Lineær optimering løsningsforslag

Transkript

1 Lineær optimering løsningsforslag Innhold 4.1 Lineær optimering Eksamensoppgaver Lineær optimering Gitt den generelle likningen y ax b for en rett linje. Forklar hva koeffisientene a og b forteller oss. Koeffisienten a viser stigningstallet til linjen, men koeffisienten b viser hvor linjen skjærer andreaksen Løs følgende likninger med hensyn på y. a) xy4 xy4 y x 4 b) y 4 x y 4 x y 4 x yx1 c) y6x1 y6x1 yx4 1

2 d) 1 1 x y1 1 1 x y1 1 1 y x1 y x e) x y9 x y9 y 18 x y x Løs følgende likninger med hensyn på y. a) xy4 xy4 y 4 x yx b) 1 1 x y 1 1 x y 1 1 y x y x 6

3 c) 1 1 y x 1 1 y x 1 1 y x y x6 d) Tegn linjene til likningene i oppgave a), b) og c) i samme koordinatsystem a) Tegn linjene til likningene x y 1 og 4x y 6 i samme koordinatsystem. Løser først likningene med hensyn på y. xy1 y x1 4xy6 y 4x 6 yx

4 b) Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk og ved regning. 1 Grafisk: Ser grafisk, se a), at skjæringspunktet er, Regning: x1 x xx 1 4x 1 x 1 som gir y 1 c) Finn skjæringspunktene mellom linjene og koordinataksene ved regning. Linjen y x 1 skjærer andreaksen når x 0. Det betyr at linjen skjærer andreaksen i y 1. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, 1 Linjen y x 1 skjærer førsteaksen når y 0. Det betyr at linjen skjærer førsteaksen når x x 1 Skjæringspunktet med førsteaksen blir,0 Linjen yx skjærer andreaksen når 0 Linjen skjærer førsteaksen når x 0 x d) Skjæringspunktet med førsteaksen blir,0 x. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, 4

5 4.1.5 a) Tegn linjene til likningene 1,5x 0,5y og 0,5y 1 0,5x i samme koordinatsystem. Løser først likningen med hensyn på y. 1,5x0,5y 0,5y 1,5x y x 6 0,5y1 0,5x 0,5y0,5x1 yx b) Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk og ved regning. Grafisk: Ser grafisk, se a), at skjæringspunktet er, 0 Regning: x 6 x x x 6 4x 8 x som gir y 0 c) Finn skjæringspunktene mellom linjene og koordinataksene ved regning. Linjen y x 6 skjærer andreaksen når x 0. Det betyr at linjen skjærer andreaksen i y 6. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, 6 Linjen y x 6 skjærer førsteaksen når y 0. Det betyr at linjen skjærer førsteaksen når x 6 0. Skjæringspunktet med førsteaksen blir, 0 x Linjen yx skjærer andreaksen når 0 x. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, Linjen skjærer førsteaksen når x 0 x Skjæringspunktet med førsteaksen blir, 0 5

6 4.1.6 a) Tegn linjen til likningen yx 1 i et koordinatsystem. b) Skraver det området som er slik at yx 1. c) Tegn linjen til likningen y x i samme koordinatsystem. d) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1 og y x. e) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1, y x og y 0. f) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1, y x, y 0 og x 0. 6

7 4.1.7 a) Skraver området som er bestemt av ulikhetene yx1 y 0,5x y 0 x 0 b) Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom til de to skrå linjene. Skjæring mellom linjene: x1 0,5x x 0,5x 1 1,5x x som gir y 1 1 c) Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom de to skrå linjene og koordinataksene. Linjen yx 1 skjærer andreaksen når x 0. Det betyr at linjen skjærer andreaksen i y 1. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, 1 Linjen yx 1 skjærer førsteaksen når x 10 Skjæringspunktet med førsteaksen blir 1, 0 x 1 Linjen y 0,5x skjærer andreaksen når x 0. Skjæringspunktet med andreaksen blir 0, Linjen y 0,5x skjærer førsteaksen når y 0. Det betyr at linjen skjærer førsteaksen når: 0,5x 0 Skjæringspunktet med førsteaksen blir 4, 0 x 4 7

8 4.1.8 a) Skraver området som er bestemt av ulikhetene yx0 4y6x0 x 0 Løser ulikhetene med hensyn på y. y x 0 y x15 4y 6x y x b) Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom til de to skrå linjene. Skjæring mellom linjene: x15 x x 15 som gir x 5 15 y Gjør oppgave og ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra. I GeoGebra kan du skrive ulikheten slik den står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. 8

