GEOGEBRA (Versjon mai 2016)

Transkript

1 1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir

2 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra Funksjonsanalyse Utskrift Overføring til Word Nyttige tips Statistikk Stolpediagram Stolpediagram, sammenlikning av numeriske data Sektordiagram 26 Linjediagram Histogram 27 Boksplott 28 Nytt Grafikkark og å slette objekter 28 Endre parameterverdi med glider Tekst og Dynamisk tekst 32 Skjule/vise elementer Regneark i GeoGebra Terningkast CAS i GeoGebra 42 Nyttige tips 43 Tastatursnarveier Eksempler på å lage egne verktøy i GeoGebra 46 Problemer med Geogebra Mac - Tastatursnarveier Hurtigtasten «Alt + en tast» i Windows erstattes med «Ctrl + en tast» i Mac. Hurtigtasten «Ctrl + en tast» i Windows erstattes med «Cmd + en tast» i Mac. Klammen [ har hurtigtasten «Alt + 8», ] har tilsvarende Alt + 9. Klammen { har hurtigtasten «Alt + Shift + 8», } har tilsvarende Alt + Shift + 9.

3 3 GeoGebra Nedlasting GeoGebra kan lastes ned gratis fra nettet. Legg inn nettadressen Figuren nedenfor viser ikonet som legger seg på skrivebordet. Innholdsoversikt Verktøylinje Algebrafelt Cas Grafikkfelt Regneark Inntastingsfelt Innholdselementer Innholdselementene aktiverer du ved å klikke på Vis. Klikk på det vinduet du vi aktivere. Hvert klikk virker som en av/på bryter. Grafikkfeltet I dette området kan du tegne figurer, grafer, vektorer, osv. Ved å høyreklikke i grafikkfeltet får du fram en hurtigmeny. Flyttpila aktiv. Hvis du klikker på, får du dette bildet:

4 4 Her kan du endre egenskapene for x-aksen, y-aksen og rutenettet. NB! Alternativt til å høyreklikke i grafikkfeltet kan du klikke på deretter klikke på. øverst i høyre hjørne, og Verktøylinja På verktøylinja finner du knappene (ikonene) som viser redskapene som du kan bruke når du arbeider i grafikkfeltet, for eksempel når du tegner geometrifigurer eller når du jobber med grafer/kurver. Hvert ikon har en pil nederst i høyre hjørne,. Ved å trykke på den, får du fram flere verktøyknapper (ikoner). Inntastingsfeltet Her legger du inn funksjonsuttrykk for tegning av grafer. Selv om verktøylinja stort sett dekker behovet når du skal tegne geometriske figurer, kan du også i Inntastingsfeltet skrive inn kommandoer for det som skal tegnes. Hvis du for eksempel skal tegne midtnormalen på et linjestykke a, får du etter noen få bokstaver dette valget når du begynner med å skrive midtnormal: Klikk på Midtnormal[<Linjestykke>] og skriv a. Hvis du nå trykker ENTER, blir midtnormalen på linjestykket a tegnet. Oversikt over aktuelle kommandoer For å få fram en oversikt over tilgjengelige kommandoer i GeoGebra 5.0 klikker du på symbolet til høyre for Inntastingsfeltet:

5 5 Her kan du velge om du vil se Alle Kommandoer eller Kommandoer under et bestemt emne, for eksempel under emnet Algebra. Som vi har nevnt ovenfor, kan også disse kommandoene skrives direkte inn i Inntastingsfeltet. Vanligvis er det nok å skrive et par bokstaver før GeoGebra gjenkjenner kommandoen, og kommer med forslag til hele kommandoen. Du kan da legge inn de riktige bokstavene i hakeparentesen i slutten av kommandoen. Tidligere inntastinger i Inntastingsfeltet Med muspekeren i Inntastingsfeltet kan vi bruke opp- og nedtastene på tastaturet for å se tidligere inntastinger. Graftegning Hvis du vil tegne grafen til en funksjon, må du legge inn funksjonsuttrykket i Inntastingsfeltet, for eksempel f ( x) 2x 3. Trykk ENTER og grafen blir tegnet i Grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket dukker opp i Algebrafeltet. Du kan skrive 2x 3i Inntastingsfeltet. GeoGebra gir funksjonen navnet f. Se hva som skjer hvis du legger inn ett funksjonsuttrykk til, for eksempel 2x 3. Tegne graf med gitt definisjonsmengde. Du skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 0,5x 2 D = [1, 5] I Inntastingsfeltet bruker du kommandoen Skriv i Inntastingsfeltet: 2 Funksjon 0.5 x,1,5. Eksponenten kan du legge inn med ^2 eller Alt + 2. Hvis du for eksempel vil gi funksjonen navnet O, kan du skrive 2 O(x)=Funksjon 0.5 x,1,5 Husk! Amerikansk desimalkomma. Trykk Enter. Du kan også bruke kommandoen. Ulikhetstegnene finner du under, til høyre i inntastingsfeltet. 2 NB! Med t som variabel må du skrive f(t)=funksjon 0.5 t,1,2.

