Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima
|
|
- Torger Pettersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima
2 Innhold 1 Om wxmaxima Tilleggspakker Regning Tallregning Regnerekkefølge Tallet π Minne Kvadratrot Parenteser Brøk Store og små tall Sinus, cosinus og tangens n-terøtter Potenser Logaritmer Funksjoner Tegning av grafer for hånd Tegning av grafer på det digitale verktøyet Finne minste avstand Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Nullpunkter Finne x når du kjenner y Topp- og bunnpunkter Skjæringspunkter mellom grafer Derivert Tangent Lineær regresjon 19 5 Likninger Likninger av andre og tredje grad Likningssett
3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxmaxima som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1T, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Tallregning Regnerekkefølge Likningssett Regresjon 4 90 Potenser Negative potenser Lese standardform Taste inn standardform N-terot Brøkeksponent Lage verditabell Logaritmer Andregradslikning Sinus, cosinus, tangens Inversfunksjonene Tegne graf Minste avstand Informasjon fra grafer Regne ut funksjonsverdi Regne ut den deriverte Finne tangent 3.5 3
4 1 Om wxmaxima wxmaxima ( er et grafisk brukergrensesnitt til Maxima ( Dette heftet tar utgangspunkt i en binærdistribusjon av wxmaxima med norske menyer publisert for Windows på Det finnes også distribusjoner av wxmaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk. Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet. Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxmaxima gjør det unødvendig å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg fra menyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingenting i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om du husker de vanligste kommandoene. 1.1 Tilleggspakker Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulike grunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommandoen «load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare sammen med programmet. For å regne med for eksempel binomisk og hypergeometrisk fordeling i sannsynlighetsregning skriver du «load (distrib)$». I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra Internett. Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norsk videregående skole. Den installeres slik: 1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents». 2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filen til. 3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på «Open» («Åpne»). I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package» fra File-menyen. Per 2013 inneholder gyldendal.mac følgende kommandoer. sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader). cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader). tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader). 4
5 asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a. acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a. atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a. ntrt(n,a): Finner n-teroten av a. lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10). grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer. radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader. 2 Regning 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Gangetegnet er obligatorisk, så 2x må tastes inn som «2 x». Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Maxima regner eksakt. Det betyr at den unngår avrundinger og desimaltall så ofte som mulig. Dersom du vil ha svaret i desimaltall, må du be spesielt om det. Trykk på knappen «Til desimaltall», eller tast «float(%)», så får du det siste svaret i desimaltall. Du kan også legge til ordet «numer» på slutten av linja etter et komma, så får du desimaltall. (%i1) 2/3,numer; (%o1) Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. 5
6 Utregningen taster vi inn som det står og avslutter med enter. Maxima bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. (%i1) 4+5*2^3; (%o1) 44 Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( ( 3)) 2, som tastes inn slik: (%i1) 7*(-4^2-5*(-3))^2; (%o1) Tallet π For å skrive inn π, taster vi «%pi». Vi kan også trykke på knappen for π nederst i vinduet. Når Maxima viser matematikk på skjermen, skriver den π som «%pi». Og som alltid: Vil du ha et desimaltall i stedet, bruker du «float» eller «numer». (%i1) %pi; (%o1) %pi (%i2) float(%pi); (%o2) Minne Du kan enkelt lagre tall eller uttrykk for seinere bruk i programmets minne. Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet «%». La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Om du så taster % %pi og trykker enter, vil Maxima multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π. (%i1) (4+5)*2^3; (%o1) 72 (%i2) %*%pi; (%o2) 72 %pi (%i3) float(%); (%o3) I tillegg til «%», fungerer de fleste tegn og kombinasjoner av tegn som minne. Du lagrer en verdi eller et uttrykk i et minne ved å skrive navnet etterfulgt av kolon og så verdien du vil lagre. 6