9 Funksjonen Ix, y 400x 00y beskriver den inntekten en bedrift har ved å selge x antall av produkt A og y antall av produkt B. Inntekten er gitt i kroner. a) Bestem følgende inntekter: 1. I 5, 50. I 60, 180. I 100, I 10, I5, I60, I100, I10, Inntekten blir i alle tilfeller kroner. b) Tegn en linje i et koordinatsystem som viser hvilke verdier av x og bedriften blir nøyaktig kr. Tegner inn linjen 400x00 y ysom er slik at inntekten til c) Tegn en linje som går gjennom punktene 0, 160 og 80, 40 i samme koordinatsystem som ovenfor. Se koordinatsystemet til høyre. d) Hvilken inntekt får bedriften dersom den selger de kombinasjoner av produkter som ligger langs linjen du fant i c)? I 0, I 80, Inntekten blir kroner. e) Hva kan du si om linjene du fant i c) og b)? Linjene er parallelle. De kombinasjonene av x, y som ligger langs linjen i b) gir bedriften en inntekt på kroner, mens punktene på linjen i c) gir en inntekt på kroner. f) Hva kalles disse linjene? Nivålinjer 9

10 En bonde har en åker der han skal dyrke gulrøtter og blomkål. Åkeren er på 0 dekar. Bonden vil bruke x dekar til gulrøtter og y dekar til blomkål. a) Tegn en linje i et koordinatsystem som viser hvilken begrensing bonden har når det gjelder arealet han skal dyrke grønnsakene på. Samlet areal bonden kan bruke til gulrøtter og blomkål må ikke overstige 0 dekar. Vi kan da sette opp ulikheten xy 0 Skriver ulikheten i GeoGebra slik den står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. b) Forklar hvorfor linjen du tegnet i a) skjærer koordinataksene i 0,0 og0,0. Verdiene langs x -aksen viser antall dekar som kan brukes til produksjon av gulrøtter. Verdiene langs y -aksen viser antall dekar som kan brukes til produksjon av blomkål. Dersom det blir brukt 0 dekar til produksjon av blomkål, kan det brukes 0 dekar til produksjon av gulrøtter. Linjen som viser begrensingen vil dermed skjære x -aksen i 0. Samme argumentasjon for skjæring med y -aksen. c) Skraver det området som viser alle mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Husk at vi ikke kan ha negativt areal. Både arealet som skal brukes til gulrøtter og til blomkål må være større enn eller lik 0. Vi har dermed begrensingen x0 og y 0. Linjene x0 og y0 faller sammen med henholdsvis x -aksen og y -aksen i vårt koordinatsystem. Tegner en trekant i GeoGebra som viser mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. 10

11 Kostnadene er 100 kroner per dekar for gulrøtter og 400 kroner per dekar for blomkål. Bonden vil ikke bruke mer enn kroner på produksjonen av grønnsakene. d) Tegn en linje i samme koordinatsystem som ovenfor som viser begrensingen disse opplysningen gir. Skraverer det området som nå gir mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Samlede kostnader til gulrøtter og blomkål må ikke overstige kroner. Vi kan sette opp ulikheten 100x4 00y Skriver ulikheten i GeoGebra slik den står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene slik at koeffisientene blir lavest mulige heltall. Bonden regner med å bruke 15 timer per dekar til å dyrke gulrøttene og 5 timer per dekar til å dyrke blomkålen. Til sammen ønsker han ikke å legge ned mer enn 500 timer arbeidsinnsats på produksjonen av gulrøtter og blomkål. e) Tegn en linje i samme koordinatsystem som ovenfor som viser begrensingen disse opplysningene gir. Skraverer det området som nå gir mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Samlet arbeidsinnsats for å dyrke gulrøtter og blomkål må ikke overstige 500 timer. Vi kan sette opp ulikheten 15x5y 500 Skriver ulikheten i GeoGebra slik den står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene slik at koeffisientene blir lavest mulige heltall. Bonden forventer å få solgt gulrøttene til 6,50 kroner per kg og blomkålen til 9,50 kroner per kg. Forventet avling av gulrøtter per dekar er 00 kg og forventet avling av blomkål er kg. f) Forklar at inntekten, I, i kroner, er gitt ved likningen I 0 800x 8 950y. Inntekten i kroner per dekar for gulrøtter blir 6, Inntekten i kroner per dekar for blomkål blir 9, Samlet inntekt til bonden er dermed gitt ved I 0 800x 8 950y 11

