Lineære rom og avbildninger
|
|
- Tarjei Magnussen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel 3 Lineære rom og avbildninger I dette kapitlet skal vi se på begrepene vektor og matrise inn i en mer generell setting. Vi skal definere begrepet vektorrom og se hvordan vi kan betrakte matriser som en måte å beskrive avbildninger mellom vektorrom, det som vi kaller lineære avbildninger. 3. Lineære rom Vi begynner med å se på begrepet vektorrom. Definisjon 3... Et reelt vektorrom V (også kalt et lineært rom) er en mengde med to operasjoner, addisjon, dvs. at for x,y V, så er summen x + y V, og skalar multiplikasjon, dvs. hvis x V og a R er et reelt tall, så er ax V. De to operasjonene må oppfylle betingelsene: i) Addisjon er assosiativ, dvs. (x + y)+z = x +(y + z) for alle x,y,z V. Elementene i et vektorrom kalles ofte for vektorer (selv om de ikke ser ut som det vi vanligvis forbinder med vektorer), og de reelle tallene vi ganger med kalles skalarer. De vanligste vektorrommene vi kommer bort i vil være av 3 hovedtyper. Den første er en geometrisk tolkjning av vektorrom. Eksempel 3... Mengden av vektorer i planet R (eller rommet, R 3 ), skrevet som (a,b) R danner et vektorrom. Den generelle definisjonen har hentet sitt navn fra dette eksempelet. Addisjon og skalar multiplikasjon av vektorer i planet gjøres komponentvis, dvs. (a,b )+(a,b )=(a + a,b + b ) c(a, b)=(ca, cb) som svarer til å legge sammen piler, med startpunktet for neste vektor i spissen av den forrige. ii) Addisjon er kommutativ, dvs. x + y = y + x for alle x,y V. iii) Det finnes et nøytralt addidtivt element eller, slik at x + = x for alle x V. iv) Til alle elementer x V så finnes det et element x slik at x +( x)=. Vi kaller elementet den additive inversen til x. v) Skalar multiplikasjon er assosiativ, dvs. for alle reelle tall a,b R og x V,så er a(bx)=(ab)x. vi) Vi har x = x for alle x V. vii) De to operasjonene er distributive over hverandre, dvs. (a + b)x = ax + bx og a(x + y)=ax + ay for alle a,b R og x,y V. Skalar multiplikasjon beholder retningen på en vektor, men forandrer lengden, eventuelt snur pila dersom skalaren er et negativt tall. I det neste eksemplet fjerner vi oss fra den geometriske tolkingen av vektorer, men holder oss til en tilsvarende skriveform. Eksempel 3... For et vilkårlig helt tall n lar vi R n betegne mengde av alle n-tupler a =(a,a,...,a n ) med 33
2 komponentvis addisjon og skalar multiplikasjon, (a,...,a n )+(b,...,b n )=(a + b,...,a n + b n ) c(a,...,a n )=(ca,...,ca n ) -elementet er gitt ved n-tuplet med kun -er, dvs. = (,...,) og det inverse elementet til a =(a,...,a n ) er gitt ved a =( a,..., a n ). Mengden av reelle n-tupler R n danner dermed et vektorrom. Eksempel I det tredje ekempelet lar vi vektorrommet V = F (I) bestå av funksjoner definert på et intervall I R. Addisjon og skalar multiplikasjon er gitt som ordinær addisjon og multiplikasjon av funksjoner; ( f + g)(x)= f (x)+g(x) (cf)(x)=cf(x) for alle f,g F (I) og c R og -elementet er konstantfunksjonen f (x)=. Det er ikke alltid hensiktsmessig å se på alle mulige funksjoner på et intervall. Vi kan gjerne begrense oss til kontinuerlige funksjoner, eller betrakte en enda mer restriktert mengde. Eksempel Mengden {ae x +be x a,b R} danner et vektorrom under addisjon og skalar multiplikasjon. Eksempel La P = {a + a x + + a n x n } der a i R for alle i og n er et ikke-negativt heltall. P betegner mengden av alle polynomer i x, med reelle koeffisienter. Mengden P danner et vektorrom under vanlig addisjon og skalar multiplikasjon. Definisjon 3... En lineær kombinasjon av elementer v,...,v r V er en sum for reelle tall a,...,a r. a v + + a r v r En hver lineær kombinasjon av vektorer i et vektorrom er selv et element i vektorrommet. Definisjon En mengde av elementer V = {v,...,v r } V i et vektorrom sies å være lineært uavhengig dersom a v + + a r v r = betyr at alle a = = a r =. I motsatt fall sier vi at mengden V er lineært avhengig. Dersom vi har at a v + + a r v r = uten at alle a i =, kaller vi ofte r-tuppelet (a,...,a r ) for en lineær avhengighet for mengden V. Eksempel La V være mengden V = {,, } Da har vi = og mengden er lineært avhengig. 