GEOGEBRA (Versjon september 2015)

Transkript

1 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir

2 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra Utskrift Overføring til Word Nyttige tips Stolpediagram 17 Sektordiagram (Kommer) 18 Nytt Grafikkark og å slette objekter Regneark CAS 25 Nyttige tips i CAS 26 Hurtigtaster Mac Hurtigtasten «Alt + en tast» i Windows erstattes med «Ctrl + en tast» i Mac. Hurtigtasten «Ctrl + en tast» i Windows erstattes med «Cmd + en tast» i Mac. Klammen [ har hurtigtasten «Alt + 8», ] har tilsvarende Alt + 9. Klammen { har hurtigtasten «Alt + Shift + 8», } har tilsvarende Alt + Shift + 9.

3 3 GeoGebra Nedlasting GeoGebra kan lastes ned gratis fra nettet. Legg inn nettadressen Siste offisielle versjon av GeoGebra per er GeoGebra Figuren nedenfor viser ikonet som legger seg på skrivebordet. Innholdsoversikt Verktøylinje Algebrafelt Cas Grafikkfelt Regneark Inntastingsfelt Innholdselementer Innholdselementene aktiverer du ved å klikke på Vis. Klikk på det vinduet du vi aktivere. Hvert klikk virker som en av/på bryter. Grafikkfeltet I dette området kan du tegne figurer, grafer, vektorer, osv. Ved å høyreklikke i grafikkfeltet får du fram en hurtigmeny. (Det hender at du må klikke flere ganger for å få fram riktig meny.) Hvis du klikker på Grafikkfelt, får du dette bildet:

4 4 Her kan du endre egenskapene for x-aksen, y-aksen og rutenettet. Alternativt kan du klikke på øverst i høyre hjørne, og deretter klikke på Grafikkfelt. Verktøylinja På verktøylinja finner du knappene (ikonene) som viser redskapene som du kan bruke når du arbeider i grafikkfeltet, for eksempel når du tegner geometrifigurer eller når du jobber med grafer/kurver. Hvert ikon har en pil nederst i høyre hjørne,. Ved å trykke på den, får du fram verktøyene som ikonet inneholder. Inntastingsfeltet Her legger du inn funksjonsuttrykk for tegning av grafer. Selv om verktøylinja stort sett dekker behovet når du skal tegne geometriske figurer, kan du også i Inntastingsfeltet skrive inn kommandoer for det som skal tegnes. Hvis du for eksempel skal tegne midtnormalen på et linjestykke a, får du etter noen få bokstaver dette valget når du begynner med å skrive midtnormal: Klikk på Midtnormal[<Linjestykke>] og skriv a. Hvis du nå trykker ENTER, blir midtnormalen på linja a tegnet. Oversikt over aktuelle kommandoer For å få fram en oversikt over tilgjengelige kommandoer i GeoGebra 5.0 klikker du på symbolet til høyre for Inntastingsfeltet.

5 5 Her kan du velge om du vil se Alle Kommandoer eller Kommandoer under et bestemt emne, for eksempel under emnet Algebra. Som vi har nevnt ovenfor, kan også disse kommandoene skrives direkte inn i Inntastingsfeltet. Vanligvis er det nok å skrive et par bokstaver før GeoGebra gjenkjenner kommandoen, og kommer med forslag til hele kommandoen. Du kan da legge inn de riktige bokstavene i hakeparentesen i slutten av kommandoen. Tidligere inntastinger i Inntastingsfeltet Med muspekeren i Inntastingsfeltet kan vi bruke opp- og nedtastene på tastaturet for å se tidligere inntastinger. Graftegning Hvis du vil tegne grafen til en funksjon, må du legge inn funksjonsuttrykket i Inntastingsfeltet, for eksempel f ( x) 2x 3. Trykk ENTER og grafen blir tegnet i Grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket dukker opp i Algebrafeltet. Du kan skrive 2x 3i Inntastingsfeltet. GeoGebra gir funksjonen navnet f. Se hva som skjer hvis du legger inn ett funksjonsuttrykk til, for eksempel 2x 3. Tegne graf med gitt definisjonsmengde. Du skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 0,5x 2 D = [1, 5] I Inntastingsfeltet bruker du kommandoen Skriv i Inntastingsfeltet: 2 Funksjon 0.5 x,1,5. Eksponenten kan du legge inn med ^2 eller Alt + 2. Hvis du for eksempel vil gi funksjonen navnet O, kan du skrive 2 O(x)=Funksjon 0.5 x,1,5 Trykk Enter. Husk! Amerikansk desimalkomma. Du kan også bruke kommandoen. Ulikhetstegnene finner du under, til høyre i inntastingsfeltet. 2 NB! Med t som variabel må du skrive f(t)=funksjon 0.5 t,1,2.