7 For å lagre forrige verdi i et minne vi kaller «a», gjør vi slik: (%i4) a:%; (%o4) For å lagre uttrykket 3x 2 på «sigma» gjør vi slik: (%i1) sigma:3*x-2; (%o1) 3x - 2 Verdien i minnet får du fram igjen ved å skrive navnet. (%i1) sigma; (%o1) 3x - 2 (%i2) 2*sigma; (%o2) 2(3x - 2) Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene a og b og så regner ut a b og får 142: (%i1) a:2; (%o1) 2 (%i2) b:71; (%o2) 71 (%i3) a*b; (%o3) Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()», eller trykker på kvadratrotknappen. (%i1) sqrt(5),numer; (%o1)
8 2.6 Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er = 12 6 = 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren. (%i1) (5+7)/(2*3); (%o1) 2 Ulike distribusjoner av Maxima håndterer parenteser litt forskjellig. I noen distribusjoner får man automatisk både høyre- og venstreparentes når man taster «(». I andre distribusjoner må man passe på å lukke parenteser selv. 2.7 Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Svaret blir oppgitt i brøk. Dersom du vil ha desimaltall, trykker du som vanlig på «Til desimaltall». Skal vi for eksempel regne ut slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. 8
9 2.8 Store og små tall Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform. I utgangspunktet får du 16 desimaler. Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn , kan du velge å taste « Regnestykket ,0002 kan du velge å regne ut som 6, ved å taste slik: (%i1) 6.7*10^9*2*10^(-4); (%o1) Sinus, cosinus og tangens Maxima har innebygget sinus, cosinus og tangens, men de innebygde funksjonene bruker et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Og radianer kommer du ikke borti før i Vg3. For å regne med grader, må du laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. De trigonometriske funksjonene for grader taster du inn med «sind()», «cosd()» og «tand()». For å finne sin 45, taster du inn «sind(45)». (%i1) sind(45); (%o1) For å gå tilbake, bruker vi «asind()», «acosd()» og «atand()»: For å finne hvilken vinkel som har cosinus-verdi 1, taster vi «acosd(1/2)». 2 (%i1) acosd(1/2); (%o1) n-terøtter Maxima har ikke innebygget noen funksjon for n-terøtter, med du kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. For å regne ut n-terøtter, bruker vi «ntrt». Eksempel: For å beregne 5 7,34 gjør vi slik: (%i1) ntrt(5,7.34); (%o1)
10 2.11 Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. (%i1) 2^5; (%o1) 32 For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( 5) og ved å taste 2 (2/3) Logaritmer Maxima har ikke innebygget noen funksjon for logaritmer med grunntall 10, med du kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1. Vi finner lg 25 slik: (%i1) lg(25),numer; (%o1) Funksjoner Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne en variabel et navn f slik: (%i1) f:2*x+5; (%o1) 2 x + 5 Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik: 10
11 (%i1) f(x):=2*x+5; (%o1) f(x) := 2 x + 5 Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden. 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regne ut funksjonsverdier for funksjonen. Først definerer vi funksjonen ved å sette en variabel til den funksjonen. Eksempel: Om vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 0,023x 1,7, gjør vi slik: Så vi setter vi inn 0 for x med funksjonen «ev»: Dersom vi ønsker å regne ut en flere verdier i en tabell, taster vi inn x-verdiene i en liste inni «[» og «]» slik: Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem
12 3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = 15 x funksjonen: for x < 15. Først definerer vi Så lager vi verditabell. Vi lar tabellen gå fra 1 til 15. Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 1 til 15, må y være mellom 1 og 15. Nå velger vi «Graf 2d» fra Grafer-menyen. Vi fyller inn feltene for «Uttrykk» og «Variabel» slik: Vi trykker OK og får tegnet grafen: 12
13 Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på «Grafer 2d» igjen og endre vindusinstillingene. 3.3 Finne minste avstand Den minste avstanden mellom to punkter kan vi finne ved å lage en funksjon f(x) som regner avstanden mellom punktene og så finne den minste verdien til denne funksjonen. I eksempel 13 på side 256 i læreboka har vi funnet avstanden fra A til B innom P som funksjonen f(x) = x (400 x) Vi finner minste funksjonsverdi ved å finne bunnpunktet som beskrevet i avsnitt nedenfor. Metoden vi bruker for å finne bunnpunktet i avsnitt bruker derivasjon. Derivasjon lærer du i kapittel 8 i læreboka. Hvis du ikke har lært dette enda, er det lettest å bruke en graftegner i stedet for Maxima. 3.4 Utregninger på grafen Maxima gjør ikke beregninger på selve grafen, men regner eksakt. Nedenfor finner du metoder for hvordan du kan bruke Maxima til å regne ut svar som også kan finnes for eksempel ved avlesning på grafen. Maxima gir deg imidlertid det eksakte svaret Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x, bruker vi «ev()». Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0, 001x 3 + 0, 09x Vi regner ut f(10) slik: 13
