RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen

Transkript

1 RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende systemet: Utifra dette ser jeg at løsningen av systemet er x =, y =, z =. Her kan det være en god idé å sette prøve på løsningen: x + y + z = 4 + = 4 + x + 5y z = 4 5 = 4 5 4x + 7y + 4z = = = = = = = 9 = Eksamenstips: Dersom det viser seg at du har funnet gal løsning og du ikke rekker å finne den riktige, så er det en god idé å skrive som følger: Jeg satte denne løsningen på prøve. Når vi setter løsningen inn i ligning får vi x + y + z = 5 + = 5 + Utifra dette ser vi at løsningen ikke er riktig. = 4

2 (b) Opplysningene i oppgaven kan skrives slik: a = (p() = ) a + a + a = (p() = ) a + a + 4a = (p() = ) Her har vi et system av tre ligninger med tre ukjente. Av den første ligningen ser vi at a =. Setter vi det inn i de to andre ligningene får vi () a + a = Kombinasjonen () () gir () a + 4a = a =, altså a =. Satt inn i ligning () gir dette a =. Dermed er p(x) = + x x. Oppgave Her finnes det flere likeverdige løsninger: (i) Hvis n =a[].length, m =a.length, så kan vi gi følende tolkning: a er en m n-matrise og b er en m-matrise. Returverdien c er lik matriseproduktet ba (ii) a er en n m-matrise og b er en m n-matrise. Returverdien c er lik matriseproduktet ab. Hvis noen kommer opp med en annen fornuftig fortolkning, så er også det helt fint! Det er selvsagt greit å løse denne oppgaven ved å gjøre radoperasjoner på matriser. Prøve: p() =, p() = + =, p() = + 4 =

3 Oppgave (a) Her vil jeg bruke notasjonen q = [,,, ] og p = [,,, ]. Da er qpq = (qp)q ( = [ ),,, ][,,, ] q = = = [,,, ] Resultatet av å rotere [,, ] med kvaternionen q er altså 4 [,, ] (b) Den tilsvarende rotasjonvektoren er log([.88,.45,.464,.]) = log([w, x]) = atan( x, w)^x = atan( [.45,.464,.],.88) = atan(.589,.88)[.586,.788,.9] =.58[.586,.788,.9] Dette betyr at q representerer en rotasjon på.58 radianer omkring aksen ^n = [.586,.788,.9]. Nå er.58 =.58 8 π Rotasjonsaksen til R er altså [.586,.788,.9]. Rotasjonvinkelen er på 7. Oppgave Vi kan se på dette som en 9 rotasjon med klokken xy-planet.

4 (a) z = x + y x + y = [ ] [ ] = = [ ] 4 6 (b) Jeg 5 vil her bruke uttrykket i punkt (i): w(t) = a(t)x + b(t)y, og har hele tiden i bakhodet at w =. Påstand (ii) kan da uttrykkes slik: cos(tω) = x w(t) Men x x = og x y = cos ω, så = x (a(t)x + b(t)y) = a(t)x x + b(t)x y. () cos(tω) = a(t) + b(t) cos ω På tilsvarende måte kan (iii) uttrykkes slik: () cos(( t)ω) = a(t) cos ω + b(t). () og () utgjør et system av to ligninger med to ukjente, nemlig a(t) og b(t). Neste steg er å løse dette systemet. Hvis vi trekker cos ω () fra ligning (), så får vi altså b(t)( cos ω) = cos(( t)ω) cos ω cos(tω) b(t) sin ω = cos ω cos(tω) + sin ω sin(tω) cos ω cos(tω) b(t) sin ω = sin(tω), setter vi dette inn i (), får vi b(t) = sin(tω) sin ω. sin(tω) cos ω cos(tω) sin ω sin(tω) cos ω a(t) = cos(tω) = = sin ω sin ω Konklusjon: w(t) = sin(( t)ω) sin tω x + sin ω sin ω y. sin(( t)ω). sin ω 5 Denne er VANSKELIG. På en eksamen bør man vurdere å spare litt på denne oppgaven og se det an etterhvert 4

5 Oppgave 5 (a) x svarer til Q, x svarer til R, x svarer ikke til noen av punktene. P svarer ikke til noen av vektorene. (b) Denne matrisen representerer en rotasjon på 45 omkring y-aksen etterfulgt av en translasjon på enhet i negativ z-retning. (c) Her må vi nesten se på detaljene for å kunne svare på spørsmålet: Matrisemultiplikasjon gir Dette svarer til [x, y, z, ] [.77x +.77z, y,.77x +.77y, ] (x, y, z) (.77 x +.77 x, y,.77 x +.77 ) z Dette er en rotasjon på 45 omkring y-aksen, etterfulgt av skalering med faktoren og translasjon enhet i negativ z-retning. Oppgave 6 (a) De normaliserte skjermkoordinatene N x, N y er N x = zoom x x = 4 z 4 = 4, N y = zoom y y = 5 z = 5 4. Her kan det være på sin plass å bemerke at punktet P ikke er synlig på skjermen. (b) Ovre høyre hjørne svarer til normaliserte skjermkoordinater (, ). Følgelig må zoom x, zoom y tilfredsstille zoom x 4 =, zoom y =. Vi løser disse ligningene og finner zoom x =, zoom y = 4. Oppgave 7 (a) 5

6 Siden b peker i samme retning som skipet, må [ ] b = [cos, sin ] =, Når b står vinkelrett på b i retning mot babord, må [ b = [ sin, cos ] =, ] (b) La C betegne Styrmann Carlsens midtpunkt. Posisjonen etter manøveren kan beskrives ved at PC =.5b + 5b. La C betegne styrmann Carlsens midtpunkt. Da er OC = OP + PC = [, 4] +.5 = [., 9.] [ ] [, + 5, ] Styrmann Carlsen befinner seg i punktet C = (., 9.). (c) Vi har en øy i posisjonen Q = (, 5). Forflytningsvektoren fra skipet til øya er PQ = [7, 6]. Jeg forstår oppgaven slik at det spørres etter vinkelen θ mellom skipets fartsretning b og vektoren PQ. Vi finner denne vinkelen ved hjelp av skalarproduktet: cos θ = b PQ b PQ Dermed er θ = acos(.869) =. Vi legger merke til at b [7, 6] >. Det betyr at skipet må dreie mot babord. Skipet må dreie ca. mot babord. 6