Eksamen Matematikk 2P hausten 2015

Transkript

1 Eksamen Matematikk P hausten 015 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve 1 (1 poeng) Prisen på ei vare er sett ned med 30 %. I dag kostar vara 80 kroner. Kor mykje kosta vara før prisen vart sett ned? Vekstfaktoren er , Ny pris Opphavleg pris vekstfaktor 80 kr Opphavleg pris 0,7 Opphavleg pris 400 kr Vara kosta 400 kroner før prisen vart sett ned. Oppgåve (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform ,4 10 4,0 10 3,4 4, ,6 10 1,36 10 Oppgåve 3 (1 poeng) Rekn ut ( ) ( ) Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 1 av 19

2 Oppgåve 4 ( poeng) For 10 år sidan vann Lea i Lotto. Ho oppretta ein konto i banken og sette inn heile vinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen sidan. Renta har heile tida vore 3, % per år. I dag har Lea kroner på kontoen. Sett opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor stor vinsten til Lea var. Vekstfaktoren er 1,03. Vi får uttrykket: Vinst 1, kr kr Vinst 10 1,03 Vinst kr 1,03 10 Oppgåve 5 ( poeng) Omkrinsen av jordkloten ved ekvator er ca km. Tenk deg at vaksne og barn står hand i hand og dannar ein ring rundt jordkloten. Kvar person femnar i gjennomsnitt 1,6 m. Omtrent kor mange personar må stå hand i hand for å nå rundt jordkloten ved ekvator? Skriv svaret på standardform m m 1,6 m m m km ,5 10, ( 1) 8 7 Omtrent 7,5 10 menneske må stå hand i hand for å nå rundt heile jordkloten ved ekvator. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side av 19

3 Oppgåve 6 (3 poeng) Alder Bedrift A Frekvens Bedrift B Frekvens 0, , , Sum Kvar av dei to bedriftene A og B har 100 tilsette. Tabellen ovanfor viser aldersfordelinga for dei tilsette i bedriftene. a) I kva bedrift er medianalderen lågast? Grunngje svaret. Medianen blir gjennomsnittsalderen til tilsett nr. 50 og 51 når dei blir plasserte i stigande rekkjefølgje. I bedrift A finn vi desse to i aldersintervallet 0,40, medan vi finn dei i intervallet i 40,60 bedrift B. Medianalderen er difor lågast i bedrift A. b) Bestem gjennomsnittsalderen for dei tilsette i bedrift B Gjennomsnittsalderen for tilsette i bedrift B er 46 år. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 3 av 19

4 Oppgåve 7 (3 poeng) I koordinatsystemet til høgre har Liv markert kor mange minutt ho trena i veke 1 og i veke 5. Liv har som mål at talet på minutt ho trenar, skal auke lineært for kvar veke. a) Bestem ein modell som Liv kan bruke for å rekne ut kor mange minutt ho må trene kvar veke framover for å nå dette målet. Eg trekkjer ei rett linje gjennom punkta på grafen Eg finn stigningstalet som vist på figuren: a 7, Konstantleddet er andrekoordinaten til punktet D. Sidan stigningstalet er 7,5, må andrekoordinaten til D vere 60 7,5 5,5. Modellen blir f() = 7,5 + 5,5, der f er talet på minutt ho må trene, og er veke nr. b) Kor mange minutt må ho trene i veke 40 ifølgje denne modellen? (40) 7,5 40 5, ,5 35,5 f Liv må trene i 35,5 minutt i veke 40 ifølgje denne modellen. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 4 av 19

5 Oppgåve 8 ( poeng) Lars observerer ein bakteriekultur. Frå han starta observasjonane, har talet på bakteriar gått ned eksponentielt. Sjå grafen til funksjonen B ovanfor. Bestem vekstfaktoren og sett opp utrykket for B(). Alternativ 1: Vi ser at talet på bakteriar startar med Den første timen går talet ned med 1000, frå til Det svarar til ,1 10% Sidan B går ned eksponentielt, går talet på bakteriar ned med 10 % for kvar time. 10 Vekstfaktoren 1 1 0,1 0,9 100 Det betyr at B ,9 Alternativ : Sidan B går ned eksponentielt, kan vi skrive B a b B Det betyr at Grafen viser at ab a a Vi ser vidare at b B Det betyr at b 0, Vekstfaktoren b 0,9 og B ,9 der b er vekstfaktoren. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 5 av 19

