Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011?

Transkript

1 2: Lineære funksjoner VG1-T - teoretisk retning En del av dere synes nok at innføringa i kapittel 1 er i vanskeligste laget. Trass i at vi stort sett har repetert foreløpig, ser jeg at dere merker overgangen fra grunnskole til videregående skole ganske godt: Repetisjonen i kapittel 1 har vært: overslag veien om 1 omgjøring av enheter regnerekkefølge og parenteser brøker likninger prosent. Det som har vært litt nytt fra grunnskolen, har vært: kvadratiske likninger vekstfaktor i stedet for prosent. Og dere har så vidt begynt å bruke andre digitale hjelpemidler, som datamaskinen. Det vanskeligste har kanskje likevel vært at vi setter sammen det dere har lært i større oppgaver, og at oppgavene ber dere løse et problem i stedet for å regne ut et regnestykke som er ferdig satt opp: Dere må altså være litt mer sjølstendig! Og det er vanskelig når læringsstoffet er såpass vanskelig som i matematikk på videregående skole. Nettstedet og dette planarket for kapitlet vil stadig gi dere noen ekstra hint for å forstå kapitlet. Dessuten vil dere kunne finne ekstra stoff fra grunnskolen i tillegg til ekstra stoff som utdyper det vi jobber med. Noe stoff er utafor pensum, men det kan forhåpentligvis inspirere dere til litt matematisk tankegang. Vi bruker små timinuttersprøver for å trene på lærestoffet. Dere kommer utover i året kunne få spesielle oppgaver der svara skal presenteres i klassen. Og kanskje jeg til og med ber dere skrive et essay eller kåseri - akkurat som norsklæreren - om et matematisk emne. Kanskje dere også skal være med på å lage presentasjoner for matematikksider på nettet: Vi får se! Skolen kommer som vanlig til å arrangere Abelkonkurransen, første skritt på vei mot deltakelse i den årlige matematikkolympiaden. Alle kan få delta! Øv på oppgaver og kontroller dere sjøl. Dersom dere greier de første 5-6 oppgavene, skal dere ikke være redde for å delta! (De første er enklest, deretter blir det verre og verre...) Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011? 1 Tommy & Tigern, bind 1, side 59, midten 1) Hvilket av tallene er størst? A 1/(3 2) B 1/2 3 C 1/3 2 D 1/(3/2) E (1/3)/2 2) På en fest møtes ti ektepar. Alle håndhilser på hverandre én gang, unntatt de som er gift med hverandre. Hvor mange håndtrykk blir utvekslet på festen? A 45 B 90 C 180 D 190 E 360 3) To regulære sekskanter med sidelengde 1 deler en side. Hva er avstanden mellom sentrene i sekskantene? A B 1 C D E 4) Hva er (16 ledd)? A B C D E 5) Det ligger seks grønne og fire røde epler i en sekk. Berit trekker tre epler ut av sekken. Hva er sannsynligheten for at alle er grønne? A 1/30 B 4/27 C 1/6 D 1/4 E 1/3 6) For hvor mange positive heltall n er n et kvadrattall? A 0 B 1 C 2 D 3 E 5 Det er barskinger som deltar i abelkonkurransen!

