvartal når forbruket er x kilowattimer. b) Finn en formel for x. a) For x kilowattimer betaler de 0,60 x kroner. I tillegg betaler de 500 kr i fast avgift. Utgiftene i kroner blir U 0,60 x b) Vi snur formelen og finner x: 0,60 x U 0,60x U 500 0,60x 0,60 U 500 0,60 x U 500 0,60? Oppgave 1.92 Joakim arbeider i en butikk. Lønna inneholder et fast beløp på 500 kr per dag. I tillegg får han 5 % av det han selger for. a) Finn en formel for lønna L per dag når han selger for x kroner. b) Hva blir lønna når han en dag selger for 6000 kr? c) Finn en formel for x. d) Hvor mye må han selge for hvis lønna skal bli 900 kr? Oppgave 1.93 Gro betaler 120 kr i abonnementsavgift for mobiltelefonen. Dessuten betaler hun 1,20 kr for å ringe i ett minutt og 0,60 kr per tekstmelding. a) Finn en formel for utgiftene U i kroner når hun ringer i x minutter og sender y tekstmeldinger. b) Finn utgiftene når hun ringer i 140 minutter og sender 160 tekstmeldinger. c) Finn en formel for ringetida x. d) Hvor mange minutter ringte Gro når hun sendte 180 tekstmeldinger og betalte 390 kr? e) Finn en formel for tallet y på tekstmeldinger. f) Hvor mange tekstmeldinger sendte Gro når hun ringte i 160 minutter og betalte 516 kr? Sinus 1P > Tall og formler

38 SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1 Regn først ut parentesuttrykkene. 2 Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Avrundingsregler ved overslagsregning Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. Forkorting og utviding av brøker Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Regneregler ved brøkregning Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Der etter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. 45