S1-eksamen hausten 2017

Transkript

1 S1-eksamen hausten 017 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (6 poeng) Løys likningane a) x x 80, a 1, b, c 8 b b 4ac 4 1 ( 8) x 1 a 1 x 1 x 1 4 b) 5 x 1 x 5 1 Fellesnemnaren er 6. 5x 1 x x 4x x x x 1 c) lg( x ) 4 lg( x ) 4 lg( x ) lg( ) x x 100 x 100 x 10 x 10 Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 1 av 16

2 Oppgåve (6 poeng) Skriv så enkelt som mogleg a) 7 1 a a b 7 6 a a b a b a b ab 4ab x 1 b) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 4lg lg lg 4lg 4lg x lg x lg x lg 4lg lg 6lg c) x x 1 Oppgåve ( poeng) Løys likningssettet x y 5 x y 4 Bruker innsettingsmetoden. Løyser den andre likninga med omsyn på y: y 4x Set inn i den andre likninga: x x 4 x 5 8 4x 5 0 x 4x 0, a 1, b 4, c ( 4) ( 4) ( 1) x 1 1 x 1 x 1 1 x : y x 1 : y Løysingane blir: x, y x 1, y Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side av 16

3 Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen x x x x 0 Faktoriserer andregradsuttrykket x x, a 1, b, c 4 1 ( ) x 1 1 x 1 1 x 1 Testar deretter uttrykket x x for x-verdiane 4, 0 og for å kontrollere om vi får positivt eller negativt svar: x 4 : x 0 : x : Vi teiknar forteiknsskjema (er eigentleg ikkje nødvendig, vi har dei opplysningane vi treng ovanfor!): 0 0 Ulikskapen er oppfylt når uttrykket x x 0. Vi finn at: x x for x, 1, (eller: x x 1) Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side av 16

4 Oppgåve 5 ( poeng) Til ein fotballkamp blei det selt 1400 billettar. Supporterane til heimelaget kjøpte fire gonger så mange billettar som supporterane til bortelaget. Kor mange billettar blei det selt til heimelaget sine supporterar? Grunngje svaret. Set x lik talet på billettar som supporterane til bortelaget kjøpte. Då blir talet på billettar som supporterane til heimelaget kjøpte lik 4x. Til saman skal det bli 1400 billettar. Dette gir likninga 4x x x x x 80 Supporterane til heimelaget kjøpte 4 80 billettar = 110 billettar. Oppgåve 6 (6 poeng) Ein nøkkelboks er ein boks med plass til nøklar. Nokre slike boksar har kodelås. For éin type nøkkelboks blir det laga ein kode ved å stille inn fire tal. Kvart tal blir valt blant tala 0 til 9. Eit tal kan veljast fleire gonger. Tala må vere stilte inn i ei bestemt rekkjefølgje. a) Kor mange ulike kodar finst det for denne typen nøkkelboks? Dette er eit ordna utval med tilbakelegging. Talet på ulike kodar blir: For ein annan type nøkkelboks blir det laga ein kode ved å velje ei bestemt mengd forskjellige tal blant tala 0 til 9. Tala treng ikkje å vere stilte inn i ei bestemt rekkjefølgje. b) Kor mange ulike kodar finst det for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tal? Dette er eit uordna utval utan tilbakelegging. Talet på ulike kodar blir: 10 10! (10 4)! 4! Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 4 av 16

5 c) Kor mange tal må koden bestå av for at talet på moglege kodar skal bli størst mogleg? Kor mange moglege kodar er det då? Vi veit frå Pascals trekant at det største talet er det som er i midten. Det svarar til binomialkoeffisienten 10, som vil seie at vi må ha 5 tal i koden. Talet på kodar 5 blir: 10 10! 10 5 (10 5)! 5! Oppgåve 7 ( poeng) Ein fotballklubb skal byggje eit fotballstadion. For å tilfredsstille reglane til Norges Fotballforbund, må tribunane ha ein kapasitet på minst 1000 tilskodarar. Av desse må minst 800 vere sitjeplassar, og høgst 40 % av plassane kan vere ståplassar. La x vere talet på sitjeplassar og y talet på ståplassar. Set opp ulikskapar som beskriv situasjonen ovanfor. Eg kallar talet på sitjeplassar for x og talet på ståplassar for y. Talet på sitjeplassar må vere større enn eller lik 800. Dette gir x 800. Kravet om minst 1000 tilskodarar gir x y Det siste kravet gir at høgst 40 % av plassane (det vil seie 40 % av summen av x og y) skal vere ståplassar. Dette kravet gir 40 y x y 100 y 0,4x 0,4 y y 0,4 y 0,4x 0,6 y 0,4 x 0,6 0,6 y x Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 5 av 16