3-tuplet (,, ) gir oss en lineær avhengighet for mengden V. Eksempel La T = {sint,cost}. Hvis vi har asint + bcost = som funksjoner, så betyr det at likningen også må stemme når vi setter inn verdier for t. Setter vi inn t = får vi asin + bcos = b = og setter vi inn t = p får vi asin p + bcos p = a = Det betyr at for at likheten skal være oppfyllt som en relasjon mellom funksjoner, så må vi ha a = b = og de to funksjonene er derfor lineært uavhengig. Vi er spesielt interessert i mengder som genererer vektorrommet. Definisjon En mengde B = {v,...,v r } V kalles en basis for V dersom mengden er lineært uavhengig og utspenner hele V, dvs. at for alle v V, så kan vi finne reelle tall a,...a r R slik at v = a v + + a r v r Det er også mulig at basisen B kan bestå av uendelig mange elementer. Grunnen til at vi vil at en basis skal være lineært uavhengig er at vi vil at rommet skal være generert av så få elementer som mulig. En basis er en minimal mengde i den forstand at hvis vi fjerner et element fra basisen, så vil vektorrommet som basisen utspenner bli ekte redusert. For en lineært avhengig mengde er 34
3 det mulig å fjerne et element uten at mengden som utspennes endres. I eksemplet over vil mengden V = {,, } utspenne hele R. For et vilkårlig element a R b kan vi f.eks. skrive a = b b +(a b) Fjerner vi det siste elementet fra mengden har vi fortsatt nok vektorer til å spenne ut hele R. De to elementene, er lineært uavhengige og siden de samtidig utspenner hele R utgjør de en basis for R. Eksempel La B = {@ A} være tre elementer i R 3. B er lineært uavhengig siden A + A a b A kun er mulig dersom a = b = c =. Vi ser også at B utspenner hele R 3 siden et vilkårlig a b c A + A + A Eksempel La B = {@ A} være en mengde av tre elementer i R 3. For å avgjøre om B er lineært uavhengig setter vi a@ A+b@ a b + c a + b A a + c Det gir oss likningssettet a b + c = a + b c = a + c = som har som eneste løsning a = b = c = og mengden er derfor lineært uavhengig. Vi ser også at B utspenner hele R 3 siden et vilkårlig element kan skrives som en lineær kombinasjon av de tre x y A + A + u A z hvor u = x + y z u = x y + 3z u 3 = x y + z La B være en endelig basis for et vektorrom V. Vi skal se at alle andre basiser for V har like mange elementer som B. Lemma La B = {v,...,v r } være en basis for et vektorrom V, og la W = {w,...,w s } V, w j 6=, være en mengde med flere elementer enn det er i basisen B. Da er mengden W lineært avhengig. I en litt annen versjon kalles dette lemmaet vanligvis for Steinitz erstatnings-resultat. Bevis. Anta at mengden W er lineært uavhengig. Siden B er en basis kan vi skrive w = b v + + b r v r hvor ikke alle b j =. Anta at vi har ordnet basiselementene slik at b 6=. Da har vi v = b w b b v b r b v r Det betyr at vi kan erstatte v med w i basisen B og det vil fortsatt være en basis. Vi gjentar denne prosedyren til vi har byttet ut alle v j med w j. (Dette er mulig siden begge mengdene er lineært uavhengige). Vi ender opp med at {w,...,w r } danner en basis for V. Men det betyr at w r+ kan skrives som en lineær kombinasjon av w,...,w r, som strider mot antakelsen om at W er lineært uavhengig. Altså var antakelsen gal. Det følgende resultatet er en direkte konsekvens av Steinitz erstatnings-resultat: 35
