Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Transkript

1 Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så Cov(X, Z) =. Dermed er E(XZ) = E(X)E(Z) også lik, siden E(X) = E(Z) =. E(XY) = - (X) + (E(X)) ) Bruker formelen X) = E(X ) (E(X)) E(XY) = - X) E(XY) = -1 Har fått oppgitt i oppgaven at X er normalfordelt med forventning lik og standardavvik lik 1. Da er også X) = 1. Cov( X, Y ) σ x σ Cov( X, Y ) X )* Y ) X) = 1, og Var (Y) kan skrives som Z X): E( XY ) µ µ x Z X ) µ x = µ =, så dette leddet faller bort. E( XY ) 1* Z + ( 1) X ) 1 1 Z) + ( 1) X ) 1 Var ( Z) + X ) Z) og var(x) er begge lik 1. Så: 1 1

2 Oppgave : Her lot jeg først Excel til å trekke tall for variablene X og Z, der X og Z er normalfordelte med forventning og standardavvik 1. Deretter lagde jeg en tredje kolonne for Y, og satte Y lik Z - X. Først lagde jeg et punktdiagram for variablene X og Z, og fikk følgende resultat: 1,5 1, ,5 Series1-1 -1,5 - Her ser vi at det er stor spredning og liten sammenheng mellom variablene, X og Z virker å være uavhengige av hverandre. Korrelasjonen mellom X og Z er derfor i dette tilfellet liten (,17 i med disse tallene i Excel), da det ikke er noen tdelig lineær sammenheng. Den forventede korrelasjonen mellom X og Z er lik, så vårt estimat bommer noe på den sanne korrelasjonen. Dette skldes i hovedsak tilfeldigheter og at vi har få observasjoner. Deretter gjorde jeg akkurat det samme for variablene X og Y. Resultatet ble slik:,5,5 Series1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5 1, ,5 - Her ser vi en viss sammenheng mellom variablene, da det ikke er noen observasjoner av lav verdi på X som medfører lav verdi på Y, og ingen observasjoner av hø verdi for X som medfører en hø verdi for Y. Vi observerer derfor en negativ sammenheng mellom variablene. X og Y gir dermed et visst inntrkk av avhengighet, som forventet, da den teoretiske korrelasjonen mellom X og Y er -.77.

3 Oppgave 3: Først skal vi se at vi kan skrive korrelasjonen som a 1+ a Vi har Cov( X, Y ) σ σ x og Y = Z + ax Cov( X, Y ) X )* Y ) X) = 1, så vi kan skrive: E( XY ) µ x µ Y ) µ x = µ =, så dette leddet faller bort. Setter inn for Y: E( X ( Z + ax )) Z + ax ) E( XZ) + ae( X Z) + a a 1+ a ) X ) Siden X og Z er uavhengige er E(XZ) =. E(X ) = X) + (E(X)) = 1. X) = Z) = 1. Da kan vi skrive uttrkket som: Deretter kan vi løse denne likningen mhp a: ρ = a 1+ a ρ (1+a ) = a ρ +a ρ = a a (1-ρ ) = ρ a ρ = 1 ρ ρ a = ± 1 ρ 3

4 Da finner vi følgende verdi for a når ρ = -.: a = ±. 1 (.) = ±..96 = ±.4 Her blir a = -.4 fordi a og ρ må ha samme fortegn. Etter å ha simulert n = observasjoner for X og Z i Excel på samme måte som i oppgave, lager vi en tredje kolonne for Y, der vi setter Y = Z.4X. Deretter plotter vi X og Y-variablene i et punktdiagram. Der fikk jeg følgende resultat: 3,5 1,5 1,5 Series1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5-1 -1,5 Her ser vi at det er en svak negativ sammenheng mellom X og Y, omtrent som forventet, da ρ = -.. Og for ρ =.9: a = ± = ±.9.19 = ±.65 Her blir a =.65 fordi a og ρ må ha samme fortegn. Deretter gjør vi det samme som i sted, og får dette spredningsplottet: 4

5 Series Her ser vi at det er en tdelig lineær sammenheng mellom X og Y. Sammenhengen er positiv i likhet med fortegnet på ρ. Sammenhengen er også me tdeligere enn i sted, noe som skldes at absoluttverdien på ρ er større ved dette tilfellet. Oppgave 4: Her bruker vi tallene fra oppgave, og beregner korrelasjonen mellom X og Y ved hjelp av Excel. Resultatet jeg fikk, altså estimert korrelasjon mellom X og Y med mine observasjoner, ble r = Estimeringsfeilen er dermed (-.77) =.1355 Vi ser at korrelasjonen mellom X og Y for n = tilfeldige variabler er i nærheten av det forventede resultatet (-.77), men samtidig ikke helt nøaktig. Dette skldes i stor grad størrelsen på utvalget, da n = er et forholdsvis lite utvalg. Hadde vi økt n, og dermed fått et større utvalg, hadde sannsnligvis estimeringsfeilen vært mindre. Men størrelsen på estimeringsfeilen skldes også i stor grad tilfeldigheter. 5