6 6 Navnet på funksjonen kan du endre i Algebrafeltet etter at funksjonen er lagt inn. Høyreklikk på funksjonen, og klikk på Gi nytt navn. Vise objekter 2 Hvis du legger inn funksjonen f ( x) 0,5x 20 1 x 5, vil ikke grafen vises i Grafikkfeltet. Du kan endre skala på y-aksen ved å dra i aksen. Et alternativ er å høyreklikke i Grafikkfeltet og klikke på Vis alle objekt. Navn på nye objekter Hvis du ikke vil at GeoGebra skal sette navn på objekter du legger inn, kan du klikke på Innstillinger/Navn på objekt/ikke på nye objekt. Algebrafeltet I Algebrafeltet har du oversikt over alt det du har utført i Grafikkfeltet. Alle punkter, linjer og figurer du har tegnet er registrert her. Dessuten ser du hvilke likninger og funksjoner du har skrevet inn i Inntastingsfeltet. Her ser du også koordinatene til punktene, lengden av linjene og arealet av mangekantene du har tegnet. Hvis du utfører beregninger, kommer svarene her. Forandre verdier til objekter i Algebrafeltet Dobbeltklikk på objektet i Algebrafeltet, og en tekstboks aktiveres. Du kan endre størrelsene i tekstboksen. Etter at endringene er utført, trykker du ENTER. CAS (Computer algebra system) I CAS-vinduet kan du utføre utregninger både uten og med symboler. Angreknappen Oppe til høyre finner du Angreknappen. Her kan du gå fram og tilbake. NB! Du kan også gå ett steg tilbake ved å trykke Ctrl + Z på tastaturet.

7 7 Forhåndsinnstillinger Antall desimaler/siffer Under Innstillinger i hovedmenyen kan du velge hvor mange desimaler eller antall gjeldende siffer som vises i den aktuelle GeoGebrafila. Klikk på Innstillinger og velg Avrunding. Da får du fram bildet nedenfor. Her kan du velge antall desimaler eller antall gjeldende siffer. Skriftstørrelse Klikk på Innstillinger. Under Skriftstørrelse kan du velge skriftstørrelse. Standard er 12 punkt. Det er viktig å øke skriftstørrelsen, for eksempel til 20, når du viser med kanon i klasserommet! Lagre innstillinger Hvis du vil benytte noen av innstillingene til neste bruk, for eksempel skriftstørrelse, antall desimaler, kan du lagre disse. Dette gjøres under Innstillinger/Lagre Innstillinger. (Se figuren ovenfor.) Her kan du også gjenopprette standardinnstillinger. Innstillinger i Grafikkfeltet I Grafikkfeltet kan du velge om du vil akser, rutenett, osv.

8 8 Samme skala på aksene For at figurene i Grafikkfeltet skal få riktig form, må det under Innstillinger for Grafikkfeltet stå xakse : yakse = 1 : 1. NB! Dette er viktig når du jobber med geometriske figurer! Høyreklikk i Grafikkfeltet og velg xakse : yakse, og deretter 1 : 1. Da endres skala på y-aksen slik at den blir lik x-aksens. (Alternativt kan du klikke på øverst i høyre hjørne, og deretter klikke på.) Da får du dette: NB! Kontroller at det står 1: 1 i boksene for xakse : yakse. Lagring Hvis du skal lagre det du har laget, velger du Fil Lagre som. Det kan være lurt å opprette en egen mappe på datamaskinen for lagring av GeoGebrafiler (ggb-filer).

9 9 Noen eksempler på anvendelser Linje gjennom to punkt Velg Linje, og klikk på to steder i Grafikkfeltet. Hvis du allerede har tegnet punktene, kan du bare klikke på dem. Likningen for linja dukker opp i Algebrafeltet. NB! Høyreklikk på likningen for linja i Algebrafeltet eller på linja i Grafikkfeltet, og velg linja på formen y ax b. Legg merke til at koordinatene til A og B vises i Algebrafeltet. Høyreklikk på punkt A, enten i Algebrafeltet eller i Grafikkfeltet. Du får nå fram en hurtigmeny. Her trykker du på Egenskaper. Da får du dette bildet: I feltet til høyre for Vis navn har du tre alternative valg hvis du trykker på pilen til høyre for feltet, en rullegardinmeny med alternativene Navn, Navn og Verdi, Verdi og Objekttekst. Vi har valgt Navn og Verdi. Prøv de andre alternativene og se hva som skjer på figuren. Du kan gjenta det samme for punkt B.

10 10 Men du kan også kopiere egenskapene fra A til B. Klikk på verktøyknappen, deretter klikker du på Punkt A og deretter på punkt B. Er det flere punkter som skal den samme egenskapen, kan du klikke videre på dem etter at du har klikket på B. Å gjøre tegningen dynamisk For å gjøre tegningen dynamisk, klikker du på F-pila på Verktøylinja: Nb! Du kan også velge F-pila ved å trykke Esc-tasten på tastaturet. Etter å ha valgt F-pila, kan du flytte objekter i Grafikkfeltet ved å klikke på dem, holde museknappen nede og dra til ønsket plass. Du kan også flytte bokstaver og tekst på samme måte. På figuren har vi flyttet punkt B: Legg merke til at størrelsene i Algebrafeltet endrer seg når vi flytter objekter i Grafikkfeltet. B har fått koordinatene (6, 1 ), og a har fått lengden 4,5. Vi har endret fargen på bokstaven B. Dette gjøres ved å høyreklikke på bokstaven, velge Egenskaper og fanen Farge. Undersøk også hva du kan utføre under fanen Stil. Alternativt Endre farge og stil kan du også gjøre her, menyer øverst i Grafikkfeltet: Klikk først på objektet du skal skifte farge for. Tilsvarende med å endre stil: Speiling Tegn en trekant ved å klikke på mangekant. Klikk inn fire steder i Grafikkfeltet, A, B, C og A. NB! Husk å avslutte i det punktet du starter.