6 Oppgåve 9 (5 poeng) Diagramma ovanfor viser korleis karakterane i klasse 1A og 1B fordelte seg ved førre matematikkprøve. a) Bestem gjennomsnittskarakteren i kvar av dei to klassane. 1A: , B: , Gjennomsnittskarakteren er 3,4 i 1A og 3,6 i 1B. b) I kva klasse er standardavviket for karakterfordelinga størst? Grunngje svaret. I 1B har dei fleste ein karakter i nærleiken av gjennomsnittet, medan det er motsett i 1A; her har mange fått karakterane 1,, 5 og 6. Standardavviket er difor større i 1A enn i 1B. c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i kvar av dei to klassane. Kumulativ frekvens for 3 i 1A = Kumulativ frekvens for 3 i 1B 1A = d) Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i kvar av dei to klassane. Relativ frekvens for 6 i 1A = % 5 % 0 Relativ frekvens for 6 i 1B = % 5 % 0 Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 6 av 19

7 Oppgåve 10 (4 poeng) Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvasstanken sett til 70 C. Når familien brukar varmtvatn frå tanken, renn kaldt vatn inn, og gjennomsnittstemperaturen på vatnet i tanken går ned. Varmeelementet slår seg då automatisk på, og vatnet varmast opp igjen. Grafen ovanfor viser korleis temperaturen i tanken varierte ein morgon. Det varme vatnet vart berre brukt til å dusje. a) Kor mange familiemedlemmar dusja denne morgonen? Temperaturen i vatnet går ned kvar gong ein person dusjar. Fire familiemedlemmar dusja denne morgonen. Dottera Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen. b) Kor lenge dusja ho? Vanda dusja frå kl. 06:5 til ca. kl. 06:37. Vanda dusja i ca. 1 minutt. Då familien gjekk frå heimen klokka 7.30, var temperaturen i varmtvasstanken 58 C. c) Kor lang tid tok det før temperaturen var stige til 70 C igjen? Om temperaturen held fram med å stige lineært, ser eg av grafen at han brukar 0 minutt på grader (frå kl. 07:10 til kl. 07:30). Stigningstalet er då 0,1 0 Temperaturen stig med 0,1 grader i minuttet. Dermed tek det 10 minutt for vatnet og stige 1 grader (frå 58 C til 70 C). Det tok to timar før vatnet var stige til 70 C igjen. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 7 av 19

8 Tid: timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (3 poeng) Tabellen ovanfor gjev ei oversikt over dei viktigaste varmekjeldene for husstandar i ulike delar av Noreg. Bruk rekneark til å lage eitt diagram der du presenterer opplysningane i tabellen på ein oversiktleg måte. Eg skriv av tabellen i Ecel. Deretter markerer eg tabellen, og vel kommandoen «sett inn ståande stolpediagram». 70,0 % 60,0 % 50,0 % 40,0 % 30,0 % 0,0 % 10,0 % Viktigaste varmekjelder for husstandar i ulike delar av Noreg 0,0 % Oslo Østlandet for øvrig Sør-Norge Vestlandet Midt-Norge Nord-Norge Elektriske ovner Varmepumper Vannbåren varme Sentralvarme Vedfyring Annet eller vet ikke Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 8 av 19