14 Altså er f(10) = Nullpunkter Du finner nullpunkter ved å skrive «solve» (eller klikke på «Nullpunkter»-knappen). Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Dersom en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at løsningen er et såkalt komplekst tall. Slike løsninger tar vi ikke med. Eksempel: La f(x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi ser at begge løsningene inneholder «%i». Funksjonen f har derfor ingen nullpunkter. Dersom funksjonen har et nullpunkt, men Maxima ikke finner det eksakt, kan vi finne en tilnærmingsverdi (med så stor nøyaktighet vi måtte ønske). Da må du tegne grafen til funksjonen, jfr. avsnitt 3.2. Så må du finne et intervall langs x-aksen som nullpunktet ligger i. Så bruker du «find_root» til å finne nullpunktet. 14
15 Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 2,3 x 6. Vi prøver først å løse den med «solve»: Vi tegner grafen. Vi ser at nullpunktet ligger mellom 0 og 4 på x-aksen. Vi bruker «find_root»: Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, løser vi likningen f(x) = a. Dette gjør vi på samme måte som når vi finner nullpunkter, jfr. avsnitt 3.4.2, men i stedet for å bruke «solve(f)», bruker vi «solve(f=a)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 3 4x 2 + 3x Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4. 15
16 Vi kan kun bruke løsningen som ikke inneholder «%i». Svaret er at f oppnår verdien 4 når x = Topp- og bunnpunkter Topp- og bunnpunkter finner vi ved å regne ut den deriverte med «diff» og sette denne lik null. For å avgjøre om vi da finner et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, tegner vi grafen til funksjonen. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 +2x 2 +3x 6. Vi skal finne bunnpunktet. Vi definerer f og trykker på «Deriver» (eller skriver «diff(f,x)»): Deretter finner vi når f (x) er null («solve») og hvilken verdi f har da («ev»): Til slutt tegner vi grafen for å avgjøre hva slags ekstremalpunkt det er. 16
17 Altså er det et bunnpunkt til venstre og et toppunkt til høyre. Koordinatene til bunnpunktet er ( 0, 6; 7, 0) og koordinatene til toppunktet er (3, 3; 7, 7) Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å løse likningen f = g. Vi taster «solve(f=g)». Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = 0, 5x 3 + 2x 2 + 3x 6 og g(x) = x + 2. Vi definerer f og g og taster «solve(f=g)». Til slutt regner vi ut funksjonsverdien av x-verdiene til skjæringspunktene. Altså er skjæringspunktene ( 2, 0), (2, 4) og (4, 6). 17
18 3.4.6 Derivert Du finner den deriverte til en funksjon f med «diff(f,x)». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x Vi skal finne f (x) og f (10). Vi definerer f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner verdien av den deriverte når x er 10: Dette betyr at f (10) = 1, Tangent Maxima regner ikke ut tangenten for deg, men kan hjelpe deg i utregningen av tangenten for eksempel ved hjelp av ettpunktsformelen. Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 2 4x + 5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 1. Først definerer vi funksjonen f og regner ut y-koordinaten til tangeringspunktet: Altså går tangenten gjennom punktet (1, 2). Så finner vi stigningstallet til tangenten ved å finne uttrykket for den deriverte og så verdien av den deriverte i punktet: Altså er stigningstallet 2. Da kan vi bruke ettpunktsformelen y y 1 = a(x x 1 ). 18
19 Vi taster inn ettpunktsformelen med x 1 = 1, y 1 = 2 og a = 2 og løser uttrykket vi da får med hensyn på y. Altså er likningen til tangenten y = 2x Lineær regresjon Velg «Regresjon» fra Funksjonsanalyse-menyen. Der taster du inn x- verdiene og y-verdiene med komma mellom. Eksempel: Vi legger inn følgende verditabell: Da blir det slik: x y Så klikker vi på OK. Da åpnes programmet gnuplot som viser et bilde av punktene fra verditabellen. Når vi skifter tilbake til wxmaxima, kommer funksjonsuttrykket til syne. Dette betyr at regresjonslinja er y = 28,6x + 582,8. 19
20 5 Likninger 5.1 Likninger av andre og tredje grad Likninger løser vi med «solve». Eksempel på andregradslikning: Vi løser likningen slik: 1, 2388x 2 + 3, 423x 4 3 = 0 Løsning på likningen er altså at x er 0, 47 eller 2, 29. Eksempel på tredjegradslikning: 3x 3 x 2 12x + 4 = 0 Hvis en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at tallet er såkalt komplekst. Denne løsningen tar vi ikke med. Eksempel: Vi løser likningen x 2 + 3x + 3 = 0 Begge løsningene inneholder konstanten «%i». Da svarer vi at likningen ikke har noen løsning. 5.2 Likningssett Likningssett løses ved å velge «Løs likningssett» fra Likninger-menyen. 20
21 Eksempel: Vi skal løse likningssettet 3x 2y = 4 x + 2y = 4 Vi velger «Løs likningssett» fra Likninger-menyen og taster inn at antall ukjente er 2. Vi trykker OK. Da får vi opp et vindu hvor vi skriver inn de to likningene våre. Når vi klikker OK, får vi opp løsningen: Altså er løsningen x = 2 og y = 1. 21
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning...................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for wxmaxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Noen
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket...........................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