11 11 Tegn en rett linje. For eksempel med Linje gjennom to objekt,. Klikk på Speil objekt om linje,. Klikk på trekanten, og deretter på linja. Hvis du vil flytte trekanten ABC, kan du dra i den. På samme måte kan flytte punktene D eller E. Du kan også ta tak tak i linja og flytte den. Speiling om et punkt får du på tilsvarende måte ved å bruke. Skjæringspunkter med x-aksen f x 2 ( ) x 4 NB! Vi ser koordinatene til A og B i Algebrafeltet.

12 12 Topp- og Bunnpunkter på grafen Verktøyknappene Ekstremalpunkt og Nullpunkt Disse verktøyknappene (de to nederste på figuren nedenfor) kan du bruke til å finne topp- og bunnpunkter, og skjæringspunkter med x-aksen for alle typer funksjoner. Merk! Hvis du legger inn funksjonen med definisjonsmengde, vil verktøyknappene virke for polynomfunksjoner, men ikke for alle andre funksjoner. Hvis du vil bruke verktøyknappene for slike funksjoner, må du la være å legge inn begrenset definisjonsmengde. Eller du kan i stedet for å legge inn definisjonsmengen begrense definisjonsmengen med å bruke x-min og x-maks i grafikkfeltet. Da vil grafen tegnes i definisjonsmengen, og verktøyknappene vil virke. Klikk på verktøyknappene, og deretter på den aktuelle grafen i grafikkfeltet eller på funksjonsuttrykket i algebrafeltet. I algebrafeltet ser du koordinatene for de aktuelle punktene for den delen av grafen som du ser i grafikkfeltet. (Hvis ikke verktøyknappene dukker opp, klikk på Gjenopprett standardinnstillinger under Innstillinger, lukk GeoGebra, og åpne GeoGebra på nytt.)

13 13 Verktøyknappen Skjæring mellom to punkt Verktøyknappen brukes til å finne skjæringspunktet mellom to kurver. Klikk på verktøyknappen og deretter på hver kurve, eller klikk i nærheten av skjæringspunktet. Å finne y-verdier 2 Legg inn funksjonen f ( x) x 4. For å finne y når x = 1,5 skriver vi f(1.5) i inntastingsfeltet. I Algebrafeltet dukker y-verdien opp. Å finne x-verdier Vi vil finne x-verdien der y = 3. Vi legger inn linja y = 3 og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til f ved å bruke. I Algebrafeltet ser vi at y = 3 når x = 1 eller når x = 1. Funksjonsanalyse Under verktøyknappen finner du verktøyet. Her kan du på en enkel måte finne egenskaper ved en funksjon. 3 Skriv inn funksjonen i Inntastingsfeltet. Vi bruker funksjonen f ( x) x 3x som eksempel. Klikk på verktøyet Funksjonsanalyse, og deretter på grafen til funksjonen eller på funksjonsuttrykket i Algebrafeltet.

14 14 I den nederste linja kan du legge inn nye verdier for de x-verdiene som begrenser intervallet som skal analyseres. Trykk Enter etter hver verdi du legger inn. Du kan også bevege de to røde punktene med mustasten. Hvis du klikker på Punkt, får du dette: Her kan du legge inn x-verdier og få de tilsvarende y-verdiene. Klikk på de ulike fanene nederst i Funksjonsanalyse, og se hva som skjer. Hvis du klikker på, får du dette: Klikk p de ulike fanene, og se hva som skjer. Valget du har utført kan slettes med. Utskrift 3 2 Vi tar for oss grafen til funksjonen f ( x) x 3x 1 som eksempel. Tegn grafen til f i Grafikkfeltet. Klikk et sted i Grafikkfeltet med venstre mustast og dra den delen du vil skrive ut opp i høyre hjørne av skjermen. Tekst på aksene med GeoGebra Høyreklikk i Grafikkfeltet og velg Grafikkfelt. Klikk på xakse og skriv x i feltet Navn på aksen. Klikk på yakse og skriv f(x) i feltet Navn på aksen.

15 15 Hvis du vil skrive inn enhet, kan du for eksempel skrive xakse og under yakse. Da får du dette bildet: under Tekst på aksene med tekstboks Før du skriver ut, kan du bruke tekstboks til å skrive navn på aksene, enhet, navn på grafen eller annen tekst som det er naturlig å ha med. Marker det området du vil skrive ut med høyre mustast. Pass på at pilene på aksene er med i det markerte området. Tips! Start markeringen i nederste venstre hjørne. (Du kan markere det området du skal skrive ut uten først å flytte det opp i høyre hjørne. Men da er det ikke sikkert at pilene på aksene blir med i utskriften.) NB! Funksjonsuttrykket er dratt fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet med venstre mustast. Direkte Utskrift Klikk på Fil og velg Forhåndsvis utskrift. (Husk at det du skal skive ut bør være markert.) Funksjonsuttrykket er dratt fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet med venstre mustast.

16 16 Endre størrelsen av figuren Hvis du vil ha en større figur, kan du for eksempel endre tallet i det andre feltet til høyre for Skala i cm til 2. (Eventuelt til 1.5 eller andre tall.) Husk å bekrefte med Enter. I feltet Tittel kan du skrive hvilken oppgave det handler om, for eksempel 8a. I feltet Laget av skriver du kandidatnummeret ditt, for eksempel OSL XXXX. Klikk på Skriv ut. Du kan velge mellom stående eller liggende utskrift. Andre utskrifter Du kan også skrive ut det som står i andre felt. Velg for eksempel Algebrafelt under rullegardinen nedenfor og klikk på Skriv ut.