6 Oppgave 5: Etter å ha fått 5 ulike observasjoner for r, lagde jeg et histogram med 6 intervaller og intervallbredde.5. Histogrammet mitt ble seende slik ut: Histogram Frekvens ,85 -,8 -,75 -,7 -,65 -,6 Mer Intervall Frekvens Til tross for relativt få observasjoner for r (5 observasjoner), gir histogrammet et visst inntrkk av at r er normalfordelt, da det er en klar tendens til at de fleste observasjonene samler seg rundt gjennomsnittet for de 5 observasjonene for r, som er -.74 (se histogram). Samtidig er flere av observasjonene for r er et stkke unna denne verdien. Dette kan forklares ved hjelp av størrelsen på standardavviket for r, som Excel beregnet til å være.67 med dette datasettet. Hadde standardavviket vært mindre, hadde sannsnligvis flere av observasjonene samlet seg rundt midten av histogrammet ved fast intervallbredde. Gjennomsnittet er beregnet til , og medianen til Vi ser her at begge disse verdiene treffer forholdsvis bra i forhold til forventningsverdien ρ (som er -.77), selv om treffsikkerheten nok kunne vært bedre. Gjennomsnittet bommer altså med.3357 på den forventete korrelasjonen. Standardavviket til gjennomsnittet er av Excel beregnet til å være.1364 (skal være lik standardavviket for r delt på n ). Et tpisk avvik for gjennomsnittet fra den forventete verdien ρ skal altså være ca Men gjennomsnittet bommer her med me mer, faktisk så me som.53 standardavvik (sjekk selv; ta gjennomsnittet av observasjonene for r minus forventningsverdien (ρ) delt på standardavviket til gjennomsnittet, kalt standardfeil i Excel). Dette er en forholdsvis stor bom også relativt til standardavviket, men samtidig ikke unaturlig stort. Hadde vi hatt flere observasjoner, hadde gjennomsnittet av observasjonene våre for r sannsnligvis truffet enda nærmere forventningsverdien ρ. Men me av årsaken til størrelsen på bommen skldes i dette tilfellet tilfeldigheter. Vår estimerte korrelasjon r virker å være en relativt pålitelig estimator for den sanne korrelasjonen ρ, vi må i alle fall være forsiktige med å konkludere med det motsatte. Største verdi for r var , og minste verdi Dette gir en differanse på.7647 mellom største og minste verdi. 6

7 Oppgave 6: Her gjør vi det samme som i oppgave 5, men øker n slik at n = 5 (for hver observasjon av r). Dette ga meg følgende histogram for observasjonene av r, med samme intervallbredde (.5) som i oppgave 5: Histogram Frekvens ,8 -,75 -,7 -,65 -,6 -,55 Mer Intervall Frekvens Dette histogrammet ser litt annerledes ut enn det jeg fikk i oppgave 5, men også her får vi inntrkket av at r er normalfordelt. Her ser histogrammet mer pålitelig ut, da ingen av intervallene skiller seg voldsomt ut med en veldig hø eller lav frekvens. Dette histogrammet gir også muligens et litt klarere inntrkk av at r er normalfordelt i forhold til i oppgave 5. Dette er helt forventet siden antallet observasjoner for hver av de 5 estimatorene for ρ (altså våre 5 observasjoner for r) har økt fra til 5. Men vær obs på at dette også i stor grad kan skldes tilfeldigheter, da et histogram kan se rimelig forskjellig ut avhengig av hvor man setter intervallgrensene. Det er begrenset for hvor bastante konklusjoner man kan trekke fra et histogram med så få observasjoner. Gjennomsnittet for våre 5 observasjoner for r er nå beregnet til å være -.714, og medianen er Disse verdiene treffer altså bedre enn verdiene i oppgave 5 på den forventede verdien ρ = Dette er i tråd med forventningene om at gjennomsnittet er en mer pålitelig estimator for den sanne verdien ρ når antallet observasjoner øker. Men som vi skal se, skldes dette her i stor grad tilfeldigheter. Standardavviket til r og standardavviket til gjennomsnittet til r (står som standardfeil i Excel) er henholdsvis.67 og.134, altså nesten akkurat det samme som i oppgave 5. Fordi vi har flere observasjoner for hver verdi av r, skulle en forvente at flere av verdiene samlet seg rundt midten av histogrammet ved samme intervallbredde, dvs. en skulle forvente at standardavviket for r var mindre enn i oppgave 5. Dette er dog ikke tilfellet her, så vi må konkludere med at dette skldes tilfeldigheter. Gjennomsnittet treffer likevel bedre enn i oppgave 5 (som ikke er gitt med tanke på at standardavviket for gjennomsnittet er omtrent det samme). For å komme med en litt mer generell konklusjon: Vi forventer at standardavviket for r, er mindre jo flere observasjoner vi har for hver verdi av r. Altså forventer vi også at standardavviket til gjennomsnittet for observasjonene av r, er mindre jo flere observasjoner vi har for hver verdi av r. Således forventer vi at gjennomsnittet treffer bedre på den sanne verdien ρ jo flere observasjoner vi har for hver verdi av r. Det gjorde det også i dette tilfellet, men ikke på grunn av lavere standardavvik. Her skldtes det i hovedsak tilfeldigheter. Men at standardavviket for r ikke var mindre selv om antall observasjoner økte, var ikke forventet, og således også tilfeldig. 7