12 Finn den arealbruken som gir bonden høyest mulig inntekt. En inntekt på kroner gir likningen 0 800x8 950y Tegner inn denne linjen i koordinatsystemet ovenfor. Ingen punkter på denne linjen ligger i det blå området. Det betyr at det ikke er mulig å oppnå denne inntekten. Vi parallellforskyver linjen til den berører det blå området i ett punkt. Dette punktet representerer den høyest mulige inntekten. Grafisk avlesning gir koordinatene 6,8, 11,4. Ved å sette disse verdiene inn i inntektsfunksjonen finner vi den høyeste inntekten. I x, y x y I 6,8, 11, , ,4 I 6,8, 11, Det betyr at høyest inntekt oppnås med en arealfordeling på 6,8 dekar med gulrøtter og 11,4 dekar blomkål Den høyeste inntekten er kroner. 1

13 4.1.1 En dag lager et gatekjøkken Cheeseburger og Maxburger. Til Cheeseburgeren går det med 10 gram kjøtt og til maxburgeren går det med 170 gram kjøtt. Gatekjøkkenet har 8 kg kjøtt på lager. I Cheeseburgeren brukes det gram ost og til Maxburgeren brukes det 18 gram ost. På lageret har gatekjøkkenet 1,1 kg ost. Det tar 4 minutter å lage en Cheeseburger og 8 minutter å lage en Maxburger. Gatekjøkkenet har en person som kan disponere inntil 6 timer til denne jobben. La x stå for antall Cheeseburgere og y for antall Maxburgere. a) Sett opp tre ulikheter som beskriver produksjonen av burgere denne dagen. Begrensningen på kjøtt gir ulikheten 0,1x0,17y 8 Begrensningen på ost gir ulikheten 0,0x0,018y 1,1 Begrensningen på arbeidstid gir ulikheten 4x8y 60 b) Forklar at betingelsene x0 og y 0 må være oppfylt. Antall burgere som produseres må være 0 eller større. c) Skraver området som er avgrenset av betingelsene i a) og b). Skriver ulikhetene i GeoGebra slik de står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene. 1

14 Butikken har en fortjeneste på 1,50 kroner på hver Cheeseburger og 1,80 kroner på hver Maxburger. Vi antar at de får solgt alle burgerne som lages denne dagen. d) Forklar at en funksjonen F for fortjeneste til gatekjøkkenet er gitt ved F x, y 1,5x 1,8y. Gatekjøkkenet tjener 1,50 kroner for hver Cheeseburger og 1,80 kroner for hver Maxburger. Vi har at x står for antall Cheeseburgere og y står for antall Maxburgere. Fortjenesten til butikken vil dermed være fortjenesten for den enkelte burger multiplisert med antall solgte burgere. Det betyr at fortjenesten i kroner, er gitt ved funksjonen F x, y 1,50 x 1,80 y 1,5x 1,8y e) Tegn inn nivålinjen til F x, y i koordinatsystemet ovenfor og finn optimal produksjon av burgere denne dagen. Tegner nivålinjen 1,5x1,8y 100. Ingen punkter på denne linjen ligger i det merkete området. Det betyr at det ikke er mulig å oppnå denne fortjenesten. Vi parallellforskyver linjen til den berører det merkede området i ett punkt. Dette punktet representerer den høyest mulige fortjenesten. Grafisk avlesning gir koordinatene 1, 4. Avrunder til nærmeste heltall siden dette gjelder antall burgere. Ved å sette disse verdiene inn i fortjenestefunksjonen finner vi den maksimale fortjenesten. F x, y 1,50 x 1,80 y i 1, 4 1,50 1 1, ,70 Det betyr at maksimal fortjeneste oppnås ved å lage 1 Cheeseburgere og 4 Maxburgere. Den maksimale fortjenesten blir da 89,70 kroner. 14