6 6 Navnet kan du endre i Algebrafeltet etter at funksjonen er lagt inn. Høyreklikk på funksjonen, og klikk på Gi nytt navn. Vise objekter 2 Hvis du legger inn funksjonen f ( x) 0,5x 20 1 x 5, vil ikke grafen vises i Grafikkfeltet. Du kan endre enheter på y-aksen, men det er raskere å høyreklikke i Grafikkfeltet og klikke på Vis alle objekt. Navn på nye objekter Hvis du ikke vil at GeoGebra skal sette navn på objekter du legger inn, kan du klikke på Innstillinger/Navn på objekt/ikke på nye objekt. Algebrafeltet I Algebrafeltet har du oversikt over alt det du har utført i Grafikkfeltet. Alle punkter, linjer og figurer du har tegnet er registrert her. Dessuten ser du hvilke likninger og funksjoner du har skrevet inn i Inntastingsfeltet. Her ser du også koordinatene til punktene, lengden av linjene og arealet av mangekantene du har tegnet. Hvis du utfører beregninger, kommer svarene her. Forandre verdier til objekter i Algebrafeltet Dobbeltklikk på objektet i Algebrafeltet, og en tekstboks aktiveres. Du kan endre størrelsene i tekstboksen. Etter at endringene er utført, trykker du ENTER. CAS (Computer algebra system) I CAS-vinduet kan du utføre utregninger både uten og med symboler.

7 7 Angreknappen Oppe til høyre finner du Angreknappen. Her kan du gå fram og tilbake. NB! Du kan også gå ett steg tilbake ved å trykke Ctrl + Z på tastaturet. Forhåndsinnstillinger Antall desimaler/siffer Under Innstillinger i hovedmenyen kan du velge hvor mange desimaler eller antall gjeldende siffer som vises i den aktuelle GeoGebrafila. Klikk på Innstillinger og velg Avrunding. Da får du fram bildet nedenfor. Her kan du velge antall desimaler eller antall gjeldende siffer. Skriftstørrelse Klikk på Innstillinger. Under Skriftstørrelse kan du velge skriftstørrelse. Standard er 12 punkt. Det er viktig å øke skriftstørrelsen, for eksempel til 20, når du viser med kanon i klasserommet! Lagre innstillinger Hvis du vil benytte noen av innstillingene til neste bruk, for eksempel skriftstørrelse, antall desimaler, heltrukket rutenett, kan du lagre disse. Dette gjøres under Innstillinger/Lagre Innstillinger. (Se figuren ovenfor.) Her kan du også gjenopprette standardinnstillinger.

8 8 Innstillinger i Grafikkfeltet I Grafikkfeltet kan du velge om du vil akser, rutenett, osv. Rutenett Hvis du vil ha heltrukket rutenett, kan du høyreklikke i Grafikkfeltet og klikke på Grafikkfelt og på Rutenett. Hvis du ønsker dette permanent, kan du klikke på Lagre innstillinger. Lagring Hvis du skal lagre det du har laget, velger du Fil Lagre som. Det kan være lurt å opprette en egen mappe på datamaskinen for lagring av GeoGebrafiler (ggb-filer). Flere eksempler på anvendelser Linje gjennom to punkter Velg Linje, og klikk på to steder i Grafikkfeltet. Hvis du allerede har tegnet punktene, kan du bare klikke på dem.