17 17 Overføring til Word Klikk på Fil, Eksporter og Kopier grafikkfeltet til utklippstavla. Gå inn i Word og Lim inn (Ctrl v). Klikk på bildet og endre til ønsket størrelse ved å dra i firkanten nederst i høyre hjørne. (Du kan også endre størrelsen ved å aktivere Billedbehandling.) Utklippsverktøy Skriv Utklippsverktøy i «søkefeltet». Da dukker dette opp:. Høyreklikk på Utklippsverktøyet og velg Fest til Start-menyen. Eller dra det ned til Startmenylinja. Du kan også laste ned utklippsverktøyet «Screenhunter». Tilsvarende utklippsverktøy i MAC Det heter «Grab» og er vanligvis å finne i mappen «Annet» under Launchpad (ikonet med rakett). Kan festes til Dock slik at det alltid er tilgjengelig Nye versjoner av Word I nye versjoner av Word kan du sette inn skjermbilder direkte. Åpne Word, legg dokumentet ned på nederste verktøylinje. Åpne GeoGebra og legg inn det som skal legges i Word. Klikk på Worddokumentet, og på Sett inn øverst til høyre. Klikk på Skjermbilde.

18 18 Klikk på Ta et skjermbilde. Klikk på det aktuelle skjermbildet som kommer fram. Da får du for eksempel dette: Marker det området du vil ha skjermbilde av, og det blir automatisk satt inn i Word. Nyttige tips Algebravinduet Ctrl + d: Skifter mellom Definisjon, Kommando og Verdi. Justere akser Shift-tasten eller Ctrl-tasten nede og dra i aksene med venstre mustast nede. (Alternativt: Klikk på Flytt grafikkfeltet-ikonet aksene.), og dra i NB! Shift-tasten eller Ctrl-tasten virker generelt som Flytt grafikkfeltet-ikonet (Flytter altså grafikkfeltet eller justerer aksene.) Med Flyttpila aktiv flytter venstre mustast Grafikkfeltet. Forstørre/forminske Ctrl + Ctrl- Rull med mushjulet og zoom ut eller inn. Endre innstilling på aksene. (Høyreklikk på Grafikkfeltet og klikk på Grafikkfelt.) ENTER-knappen Kan brukes til å skifte mellom Grafikkfeltet og Inntastingsfeltet. ESC-knappen Kan brukes i stedet for å klikke på F-pila,, for å aktivere denne. Heltallige eksponenter i Inntastingsfeltet Hold Alt inne og skriv eksponenten. For eksempel Alt + 2. Du kan også bruke ^, noe som er nødvendig når eksponentene ikke er heltallige.

19 19 Indekser I Inntastingsfeltet: A_1 blir A1 og S_{AB} blir SAB. Fungerer også i tekstboksen! Flytte «Tabell» fra Regnearket til Grafikkfeltet. Etter at du har laget en tabell i regnearket, enten ved å bruke regnearkets «egenskaper» til å lage en funksjonstabell eller ved å legge tallene direkte inn i rutene, kan du overføre tabellen til Grafikkfeltet. Marker tabellen (venstre mustast), høyreklikk på det markerte feltet og velg Lag/Tabell. Tabellen havner i Grafikkfeltet. Dra den til ønsket sted. (Flyttpila aktiv) Kutte y-aksen I praktiske funksjoner kan det være gunstig å kutte y-aksen. 2 Vi tar et eksempel med f ( x) x 200, 0 x 10. Skriv inn funksjonen. NB! Høyreklikk i Grafikkfeltet og klikk på Vis alle objekt. Høyreklikk i Grafikkfeltet og velg Grafikkfelt. Klikk på xakse og skriv 195 i boksen Kryss ved. Klikk på yakse og klikk i boksen Bare i positiv retning.

20 20 NB! Endre tilbake innstillingene før du går ut av GeoGebra! Statistikk Median, gjennomsnitt og standardavvik (med regneark) Du skal finne median og gjennomsnitt for reisetidene til skolen for 9 elever. Reisetidene er: 42, 24, 39, 22, 45, 44, 16, 31, 47 Velg Vis Regneark og legg inn reisetidene i minutter i kolonne A. Marker de 9 reisetidene og klikk på Analyse av en variabel, oppe til venstre. Klikk på Analyser. Hvis dette bildet ikke dukker opp, klikker du på, oppe til venstre. Figuren viser: Det er lagt inn n = 9 reisetider. Minste innlagte reisetid, Min = 16, er 16 minutter. Største innlagte reisetid, Maks = 47, er 47 minutter. Median Median = 39 Median reisetid er 39 minutter. Gjennomsnitt Gjennomsnitt = 34,4 Gjennomsnittlig reisetid er 34,4 minutter.

21 21 Standardavvik s = 11,48 Standardavviket er 11,5 minutter (Hvis du deler med n i stedet for med n 1, får du at standardavviket er 10,8.) Data med frekvens Legg inn tallene i kolonne A og frekvensen i kolonne B. Marker tallene i kolonne A og klikk på Analyse av en variabel. Klikk på «tannhjulet» og kryss av for Tall og Data med frekvens. Marker tallene i kolonne B og klikk på hånda til venstre for Frekvens i den tomme kolonnen i boksen Datakilde. Klikk på Analyser, og om nødvendig på.

22 22 Stolpediagram Stolpediagram med tall på begge aksene med tilfeldig innlagte data Legg dataene inn i kolonne A i regnearket. Marker tallene og klikk på Analyse av en variabel og Analyser. Velg. Dette kan nå overføres til Grafikkfeltet, klikk på. Der kan det eventuelt behandles videre. Stolpediagram med tekst på x-aksen Etter at diagrammet er overført til Grafikkfeltet kan vi skjule tallene på x-aksen. Klikk på Vis tall langs aksene slik at haken forsvinner. NB! Tekst legges inn med tekstbokser.