2 2.1, 2.2, , 2.5, (U) Funksjonsbegrepet: Dere har møtt funksjoner tidligere. I dette kapitlet skal vi repetere lineære funksjoner, dvs. rette linjer i koordinatsystemet. Lineært betyr at noe vokser eller avtar med en fast økning. (Seinere skal vi la funksjonene vokse og avta på mer spennende måter.) En funksjon kan minne om en liten maskin der vi putter inn noe og får ut noe annet: Putt inn3 i maskinen og få ut 6. Putt inn 7 og få ut 14. Putt inn x og få ut det dobbelte. Dere er vant til å tegne funksjoner i et koordinatsystem: Vi venter litt med det. Men dere kan like godt først som sist hente GeoGebra fra nettet: Ikke velg online-versjonen, men trykk Download og last ned programmet dersom dere ikke allerede har gjort det. Vær også klar over at TInspire kan tegne grafer Lineære funksjoner: Veksten er konstant, eller absolutt som vi sa ovafor. Vi skal nå tegne vekstkurver eller grafer. En graf med konstant eller fast vekst, er ei rett linje. Er veksten positiv, vil linja stige mot høyre, er den negativ, vil linja synke. Og er det ingen vekst - kjedelig! - vil linja være vannrett. Der linja skjærer y-aksen, er startverdien, altså verdien når x = 0. Og hvis vi tegner en trekant med vannrett og loddrett side (kateter) der linja er tredje side (hypotenus), vil stigningstallet - eller den faste stigninga - være loddrett katet delt på vannrett katet. Med nedoverbakke blir dette tallet negativt. Alle rette linjer, lineære funksjoner, kan skrives som y = ax + b der b er skjæring med y-aksen og a er stigningstallet. 13/10 14/10 Innføring i kapittel 1: 1.221, 1.230b, 1.247, /10 2.8, (U) 2.3 Formel for stigningstallet: Vi lager trekanter mellom to punkter på den rette linja for å finne stigningstallet. Går vi 1 mot høyre og a opp eller ned, er stigningstallet lik a. Vi tar egentlig høyden vi stiger/synker og deler på lengden vi går mot høyre. Det kan også skrives slik: Eller mellom to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ): 20/10 I den generelle formelen for en lineær funksjon, ser vi igjen stigningstallet som tallet a foran x. 2.11, (U) 2.4 Lineære likningssett. Addisjonsmetoden. Innsettingsmetoden: To likninger med to ukjente x og y kan løses ved utregning. Tilsvarende kan tre likninger med tre ukjente, fire med fire, osv. Addisjonsmetoden står i boka: Vi kan legge sammen venstre side i de to likningene og høyresidene, evt. trekke dem fra hverandre. Hvis vi fikser litt på forhand, kan vi få enten x eller y til å forsvinne. Denne metoden bryr vi oss ikke om. (Er dere nysgjerrig: Se på eksempel 9, side 64, i boka.) Metoden virker bare når begge likningene er lineære eller har samme grad. For å løse flere likninger med flere ukjente, må vi få vekk alle utenom en ukjent først: Vi kan bare løse likninger med en ukjent. Nemlig. Metoden vi bruker, er: Innsettingsmetoden: a) Bruk den ene av de to likningene og finn den ene ukjente der, uttrykt ved den andre. b) Sett dette resultatet inn på plassen til denne ukjente i den andre likninga. c) Vips er den ene ukjente borte og du kan løse likninga og finne den andre ukjente. d) Sett resultatet du får inn i uttrykket du fant i a) og finn den andre ukjente. Begge ukjente er funnet, og du har løst likningssettet! Den siste metoden virker på alle likningssett! 21/10 Bruk av Geogebra for å tegne grafer: Skriv uttrykket med x og y inn i vinduet nederst: Skriv inn: Dere trenger ikke ordne det slik at dere har y aleine på venstre side. Hvis dere bruker f(x) i stedet for y, må f(x) stå aleine på venstre side. Hvis dere bare skriver inn høyre side, altså et x-uttrykk, vil GeoGebra sjøl sette navn på funksjonen, f(x), g(x) osv. Bruk av Casio kalkulator for å tegne grafer: Velg Graph fra menyen. Skriv inn uttrykk. Velg Draw. Skal dere ha tabell også: Velg Table fra menyen. Skriv inn uttrykk. Velg Set for å bestemme tabellens størrelse. Exit bringer deg tilbake. Velg Tabl for å få en tabell. 2