9 9 Likningen for linja dukker opp i Algebrafeltet. Høyreklikk på denne og velg linja på formen du ønsker. Skjæringspunkter med x-aksen f x 2 ( ) x 4 Topp- og Bunnpunkter på grafen Skjæringspunkter Verktøyknappen brukes til å finne skjæringspunktet mellom to kurver. Klikk på verktøyknappen og deretter en på hver kurve, eller klikk i nærheten av skjæringspunktet.

10 10 Å finne y-verdier 2 Legg inn funksjonen f ( x) x 4. For å finne y når x = 1,5 skriver vi f(1.5) i inntastingsfeltet. I Algebrafeltet dukker opp. Å finne x-verdier Vi vil finne x-verdien der y = 3. Vi legger inn linja y = 3 og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til f ved å bruke. Vi ser at y = 3 når x = 1 eller når x = 1. Utskrift 3 2 Vi tar for oss grafen til funksjonen f ( x) x 3x 1 som eksempel. Tegn grafen til f i Grafikkfeltet. Klikk et sted i Grafikkfeltet med venstre mustast og dra den delen du vil skrive ut opp i høyre hjørne av skjermen. Tekst på aksene med GeoGebra Høyreklikk i Grafikkfeltet og velg Grafikkfelt. Klikk på xakse og skriv x i feltet Navn på aksen. Klikk på yakse og skriv f(x) i feltet Navn på aksen. Hvis du vil skrive inn enhet, kan du for eksempel skrive xakse og under yakse. Da får du dette bildet: under

11 11 Tekst på aksene med tekstboks Før du skriver ut, kan du bruke tekstboks til å skrive navn på aksene, enhet, navn på grafen eller annen tekst som det er naturlig å ha med. Marker det området du vil skrive ut med høyre mustast. Pass på at pilene på aksene er med i det markerte området. Tips! Start markeringen i nederste venstre hjørne. (Du kan markere det området du skal skrive ut uten først å flytte det opp i høyre hjørne. Men da er det ikke sikkert at pilene på aksene blir med i utskriften.) Direkte utskrift Klikk på Fil og velg Forhåndsvis utskrift. (Husk at det du skal skrive ut bør være markert.)

12 12 Endre størrelsen av figuren Hvis du vil ha en større figur, kan du for eksempel endre tallet i det første feltet til høyre for Skala i cm til 2. (Eventuelt til 1.5 eller andre tall.) I feltet Tittel kan du skrive hvilken oppgave det handler om, for eksempel 8a. I feltet Laget av skriver du kandidatnummeret ditt, for eksempel OSL XXXX. Klikk på Skriv ut. Du kan velge mellom stående eller liggende utskrift. Andre utskrifter Du kan også skrive ut det som står i andre felt. Velg for eksempel Algebrafelt under rullegardinen nedenfor og klikk på Skriv ut. Overføring til Word Klikk på Fil, Eksporter og Kopier grafikkfeltet til utklippstavla. Gå inn i Word og Lim Inn (Ctrl v).