4 Teorem Gitt et vektorrom V og anta at B = {v,...,v r } og B = {w,...,w s } er to forskjellige basiser for V. Da har de to basisene like mange elementer, dvs. r = s. Definisjon La V være et vektorrom, og anta at B = {v,...,v r } er en basis for V. Vi definerer dimensjonen til vektorrommet V til å være antall elementer r i basisen B. Siden alle basiser i henhold til Steinitz erstatnings-resultat må ha like mange elementer, er dimensjonen til V uavhengig av valg av basis B. Eksempel 3... Dimensjonen til R n er n. Dette kan vi se siden alle elementer i R n er på formen (a,...,a n ) og (a,...,a n )= n  i= a i e i der e i =(,,...,,,,...,) er et n-tuppel med en - er på plass i og resten -er. Vi kaller S = {e,...,e n } for standardbasisen for R n. At mengden er lineært uavhengig følger av at dersom så må alle a i =. (a,...,a n )= n  i= a i e i = Det siste eksemplet viser at dimensjons-begrepet passer med vår intuitive oppfatning av dimensjon, planet R har dimensjon og rommet R 3 har dimensjon 3. Et vektorrom trenger ikke å ha endelig dimensjon. Vi kan likevel skrive opp en basis, selv om denne mengden ikke er endelig. Eksempel 3... La P være vektorrommet av polynomer med reelle koeffisienter. Anta at dette rommet har endelig dimensjon, og at vi kan skrive opp en endelig basis for vektorrommet. La n være den høyeste graden av polynomene som inngår i basisen. Vi vet at et polynom av høyere grad enn n ikke kan skrives som en lineær kombinasjon av polynomer av grad mindre enn eller lik n, noe som ville bety at basisen ikke spenner ut hele rommet. Det er imidlertid et krav til en basis, og en endelig mengde av polynomer kan derfor ikke utgjøre en basis for P. Proposisjon Mengden danner en basis for P. B = {,x,x,x 3,...,} Bevis. Elementene i P er på formen a + a x + a x + + a n x n for et ikke-negativt tall n og a i R. Det betyr at B spenner ut hele P. Vimå også vise at B er lineært uavhengig. Anta det motsatte, det vil si at det finnes reelle tall a,a,...,a n slik at a + a x + a x + + a n x n = Ingen ikke-trivielle polynomer av grad n kan ha mer enn n røtter. La x være et reelt tall som ikke er blant disse røttene. Det betyr at a + a x + a x + + a n x n 6= og vår antagelse måtte i utgangspunktet ha vært feil. Dermed har vi vist at B er en basis for P. En delmengde av et vektorrom som selv er et vektorrom kalles et underrom. For å vise at en delmengde er et underrom holder det å vise at mengden er lukket under addisjon og skalar multiplikasjon, dvs. at dersom x,y V og a,b R er reelle tall, så er også ax+by V. Merk at dette ene kravet inneholder både lukkethet under addisjon (sett a = b = ) og skalar multiplikasjon (sett b = ). Definisjon La V være et vektorrom, og la V = {v,v,...} være en endelig eller uendelig delmengde av V. La W være det minste vektorrommet som inneholder V. Vi sier at mengden V genererer W, og vi skriver W = hv,v,...i I dette tilfellet vil W utgjøre et underrom av V. Eksempel 3... La B = {@ A} Da vil B utspenne et underrom W av R 3 gitt ved W = {@ a ba a,b R} Eksempel Mengden av polynomer av grad mindre enn eller lik n, som vi skriver P n, utgjør et underrom av vektorrommet av alle polynomer. Rommet er generert av monomene av grad mindre enn eller lik n; P n = h,x,x,x 3,...,x n i 36
5 Gitt en matrise A. Mengden av søylevektorer i A utspenner et vektorrom som vi kaller søylerommet til A. Definisjon 3... La A være en matrise. Dimensjonen til søylerommet til A kalles rangen til matrisen, vi skriver med rg(a). Eksempel Betrakt A Søylerommet er utspent av som vi tidligere har sett er lineært uavhengig. Rangen til matrisen er derfor 3. Siden det er n søyler i en n n-matrise vil dimensjonen til søylerommet alltid være mindre enn eller lik n. Dersom søylene utgjør en lineært uavhengig mengde vil matrisen ha maksimal rang, det vil si n for en n n-matrise. Proposisjon 3... En n n-matrise A har maksimal rang hvis og bare hvis matrisen er invertibel. Bevis. Observer først at dersom en vektor w ligger i spennet av søylevektorene til A,så er det ekvivalent med at det finnes en annen vektor v slik at Av = w. Anta at A er invertibel og w en vektor i søylerommet. Sett v = A w. Da har vi Av = AA w = w Anta så at matrisen har maksimal rang. Det betyr at for en hver vektor w i søylerommet til A, så finnes det en vektor v slik at Av = w. Siden A har maksimal rang, vil standardvektorene e i ligge i søylerommet til A. La v i oppfylle Av i = e i, og la B være n n-matrisen med v i som sine søyler. Da vil AB = I A som viser at B = A og A er invertibel. 