6 Oppgåve 8 (8 poeng) Når du skal sende ein rull med Posten, må rullen ikkje vere for stor. Posten stiller desse krava til storleiken på rullen: Lengda kan vere inntil 90 cm. Lengd + dobbel diameter må ikkje vere over 104 cm. La x vere radiusen, og la y vere lengda (i cm) på ein rull som skal sendast. a) Bruk opplysningane ovanfor til å forklare at x og y må tilfredsstille ulikskapane 0 y 90 og 4x y 104 Lengda skal altså vere inntil 90 cm, og ho må vere positiv. Dette gir den første ulikskapen. Dersom x er radiusen, så er x diameteren. Den doble diameteren må då vere 4x. Lengd pluss dobbel diameter blir vidare y 4x, som skal vere inntil 104 cm. Dette gir den andre ulikskapen. b) Grunngjev at ein rull som skal sendast, må ha radius mindre enn 6 cm. Den andre ulikskapen gir: 4x y 104 4x 104 y 4x 104 y 4 4 y x 6 4 Den største verdien x kan ha, er når y er så liten som mogleg. Dersom y = 0, kan x vere maksimalt 6 (men då har vi ikkje nokon rull). Derfor må radiusen, altså x, vere mindre enn 6 cm. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 6 av 16

7 Vi ønskjer å lage ein rull der summen av lengda og to diameterar er 104 cm. c) Vis at volumet V må tilfredsstille V( x) 104x 4x Når summen av lengda og to diameterar er 104 cm, har vi at 4x y 104 y 104 4x Bruker formelen for volumet av ein sylinder, V r h, og får: V( x) x y x (104 4 x) 104 x 4 x d) Kva for ein radius gir størst volum? Deriverer volumfunksjonen: V( x) 104 x 4 x 4 x 5 x Den deriverte er null når x 0 og når 5 x 0. Vi veit at volumet er null når x 0, derfor må dette vere eit minimalpunkt. Sidan funksjonen er ein tredjegradsfunksjon, må det andre ekstremalpunktet vere eit toppunkt. Vi får vidare 5 x 0 x 5 5 x Radiusen som gir størst volum blir 5 cm 17, cm Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 7 av 16

8 Oppgåve 1 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 f( x) ( x 4), 0 x 4 Under grafen til f er det teikna inn eit rektangel OBCD, slik som figuren nedanfor viser. a) Vis at arealet til rektangelet er gitt ved 1 A( x) x 4x 8 x, 0 x 4 Arealet er lengd x multiplisert med bredde fx. ( ) Vi får 1 x 1 A( x) x f( x) x x 4 x 8x 16 x 4x 8x Ax ( ) må òg vere avgrensa på same måte som fx, ( ) dvs. 0 x 4. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 8 av 16

9 b) Bruk CAS til å bestemme x slik at arealet til rektangelet blir 4. Den siste løysinga er utanfor definisjonsområdet. Arealet er 4 når x 5 x c) Bruk CAS til å bestemme x slik at arealet til rektangelet blir størst mogleg. Kva er det største arealet rektangelet kan ha? 4 Dobbeltderiverttesten viser at x er eit toppunkt. Det største arealet er 18 4,7 når x 4. 7 Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 9 av 16

10 Oppgåve (7 poeng) Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom lengd og vekt av laks i eit vassdrag. Lengd (i cm) Vekt (i gram) a) Bruk regresjon til å bestemme ein potensfunksjon g som viser vekta til ein laks som funksjon av lengda på laksen. Skreiv inn tala i reknearkdelen på GeoGebra og valde regresjonsanalyseverktøyet med potens som regresjonsmodell, sjå biletet over. Den potensfunksjonen g som passar best med tala er g( x) 0,016,91 x der g står for vekta i gram og x står for lengda i cm. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 10 av 16

11 I eit anna vassdrag viser det seg at ein god modell f for vekta (i gram) til ein x cm lang laks er gitt ved,9 f( x) 0,015 x, 50 x 10 b) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f. Skreiv inn funksjonen f(x) ved hjelp av kommandoen Funksjon, sjå biletet over. c) Kor mykje veg ein laks som er 100 cm lang, ifølgje modellen f? Rekna ut f(100) = , sjå talet a i algebrafeltet på biletet i b). Ein laks som er 100 cm lang, veg ca. 10, 9 kg. d) Kor lang er ein laks som veg 15 kg, ifølgje modellen f? Løyste likninga fx ( ) med CAS, sjå biletet i b). Måtte skrive inn sjølve funksjonsuttrykket fordi GeoGebra ikkje ville finne svaret om eg skreiv inn likninga som «fx ( ) 15000». Ein laks som veg 15 kg, er ifølgje modellen f 11 cm lang. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 11 av 16