9 Oppgåve (7 poeng) Funksjonane G og J gjevne ved 3 G( ) 0,0030 0,088 1,17 3, J( ) 0,0017 0,057 0,93 3,7 0 1 viser korleis vekta til to babyar, Geir og Janne, utvikla seg det første leveåret. Geir vog G() kilogram, og Janne vog J() kilogram månader etter fødselen. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til G og grafen til J i same koordinatsystem. Eg teiknar grafane i GeoGebra: b) Kor mange kilogram la kvar av dei to babyane på seg i løpet av det første leveåret? Brukar CAS i GeoGebra til å rekne ut kor mykje dei veg etter 1 månader Det første leveåret la Geir på seg 6,6 kg og Janne 5,9 kg. c) Kor mange månader gjekk det før kvar av dei to babyane hadde dobla fødselsvekta si? Dei veg 7,4 kg når dei har dobla fødselsvekta. Eg teiknar linja y = 7,4 i koordinatsystemet, og finn skjeringspunktet mellom denne og grafane til G og J ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt». Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 9 av 19

10 Det gjekk nesten fire og ein halv månad før Geir hadde dobla fødselsvekta, og litt over fem og ein halv månad før Janna hadde dobla fødselsvekta. G(1) G(0) G() G(0) d) Bestem og 1 Kva fortel desse svara om vekta til Geir? Reknar i CAS i GeoGebra: Desse tala fortel oss at vekta til Geir i gjennomsnitt auka med 0,55 kg per månad det første året. Gjennomsnittsauken per månad dei to første månadene var derimot 1,01 kg. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 10 av 19

11 Oppgåve 3 (6 poeng) Tabellen nedanfor viser kor mange nye elbilar som vart selde i Hordaland i 010 og 014. År Talet på nye elbilar 6 96 a) La vere talet på år etter 010. Bruk opplysningane i tabellen til å bestemme ein eksponentiell modell f() for elbilsalet i Hordaland. Eg let vere talet på år etter 010, og lagar følgjande tabell i reknearket i GeoGebra: Eg markerer så desse fire cellene, og brukar kommandoen «lag liste med punkt». Lista får då namnet Liste1, og eg brukar kommandoen RegEksp[Liste1] til å finne ein eksponentiell modell f() for elbilsalet i Hordaland. Eg får då følgjande modell: f ( ) 6 3,7 b) Kor mange prosent steig elbilsalet per år i perioden frå 010 til 014 ifølgje modellen frå oppgåve a)? Vekstfaktoren er 3,7. Det svarar til ein prosentvis auke på 7 %. Ifølgje denne modellen steig elbilsalet med 7 % kvart år i perioden 010 til 014. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 11 av 19

12 Diagrammet ovanfor viser utviklinga i salet av nye elbilar i Hordaland i perioden c) Gjer utrekningar og vurder om modellen frå oppgåve a) er ein god modell for å skildre denne utviklinga. Eg reknar ut f(1), f() og f(3) i CAS i GeoGebra. Vi ser at desse tre utrekningane frå modellen stemmer nokså dårleg med tala frå diagrammet over, særleg for 011 og 01. Det er lite truleg at det seljast over 3,6 millionar elbilar i Hordaland i 00. Modellen er ikkje god for å skildre utviklinga. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 1 av 19

13 Oppgåve 4 (4 poeng) Figuren ovanfor viser sterkaste middelvind ulike stader i Sør-Noreg under ekstremvêret «Nina» i januar 015. Vi let den raude streken vere skiljet mellom Vestlandet og Sør-Austlandet. a) Bruk rekneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkaste middelvind på Vestlandet og sterkaste middelvind på Sør-Austlandet. Eg skriv tala frå Vestlandet og Sør-Austlandet inn i to kolonnar i eit rekneark i GeoGebra. Eg markerer så kvar av kolonnane, og vel kommandoen «lag liste med punkt». Lista med temperaturar frå Vestlandet får då namnet Liste1, medan lista med temperaturar frå Sør- Austlandet får namnet Liste. Eg brukar så kommandoane Gjennomsnitt[Liste1], Standardavvik[Liste1], Gjennomsnitt[Liste], Standardavvik[Liste]. Gjennomsnitt for sterkaste middelvind på Vestlandet var 9,9, med eit standardavvik på 3,9. Gjennomsnitt for sterkaste middelvind på Sør-Austlandet var 4,4, med eit standardavvik på,6. b) Kva fortel svara i oppgåve a) om sterkaste middelvind på Vestlandet samanlikna med sterkaste middelvind på Sør-Austlandet? Det var i snitt ein sterkare middelvind på Vestlandet enn på Sør-Austlandet. Det var også større variasjonar i vindstyrken på Vestlandet. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 13 av 19