3. Lineære avbildninger Vektorrom er karakterisert ved at de er lukket under addisjon og skalar multiplikasjon, og at de derfor inneholder -elementet og additive inverser. Når vi skal definere hva en avbildning mellom to vektorrom bør være, er det da naturlig å se på avbildninger som respekterer akkurat disse strukturene. Definisjon 3... La V og W være to vektorrom. En avbildning T : V! W kalles en lineær avbildning dersom T (ax + by)=at (x)+bt (y) for alle x,y V og a,b R. Dersom W = V,så kaller vi avbildningen T : V! V en lineær operator. Proposisjon 3... La V og W være to vektorrom og T : V! W en lineær avbildning. Da har vi at T ()= og T ( v)= T (v). Bevis. Vi har og T ()=T ( v)= T (v)= T ( v)+t (v)=t ( v + v)=t ()= SIden T (v)+t(v) = og inverser er entydige, så følger resultatet i proposisjonen. Eksempel 3... En lineær avbildning T : R! R må være på formen T (x) =ax for et vilkårlig reellt tall a R. Eksempel 3... Avbildningen gitt ved T (x,x )=(x + x,x x ) er en lineær operator på R. Eksempel Vi lar V være vektorrommet av alle deriverbare funksjoner på hele R. Derivasjon er en lineær operator på dette rommet, dvs. hvis vi setter D( f (x)) = f (x) så har vi D(af(x)+bg(x)) = d dx (af(x)+bg(x)) = af (x)+bg (x) = ad( f (x)) + bd(g(x)) 37
6 Eksempel La T = hcost, sinti. Da virker derivasjonsoperatoren D som en lineær operator på T fordi vi har D(cost)= sint D(sint)=cost Vi betrakter lineæravbildningen T : R! R gitt ved T (x,x )=(x + x,x x ). La S være standardbasisen for R ; S = {e,e } Da har vi at T (e )=T (,)=(, ) T (e )=T (,)=(,) Dette kan vi sette opp i en matrise [T ] S = Lineæravbildningen blir nå gitt ved matrisemultiplikasjon; x x x + x [T ] S = = x x x x Vi kommer til å bruke notasjonen [T ] om en matrise som representerer en lineæravbildning T. Vi sier at [T ] S er matriseformen til T relativt til basisen S. La A være en n n-matrise og definer avbildningen T : R n! R n ved T (v)=av for en vektor v =(v,...,v n ). Da har vi T (av + bw)=a(av + bw) = aav + baw = at (v)+bt (w) som viser at multiplikasjon med en matrise gir oss en lineæravbildning. Eksempel La D være derivasjonsoperatoren slik vi har definert den tidligere. Vi skal se på D som en lineær operator D : T! T hvor T = hcost,sinti, med basis {cost,sint}. Siden D(cost)= cost sint D(sint)= cost + sint kan vi skrive hvor reflekterer at a [D] T = b [D] T = a b D(acost + bsint)=bcost b = a asint Definisjon La A være en n n-matrise og definer en lineæravbildning T : R n! R n ved T (v)=av Rangen rg(t ) er definert som rangen til matrisen A. Eksempel Rangen til derivasjons-operatoren i forrige eksempel er, siden matrisen er invertibel og derfor har maksimal rang. Eksempel Vi betrakter en lineæravbildning T : R 3! R 3 gitt ved T (x,x,x 3 )=(x + x + x 3,x x + x 3,x + 3x 3 ) Vi er interessert i å finne tripler (x,x,x 3 ) slik at T (x,x,x 3 )=(,,). Det betyr at vi må løse likningssystemet x + x + x 3 = x x + x 3 = x + 3x 3 = Her observerer vi at den tredje likningen faktisk er summen av de to første, og derfor er overflødig. På den annen side gir den tredje likningen at x 3 = 3 x og setter vi det inn i den første likningen, får vi x = x x 3 = x + 3 x = 3 x Samler vi disse opplysningene ser vi at T (x, 3 x, Alle vektorer på formen (x, 3 x, 3 x )=(,,) 3 x ), x R utgjør et vektorrom, det såkalte nullrommet til avbildningen T. 38