DetaljerTexas Instruments TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................
DetaljerTexas Instruments TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser.....................................
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet
Detaljerwxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R1
Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerEksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål
Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en
DetaljerSINUS R1, kapittel 5-8
Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1T
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
Detaljerf (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er
7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både
DetaljerTORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS. GeoGebra 6 for Sinus R2
TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2 Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerRegelbok i matematikk 1MX og 1MY
Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y
DetaljerS1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerEksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål
Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løsningsforslag
S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R2
Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerQED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerEksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet
DetaljerEksamen 1T, Våren 2010
Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen S1, Høsten 2013
Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 10 5 000 0,15 Oppgave ( poeng) Løs likningen grafisk 1 1 9 x x Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x x 1 0 Oppgave 4 ( poeng)
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...
DetaljerS1 Eksamen høst 2009 Løsning
S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)
DetaljerEksamen 1T våren 2015 løsning
Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
DetaljerEksamen S1 høsten 2015 løsning
Eksamen S1 høsten 015 løsning Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene nedenfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3x1 17 4 x lg 3 1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11
DetaljerS1 eksamen våren 2018 løsningsforslag
S1 eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator
Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk
Detaljer1T eksamen våren 2018 løsningsforslag
1T eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerLøsninger til kapitteltesten i læreboka
S1 kapittel 4 Funksjoner Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a f ( ) 0,5 3 4 b Fra grafen leser vi av at nullpunktene til grafen er og 4. For å finne nullpunktene løser vi likningen f ( ) 0. 0,5
DetaljerLøsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 7, 5 10 4 7,5 4,0 10 0 10, 1 4 1 ( 4) 8 9,0 10 0 10 Oppgave (4 poeng) Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet.
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerR2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k
R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når
DetaljerEksamen høsten 2017 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 3 0 5 000,0 0 5,0 0 5 + 3 ( ) 5 6 6 7 = = 0 = 0 = 0 0 =,0 0 0,5 5 0 5 3 Oppgave Skjæringspunktet
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerI Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015
CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S1
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk
DetaljerUtforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra
Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet
DetaljerEksamen 1T våren 2016 løsning
Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket
Detaljer1T eksamen våren 2017
1T eksamen våren 2017 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,72 10 60 10 8 8 Oppgave
DetaljerKapittel august Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 2.
Institutt for geofag Universitetet i Oslo 28. august 2012 Kommandovinduet Det er gjennom kommandovinduet du først og fremst interagerer med MatLab ved å gi datamaskinen kommandoer når >> (kalles prompten
DetaljerEksamen REA3026 S1, Høsten 2010
Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x
Detaljereksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor
eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)
Detaljer1T eksamen våren 2017 løsningsforslag
1T eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,710 6010
Detaljer3 Funksjoner R2 Oppgaver
3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerEksamen REA3026 S1, Våren 2013
Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningssystemet 5x y x y 9 Oppgave ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x x x 1 Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x x 3 10 Oppgave 4 ( poeng) Løs likningen
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLær å bruke wxmaxima
Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
Detaljer