23 23 Stolpediagram med tall på begge aksene med innlagt frekvenstabell Legg inn tallene i kolonne A og frekvensen i kolonne B. Marker tallene i kolonne A og klikk på Analyse av en variabel. Klikk på «tannhjulet» og kryss av for Tall og Data med frekvens. Marker tallene i kolonne B og klikk på hånda til venstre for Frekvens i den tomme kolonnen i boksen Datakilde. Klikk på Analyser. Stolpediagram med sammenlikning av numeriske data I klassen 1A er det 8 elever som danser Salsa og 5 elever som danser Vals. I klasse 1B danser 6 av elevene Salsa og 9 danser Vals. Vi lager en oversikt i regnearket i Geogebra.

24 24 Vi skal lage en oversikt med stolpediagram. Vi marker: de to tallene i kolonne A og lager listen Liste1 de to tallene i kolonne C og lager listen Liste2 de to tallene i kolonne D og lager listen Liste 3 I algebrafeltet ser dette slik ut: Nå bruker vi kommandoen slik: Vi drar litt i x-aksen, og får dette: Vi fjerner tallene og markeringen på x-aksen. På y-aksen huker vi av for bare positive verdier. Teksten SALSA og VALS legger vi inn med tekstbokser. Boksene for 1A og 1B finner vi også i tekstboksen, under Symbol, der vi også legger på «riktig» farge. Med et eventuelt datasett til i kolonne E, Liste 4, bruker du: Søylediagram[Liste1 + 2/6, Liste 4, 1/6]

25 25 Sektordiagram På en klassefest velger ti elever å spise taco. Sju velger pizza og fem velger pølser. Vi skal tegne et sektordiagram som viser fordelingen. Vi finner gradtallet for sektorene i regnearket. Vi velger 0 desimaler under Avrunding. Vi tegner en sirkel med verktøyknappen Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Alternativ 1 Vi tegner sirkelsektorer med verktøyknappen Sirkelsektor med sentrum (A) mellom to punkt (B og C). Vi velger verktøyknappen Vinkel for å måle vinkelen BAC. Vi flytter punktet C til vinkelen blir 164. Vi gjentar det samme med den andre sektoren. Alternativ 2 Velg verktøyknappen Vinkel med fast størrelse. Klikk på punktet B på sirkelperiferien, og deretter på sentrum A i sirkelen. Skriv C1 foran gradtegnet, og klikk på OK. Gjenta det samme med den andre sektoren. Tegn de aktuelle linjestykkene med kommandoen Linjestykke mellom to punkt.

26 26 Vi skjuler alle navn og punkter. Vi legger inn tekst med tekstboksen. Linjediagram Vi skal illustrere punktene (1, 2), (2, 4), (3, 1) og (4, 2) i et linjediagram. Den enkleste måten er å legge inn punktene i Grafikkfeltet og tegne linjestykker mellom dem. Histogram Eksempel [10, 20 : 10 [20, 30 : 20 [30, 40 : 15 [40, 60 : 5 Legg inn Klassebredder, Klassegrenser, Frekvens og regn ut Tegnehøyder i regnearket. Merk! Hvis alle klassebreddene er like store, kan du bruke frekvensene som tegnehøyder. Lag liste av Klassegrensene. Marker B- kolonnen, høyreklikk og velg Lag Liste.

27 27 Lista dukker opp som Liste1 i Algebrafeltet. Gjør tilsvarende med Tegnehøyder. Du kan nå bruke kommandoen:. Da får du histogrammet: Boksplott Vi vil lage boksplott for en fordeling som vi legger inn i regnearket. Marker tallene og klikk på Analyse av en variabel og Analyser. Vi ser at GeoGebra har silt ut den avvikende verdien 15. Dette bildet kan nå overføres til grafikkfeltet. Hvis vi mener at den avvikende verdien allikevel skal være med, klikker vi på bort krysset for Vis punkt utenfor., og tar

28 28 Nytt grafikkark For å få nytt grafikkark klikker du på Fil øverst i venstre hjørne, og deretter på Ny. Du må svare på spørsmålet om du vil lagre eller ikke. Du kan også klikke på Nytt vindu, da får du to aktive vinduer. Slette objekter Her er det flere måter. Klikk med høyre mustast på det aktuelle objektet (enten i Grafikkfeltet eller i Algebrafeltet), og velg Slett i menyen. Hvis det er flere objekter som skal slettes, så merk dem ved å klikke med høyre mustast på Grafikkfeltet. Hold høyre mustast nede, og lag et område rundt de aktuelle objektene. Trykker du Delete på tastaturet, sletter du alt innen dette området. Trykk Ctrl+Z på tastaturet eller klikk på angrepilen oppe til høyre, hvis du vil slette siste handling. Endre parameterverdi med glider Skriv a = 0 i Inntastingsfeltet. Klikk på ringen foran a i Algebrafeltet. Glideren dukker opp i Grafikkfeltet. Hvis Flyttpila er aktivert, kan du flytte glideren i grafikkfeltet. Du kan dra i «punktet» på glideren med venstre mustast for å endre verdier for a. Se hva som skjer i Algebrafeltet. Du kan også bruke piltastene på tastaturet for å flytte punktet, og dermed endre verdiene for a. Hvis du høyreklikker på glideren, kan du endre egenskaper. Tekst og Dynamisk tekst Eksempel 1 Legg inn punktet A (1, 2) i Inntastingsfeltet. Aktiver tekstboksen ved å klikke på ikonet ABC (Sett inn tekst), og klikk et sted i Grafikkfeltet.