8 Oppgave 7: Etter å ha simulert 5 observasjoner for X og Z, og satt Y = Z 3X fikk jeg følgende resultat: Series1 Deretter beregnet jeg korrelasjonen mellom X og Y i Excel, og fikk r(x, Y) =.783. Resultatet tder derfor på at det ikke er noen klar lineær sammenheng mellom X og Y, noe vi også ser i punktdiagrammet, at det ikke er. Vi observerer derimot at X og Y likevel virker å være stokastisk avhengige av hverandre, da observasjonene samler seg rundt det som ville vært en ikke-lineær kurve i diagrammet. Men denne effekten fanges ikke opp i beregningen av korrelasjonen. Dette er fordi korrelasjonsverdien r som vi beregner, beskriver den lineære sammenhengen mellom X og Y. I dette tilfellet er det heller ingen klar lineær sammenheng, men definitivt en sammenheng. Vi kan derfor konkludere med at r ikke nødvendigvis er egnet til å beskrive en sammenheng mellom to variabler som ikke er lineær. Her ser vi at selv om kovariansen mellom to variabler forventes å være lik (og derfor også korrelasjonen), trenger ikke nødvendigvis variablene å være uavhengige. Beregner også den sanne ρ: Cov( X, Y ) σ x σ Cov(X, Y) = E(XY) - µ x µ Forventningen til X og Y er lik. Cov(X, Y) = E(X(Z 3X )) Cov(X, Y) = E(XZ 3X 3 ) Cov(X, Y) = E(XZ) 3E(X 3 ) X og Z er uavhengige og E(XZ) er derfor lik. E(X 3 ) er også lik når X er normalfordelt med Cov(X, Y) = forventning. Og derfor må også korrelasjonen mellom X og Y, altså ρ(x, Y) være lik. Korrelasjon lik tilsier at det ikke er noen form for lineær sammenheng mellom X og Y, og eksperimentet gikk dermed omtrent som forventet, da estimeringsverdien r var svært liten, og ikke signifikant forskjellig fra. 8

9 Oppgave 8: (i) xx = = X sigarettkonsum per voksen per år. = = Y HKS-dødelighet per 1. 1 S x = S = Bruk formlene oppgitt i oppgave 4 for estimering av standardavviket til x og samt kovariansen. S x = Estimerer ρ: r(x, Y) = r(x, Y) = S x S S x * r(x, Y) = Sammenheng mellom sigarettkonsum og HKS-dødelighet HKS-dødelighet Series1 Linear (Series1) Sigarettkonsum 9