3 Bruk av TI-nspire for å løse likningssett: Skriv inn likningene på en av disse to måtene (se heftet side 40) og løs. Husk alle kommaene! Prøve i kapittel 1! 25/ , 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, (U) 2.21, 2.22, Grafisk løsning av lineære likningssett: Vi tenker oss hver av de to likningene som en rett linje. Disse kan vi tegne på vanlig måte i et koordinatsystem. Løsninga ligger i skjæringspunktet mellom de to grafene. Der kan vi lese av både x og y. Metoden virker på alle funksjoner, ikke bare rette linjer, og det kan godt være vi finner flere skjæringspunkt, altså flere løsninger. 2.6 Ettpunktsformelen: Hvis vi veit to ting om ei rett linje, lineær funksjon, kan vi finne formelen og tegne grafen! Hvis vi kjenner stigningstall a og ett punkt (x 1, y 1 ) på ei rett linje, er formelen: Hvis vi kjenner to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på ei rett linje, må vi først finne stigningstallet a slik: = og deretter bruke formelen ovafor: Vi kan naturligvis sette inn hvilket som helst av de to punktene vi kjenner i denne ettpunktsformelen! 27/10 28/ , Lineær regresjon: Det er ikke alltid at virkeligheten er like regelmessig som matematikken. Derfor er mye av den matematikken vi bruker, modeller som beskriver omtrent hvordan virkeligheten er. (Se eksempelet i grafen på side 70.) Vi har et mål for tilnærming, r, og dette tallet, r eller r 2, skal ligge i nærheten av 1. Er grafen perfekt, altså helt lik tallene vi har målt oss fram til, får vi 1 eller -1. Men får vi 0,99 eller noe som ligger ganske nær 1, skal vi være fornøyd: Slik er faktisk virkeligheten! Det hender også at den matematiske modellen bare passer på en liten del av det vi har målt. Men kanskje det er nok... 4/11 Diverse verktøy for grafer: Vi prøver GeoGebra på eksempelet på side 70: Det går an å prøve seg fram: Innstillinger Tegneflate: x-aksen skal gå fra -10 til 5 og y-aksen fra 0 til 900. Slå på rutearket: Vis Ruteark. Tegn inn punktene med koordinatangivelse: (-10,868) <retur> osv. Dere ser punktene komme opp. Prøv å legge ei rett linje som går gjennom alle punktene: Dette går ikke helt! Og dere får fram et uttrykk med x og y: Løs det med hensyn på y og dere har en ganske bra graf med funksjonsuttrykk! Geogebra tar regresjon direkte slik: Skriv inn de punktene du vil finne ei rett linje gjennom. Punkter skrives slik: (1, 2) <lsk> i feltet nederst, og Geogerbra gir dem navn. Når du har fått tegna inn alle: Velg og. Merk området med alle punktene ved å dra ut et rektangel og slipp. Geogebra velger det beste uttrykket. Dersom du ønsker å finne stigningstall, må du løse uttrykket med hensyn på y for å finne tallet foran x. Denne metoden er meget enkel, og du ser om den passer bra eller ikke! Men: Den mest fullstendige metoden gjøres fra en tabell, dvs. et regneark. Tabellen må leses inn og så velges grafen til tabellen: Vis Regneark: Legg inn x-verdier i venstre kolonne og de tilsvarende y-verdiene i kolonnen til høyre. Merk de rutene du har fylt tall i høyreklikk Lag liste med punkter Punktene har nå kommet på plass i koordinatsystemet, og GeoGebra kaller dem for liste 1. Nå kan GeoGebra behandle dem, dvs. bruke lista til det du ønsker: I Kommando-vinduet nederst til høyre finner du Reg-kommandoene stående etter hverandre i lista: RegEksp, RegLin, RegLinX, RegLog, RegLogist, RegUt, RegPoly, RegPot og RegSin. Vi skal bruke RegLin først: Skriv der vi pleier, nede til venstre: Reglin[liste1] og GeoGebra lager en lineær funksjon gjennom punktene våre. Formelen kommer opp, og hvis du høyreklikker på den, kan du velge y=ax+b for å få den på vår måte. Linja ser vel bra ut? Vi prøver også andre- og tredjegradskurver: RegPoly[linje1,2] gir oss andregradskurve gjennom punktene i lista. Dere ser at det blir en parabel? To-tallet forteller at polynomfunksjonen er av andre grad. RegPoly[linje1,3] gir oss tredje grad, i alle fall hvis det er mulig. Osv. 3