29 29 I tekstboksen: Skriv inn A = og klikk på punktet A i Grafikkfeltet eller i Algebrafeltet. Hvis du vil ha kursiverte symboler, krysser du av foran LaTeX-formel. Klikk OK og teksten dukker opp i Grafikkfeltet. Her kan du med venstre mustast flytte den til ønsket sted. Flyttpila aktiv (Esc). Merk! Boksen på høyre side av likhetstegnet er en «Regneboks». Siden du fikk den ved å klikke på A, er det tallene som knyttes til A som er aktivert. Hvis du klikker i Regneboksen, kan du legge inn andre tall eller regnestykker. NB! Hvis du vil at teksten skal følge et bevegelig punkt, klikker du på det punktet i Grafikkfeltet når du setter inn tekstboksen. Hint! Hvis teksten skal følge en linje, legger du inn et punkt på linja som du skjuler etter at teksten er lagt inn. Eksempel 2 2 Skriv inn et funksjonsuttrykk, for eksempel f ( x) x 2x i Inntastingsfeltet. Trykk ENTER. Uttrykket dukker opp i Algebrafeltet og grafen i Grafikkfeltet. Vi vil ha uttrykket i Grafikkfeltet. Alternativ 1 Klikk på teksten i Algebrafeltet og dra den over til Grafikkfeltet. NB! Husk at flyttpila må være aktivert for å få flyttet teksten. Alternativ 2 I tekstboksen: Skriv inn f(x) =, og trykk på grafen til f i Grafikkfeltet eller på funksjonsuttrykket f(x) i Algebrafeltet. For å få kursiverte variable krysser du av foran LaTeX-formel.

30 30 GeoGebra fullfører teksten. I Regneboksen legges altså uttrykket knyttet til f(x) inn. LaTeX Når du krysser av foran LaTeX-formel har du tilgjengelig en matematisk editor. Klikk på pilen til høyre for LaTeX-formel, og du kan velge en fane. Hvis du velger Røtter og brøker, får du dette: Eksempel 3 2 Vi lager en «tekstløsning» av utregning av funksjonsuttrykket f ( x) 0,5x 2 for forskjellige verdier av x. Vi legger inn en glider for n. Velger Min: 5, Maks: 5 og Animasjonstrinn: 0.5 Vi aktiverer tekstbokser. Vi velger her å lage løsningen i flere tekstbokser som legges under hverandre i Grafikkfeltet. Men det kan utføres i én tekstboks. I LaTex lager du linjeskift med \\. Tekstboks 1 Tekstboks 2 NB! Verdien for n legger vi inn ved å klikke på glideren.

31 31 Her er gliderverdien n = 2. NB! Vi regner ut funksjonsuttrykket i Algebravinduet i Inntastingsfeltet:. (Utregningen kan også gjøres direkte i tekstboksen, se «Utregninger i tekstboksen» nedenfor.) Tekstboks 3 I tekstboksen legger du inn n ved å klikke på glideren, og r ved å klikke på uttrykket for r i Algebrafeltet. Resultatet i Grafikkfeltet blir slik: Nå kan du endre gliderverdiene. Utregninger i tekstboksen Vi kan også foreta utregninger i Tekstboksen. Vi aktiverer da en regneboks : PC: Alt + Enter Mac: Ctrl + Enter To eksempler:

32 32 Skjule/vise elementer i Grafikkfeltet Lag en glider, for eksempel med n. Legg for eksempel inn en graf, tekst eller bilde. Vi legger inn et bilde ved å klikke på Sett inn bilde: Velg et bilde fra en mappe. Vi vil at bildet skal vises når n > 3. Høyreklikk på bildet og klikk på Egenskaper, Avansert og legg inn n>3. Merk! Hvis betingelsen er n = 5, må du skrive n == 5. Tips! Hvis glider skal brukes til at et punkt P skal følge grafen til en funksjon f, kan du definere en glider n, og definere punktet P = (n, f(n)). Hvis en tekst eller et bilde skal følge punktet, klikker du på punktet når du setter inn teksten/bildet. Hvis en tekst eller et bilde skal følge en linje eller en graf når linja/grafen endrer egenskaper, lager du et punkt på linja/grafen der teksten/bilde skal plasserer. Punktet skjules etter at teksten/bildet er lagt inn. Greske bokstaver og andre symboler Hvis du klikker på nederst til høyre i Inntastingsfeltet, får du en meny med noen greske bokstaver og noen andre symboler, for eksempel tegnet for π (pi). Regneark i GeoGebra Du skal bruke regnearket i GeoGebra til å regne ut timelønn og ukelønn. Månedslønn: kr Vanlig arbeidstid per måned: 162,5 timer Vanlig arbeidstid per uke: 37,5 timer Klikk på Vis og velg Regneark. Bildet skal se slik ut.