12 Oppgåve (5 poeng) Jakob har ei speleliste med 0 songar på mobilen sin. Fire av songane på spelelista er med artisten Kygo. Programmet speler av songane i ei tilfeldig rekkjefølgje (shuffle) med tilbakelegging. Det vil seie at den same songen kan bli spelt av fleire gonger etter kvarandre. a) Forklar at sannsynet alltid er p = 0, for at neste song som blir spelt, er med Kygo. Sannsynet er Talet på gunstige 4 1 0, Talet på mulige 0 5 b) Jakob vil høyre på fem avspelingar frå spelelista. Bestem sannsynet for at nøyaktig to av songane han speler, er med Kygo. Dette er eit binomisk sannsyn der vi skal ha to songar av Kygo og tre andre. P 5 ( av Kygo) 0, 0,8 0,05 c) Kor mange avspelingar må han høyre på for at sannsynet for å få høyre minst éin song med Kygo skal vere større enn 90 %? Den motsette hendinga til «minst éin song med Kygo» er «ingen songar med Kygo». Sannsynet for at ein song ikkje er med Kygo er 1 0, = 0,8. Sannsynet for at n songar etter kvarandre ikkje er med Kygo er 0,8 n. Sannsynet for at minst éin song er med Kygo blir 1 0,8 n. Oppgåva spør etter når dette sannsynet er større enn 0,9. Løyser ulikskapen med CAS, sjå biletet til høgre. Måtte løyse ulikskapen eksakt først, for deretter å finne eit tilnærma svar, fordi GeoGebra ikkje ville godta NLøs-knappen. Ein må spele av minst 11 songar for at sannsynet for å få minst éin song med Kygo skal vere større enn 90 %. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 1 av 16

13 Oppgåve 4 (7 poeng) Ei bedrift produserer to typar sofaer, A og B. La x vere talet på sofaer av type A og y talet på sofaer av type B som blir produsert per dag. Sofaene må innom tre avdelingar før dei er ferdige. Produksjonen av éin sofa av type A tar 1 time i avdeling I, timar i avdeling II og timar i avdeling III. Produksjonen av éin sofa av type B tar timar i avdeling I, timar i avdeling II og 1 time i avdeling III. Avdeling I har ein maksimal kapasitet på 14 timar per dag. Avdeling II har ein maksimal kapasitet på 16 timar per dag. Avdeling III har ein maksimal kapasitet på 1 timar per dag. a) Forklar at opplysningane ovanfor gir oss ulikskapane xy 14 xy 16 x y 1 x 0 y 0 Talet på sofaer kan ikkje vere negativt. Det gir dei to siste ulikskapane. Avgrensingar for avdeling I er at dei ikkje kan bruke meir enn 14 timar per dag. Summen av talet på timar er 1 time multiplisert med talet på sofaer av typen A (x) pluss timar multiplisert med talet på sofaer av typen B (y). Dette gir at 1 x y 14 xy14 Ved å gjere tilsvarande for dei to andre avdelingane, endar vi opp med den andre og den tredje ulikskapen. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 1 av 16

14 Skraver det området i planet som er avgrensa av desse ulikskapane. Skreiv inn alle ulikskapane i algebrafeltet og fekk teikna ulikskapane: Fortenesta i kroner når bedrifta produserer og sel x einingar av type A og y einingar av type B, er gitt ved F( x, y) 4500x 6000y b) Kor stor er fortenesta på éin sofa av type A og på éin sofa av type B? Sofa type A: F(1, 0) Fortenesta er kroner. Sofa type B: F(0, 1) Fortenesta er kroner. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 14 av 16

15 c) Kor mange einingar av type A og type B må bedrifta produsere per dag for at fortenesta skal bli størst mogleg? Lagar ein glider F i GeoGebra. Lar glidaren gå frå 0 til sidan det er i dette området vi har fortenesta. Skriv inn 4500x y = F og får den mørkeraude linja f på biletet nedanfor. Glidaren er justert slik at vi ser at fortenesta blir størst når bedrifta produserer 5 sofaer av type A og sofaer av type B. Vi kan kontrollere resultatet ved å rekne ut skjeringspunktet mellom dei to linjene som skjer der, nemleg linjene x y 16 og x y 1 frå ulikskap nummer to og tre. Skriv likningane inn i CAS, og får at fortenesta er størst når det blir produsert 5 sofaer av type A og sofaer av type B per dag. (Så får bedrifta håpe at etterspurnaden etter sofaer også følgjer dette mønsteret ) Leiinga i bedrifta har funne ut at det er ressursar til å utvide kapasiteten i éi av dei tre avdelingane med 1 time. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 15 av 16

16 d) I kva avdeling bør dei auke kapasiteten? Vi ser at den største fortenesta er avgrensa av dei to linjene som representerer avdeling II og avdeling III. Vi bruker CAS til å sjå kva produksjonen blir dersom vi aukar med éin time først i avdeling II, sjå linje 4 i utklippet frå CAS, deretter med éin times auke i avdeling III, sjå linje 5. Så reknar vi ut kva for eit av dei to alternativa som gir størst forteneste. Vi ser av linje 8 og 9 at fortenesta blir størst dersom kapasiteten blir auka med éin time i avdeling II. Det må vere ein føresetnad at dei ikkje må gjere ferdig sofaene den dagen dei begynner på dei, men kan halde fram der dei slapp neste dag. Eksamen REA06 Matematikk S1 hausten 017 Side 16 av 16