15 4.1.1 En bedrift framstiller tre produkter A, B og C. Produksjonen foregår i to avdelinger. Antall enheter som produseres i timen i de to avdelingene går fram av tabellen nedenfor. A B C Avdeling Avdeling Bedriften har fått en ordre på minst enheter av produkt A, minst enheter av produkt B og minst enheter av produkt C. Kostnadene i avdeling 1 er 700 kroner per time og 1000 kroner per time i avdeling. Bestem hvor mye avdeling 1 og avdeling skal produsere av produktene A, B og C slik at kostnaden for bedriften blir lavest mulig. La antall timer i avdeling 1 være x og la y være antall timer i avdeling. Gi svaret i hele timer. Bedriften må produsere minst enheter av produkt A, minst enheter av produkt B og minst enheter av produkt C. Det betyr at vi kan sette 500x00 y x1 00y x700 y Skriver ulikhetene i GeoGebra slik de står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene. Kostnadsfunksjonen er gitt ved K x, y 700x 1000y Tegner nivålinjen 700x1000 y Ingen punkter på denne linjen ligger i det merkete området. Det betyr at det ikke er mulig å oppnå ønsket produksjon med den kostnaden. Parallellforskyver linjen til den berører det merkede området i ett punkt. Dette punktet representerer den laveste kostnaden for bedriften. Grafisk avlesning gir koordinatene 59, 7. Det gir kostnaden K 59, Det betyr at laveste kostnaden oppnås ved å bruke 59 timer på avdeling 1 og 7 timer på avdeling. Den laveste kostnaden for bedriften blir da kroner. 15

16 En møbelprodusent produserer to modeller av en stol, en standardmodell og en luksusmodell. Stolene skal gjennom tre avdelinger i bedriften før de er klare for salg. Tidsbruken i timer som stolene er innom den enkelte avdeling er gitt i tabellen nedenfor. Den enkelte avdelings produksjonskapasitet i timer per per uke er også oppgitt i tabellen. Avdeling I Avdeling II Avdeling III Standardmodell 5 4 Luksusmodell Kapasitet per uke Fortjenesten, F, på standardmodellen er 400 kroner og på luksusmodellen 600 kroner. a) Finn den maksimale fortjenesten bedriften har på disse stolene per uke. Setter antall av standardmodell som x og av luksusmodell som y. Setter opp betingelsene som viser hvilke begrensinger bedriften har ved produksjon av stolene. 5 x 5 y x1 y 880 x 5 y 400 x 0 y 0 Skriver ulikhetene i GeoGebra slik de står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. GeoGebra forkorter automatisk likningene. Fortjenestefunksjonen er gitt ved F x, y 400 x 600 y Tegner nivålinjen 400 x600 y Ingen punkter på denne linjen ligger i det merkete området. Parallellforskyver linjen til den berører det merkede området i ett punkt. Dette punktet representerer den produksjonen som gir høyest fortjeneste. Grafisk avlesning gir koordinatene 100, 0. Det gir fortjenesten F 100, Det betyr at bedriften får høyest fortjeneste ved å produsere 100 standardstoler og 0 luksusstoler. Den maksimale fortjenesten blir kroner per uke. 16

17 b) En bestemt uke får bedriften en ordre slik at de denne uken må produsere minst 50 luksusstoler. Bestem nå hvilken produksjon som gir høyest fortjeneste. Det betyr at vi må sette y 50 Det mulige området blir dermed begrenset slik figuren viser. Ser grafisk at bedriften får maksimal fortjeneste ved å produsere 50 standardstoler og 50 luksusstoler. F 50, Fortjenesten blir da kroner. c) Hva blir maksimal fortjenesten til bedriften dersom den bestemmer seg for bare å produsere luksusutgaven av stolen en uke? Ser grafisk at det mulige området skjærer y aksen i 7. Det betyr at bedriften maksimalt kan produsere 7 luksusmodeller per uke. F 0, Fortjenesten blir kroner. d) Forklar, ved å bruke tabellen i begynnelsen av oppgaven, hvordan du ved regning kan finne maksimal fortjeneste en uke hvis bedriften bare produserer standardmodellen av stolen. Bruker tallene i tabell og finner hvor mange standardmodeller av stolen det kan produseres i den enkelte avdeling dersom alle timene skal brukes til produksjon av denne modellen. Avdeling I Avdeling II Avdeling III Standardmodell 5 4 Luksusmodell Kapasitet per uke I avdeling I kan det produseres standardmodeller av stolen. 5 I avdeling II kan det produseres standardmodeller av stolen. 4 I avdeling III kan det produseres standardmodeller av stolen. Det betyr at det maksimalt kan produseres 10 standardstoler i uken. 17

18 F 10, Maksimal fortjenesten med denne produksjonen blir kroner. 18

19 4. Eksamensoppgaver På nettsidene til ndla S1 finner du løsninger til eksamensoppgavene Vår 014 del nr. 6 Høst 01 del nr. 7 Vår 01 del nr. 4 Høst 01 del nr. 4 Vår 01 del nr. 8 Høst 011 del nr. 7 Vår 011 del nr. 6 Høst 010 del nr. 7 Vår 010 del nr. 6 Høst 009 del nr. 6 Vår 009 del nr. 5 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra 19