13 13 Klikk på bildet og endre til ønsket størrelse ved å dra i firkanten nederst i høyre hjørne. (Du kan også endre størrelsen ved å aktivere Billedbehandling.) Skriv Utklippsverktøy (SnippingTool) i «søkefeltet». Da finner du dette bildet: Høyreklikk på Utklippsverktøyet og velg Fest til Startmenyen. Eller dra det ned til Startmenylinja. Tilsvarende utklippsverktøy i MAC Det heter «Grab» og er vanligvis å finne i mappen «Annet» under Launchpad (ikonet med rakett). Kan festes til Dock slik at det alltid er tilgjengelig. Nyttige tips Algebravinduet Ctrl + d: Skifter mellom Definisjon, Kommando og Verdi. Justere akser Shift-tasten eller Ctrl-tasten nede og dra i aksene med venstre mustast nede. (Alternativt: Klikk på Flytt grafikkfeltet-ikonet aksene.), og dra i NB! Shift-tasten eller Ctrl-tasten virker generelt som Flytt grafikkfeltet-ikonet (Flytter altså grafikkfeltet eller justerer aksene.) Grafikkfeltet kan du også flytte med venstre mustast. Forstørre/forminske Ctrl + Ctrl- Rull med musehjulet og zoom ut eller inn. Endre innstilling på aksene. (Høyreklikk på Grafikkfeltet og klikk på Grafikkfelt.) ENTER-knappen Kan brukes til å skifte mellom Grafikkfeltet og Inntastingsfeltet. ESC-knappen Kan brukes i stedet for å klikke på F-pila,. Heltallige eksponenter i Inntastingsfeltet Hold Alt inne og skriv eksponenten. For eksempel Alt + 2. Du kan også bruke ^, noe som er nødvendig når eksponentene ikke er heltallige.

14 14 Indekser I Inntastingsfeltet: A_1 blir A1 og S_{AB} blir SAB. Fungerer også i tekstboksen! Flytte «Tabell» fra Regnearket til Grafikkfeltet. Etter at du har laget en tabell i regnearket, enten ved å bruke regnearkets «egenskaper» til å lage en funksjonstabell eller ved å legge tallene direkte inn i rutene, kan du overføre tabellen til Grafikkfeltet. Marker tabellen (venstre mustast), høyreklikk på det markerte feltet og velg Lag/Tabell. Tabellen havner i Grafikkfeltet. Dra den til ønsket sted. (Flyttpila aktiv) Kutte y-aksen I praktiske funksjoner kan det være gunstig å bruke kutte y-aksen. 2 Vi tar et eksempel med f ( x) x 200, 0 x 10. Skriv inn funksjonen. NB! Høyreklikk slik at menyen for «Grafikkfelt» dukker opp, og klikk på Vis alle objekt. Høyreklikk og velg Grafikkfelt. Klikk på xakse og skriv 195 i boksen Kryss ved. Klikk på yakse og klikk i boksen Bare i positiv retning.

15 15 NB! Endre tilbake innstillingene før du går ut av GeoGebra! Stolpediagram Stolpediagram med tall på begge aksene med tilfeldig innlagte data Legg dataene inn i kolonne A i regnearket. Marker tallene og klikk på Analyse av en variabel og Analyser. Velg. Dette kan nå overføres til Grafikkfeltet, klikk på. Der kan det eventuelt behandles videre. Stolpediagram med tekst på x-aksen Etter at diagrammet er overført til Grafikkfeltet kan vi skjule tallene på x-aksen. Klikk på Vis tall langs aksene slik at haken forsvinner.

16 16 NB! Tekst legges inn med tekstbokser. Stolpediagram med tall på begge aksene med innlagt frekvenstabell Marker tallene i kolonne A og klikk på Analyse av en variabel. Klikk på «tannhjulet» og kryss av for Tall og Data med frekvens. Marker tallene i kolonne B og klikk på hånda til venstre for Frekvens i den tomme kolonnen. Klikk på Analyser.

17 17 Sektordiagram På en klassefest velger ti elever taco å spise. Sju velger pizza og fem velger pølser. Vi skal tegne et sektordiagram som viser fordelingen. Vi finner gradtallet for sektorene i regnearket. Vi velger 0 desimaler under Avrunding. Vi tegner en sirkel med kommandoen Sirkel definert ved sentrum og periferivinkel. Vi tegner sirkelsektorer med kommandoen Sirkelsektor med sentrum mellom to punkt. Vi velger kommandoen Vinkel for å måle vinkelen BAC. Vi flytter punktet C til vinkelen blir 164. Vi gjentar det det samme med de to andre sektorene. Vi tar bort alle navn og punkter. Vi legger inn tekst med tekstboksen.