7 Definisjon La T : V! W være en lineæravbildning. Mengden N (T )={v V T (v)=} kalles nullrommet eller kjernen til T. Proposisjon Nullrommet N (T ) til T er et underrom av V. Bevis. La v,w N (T ), og a,b R. Da har vi T (av + bw)=at (v)+bt (w)=a + b = som viser at nullrommet er et vektorrom. Eksempel La T : R! R være gitt ved der A er matrisen Vi har A = T (v)=av og = ligger derfor i nullrommet til T. Faktisk vil denne vektoren danne en basis for nullrommet til T. Eksempel La T : R 3! R 3 være gitt ved T (v)=av der A er A Dersom en v v A v 3 ligger i nullrommet til T, betyr det at A + A + v Men vi har i et tidligere eksempel sett at søylevektorene til A er lineært uavhengig, som betyr v v v 3 og nullrommet bestå kun av nullvektoren. Proposisjon La T : V! V være en lineær avbildning gitt ved en kvadratisk matrise A; T (v)=av Da har vi at N (T )= hvis og bare hvis A er invertibel. Bevis. Anta A er invertibel og la T (v)=av =. Det betyr at v = A =. Anta så at N (T )=. La v =(v,...,v n ) være en lineær avhengighet mellom søylene i A. Da har vi at Av =. Siden nullrommet er trivielt betyr det at v = som igjen betyr at A har maksimal rang, som igjen betyr at A er invertibel. Det er en nær sammenheng mellom rangen til en lineær avbildning og dimensjonen til nullrommet. Vi har sett at vi kan uttrykke lineære sammenhenger mellom søylene i en matrise ved n-tupler, slik som i et tidligere eksempel: Vektorene,, er lineært avhengig og vi har = Setter vi de tre vektorene sammen i en 3-matrise så vil den lineære avhengigheten gi oss et en vektor A Dette gir oss en korrespondanse mellom nullvektorer og lineære avhengigheter mellom søylene i matrisen. Vi kan formulere dette i et generelt resultat: Teorem En lineæravbildning T : R n! R m er gitt ved T (v)=av for en m n-matrise A. Da har vi rgt + dimn (T )=n 39
8 Bevis. La B = {v,...,v r } være en basis for nullrommet til A. Vi kan utvide denne basisen til en basis for hele R n, B = {v,...,v r,w r+,...,w n }. Vi skal vise at rgt = n r. La u = T (v). Siden B er en basis for R n kan vi skrive og v = a v + + a r v r + a r+ w r+ + + a n w n u = T (v)=a T (v )+ + a r T (v r ) + a r+ T (w r+ )+ + a n T (w n ) = a r+ T (w r+ )+ + a n T (w n ) Det betyr at T (w r+ ),...,T (w n ) spenner ut T (R n ). Samtidig har vi at dersom a r+ T (w r+ )+ + a n T (w n ) = T (a r+ w r+ + + a n w n )= så ligger a r+ w r+ + + a n w n i nullrommet til A, dvs. a r+ w r+ + + a n w n = a v + + a r v r Dermed kan vi skrive a v + + a r v r a r+ w r+ a n w n = og siden B = {v,...,v r,w r+,...,w n } er en basis for R n og derfor danner en lineært uavhengig mengde, så må vi ha a r+ = = a n = og mengden {T (w r+ ),...,T (w n )} er lineært uavhengig. Det følger at dimensjonen til T (R n ) som er det samme som rangen til T, er n r. Vi har en litt mer generell formulering av dette resultatet. I stedet for å se på T : R n! R m kan vi betrakte lineæravbildninger T : V! W, hvor V er et endeligdimensjonalt vektorrom. Da ser resultatet ut som følger rgt + dimn (T )=dimv Eksempel 3... La T : R! R være gitt ved der A er matrisen T (v)=av Søylerommet til A er generert av og nullrommet av Dermed har vi rgt + dimn (T )= + = = n Eksempel 3... La P n være vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik n. La D : P n! P n være derivasjonsoperatoren D( f (x)) = f (x). Vi vet at de eneste polynomene som deriveres på er konstantpolynomene. Det betyr at nullrommet til D har dimensjon, generert av f (x)=c. Dimensjonen til P n er n + og det følger at rgt = n. I forrige kapittel definerte vi egenvektorer og egenverdier for en matrise. Vi skal se at egenvektorer som svarer til forskjellige egenverdier danner lineært uavhengige mengder. Proposisjon La T : R n! R n være en lineæravbildning gitt ved T (v)=av for en n n-matrise A. La videre v,v,...,v r være egenvektorer for A svarende til ulike egenverdier l,l...,l r. Da er mengden lineært uavhengig. {v,v...,v r } Bevis. La først r =, og anta at a v + a v =. Anta at det finnes en lineær avhengighet mellom de to vektorene, anta f.eks at a 6=. Da kan vi skrive v = a a v og siden v og v begge er egenvektorer får vi og samtidig T (v )=T ( Det følger at T (v )=l v = a a l v a a v )= a a T (v )= a a l v a a l = a a l 4