4 Vi gjør det på en liknende måte med Excel: Skriv x-verdiene i første kolonne og tilsvarende y-verdier i kolonnen rett til høyre. Merk denne tabellen. Sett inn Punkt Punktdiagram Høyreklikk på ett punkt Legg til trendlinje Velg Lineær Merk av Vis formel i diagrammet Merk av Vis R-kvadrert verdi i diagrammet Lukk Dere får nå ei rett linje som er regresjonskurva til punktene, dere får formelen for funksjonen og i tillegg får dere et talluttrykk for r 2, som hvis det er nær 1 viser at vi har ei god tilnærming. Dere kan også velge andre grafer enn lineær! Kalkulatoren Casio har egen regresjonsknapp: STAT Skriv x-verdiene i første kolonne og tilsvarende y-verdier i kolonnen rett til høyre. Velg GRPH og GPH1 og du får se punktene i koordinatsystemet. Velg CALC og X og du får en regresjonskurve som er lineær. Du får et uttrykk og du får en verdi for r 2. (Du kan også velge andre kurver enn den rette linja X. TI-nspire er et annet verktøy: (Kanskje noen av dere vil bruke TI-nspire i stedet for GeoGebra til alt funksjonsarbeid ) Opplæring i bruk av funksjoner finner dere på sidene 20 29, men for å tegne trenger dere bare lese side Denne bruksanvisninga er fra side 25: Gå til verktøylinja. Klikk og velg Lister & regneark. Legg inn x og y verdiene i kolonnene A og B i regnearket. Dere kan også legge til overskrifter øverst, for eksempel x og y. Klikk på verktøyknappen for statistikk. Velg Stat beregning og Lineær regresjon (mx+b). I X-liste velger du x og i Y-liste y. <lsk> I to regnearkkolonner kommer det fram en oversikt over beregningene. I den ene kolonnen finner du verdiene for m og b. Hele innholdet i den merkede cella ser du nederst i regnearket. Du har altså funnet et funksjonsuttrykk som passer godt til tallene dersom r 2 ligger nær 1 eller -1! Vi skal nå sette inn ei ny side i dokumentet: Klikk og velg Grafer & geometri. Gå til verktøylinja. Klikk og velg Spredningsdiagram. Velg nederst i grafvinduet lista x for x og y for y. Pass på at det da står riktig sidetall, for eksempel s1, på kommandolinja. Du kommer til riktig sidetall ved å bruke u eller v i grafvinduet. Gå til verktøylinja, klikk og velg Zoom-Stat. De fire punktene kommer fram i koordinatsystemet. På kommandolinja høyreklikker du, velg Utvid kommandolinje og klikk på til høyre for øyet. Det kommer opp ei søyle med ikoner, og på en merkelapp står det noen stikkord om det aktive ikonet. Bruk eller, og velg punkttype ved å klikke. Du har nå fått en tegning av de punktene du har lagt inn. Husk på at du kan bruke andre navn enn x og y på aksene! Vi skal nå tegne regresjonslinja sammen med punktene: Klikk og velg Funksjon. Og på kommandolinja velger du ved hjelp av opp/ned-piler funksjonen f1(x). Trykk <lsk>. Nå ser du både punktene og grafen i koordinatsystemet. I grafvinduet kan du redigere funksjonsuttrykket ved å dobbelklikke på det. Du kan flytte fram og tilbake i uttrykket ved hjelp av s og t. Tall kan du skrive inn på vanlig måte eller slette med Delete-tasten. Funksjonsuttrykket kan du flytte ved å dra det til ønsket posisjon. 4

5 2.26, 2.27, (U) Sammensatt eksempel: Her møter dere - som i forrige kapittel - ei større oppgave som tar for seg mange av teknikkene dere har lært i kapitlet. Det er viktig å se sammenhenger når dere lærer noe, kanskje spesielt i matematikk der alt bygger på noe dere har lært tidligere! Prøv dere på oppgavene! 5/11 Sammendrag av kapitlet - side 74 (Bok 1T): Dette er stoff som passer på en huskelapp for kapittel 2. Test deg selv - side 75 (Bok 1T): Utfør testen på egen hand en stille ettermiddag. Deretter retter du utfra løsningene på side Klarer du halvparten, har du såvidt klart en 3er! En tredel gir deg ståkarakter og fire femdeler er en 5er! Øvingsoppgavene til kapitlet - side (Bok 1T): Fasit side Husk stikkordslista side (Bok 1T) dersom du leiter etter noe du skal ha lært i boka. Legg også merke til innbrettene på omslaget, der viktige formler alltid er enkle å finne. Og bakerst, side , finner dere læreplanen for dette første året - men den er ikke så lett å lese... Innføring til kapitlet: 2.75b, 2.83, 2.88, /11 Kapittel 3 starter: 5/11 Prøve i kapittel 2 Tommy & Tigern, bind 1, side 52, øverst 5