33 33 Klikk i rute A1 og skriv Inndata i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A2 og skriv Månedslønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B2 og skriv i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A3 og skriv Vanlig arbeidstid per måned i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B3 og skriv i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A4 og skriv Vanlig arbeidstid per uke i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B4 og skriv 37.5 i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A6 og skriv Beregning i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A7 og skriv Timelønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B7 og skriv B2/B3 i Inntastingsfeltet. Klikk i rute A8 og skriv Ukelønn i Inntastingsfeltet. Klikk i rute B8 og skriv B7*B4 i Inntastingsfeltet. Da få du dette bildet Regnearket har regnet ut timelønn og ukelønn. NB! Hvis du vil se regnearket med innlagte formler, kan du trykke Ctrl + d. Tilgang til verktøy du kan bruke i regnearket:

34 34 Marker aktuelle celler og klikk på det du ønsker utført. Absolutt referanse Absolutt referanse markeres i GeoGebra med $. For eksempel A$1 absolutt referanse til celle A1. Terningkast Skriv TilfeldigMellom[1,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet står det a = 2. Det viser at antall øyne på kastet er 2. (Kommandoen TilfeldigMellom[1,6] gir et tilfeldig heltall fra og med 1 til og med 6.) Trykk F9 flere ganger og observer hva som skjer i Algebrafeltet med verdien av a. Sett inn en knapp for å kaste terning Du kan sette inn en knapp i Grafikkfeltet som du kan trykke på for å få mange terningkast etter hverandre. Klikk på Knapp og deretter et sted i Grafikkfeltet. Skriv inn slik: Trykk på Bruk. Da får du dette:

35 35 Trykk Esc slik at Flyttpila blir aktivert, og trykk på Terningkast flere ganger. Se hva som skjer i Algebrafeltet. CAS i GeoGebra CAS: Computer Algebra System CAS-verktøyet i GeoGebra finner du her: Da dukker arbeidsvinduet i CAS opp: Klikk på CAS CAS-vinduet Faktorisering Skriv inn x x i CAS-vinduet og klikk på Faktoriser. (Heltallig eksponent: Alt + 3) Da får du dette bildet: Du kan også bruke kommandoen Faktoriser[<Polynom>]:

36 Faktoriser 6x 11xy 10 y NB! Legg merke til mellomrommet mellom x og y. Her kan du alternativt bruke *. Utregning av n-te røtter For å legge inn kvadratroten av tall, kan vi bruke sqrt() eller Alt + r. Ved utregning av n-te røtter generelt kan vi bruke kommandoen finner vi slik: Slette rader Hvis du vil slette innlagte rader, kan du markere venstre del av radene (delen med radnumrene) ved å dra mustasten over med venstre mustast nede. Høyreklikk et sted i det markerte området og klikk på ønsket antall rader som skal slettes. Finne felles nevner Skriv inn leddene og trykke Enter. Bare mulig med to nevnere.

37 37 Regner ut og gir svaret eksakt med brøk 1 1 Regn ut 5a 2a a a Skriv inn 5a 2a a a 2 3 i CAS-vinduet og klikk på, Regn ut (Eksakte utregninger). (Hvis - ikonet er aktivt, kan du trykke Enter.) Kontroll av innskriving Ved kontroll av innskrivning kan du bruke ikonet. Eller Alt + Enter. Etter at du har skrevet inn teksten, klikker du på ikonet. For å fortsette klikker du på den «oversatte» teksten i 1 eller trykk på ordmellomromtasten. Teksten blir da kopiert til 2, og du kan fortsette. Du kan også kopiere innholdet i en rad ved å markere ønsket tekst, trykke Ctrl + C, og lime inn på ønsket sted med Ctrl + V. Regner ut og gir svaret numerisk som desimaltall 1 1 Regn ut 5a 2a a a Skriv inn 5a 2a a a 2 3 desimaltall). i CAS-vinduet og klikk på Numerisk (Vise svaret som Antall sifre /desimaler i svaret velger du under Innstilliger/Avrunding.

38 38 Regner ut parentesuttrykk 4 Regn ut t 3t Skriv inn t 3t 2 3 i CAS-vinduet og trykk Enter eller klikk på, Regn ut. Fullstendig kvadrat 2 Lag et fullstendig kvadrat av x 8x med GeoGebra. Å snu formler Vi har formelen T 0,50x 20 og vil finne et uttrykk for x. Vi bruker kommandoen Løs[<Likning>,<Variabel>] i CAS. NB! Hvis formelen inneholder et produkt med bokstaver som faktorer, må du bruke * eller ordmellomrom mellom bokstavene. Greske bokstaver og andre symboler Når du skal skrive inn noe i CAS-vinduet, dukker symbolet opp. Hvis du klikker på, får du denne menyen: (Dette er den samme som dukker opp i Inntastingsfeltet når du klikker der.)

39 39 Løse likninger og gi svaret eksakt x 1 x x 1 x Løs likningen Skriv inn i CAS-vinduet og klikk på Løs. Alternativt Du kan også bruke kommandoen Løs[ ]. Eller også Løsninger[ ]. Hvis du bruker Løsninger[ ], får du svaret på denne formen: Løse likninger og gi svaret numerisk med desimaltall x 1 x 9 Løs likningen x 1 x 9 Skriv inn i CAS-vinduet og klikk på Løs numerisk. Alternativt Hvis du vil ha svaret med desimaltall i raden nedenfor der du har fått den eksakte løsningen, kan du gjøre slik: Klikk på raden nedenfor, og deretter på eller trykk på ordmellomromtasten, og deretter på.

40 40 To alternative måter å legge inn betingelser på Standardform Du kan bruke kommandoen for å få et svar på standardform: I Innstillinger/Avrunding kan du velge hvor mange desimaler/sifre du vil ha med i svaret. Men til det kan du også bruke kommandoen:. Likningssystem Løs likningssystemet x y 7 x y 1. Metode 1 Legg inn likningene slik figuren viser, og klikk på. NB! Husk å bruke listeparenteser { } når du legger inn settet av likninger. Med MAC får du disse med hurtigtasten Alt + shift 8/9.