18 18 Nytt grafikkark For å få nytt grafikkark klikker du på Fil øverst i venstre hjørne, og deretter på Ny. Du må svare på spørsmålet om du vil lagre eller ikke. Slette objekter Her er det flere måter. Klikk med høyre mustast på det aktuelle objektet (enten i Grafikkfeltet eller i Algebrafeltet), og velg Slett i menyen. Hvis det er flere objekter som skal slettes, så merk dem ved å klikke med venstre mustast på Grafikkfeltet. Hold høyre mustast nede, og lag et område rundt de aktuelle objektene. Trykker du Delete på tastaturet, sletter du alt innen dette området. Bruk Ctrl-Z på tastaturet, hvis du vil angre siste handling. Greske bokstaver og andre symboler Hvis du klikker på nederst til høyre i Inntastingsfeltet, får du en meny med noen greske bokstaver og noen andre symboler, for eksempel tegnet for π (pi). Regneark i GeoGebra Du skal bruke regnearket i GeoGebra til å regne ut timelønn og ukelønn. Månedslønn: kr Vanlig arbeidstid per måned: 162,5 timer Vanlig arbeidstid per uke: 37,5 timer Klikk på Vis og velg Regneark. Bildet skal se slik ut. Klikk i rute A1 og skriv Inndata i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A2 og skriv Månedslønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B2 og skriv i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A3 og skriv Vanlig arbeidstid per måned i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B3 og skriv i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A4 og skriv Vanlig arbeidstid per uke i Inntastingsfeltet.

19 19 Klikk i rute B4 og skriv 37.5 i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A6 og skriv Beregning i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A7 og skriv Timelønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B7 og skriv B2/B3 i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A8 og skriv Ukelønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B8 og skriv B7*B4 i Inntastingsfeltet. Da få du dette bildet Regnearket har regnet ut timelønn og ukelønn. NB! Vis du vil se regnearket med innlagte formler, kan du trykke Ctrl + d. Tilgang til verktøy du kan bruke i regnearket. Marker aktuelle celler og klikk på det du ønsker utført.

20 20 Median og gjennomsnitt (med regneark) Du skal finne median og gjennomsnitt for reisetidene til skolen for 9 elever. Reisetidene er: 42, 24, 39, 22, 45, 44, 16, 31, 47 Velg Vis Regneark og legg inn reisetidene i minutter i kolonne A. Marker de 9 reisetidene og klikk på Analyse av en variabel, oppe til venstre. Klikk på Analyser. Hvis dette bildet ikke dukker opp, klikker du på. Figuren viser: Det er lagt inn n = 9 reisetider. Minste innlagte reisetid, Min = 16, er 16 minutter. Største innlagte reisetid, Maks = 47, er 47 minutter. Median Median = 39 Median reisetid er 39 minutter. Gjennomsnitt Gjennomsnitt = 34,4 Gjennomsnittlig reisetid er 34,4 minutter. Terningkast Skriv TilfeldigMellom[1,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet står det a = 2. Det viser at antall øyne på kastet er 2. (Kommandoen TilfeldigMellom[1,6] gir et tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6.)

21 21 Trykk F9 flere ganger og observer hva som skjer i Algebrafeltet med verdien av a. CAS-verktøyet i GeoGebra CAS: Computer Algebra System CAS-verktøyet i GeoGebra finner du her: Da dukker arbeidsvinduet i CAS opp: Klikk på CAS Faktorisering Skriv inn CAS-vinduet x x i CAS-vinduet og klikk på Faktoriser. (Heltallig eksponent: Alt + 3) Da får du dette bildet: Du kan også bruke kommandoen Faktoriser[<Polynom>]:

22 Faktoriser 6x 11xy 10y NB! Legg merke til mellomrommet mellom x og y. Her kan du alternativt bruke *. Utregning av n-te røtter For å legge inn kvadratroten av all, kan vi bruke sqrt() eller Alt + r. Ved utregning av n-te røtter generelt kan vi bruke kommandoen finner vi slik: Slette rader Hvis du vil slette innlagte rader, kan du markere venstre del av radene (delen med radnumrene) ved å dra mustasten over med venstre mustast nede. Høyreklikk et sted i det markerte området og klikk på ønsket antall rader som skal slettes. Finne felles nevner Skriv inn leddene og trykke Enter. Kontroll av innskriving Ved kontroll av innskrivning kan du bruke ikonet. Etter at du har skrevet inn teksten, klikker du på ikonet. For å fortsette klikker du på den «oversatte» teksten i 1 eller trykk på ordmellomromtasten. Teksten blir da kopiert til 2, og du kan fortsette.

23 23 Du kan også kopiere ved å markere ønsket tekst, trykke Ctrl + C, og lime inn på ønsket sted med Ctrl + V. Regner ut og gir svaret numerisk som desimaltall 1 1 Regn ut 5a 2a a a Skriv inn 5a 2a a a i CAS-vinduet og klikk på Numerisk (Vise svaret som 2 3 desimaltall). Antall sifre /desimaler i svaret velger du under Innstilliger/Avrunding. Likningssystem Løs likningssystemet x y 7 x y 1. Metode 1 Legg inn likningene slik figuren viser, og klikk på. NB! Husk å bruke listeparenteser { } når du legger inn settet av likninger. Metode 2 Skriv inn i CAS-vinduet: I felt 1: x y 7 Trykk ENTER Hvis du vil se grafen til likningen i Grafikkfeltet, klikker du i ringen til venstre. I felt 2: x y 1 Trykk ENTER Hvis du vil se grafen til likningen i Grafikkfeltet, klikker du i ringen til venstre. Marker «1» og «2» til venstre. Klikk på.

24 24 NB! Ikke bruk (Løs numerisk) når du løser likningssett. Da vil du ikke nødvendigvis få alle løsninger hvis det er flere løsninger. Hvis du vil ha de numeriske løsningene, løser du først med, og trykker ordmellomrom tasten og for å få de numeriske løsningene. Klikk i ringen til venstre i felt 3, og skjæringspunktet mellom grafene blir markert. (Hvis du klikker i Grafikkfeltet, er dette aktivt.) NB! Hvis du vil ha skjæringspunktet «levende» for eksempel for å sette inn navn, verdi, osv., må du legge inn punktet på nytt i grafikkvinduet.

25 25 Nyttige Tips! Inntastinger Enter: Alt + Enter: Regner ut inntastet uttrykk Kontrollerer inntasting (I stedet for å bruke verktøyknappen «Bruk inntasting») På en tom rad: Mellomromtast: Du får resultatet på raden ovenfor = Du får inntastingen i raden ovenfor. Fra andre rader enn den ovenfor $3 Setter inn resultatet fra rad 3 Påminnelse Ved innlegging av uttrykk i CAS-vinduet, husk : For eksempel: f(x):= Legge inn tekstrad i CAS Hvis du vil legge inn en rad i CAS med forklarende tekst, høyreklikker du til venstre i raden. Velg Tekst. I raden kan du nå ikke utføre utregninger. Ved å høyreklikke til venstre i raden, ser du at en blå firkant til venstre for «Tekst» viser at rad 1 er en tekstrad. Løse likninger trinnvis Du kan løse likninger trinnvis «manuelt» i CAS. Du kan også få fram høyre side og venstre side hver for seg med kommandoene:

26 26 Hurtigtaster Windows Esc Mac Esc Tilbake til Opphøyd i n Alt + n Ctrl + n (Heltallige n) Kvadratrot Alt + r Ctrl + r Pi Alt + p Ctrl + p Gradtegn Alt + o Ctrl + o Formelvisning Alt + d Ctrl + d Å kopiere Ctrl + Shift + c Cmd + Shift + c Forhåndsvisning for utskrift Ctrl + p Cmd + p