10 Vi ser at det er en relativt klar sammenheng mellom sigarettkonsum og HKS-dødelighet, uten at det forklarer alt. Korrelasjonskoeffisienten r =.795, gir r = Dermed forklares ca. 53 % av HKS-dødeligheten ut ifra sigarettkonsumet. Resten blir stående uforklart i vår modell. Denne uforklarte delen, er et resultat av at andre faktorer også spiller inn (som for eksempel landenes helsevesen), feilmargin (kommer an på størrelsen på utvalget) samt tilfeldigheter. Sammenhengen er likevel såpass klar at vi trolig kan slå fast at røking fører til en hppigere HKS-dødelighetsrate. Hvor sikkert vi kan slå fast dette, skal vi se nærmere på i oppgave 9. (ii) Hvis vi endrer benevningen for HKS-dødelighet til å omhandle hver 1, vil vi få følgende endringer: Estimator for standardavvik for X og Y: S x = S = uendret. 1/1 i forhold til i sted. Estimator for kovariansen: S x = /1 i forhold til i sted. Estimator for korrelasjonskoeffisienten: r(x, Y) = r(x, Y) = S x S S x * r(x, Y) =.795 uendret. Vi ser her at om vi endrer benevningen for HKS-dødeligheten til pr. 1, vil alle Y- verdiene bli 1 ganger mindre. Dette får konsekvenser for standardavviket til Y og kovariansen mellom X og Y, som begge får lavere verdier i forhold til i sted. Korrelasjonskoeffisienten, derimot, forblir uendret. Fordi alle Y-verdiene endres proporsjonalt med X, vil ikke den relative sammenhengen mellom X og Y bli påvirket. 1

11 Oppgave 9: (i) Ved å plotte en rad for verdiene av x for så å beregne verdiene for h(x), får vi følgende graf: 3 h(x) 1-1,5-1 -,5,5 1 1,5-1 h(x) - -3 Som vi ser er strengt voksende i x. Legg også merke til at funksjonen er kontinuerlig, dvs. det er ingen hopp. (ii) Legg merke til at Z = h(r), den samme funksjonen som i oppgave (i) bare med r som argument istedenfor x. Siden h(r) er en strengt voksende, kontinuerlig funksjon av r, vil h(r) være større enn eller lik h(r ) hvis og bare hvis r er større enn eller lik r. Å si at h(r) er større enn eller lik h(r ) er derfor ekvivalent med å si at r er større enn eller lik r. Dermed vil også sannsnligheten for at r er større enn eller lik r være den samme som sannsnligheten for at Z er større enn eller lik h(r ). Altså P(r r ) = P(Z h(r )). (iii) Vi har P(r r ) = P(Z h(r )). Vår observerte verdi for r fra oppgave 8, var r =.795. Så vi kan sette inn denne verdien i uttrkket: P(r.795) = P(Z h(.795)) = P(Z ln ) = P(Z 8.97) Siden vi vet at Z er tilnærmet normalfordelt med forventning og standardavvik 1, kan vi tolke dette uttrkket slik: Sannsnligheten for at vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi under antagelsen ρ =, er det samme som sannsnligheten for at en normalfordelt variabel er minst 8.97 standardavvik unna sin forventede verdi. Altså ekstremt usannsnlig. Hvor usannsnlig, kan vi finne ut ved hjelp av Excel, eller ved hjelp av tabell D.3 i Løvås. 11

12 For en normalfordelt variabel med forventning og standardavvik 1 gjelder følgende: P(Z z) = G(z) P(Z 8.97) = 1 - P(Z < 8.97) = 1 - P(Z 8.97) Siden Z er en kontinuerlig variabel. Så P(Z 8.97) = 1 - P(Z 8.97) = 1 - G(8.97) Ved å bruke Excel, finner vi G(8.97) 1. Altså er P(r.795) = P(Z 8.97). Vi observerer en p-verdi så liten at vi kan runde den av til. Dette betr at sannsnligheten for at vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi, er tilnærmet lik under antagelsen om at ρ =. Vi burde derfor vurdere om antagelsen vår er feil, og at det finnes en sammenheng mellom variablene, dvs. ρ. I dette tilfellet er resultatet svært signifikant, og vi kan fastslå nesten helt sikkert at ρ, og at det er en sammenheng mellom sigarettkonsum og HKS-dødelighet. En p-verdi nærme forteller oss at sannsnligheten for at ρ = er ekstremt liten, og konklusjonen vår om at ρ nesten alltid er sann. I dette tilfellet konkluderer vi med at ρ >, dvs. sammenhengen er positiv. Merk: Tabell D.3 i Løvås har bare verdier for G opp til ca. 3. Vi ser at allerede for G(3) er sannsnligheten veldig nærme 1. Altså er det ekstremt sjeldent en normalfordelt variabel er mer enn 3 standardavvik unna sin forventede verdi. Dermed er det enda sjeldnere at en normalfordelt variabel er så me som 8.97 standardavvik unna sin forventede verdi, og sannsnligheten for dette er veldig nærme. For verdier over 3 er vi derfor såpass sikre at vi i de fleste tilfeller kan runde sannsnligheten opp til 1. Men pass her på å si at sannsnligheten er tilnærmet lik 1, for helt 1 % sikkert er det ikke, men nesten! 1