9 og siden l 6= l såmå a =. Siden v 6= følger det at også a =, som gir oss en motsetning. Anta så at r = 3 og at vi har en lineær avhengighet a v + a v + a 3 v 3 = Vi kan uten videre anta at a 6= og ved å dele likningen på a kan vi like godt sette a til å være. Det gir v = a v a 3 v 3 Bruker vi nå T på dette uttrykket får vi l v = a l v a 3 l 3 v 3 Vi multipliserer uttrykket over med l og trekker de to likningene fra hverandre. Det gir = a (l l )v a 3 (l 3 l )v 3 Dermed er vi tilbake i situasjonen med to egenvektorer og siden l l,l 3 l 6= følger det at koeffisientene a = a 3 =, og vektorene er lineært uavhengige. For r > 3 følger vi nå nøyaktig samme prosedyre. Vi har sett at en n n-matrise kan ha maksimalt n egenverdier. Anta nå at A har nøyaktig n egenverdier. Det betyr at vi kan finne n egenvektorer som utgjør en lineært uavhengig mengde. Siden vektorrommet vi opererer på i dette tilfellet er av dimensjon n betyr det at vi kan finne en basis av egenvektorer. Vi formulerer dette i en proposisjon. Proposisjon La V være et n-dimensjonalt vektorrom. La T : V! V være en lineæravbildning gitt ved T (v) =Av for en n n-matrise A. Anta at A har n forskjellige egenverdier. Da finnes en basis for V av egenvektorer for A. Eksempel 3... La A være -matrisen Det karakteristiske polynomet til A er gitt ved c A (l)=l 3l + som gir egenverdier l =, l =, med tilhørende egenvektorer v =, v = Vi ser at mengden {v,v } er lineært uavhengig og danner en basis for R. Vi har tidligere sett at vektorrom kan bestå av funksjoner. I slike tilfeller er det naturlig å bruke betegnelsen egenfunksjoner i stedet for egenvektorer, men definisjonen er den samme. Definisjon 3... La V = F (I) være et vektorrom av funksjoner, og T : V! V en lineær operator på dette rommet. En ikke-triviell funksjon f som oppfyller T ( f )=l f for et reelt tall l kalles en egenfunksjon for operatoren. Eksempel La V = {ae x +be x a,b R} og la D : V! V være derivasjonsoperatoren. Da er f (x)= e x en egenfunksjon for D med egenverdi l = og f (x)=e x en egenfunksjon med egenverdi l =. Eksempel La T = {sint,cost} og D = D : T! T være Laplaceoperatoren i en dimensjon. Da er alle lineære kombinasjoner a sin x + b cos x egenfunksjoner for D med egenverdi l = ; D (asinx + bcosx)=d(acosx 3.3 En anvendelse bsinx) = asinx bcosx La P være en stokastisk matrise, med egenverdier l = > l l n og tilhørende egenvektorer v i. Anta at w er en tilstandsvektor. Vi kan skrive w som en lineærkombinasjon av egenvektorer; w = v + v + + v m La s(v,...,v m )=v + +v m. Vi skal vise at for i 6= så har vi s(v i )= Vi har at P(v i )=l i v i og siden P er stokastisk så er  j p ij = for alle i. La v i =(v,...,v m ). Da har vi og samtidig Det gir at s(p(v i )) = m m   j= k= p jk v k = m  j= s(p(v i )) = s(lv i )=ls(v i ) s(v i )=ls(v i ) og derfor v i = siden l 6=. v k = s(v i ) 4
10 Definisjon La v =(v,...,v n ) være en vektor i R n. Vi definerer Taxi-lengden v til v ved v = n  k= v k La nå E(w) = v = s(v ), som vi kan tenke på som systemets energi, og S(w)= v, som vi kan tenke på som entropien til systemet. Dersom vi drar denne analogien helt ut er det naturlig å knytte den nest største egenverdien l til systemets temperatur gjennom formelen T (P)=log l Vi kan da skrive Vi kan regne ut egenverdiene ved å finne nullpunktene til det karakteristiske polynomet det(p li)=l (p + q)l +(p q)= som gir l = og l = p q. De tilhørende egenvektorene er (normert til taxi-lengde ) v = p + q (q, p), v = (, ) For en tilstandsvektor har vi x ( p)x qy w = =(x + y)v y + + q p v som gir at w = v + v + + v m = E(w) v v + S(w) v v + + v m Multiplikasjon med den stokastiske matrisen P gir Pw = Pv + Pv + + Pv m og dermed eller som gir eller = E(w) v v + l S(w) v v + + l m v m S(Pw)=l S(w) T (P)=log S(w) S(Pw) S(Pw) S(w) = e T (P) S(Pw) S(w) = e T (P) S(w) Dette kan vi tolke som at jo lavere temperatur, dvs. T (p)!, så vil entropi-endringen også nærme seg. Det betyr at det ikke skjer noen endring i systemet. For høye temperaturer vil vi observere en stor endring i entropien, med andre ord systemet vil rask gå mot likevektstilstanden, hvor vi har den laveste entropien (dvs. størst mulig uorden). Eksempel Vi har gitt en stokastisk -matrise p q P = p q og temperatur E(w)=x + y ( p)x qy S(w)= + q p T (P)=log p q 4