41 41 Metode 2 Skriv inn i CAS-vinduet: I felt 1: x y 7 Trykk ENTER Hvis du vil se grafen til likningen i Grafikkfeltet, klikker du i ringen til venstre. I felt 2: x y 1 Trykk ENTER Hvis du vil se grafen til likningen i Grafikkfeltet, klikker du i ringen til venstre. Marker «1»og «2» til venstre. Klikk på. Klikk i ringen til venstre i felt 3, og skjæringspunktet mellom grafene blir markert. Hvis du klikker i Grafikkfeltet, er dette aktivt. Legg merke til samspillet mellom Algebra-, CAS- og Grafikkfeltet.) Hvis du vil ha skjæringspunktet «levende» for eksempel for å sette inn navn, verdi, osv., må du legge inn punktet på nytt i grafikkvinduet. NB! Ikke bruk (Løs numerisk) når du løser likningssett. Da vil du ikke nødvendigvis få alle løsninger hvis det er flere løsninger. Hvis du vil ha de numeriske løsningene, løser du først med, og trykker ordmellomromtasten og for å få de numeriske løsningene.

42 42 Nyttige Tips! Inntastinger Enter: Alt + Enter: Regner ut inntastet uttrykk Kontrollerer inntasting (I stedet for å bruke verktøyknappen «Bruk inntasting») På en tom rad: Ordmellomromtast: Du får resultatet på raden ovenfor = : Du får inntastingen i raden ovenfor. Fra andre rader enn den ovenfor $3 Setter inn resultatet fra rad 3 Påminnelse Ved innlegging av uttrykk i CAS-vinduet, husk : For eksempel: f(x):= Legge inn tekstrad i CAS Hvis du vil legge inn en rad i CAS med forklarende tekst, høyreklikker du til venstre i raden. Velg Tekst. I raden kan du nå ikke utføre utregninger. Ved å høyreklikke til venstre i raden, ser du at en blå firkant til venstre for «Tekst» viser at rad 1 er en tekstrad. Løse likninger trinnvis Du kan løse likninger trinnvis «manuelt» i CAS. Du kan også få fram høyre side og venstre side hver for seg med kommandoene:

43 43 Tastatursnarveier Windows Esc Mac Esc Tilbake til Opphøyd i n Alt + n Ctrl + n (Heltallige n) Kvadratrot Alt + r Ctrl + r Pi Alt + p Ctrl + p Gradtegn Alt + o Ctrl + o Formelvisning Ctrl + d Cmd + d Å kopiere Ctrl + Shift + c Cmd + Shift + c Forhåndsvisning for utskrift Ctrl + p Cmd + p Fjerne sporing Ctrl + f Cmd + f Eksempel på å lage verktøy i GeoGebra Det er lett å lage egne verktøy som en føler behov for, for eksempel markering fra punkt til aksene, høyde i trekanter, osv. Nedenfor viser vi to eksempler. Eksempel 1 Markering fra punkt til x-aksen Klikk inn et punkt i Grafikkfeltet. Tegn normal fra punktet ned på x-aksen. Finn fotpunktet for normalen med kommandoen Skjæring mellom to objekt. Tegn et stiplet rødt linjestykke mellom punktet og fotpunktet. Skjul alt annet enn punktet og det stiplede røde linjestykket.

44 44 Klikk på Verktøy og Lag nytt verktøy. Du skal velge Linjestykke b som Sluttobjekt. Klikk på x for å fjerne Punkt B som Sluttobjekt. Klikk på Neste. Du skal velge Punkt A som Startobjekt. Klikk på x for å fjerne xakse som Startobjekt. Klikk på Neste. Skriv inn et Navn. Hvis du vil legge inn et selvvalgt bilde for ikonet, klikk på Ikon (Dette er ikke nødvendig). Klikk på Fullfør. Hyggelig tilbakemelding!

45 45 Lagre verktøyet: Vi klikker på Verktøy og Forandre verktøy. Nå kan vi klikke på Lagre som. Et godt råd er å lagre i en mappe for selvlagede GeoGebraverktøy. Vi kan hente inn verktøyet etter behov, men vi kan også ha det tilgjengelig hver gang vi åpner GeoGebra. Da lagrer vi det under Innstillinger og Lagre innstillinger før vi avslutter GeoGebra. Bruke verktøyet. Vi legger inn et punkt i Grafikkfeltet og klikker på ikonet med det selvlagede verktøyet og deretter på punktet i Grafikkfeltet. Lag et verktøy med markering fra et punkt til begge aksene. Eksempel 2 Høyde i trekant Tegn et linjestykke gjennom to punkter A og B. Tegn et punkt C. Tegn en linje gjennom punktene A og B. Tegn linjestykket fra C normalt ned på linja gjennom A og B. Finn skjæringspunktet D med kommandoen Skjæring mellom to objekt. Stiple linjestykket CD med rødt. Skjul alt annet enn punktene A, B og C.

46 46 Klikk på Verktøy og Lag nytt verktøy. Velg Linjestykke d som Sluttobjekt, og klikk Neste. Velg Punkt A, Punkt B og Punkt C, i denne rekkefølgen, som Startobjekter. Skriv inn et Navn. Klikk på Ikon og legg eventuelt inn et bilde for ikonet. (Dette er ikke nødvendig.) Klikk på Fullfør. Da dukker forhåpentligvis dette opp: Problemer med GeoGebra Hvis du har problemer med å laste inn GeoGebra eller å få den til å virke, kan du prøve dette: Slett GeoGebra-mappa i C\:Brukere\<bruker>\AppData\Roaming. Hvis ikke det går, må du kanskje også slette Sun-mappa i samme plassering.