14 Oppgåve 5 (4 poeng) Tenk deg at du opprettar ein BSU-konto 1. januar neste år og sett inn kroner. Du sett inn kroner 1. januar dei neste sju åra også. Renta er 4,7 % per år. a) Lag eit rekneark som gjev ei oversikt over kor mykje du vil ha på kontoen ved slutten av kvart år desse åtte åra Oversikt over kontobehaldning og formlar som er brukte Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 14 av 19

15 b) Kor mykje vil du få til saman i renter i løpet av desse åtte åra? Eg vil til saman få 47 81,80 kr i renter i løpet av desse åtte åra. Oppgåve 6 (6 poeng) Tenk deg at du lånar pengar i banken og vil betale lånet tilbake med termin éin gong i året. Du betaler første terminbeløp eitt år etter at du tok opp lånet. Sett lånesummen lik L kroner p renta lik p prosent per år, slik at vekstfaktoren blir v talet på terminar (år) lik det årlege terminbeløpet lik T kroner Då gjeld formelen L ( v 1) v T v 1 Du tek opp eit lån på kroner med rente 3,5 % per år. a) Vis at formelen for terminbeløpet no blir ,035 T ( ) 1,035 1 Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 15 av 19

16 L v 1 v T ( ) v , ,035 T ( ) 1, ,035 1,035 T ( ) 1, ,035 T ( ) 1,035 1 b) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til T for 1 Teiknar grafen i GeoGebra: c) Bestem det årlege terminbeløpet om du vil betale tilbake lånet på 0 år. Reknar i CAS i GeoGebra: Det årlege terminbeløpet blir kroner om eg vil betale tilbake lånet på 0 år. d) Kor mange år vil det ta før du har betalt tilbake lånet om du bestemmer deg for å betale eit årleg terminbeløp på kroner? Reknar i CAS i GeoGebra: Om eg vil betale eit årleg terminbeløp på kroner, vil det ta litt over 0 år før eg har betalt tilbake heile lånet. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 16 av 19

17 Oppgåve 7 (6 poeng) Figur 1 Figur Figur 3 Ovanfor ser du dei tre første figurane i ein serie som kan fortsetjast. Dei store kvadrata er samansette av kvite og svarte kvadrat. Kvart av dei kvite kvadrata har areal lik 1. Dei svarte kvadrata har areal som aukar i storleik. a) Bestem det totale arealet av dei svarte kvadrata i den neste figuren, figur 4. Figur 1: Areal 1 Figur : Areal Figur 3 Areal Prøver å finne eit mønster: Figur 1: 4 Areal Figur : 4 Areal 16 Figur 3: 4 Areal Figur 4: Areal 4 56 Arealet til figur 4 er 56. b) Sett opp eit uttrykk som viser det totale arealet av dei svarte kvadrata i figur n uttrykt ved n. A() n n 4 Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 17 av 19

18 Talet på kvite kvadrat i den nedste rada i kvar figur kan uttrykkast med eit andregradsuttrykk Sn ( ) c) Bestem Sn ( ) Figur 1: Talet på kvite i nedste rad Figur : Talet på kvite i nedste rad 1 3 Figur 3: Talet på kvite i nedste rad S( n) 3n d) Sett opp eit uttrykk for det totale arealet av dei kvite kvadrata i figur n uttrykt ved n. Arealet blir S( n) A( n ) 3n n 9n n 8n Totalt areal av dei kvite kvadrata 8n Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 18 av 19

19 Biletliste Jordkloden: ( ) Varmekjelder: ( ) Nina: ( ) BSU: ( ) Andre bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1015 matematikk P hausten løysing Side 19 av 19