11 3.4 Oppgaver med løsning Eksempel La T : R 3! R 3 være gitt ved T (x,x,x 3 )=(x x + x 3,x x 3,x x ). a) Vis at T er en lineæravbildning. b) La S = {e A,e A,e 3 A} være standardbasisen i R 3. Skriv opp en 3 3-matrise [T ] der søylene er gitt ved T (e i ) for i =,,3. c) Finn dimensjonen til nullrommet til T. d) Regn ut rangen til [T ] ved å bruke dimensjonsformelen. Løsning.. Metodevalg: For å vise at vi har en lineæravbildning må vi regne ut T (ax+by) og vise at dett er det samme som at (x)+bt (y). Dimensjonen til nullrommet finner vi ved å telle antall frihetsgrader i likningssettet T (x)=.. Regning: a) I første komponent har vi at (ax + by ) (ax + by )+(ax 3 + by 3 ) = a(x x + x 3 )+b(y y + y 3 ) og tilsvarende for de andre komponentene. Vi skal løse [T ]=(T(e ) T (e ) T (e 3 )) A T (x,x,x 3 )=(x x + x 3,x x 3,x x ) dvs. likningssytemet =(,,) x x + x 3 = x x 3 = x x = Vi ser av de to siste likningene at x = x og x = x 3. Dette er oppfylt i den første likningen og vi har en frihetsgrad i nullrommet, det vil si at dimensjonen er. Rangen blir da i henhold til dimensjonsformelen rgt = 3 = Eksempel La A være 3 A 3 a) Finn rangen til A. b) Bruk dimensjonsformelen til å regne ut dimensjonen til nullrommet til A. c) Forklar hvorfor er en egenverdi for A og finn en egenvektor med egenverdi. Løsning.. Metodevalg: Rangen til A finner vi ved å lete etter lineært uavhengige søylevektorer. Det kan vi så sette inn i dimensjonsformelen for å finne dimensjonen til nullrommet. Generelt har vi at elementer i nullrommet er det samme som egenvektorer med egenverdi.. Regning: Vi ser at de to første søylene er lineært uavhengig (ved inspeksjon av den tredje komponenten som er i den ene vektoren og ikke i den andre). Det betyr at rangen er minst. Vi kan sjekke om vi har maksimal rang ved å regne ut determinanten. Den blir 3 = = som betyr at rangen er. Dimensjonsformelen gir da at dimensjonen til nullrommet er 3 =. Det betyr at det er en ikke-triviell vektor i nullrommet, og denne er også en egenvektor med egenverdi. Vi løser x y z og finner x y z A 3 43
12 Eksempel La V være vektorrommet generert av funksjonene cosx,sinx,sin x,sinx, a) Vis at funksjonene danner en lineært uavhengig mengde av funksjoner. b) Hva er dimensjonen til V? c) La D være derivasjonsoperatoren; D( f (x)) = f (x). Vis at D er en lineær operator på V, dvs. at D brukt på hver enkelt generator ligger i V. Løsning.. Metodevalg: Vi kan prøve å sette opp en lineær avhengighet acosx + bsinx + csin x + d sinx + e = og så sette inn ulike verdier for x for langsom å tvinge alle koeffisientene til å bli. Når vi har gjort det kjenner vi antall lineære avhengigheter og vi kan da beregne dimensjonen. For å vise at operatoren er en lineær operator må vi vise at den passer inn i formelen i definisjonen og at den deriverer alle generatorene på elementer i vektorrommet.. Regning: Vi tar utgangspunkt i acosx + bsinx + csin x + d sinx + e = Setter vi inn x = får vi a+e =. Setter vi inn x = p får vi b+c+e =. Setter vi inn x = p 3 får vi a + bp 3 + 3c 4 + d p 3 + e =. Slik kan vi fortsette med ulike valg og vi ser etter hvert at eneste løsning er at alle koeffisientene er. Dimensjonen til rommet blir da 5. Derivasjon er en lineær operator siden f (af(x)+bg(x)) = a x x + b g x For elementene har vi D(cosx)= sinx D(sinx)=cosx D(sin x)=sinxcosx = sinx D(sinx)=cosx = ( sin x) D()= 3.5 Oppgaver Oppgave. Vis at mengden danner et vektorrom. V = {(a,b,) R 3 a,b R} Oppgave. La V være mengden av funksjoner f (x) definert på intervallet [,] slik at f () =. Vis at mengden danner et vektorrom. Oppgave 3. La w være en søylevektor. Vis at mengden av søylevektorer v som oppfyller v T w = danner et vektorrom. Oppgave 4. La V og V være underrom av R n. a) Vis at V \V også er et underrom av R n. b) Vis ved et eksempel at V [V ikke nødvendigvis er et underrom av R n. Oppgave 5. Skriv w som en lineær kombinasjon av v, v (ogv 3 )når: a) b) og v =, v = v A, v = w = 4, w A, v 3 5A 3 3 A Oppgave 6. Finnes det noen lineær avhengighet mellom vektorene a) b) v 3 v =, v = A, v 3 4 A, v 3 4A 7 44
13 c) v 3 A, v A, v 3 = Oppgave 7. Balanser reaksjonslikningen Cu+ H O + SO + O! Cu 3 (OH) 4 SO 4 Oppgave 8. Balanser 7 6A PbN 6 +CrMn O! Pb 3 O 4 +Cr O 3 + MnO + NO Oppgave 9. Vis at mengden {x,x,x 3 } av polynomfunksjoner er lineært uavhengig. Oppgave. Forklar hvorfor mengden {sin x,cos x,} er lineært avhengig. Oppgave. Vis at {, } danner en basis for R. Oppgave. Vis at {@ danner en basis for R 3. Oppgave 3. Vis at danner en basis for P. A} {,x +,x + x + } Oppgave 4. Hva er dimensjonen til vektorrommet generert A Oppgave 5. Hva er dimensjonen til vektorrommet generert av cost,cos t,sin t, Oppgave 6. Finn rangen til matrisene: a) b) c) Oppgave 7. Finn rangen til matrisene: A A A Oppgave 8. Avgjør om følgende avbildninger er lineære: a) T (x,y)=(x,y,x y) b) T (x,y)=(xy,x + y) c) T (x,y)=(x,y,) Oppgave 9. La a R være et reelt tall. Vis at evalueringsavbildningen ev a : P! R gitt ved ev a ( f (x)) = f (a) er en lineær avbildning. Oppgave. La I =[a,b] R være et lukket og begrenset intervall. La C(I) være mengden av kontinuerlige funksjoner definert på intervallet I. Vis at integrasjonsavbildningen Z : C(I)! R gitt ved f (x) 7! R b a f (x)dx er en lineær avbildning. Oppgave. Regn ut nullrommet til matrisene: a) 45
14 A Oppgave. Regn ut nullrommet til lineæravbildningene: a) Vis at T er en lineæravbildning. b) Et vilkårlig element i P kan skrives på formen f (x) =ax + bx + c. Finn et uttrykk for T (ax + bx + c). c) Finn en egenfunksojn for operatoren T. a) T (x,y)=x y b) T (x,x,x 3 )=(x x,x x 3 c) T ( f (x)) = xf (x) f (x), f(x) P 3 Oppgave 3. Regn ut nullrommet til A og forklar hvorfor matrisen er invertibel. Oppgave 4. Vi har gitt en lineæravbildning T : V! W. Vi vet at dimensjonen til nullrommet til T er 5 og rangen til T er 3. Hva er dimensjonen til V? Kan vi si noe om dimensjonen til W? Oppgave 5. Derivasjonsoperatoren D : P n! P n har -dimensjonalt nullrom, generert av de konstante polynomene. Vi vet at dimensjonen til P n er n +. Hva er rangen til derivasjonsoperatoren i dette tilfellet? Oppgave 6. La A være en -matrise gitt ved 3 a) Regn ut det karakteristiske polynomet til A og finn egenverdiene. b) Finn egenvektorene til A og vis at de danner en basis for R. Oppgave 7. La A være en -matrise gitt ved 3 a) Regn ut det karakteristiske polynomet til A og finn egenverdiene. b) Finn egenvektorene til A. Danner de en basis for R? Oppgave 8. Vi har gitt en avbildning T : P! P gitt ved f (x) 7! xf (x). 46
Løsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerEmne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerMer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser
Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerA.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerMer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014
Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerDynamiske systemer. Kapittel Diskrete dynamiske systemer
I _ j j * Kapittel Dynamiske systemer Mange fenomener innen naturvitenskap kan beskrives med det som i matematisk teori kalles et dynamisk system Felles for alle dynamiske systemer er at vi betrakter et
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerEksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.
Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1060
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 6 Innhold Dynamiske systemer 4. Diskrete dynamiske systemer..................................... 4. Lukkede dynamiske systemer..................................... 8. Oppgaver
DetaljerSeksjonene : Vektorer
Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerPrøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerRom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.
Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse
Detaljerx A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
DetaljerLineære likningssystemer
Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så
Detaljer